Toán cao cấp hàm nhiều biến, đạo hàm, vi phân

Chú ý: Nếu f cho bởi một biểu thức đại số thì miền xác định là tập hợp các điểm x1, ,x n sao cho biểu thức có nghĩa.. b Hàm fx,y gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi đi

CHƯƠNG 5: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 Khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa

 Xét n x x1, 2, , x n x i , i 1,n

Khoảng cách giữa 2 điểm M x x1, 2, ,x và n M x x1, 2, ,x n được tính bởi

 Cho D n Ánh xạ f D: gọi là 1 hàm n biến xác định trên D Tập D gọi là miền xác định của hàm f

Chú ý: Nếu f cho bởi một biểu thức đại số thì miền xác định là

tập hợp các điểm x1, ,x n sao cho biểu thức có nghĩa

Ví dụ Tìm miền xác định của hàm z f x y, ln x y

Hàm số xác định khi x y 0 x y

Miền xác định D x y, 2 x y

Miền xác định D là miền gạch chéo

Ví dụ Tìm miền xác định của hàm

2 2 2 ( , , ) 1

Hàm số xác định khi : 1 x2 y2 z2 0

Miền xác định D D x y z, , 3 x2 y2 z2 1 (quả cầu tâm 0, 0, 0 , bán kính 1,

kể cả biên)

1.2 Giới hạn

a) Giới hạn của dãy điểm Trong R2 ta nói dãy điểm Mn(xn, yn) hội tụ về điểm A(a;b) nếu các dãy số xna; ynb

b) Giới hạn của hàm 2 biến Ta nói hàm f(x,y) có giới hạn L khi (x,y)(x0, y0) nếu mọi dãy điểm (xn, yn)(x0, y0) thì dãy số f(xn, yn) L

Ký hiệu :

0

y y

Chú ý (một số bất đẳng thức thường dùng)

2

2 2

2

x

x



1 2 2

1

n

i















b y

a x b

a A y

x M

n

n n

n

n( ; ) ( ; )

c) Giới hạn lặp

Ta gọi giới hạn lặp của hàm f(x,y) khi x  x0; yy0 là các giới hạn sau đây:

lim lim ,

x x y y f x y và

lim lim ,

y y x x f x y

Ví dụ Cho

y x

y x y x f





) ,

 lim lim ( , ) lim 1

0 0

0





















x y

x f

x y

x

; lim lim ( , ) lim3 3

0 0

0

















y y

x f

y x

y

1.3 Sự liên tục

a) Hàm f(x,y) gọi là liên tục tại (x0, y0) nếu nó xác định tại (x0, y0) và

0 0

0 0

x y x y f x y f x y

b) Hàm f(x,y) gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D

c) Hàm f(x,y) gọi là gián đoạn tại (x0, y0) nếu nó không liên tục tại (x0, y0)

d) Các tính chất về giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng tương tự như đối với hàm 1 biến

Bài tập

Bài 1 Tìm miền xác định của các hàm số sau và biểu diễn miền xác định đó

1

x y z

x y

 



  c/

2 2

2 2

4

z

 



2 2

ln 2

z

   

    

e/ zarcsinxy f/  2 

2 2

1 ln

4

 

Bài 2 Tính các giới hạn sau đây (nếu có):

a/

3 3

2 2

1

1

lim

x

y







2 2 0

0

lim

x y

xy xy



2

2 2 0

0

lim

x y

xy



0

0

lim

x

y

xy



0

lim

x y

xy

x y



0

lim

x y

xy

x y







g/

5

lim 1

y

x

y

x y





  

2

4 2 0

0

lim

x y

x y



2 0

2

lim 1 x xy x

y

xy 





j/

1 1

2 2

2 2

0





 x y

y x lim

y

x y









(x2 + y2) sin 

xy

Bài 3 Cho  

2

2 2 khi (x,y) (0,0) ,

a khi (x,y) (0,0)

xy

f x y x y









.Tìm hằng số a để f(x,y) liên tục tại (0,0)

