ôn tập toán cao cấp giải tích

Ơn tập Tốn cao cấp (Phần giải tích) Năm học 2014-2015 Lý thuyết Giới hạn hàm biến • Giới hạn, giới hạn phải, giới hạn trái • Các giới hạn • Sử dụng VCB tính giới hạn • Quy tắc L’Hospital Tính liên tục hàm biến • Liên tục điểm, liên tục phải, liên tục trái, liên tục khoảng mở (a, b), liên tục khoảng đóng [a, b] • Các tính chất hàm liên tục khoảng đóng [a, b] • Các ứng dụng hàm liên tục khoảng đóng [a, b] Đạo hàm, vi phân hàm biến • Đạo hàm điểm, đạo hàm phải, đạo hàm trái • Các tính chất đạo hàm • Các quy tắc tính đạo hàm • Mối liên hệ đạo hàm liên tục • Đạo hàm cấp cao • Công thức khai triển Taylor, Mac Laurin • Ứng dụng đạo hàm, vi phân hàm biến Tích phân • Tích phân bất định – Ngun hàm – Các tính chất – Các phương pháp tính tích phân (Tích phân phần, đổi biến, tích phân hàm hữu tỷ, hàm vơ tỷ, hàm lượng giác) • Tích phân xác định – – – – Định nghĩa Các tính chất Cơng thức Newton-Leibniz Các phương pháp tính tích phân – Ứng dụng tích phân xác định • Tích phân suy rộng – Định nghĩa – Các tính chất – Các tiêu chuẩn so sánh tích phân hội tụ Hàm hai biến • Khơng gian Euclide chiều R2 , điểm không gian, dãy điểm không gian, khoảng cách hai điểm, lân cận điểm, hội tụ theo tọa độ • Giới hạn đồng thời • Liên tục theo hai biến x y • Đạo hàm riêng • Vi phân tồn phần • Đạo hàm vi phân cấp cao • Cực trị hàm hai biến (cực trị tự do, cực trị có điều kiện, cực trị tuyệt đối) Phương trình vi phân cấp • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình Bernoulli • Phương trình vi phân tồn phần Phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp giảm cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số (phương pháp biến thiên số, phương pháp hệ số bất định) Bài tập Tính giới hạn hàm số sau 2x +3x x x+1 x→∞ +3 • lim • lim x→∞ √ 1−x 2x+3 2x+1 x+2−2 x→1 x +x−6 • lim sin(5x) x→0 ln(1+4x) • lim e2x −1 x→0 ln(1−4x) • lim ln(1+2x) x→0 x+arctan(x) • lim • lim x • lim sin2 (x) x→0 x→0 • lim x→0+ • lim x→0 − ex −1 − sin(x) tan(x) sin(x) x x x2 • lim sin( x−1 ) x→1 • lim (cos(x)) x2 x→1 • lim ( x+2 )3x+4 x→±∞ x−3 sin(x) x−sin(x) • lim ( sin(x) x ) x→0 • lim ( ln cos(x) ) x2 x→0 √ 1− cos(x) • lim ( ) x2 x→0 Khảo sát liên tục hàm số sau • f (x) = 1−cos(x) x điểm x = , , x = x = • x2 +5x−6 x−1 f (x) = , , x = x = điểm x = • f (x) = sin(x) |x| , x = , x = , , x = x = điểm x = • Xác định a để hàm số √ f (x) = 1−x2 x2 a liên tục điểm x=0 • Hàm số sau f (x) = , với x = , với x = x+3 x−2 có liên tục x=2 hay khơng? • Chứng minh ex + x − = có nghiệm thực Xét tính khả vi hàm số sau • √ f (x) = x+4−2 x |x| , x = , x = , x = , x = điểm x = • f (x) =   1 1+e |x| 1 điểm x = • Chứng minh hàm f(x) liên tục điểm x0 có đạo hàm điểm Điều ngược lại có khơng? Cho ví dụ minh họa • Viết khai triển Mac Laurin hàm số f (x) = e2x−x tới bậc • Viết khai triển Mac Laurin hàm số f (x) = ex −2x tới bậc • Viết khai triển Mac Laurin hàm số f (x) = sin sin(x) tới bậc • Viết khai triển Mac Laurin hàm số f (x) = sin(ex ) tới bậc • Cho hàm số f (x) = (9x − 1)ex Tính đạo hàm cấp 2015 f (2015) (x) • Tính gần arctan(0, 97) Tính tích phân sau ´ • ex +e −x dx ´ 2x+13 • x2 +x−2 dx ´1 • e2x (3x + 1)dx ´1√ • − x2 dx ´ +∞ • e−x sin(x)dx ´ +∞ • e−x cos(x)dx ´ +∞ • x3 e−x dx ´ +∞ √1 • dx x x2 −1 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau • • • • • ´ +∞ ´ +∞ ´ +∞ ´ +∞ ´ +∞ x2 +x−2 dx x ex dx x x3 +2x+1 dx sin2 (x) √ dx x x x 1+x2 cos2 (x) dx Sử dụng vi phân toàn phần để tính giá trị gần biểu thức sau • A= 2, 992 + 4, 012 • B = ln( 2, 952 + 4, 052 ) Tìm cực trị hàm số sau • z = − x2 − y 2 • z = e−x −y • z = xy + x1 + y1 • • • • • • • z z z z z z z = 2x3 + y + 3x2 − 3y − 12x − = xy, với điều kiện x + y = 100 = x2 + y , với điều kiện x + y = 10 = x + 3y, với điều kiện xy = 64 = − x2 − y , thỏa mãn điều kiện x + y = = 3x2 + 2xy − y + 5, miền D xác định x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ = x3 + 3y − 6xy, miền D xác định ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ Giải phương trình vi phân sau • (y − 1)dx − (x2 + 1)ydy = • y = (1 + y )ex • dy dx = x2 +y 2xy , với y(1) = 2x x2 +1 • y − = x4 − √ • y − x2 + y = arcsin(x), với điều kiện y(0) = • y = 2x3 + cos(x) − ln(x) • xy = y ln( yx ) • • • • • • y y y y y y + 3y − 4y = ex , thỏa mãn điều kiện y(0) = y (0) = + 5y + 6y = e2x (x − 1), thỏa mãn điều kiện y(0) = y (0) = − 2y + y = + x, thỏa mãn điều kiện y(0) = y (0) = − 4y + 5y = ex (−4 cos(x) + sin(x)), thỏa mãn điều kiện y(0) = y (0) = 12 + 4y = cos(2x), , + y = sin(x) • y + y = sin(x) + cos(x) , Tài liệu tham khảo: Bài giảng Toán cao cấp, Bộ mơn Tốn-Thống kê, Trường Đại học Tài chính-Marketing, năm 2013 Trần Lộc Hùng, Toán cao cấp, Bài giảng năm 2014 Trần Lộc Hùng, Slides Toán cao cấp năm 2014(có http://www.tranlochung.info) Người soạn: PGS TS Trần Lộc Hùng, Bộ mơn Tốn-Thống kê, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tài chính-Marketing ... khảo: Bài giảng Toán cao cấp, Bộ mơn Tốn-Thống kê, Trường Đại học Tài chính-Marketing, năm 2013 Trần Lộc Hùng, Toán cao cấp, Bài giảng năm 2014 Trần Lộc Hùng, Slides Toán cao cấp năm 2014(có http://www.tranlochung.info)...• Đạo hàm vi phân cấp cao • Cực trị hàm hai biến (cực trị tự do, cực trị có điều kiện, cực trị tuyệt đối) Phương trình