Bài 4 Cho hàm số      

   

3 3

2 2

,

f x y

   



   



Tìm A để hàm số f liên tục trên 2

2 Đạo hàm riêng và vi phân

2.1 Đạo hàm riêng

Cho hàm f(x,y) xác định trong lân cận điểm (x0,y0)

Ta định nghĩa:

( ; ) ' ( ; ) lim

( ; ) ' ( ; ) lim

f

f

   

3 3

2 2

2

,

x y

f x y

x y

 

 



Tính f  0,0 ; f  0,0

Giải

x

y

2.2 Vi phân toàn phần

Cho hàm z=f(x,y) xác định trong lân cận điểm (x0,y0)

Ta gọi số gia toàn phần của hàm số tại (x0,y0) là:

f(x0, y0) = f(x0 + x; y0 + y) – f(x0;y0) Hàm f(x,y) gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu:

f(x0, y0) = A.x +B.y +0() A; B là hằng số chỉ phụ thuộc vào (x0;y0) ;

Biểu thức A.x + B.y gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x,y) tại (x0,y0) và ký hiệu là df(x0,y0) hoặc dz(x0,y0)

Vậy df(x0;y0) = A.x + B.y

Ta có các tính chất sau đây :

Tính chất 1 Nếu hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó liên tục tại (x0,y0)

Tính chất 2 Nếu hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng tại (x0,y0) và

 2 2

) ( x  y





( ; ) ; ( , )

Do đó :

Tính chất 3 Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm (x0, y0) thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0)

Nếu f(x,y) = x thì

Nếu f(x,y) = y thì

Vậy df f dx f dy

Các quy tắc tính vi phân

d f g df dg ; d f g( ) f dg g df ( )

d  f df ;

2.3 Đạo hàm hàm hợp; hàm ẩn

a) Đạo hàm hàm hợp

Cho z = f(x, y); x = x(t); y = y(t) thì z = f[x(t); y(t)] là hàm hợp theo biến t Ta có:

dt x dt y dt

Cho z = f(x, y); x = x(u,v); y = y(u,v) thì z = f[x(u,v); y(u,v)] l hm hợp theo biến u,v Ta cĩ:

b) Đạo hàm hàm ẩn

Nếu y là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình F(x;y) = 0 thì :

Nếu z=z(x,y) là hàm ẩn 2 biến xác định bởi phương trình F(x,y,z) = 0 thì

2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao

a) Cho hàm z= f(x;y) Ta định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 2 như sau

2

2

;

;

Định lý Schwarz Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng f xy, f trong lân cận thì chúng bằng yx

nhau

( , ) f ( , ). f ( ; )

df dx    x y dx x

df dy    x y dy y

2

f gdf fdg d



 

 

' '

y

F dy

y x

dx F

' '

'; y'

x

F F

b) Cho hàm z = f(x,y) Vi phân toàn phần của df(x,y) gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của z

và ký hiệu là d z 2

Vậy :

=

Đây là công thức tính vi phân cấp 2 của hàm z = f(x,y) Ta thường dùng công thức lũy thừa tượng trưng như sau:

Tổng quát ta định nghĩa : dn

z= d(dn-1 z) và được tính như sau :

n n

Bài tập

Bài 5 Tính vi phân cấp 1 của các hàm số sau

,

f x y x y y x b)z arctan y

x

 c)w x y z2 3 2x2y z 15

d)

3 3

2 2

z





ln

z x x  y f)z x y

Bài 6

a) Cho cos

sin

x r

y r









 

r

r





 

 



 

 

b) Cho

cos sin sin sin cos

x r

y r

z r







 



 



r

r

r



(Dùng cho toán A3)

Bài 7 Tìm hàm f x y biết  ,  f x2 y; f y2 x

     

2

d z d dz d dx dy

dx dy dx dx dy dy

2 2

d z dx dy z

2

d z =

Bài 8 Cho hàm      

   

2

,

xy

khi x y

khi x y







 



Chứng minh f liên tục trên 2và

tính các đạo hàm riêng của f

,

f x y  x  y Tính f  0,0

x



 và f  0,0

y



Bài 10 Tính vi phân

a) df 1,2,1 với f x y z , ,  2 z 2



 b) df  1,1 với f x y ,   xy e xy

Bài 11 Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số sau tại (1,1)

a)z2ye xcosy b)zcos2ysin2x

c)zlnx y d)ze xy

Bài 12 Tính đạo hàm của các hàm hợp sau

a) Cho ue x2y, xsint, yt3 Tính du

dt

z x y x t y t Tính dz

dt

c) Cho zx2lny, u

x v

 , y3u2v Tính z

u



 và

z v



 d) Cho f x y , lne x e y với 1 3

3

y x x Tính f

y



 và

df

dx

Bài 13 Tính đạo hàm theo biến x của các hàm ẩn y=y(x) xác định bởi phương trình

a) x y3 xy3 1 b) arctan

x y y

  

c) xe y  ye x e xy 0 d) y x  x y

Bài 14 Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x y

x y e  a) Tính dy

dx , dy 1

dx

b) Tính

2

2

d y

dx , từ đó tính d y22  1

dx biết y 1 1

Bài 15

a) Cho hàm ẩn zz x y , xác định bởi ln  0

2

xy

z xz   Tính z, z

x y

 

  b) Cho hàm ẩn z f x y , xác định bởi phương trình x  y z sin xyz 0 với f  0,0 0 Tính f  0,0

x



 và f  0,0

y



c) Cho hàm số u x z

y z





 , tính ' ; 'u x u biết y zlà hàm ẩn của x, y được xác định bởi phương trình z x y

ze  xe ye

Bài 16

Cho hàm ẩn zz x y , xác định bởi phương trình x y z

x  y z e  

,

dz d z

3 Cực trị

3.1 Cực trị tự do

 Ta nói hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) nếu tồn tại 1 lân cận V của điểm (x0, y0) sao cho: f x y( , ) f x y( ,0 0) ( , ) x y V và

 Ta nói hàm f(x,y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) nếu tồn tại 1 lân cận V của điểm (x0, y0) sao cho: f x y( , ) f x y( ,0 0) ( , ) x y V và

 Hàm f(x,y) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại (x0,y0) thì gọi là đạt cực trị tại (x0, y0) Điểm (x0,y0) gọi là điểm cực trị của hàm f(x,y)

,

f x y x  y đạt cực tiểu tại  0,0 vì   2 2  

f x y x  y   f với mọi

   x y,  0,0

Định lý Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại (x0, y0) và tồn tại các đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì các đạo hàm riêng đó bằng 0

Từ định lý trên ta suy ra rằng Các điểm có khả năng đạt cực trị của hàm f(x,y) là các điểm mà

tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 hoặc không tồn tại Ta gọi các điểm ấy là điểm dừng

Định lý Giả sử z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận điểm dừng (x0,y0) Khi đó:

+Nếu d2

f (x0,y0) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại (x0,y0)

+Nếu d2f (x0,y0) <0 thì hàm số đạt cực đại tại (x0,y0)

+Nếu d2f(x0,y0) không xác định dấu thì hàm số không đạt cực trị tại (x0,y0)

Hệ quả: Giả sử x0, y0 là điểm dừng của f x y  , 

2

+ Nếu  0, A0 thì f đạt cực tiểu tại x0, y0

+ Nếu  0, A0 thì f đạt cực đại tại x0, y0

+ Nếu  0 thì f không đạt cực trị tại x0, y0

Sơ đồ khảo sát cực trị hàm f x y  , 

(1) Tìm điểm dừng 1 1 1 2 2 2

0

0

x y

f

f

 





  

 (2) Tính f xx, f xy, f yy

(3) Khảo sát từng điểm dừng

A f  P B f P C  f P   ACB

0 0

( , )x y ( ,x y )

0 0

( , )x y ( ,x y )

+ Nếu  0, A0 thì P là điểm cực tiểu 1

+ Nếu  0, A0 thì P là điểm cực đại 1

+ Nếu  0 thì P không là điểm cực trị 1

+ Nếu  0 thì xt P bằng định nghĩa 1

3.2 Cực trị có điều kiện :

Ta nói hàm f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện (x,y) tại điểm (x0, y0) nếu:

f(x,y)>f(x0,y0) (x,y) (x0,y0) và (x, y) = 0; (x0;y0)=0

Định nghĩa tương tự cho trường hợp cực đại có điều kiện

Sơ đồ khảo sát cực trị hàm f x y với điều kiện  ,  x y, 0

(1) Lập hàm Lagrange L x y ,  f x y ,   x y, 

(2) Tìm điểm dừng

 

1 1 1 1

, , 0

x y

P x y L

x y









 (3) Tính L xx, L xy, Lyy

(4) Khảo sát từng điểm dừng

1 1, 1 , 1:

d L P L P dx  L P dxdyL P dy

Với lưu ý x P dx1 y P dy1 0 và dx, dy không đồng thời bằng không

Kết luận :

+ Nếu 2  

1 0

d L P  thì P là điểm cực tiểu 1

+ Nếu 2  

1 0

d L P  thì P là điểm cực đại 1

+ Nếu 2  

1

d L P không xác định dấu thì P không là điểm cực trị 1

3.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên miền đóng và bị chặn D ta thực hiện như sau:

(1) Tìm trong D:

+ Tìm các điểm dừng của f 0

0

x y

f f

 



  

 + Loại các điểm dừng không là điểm trong của D Tính giá trị của f tại những điểm dừng còn lại

(2) Tìm trên biên D:

+ Nếu biên D có phương trình x y, 0 thì lập hàm Lagrange

 ,   ,   , 

L x y  f x y   x y Tìm điểm dừng của L

 

0 0

x y

L L

x y



  



 





Tính giá trị của f tại những điểm dừng này

+ Nếu biên D là những đoạn thẳng thì từ phương trình đoạn thẳng rút y theo x (hoặc x theo y) thay vào hàm f x y , ta có hàm một biến Tìm GTLN, GTNN của hàm này,  , 

tính f của những giá trị này

(3) So sánh giá trị của f ở các bước (1) và (2) để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài tập Bài 17 Tìm cực trị của các hàm số sau

4

z x y x y b) zx2xy y2   x y 1

c) z  x y xe y d) z2x4 y4 x2 2y2

e)    2 2

    g) u x2 y2 z2 4x6y2z h)   3 3

f x y x  y  xy

f x y z  x y z  xy zx

f x y x  xy  x y

f x y z x xy y  xz z  y

Bài 18 Tìm cực trị có điều kiện

a) z 1 1

x y

  với điều kiện 12 12 1

4

x  y  b) zx2 y2 với điều kiện 1

2 3

x y c) z x212xy2y2với điều kiện 2 2

4x  y 25 d) zx2 y2 xy  x y 4 nếu x  y 3 0

x   y z f) u2x y 2z với điều kiện x2 y2 z2 36

, ,

f x y z xy z nếu x2y3z1 (trong đó , ,x y z0)

h) f x y z , ,  x 2y5z với điều kiện x2 y2 z2 30

Bài 19 Tìm GTNN và GTLN của

a) z x2 y2 trong hình tròn x2  y2 4

4

zx y  x y trong miền giới hạn bởi x0,y 0,x y 6

f x y x  y  xytrong miền D: 0 2

x y

 



  

,

f x y x  y xy x y trong miền D:

0 0 3

x y

x y





 



  



,

f x y x xy y trong miền D x:  y 1

f x y  x  y trong hình tròn   2 2

x  y 