TOÁN CAO CẤP ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Page: Love NeverDies Lời giải: Hồng Bá Mạnh Tốn cho nhà kinh tế Giải tập giáo trình CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NEU – Winter 2019 Bài f     lim f  x   f 4 x4 x 4  x  1  2x 1   lim  lim  x  x  x4 2x 1  3  x  4 2x    lim  x 4  Bài x  5x  3 f  x   f 1 x2  2x  x 1 f  1  lim  lim  lim  lim 1  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x  1 Bài a) MXĐ: D  , với x0  f   x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x  x0 , ta có: x  x0 x  x0 2 sin sin cos x  cos x0 2  lim  lim x  x0 x  x x  x0 x  x0 x  xo sin x  x0   sin x  lim x  x0 x  x0 2  f   x    sin x  sin b) MXĐ:  0;  Với x0   0;   ta có:  x  x  x0  ln   ln    f  x   f  x0  x0  x0  ln x  ln x0   f   x0   lim  lim  lim  lim  x  x0 x  x0 x  x0 x  x x  x0 x  x0 x  x0 x  xo x0 x0 x0  f  x   x Bài a) f  x  hàm chẵn  f   x   f  x  Đạo hàm f  x  điểm x0 là: f   x0   lim f  x   f  x0  x  x0 Ta có f    x0   lim f  x   f   x0  x    x0  x  x0 x  x0 f  t   f  x0    lim t  x0 t  x0  lim x  x0 f  x   f  x0   t  x  f  t   f  x   lim t  x0 x  x0 t  x0   f   x0  Như f    x    f   x  hay f   x  hàm lẻ b) Làm tương tự ý a) c) f  x  tuần hồn chu kì T f  x  T   f  x  Với điểm x0 thuộc MXĐ ta có: f   x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x  x0 f   x0  T   lim f  x   f  x0  T  x  x0  T x   x0  T   lim x  x0  T f  x   f  x0  x  T  x0 Đặt z  x  T  x  z  T ; x  x0  T  z  x0 ta có: f   x0  T   lim z  x0 f  z  T   f  x0  z  x0  lim z  x0 f  z   f  x0  z  x0  f   x0  Vậy, f   x  T   f   x  hay f   x  hàm tuần hoàn chu kì T Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies Bài a) y  13 27 112 152 x  x  x  y  x  x  x 11 15  y  3x  3ln x  1  x  3x  3ln x  1  x x b) y  x  3ln x  1 c) y  3x arctan x  d) y    x3  x2 a x   x  ax  b  x2 1  ax  2bx  a x2 1 e) y   xe x   sin x  cos x   xe x  cos x  sin x    e x  xe x   sin x  cos x   xe x  cos x  sin x   e x  sin x  x cos x  Bài 10 a) y  10  arctan x  arctan x  arctan x 1 x 2x 1 b) y  x  x 1 c) y   sin x  2sin x ln  x cos x ln d) x y   2x2   x4  2x2  x3  x x4  2x2 x  x  e) y   arcsin  arcsin  5  f)  2x3  2x x4  2x2  x  5   x 1   5 arcsin x x  arcsin 5 25  x 2  y   3x  1  y   3x  1  3 3x  Bài 1   sin x    sin x  a) y  ln   ln   ln 1  sin x   ln 1  sin x      sin x  2   sin x  cos x  cos x cos x  y     2  sin x  sin x  sin x cos x b) y    x3  1    1 x  Hoàng Bá Mạnh  x  x  x x  x     1 x  1  x    x3  1    1 x   x  x8 1  x  1  x  6   x6 Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU  6x2  x2  1  x   x 6 Trang: Love NeverDies 2   x   1 x  1  x      1 x  1 x 1 x   2  x 1 1   1 x  1 x  c) y   (MXĐ y: 1  x  )  1 x 2  x  x2 1 1  x  1 x 1 x 1 x 1 x  x  1  x 10 x    d) y   x  1  x 3 2x 1 33 2x 1 2x 1 2 x  x a x a2 e) y  a  x2   a  a  x2    a2  x 2 2 2 2 2 a x 2 x a x a x 1 a Bài a) y  3sin3 x  3x.3cos x.sin x  3sin x    sin x  cos2 x  x cos x sin x 3 2 2 b) y  ln  x  1  ln  x  3  ln  x    ln  x   2 2 3 y     x 1 x  x  x  1 c) y  sin  ln x  cos  ln x   ln x  y  cos2  ln x   sin2  ln x    cos2  ln x  x x x x 1   d) y  x e x x   e x x   e 2x 2x 1  e 2x  e 2x 2x 2x x 1 2 x x x x x   arccos    arccos e) y  arccos  x 2 2 2 x 4x 4x 4 x 1       x    9 x   f) y    x2  1   9 x         2 x  x  x  x 9  x      x2  1    9 x   36 x 9  x  9  x   9  x  2 2    x ; x  36 x    x 36 x  6 ; x    x   Bài a) y   ln  x b) y  e ln x x ln  tan x    x ln x ln  x  x  y   x ln x      x ln x   x ln  x    x  x ln x 2 x   x ln tan x  y   x ln  tan x   e     ln  tan x   x  tan x   tan x.cos x   x x     ln  tan x    tan x   sin x cos x   Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies ye c) d) y  e x ln  arcsin x  x ln  arctan x   y   x ln  arcsin x   e  y   x ln  arctan x   e x ln  arcsin x  x ln  arctan x    x x   ln  arcsin x     arcsin x   x arcsin x     x x   arctan x    ln  arctan x    x arctan x     Bài 10 2 x  2; x   y  2 ; 0 x2 2  x ; x   x   y   x   y  Tại x  : lim y  y 0 x 0 x 0 lim x 0 x 0 Tại x  : lim lim x 2 x 2  lim 22   y     y    2  y khơng có đạo hàm x  lim 2x    lim   f    x 2 x 2  lim 22  lim   y     y    y khơng có đạo hàm x  x 2  x 2 y  y 2 x 2  2x   lim  2   2  y    x 0 x x 0 y  y 2 x 2  lim x 0 y  y 0 x   y  2 x 2  2; x   Vậy y   ; 0 x2 2; x   Bài 11 x   f  x  hàm sơ cấp nên f  x  liên tục có đạo hàm x  1 f   x   x sin  cos x x x  : f    0;lim f  x   lim x sin x 0 lim f  x   f 0 x 0 x 0 x 0  lim x 0 1  lim x  sin  x  x x 0 1 x  lim x sin  lim x  sin  x  x  x x x x sin  f  0  1  2 x sin  cos ; x  Vậy f   x    x x  ; x 0  Bài 12 f 1  12  ; lim f  x   lim  2ax  b   2a  b ; x 1 x 1   lim f  x   lim x  x 1 x 1 f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f 1  2a  b  x 1 Hoàng Bá Mạnh x 1 Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies Xét lim f  x   f 1 x 1 x 1 lim  lim x 1 f  x   f 1 x 1 x 1 x2 1  lim  x  1   f 1  x  x 1  lim x 1 2a  x  1 2ax  b  2ax   2a   lim  lim  2a  f 1  2a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f  x  có đạo hàm x   f 1  f 1   2a  a   b  1 Vậy, a  1; b  1 f  x  liên tục có đạo hàm x  Bài 13   df  x   f   x  dx  12 x  12 x dx  df 1  24dx f 1  f 1  x   f 1  f 1  x   Δf(1) df(1) dx  x  =7 = f(2) – f(1) = 16 – = 73 dx  x  0,2 = 7.0,2 = 1,4 = f(1,2) – f(1) = 6,1328 dx  x  0,05 = 7.0,05 = 0,35 = f(1,05) – f(1) = 1,277 Nhận xét: x nhỏ f  x  gần với df  x  Bài 14 a) dy  ydx  6x2  6x dx x  3x 2 x    tan  1    b) y   2x 1 sin x  cos x  sin  x  0,5 tan 4  dy  c) y  ln x  3ln x  ln x   3ln x  ln x   ln x  dy  ln x dx     dx x  0,5   Bài 23 1 1 1 a) y   sin 3x  x cos3x  sin 3x  sin 3x  x cos3x  y  cos3x  cos3x  x sin3x  x sin3x 3 9 3 2x x 2x x 1 x2    arcsin x   x  x  arcsin x b) y  2 3 1 x 1 x 1 x  y   x  x2 1 x   c) y  ln x  x  a2   1 x x x  a2  1 x2  x2 1 1 x x  x  a2  1 x2   ln x  x  a2   y  x  a2 Bài 24 1 ln x y   ln x  x x x 11 ln x y   ln x     x x x x x a) y  b) y   x  3  y   x   y  2 ln x    ln x  3 x x x x x y  35  x  3 y  105  x  3 Bài 25 Hồng Bá Mạnh Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies a) y   x   x   1/ y  b) y   x  2  1/ 1/  x 2 x 2  1/  x  2 y   y    x  x  0,5 y   1/  x  2 3/  x  2   x  0,5  1/  x  2 3/ 2 y    x  2 y  2  x  2 y     x  0,5  x  2 6  x  0,5 Bài 26 y  k 3ekx y  k ekx a) y  kekx b) y    x  1 y   x  1 y   y    k n e kx n  x  1 y  n  1  n  1!  n  x  1 n Bài 27 1 y  cos  ln x   sin  ln x  x x y   1 1 cos  ln x   sin  ln x   sin  ln x   cos  ln x    cos  ln x  x x x x x x y  xy  y   2 cos  ln x    cos  ln x   sin  ln x    sin  ln x   cos  ln x   (dpcm) Bài 28 y   n arcsin x  cos  n arcsin x   nx y  1  x   y  xy  n y  1  x cos  n arcsin x   n 1 x2 cos  n arcsin x  n2 sin  n arcsin x   x2  nx  nx  cos  n arcsin x   n2 sin  n arcsin x    cos  n arcsin x   n sin  n arcsin x   2 1 x  1 x  Bài 29 y  e x  16e2 x y  e x  8e2 x y  e x  e x (tự thay nốt) Bài 30 y  x y  x 4 x 4   d2 y   x x 4  dx Bài 31 y   x2 y   2x 1  x  d y  6x2 1  x  y     x2    x.2.2 x  x 1  x    6x2 1  x  dx Bài 32 Hoàng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies f   x   5x  3x  x  f  1  f 1  f f   x   60 x   f  1  66 4 f   x   20 x  x   f  1  20  x   120 x  f  4 1  120 f  x    x  1  10  x  1  11  x  1   x  1   x  1 f 5  x   120  f 5 1  120 (khơng dư f(x) đa thức) Bài 33 f  x    f 0  1  x    f  x   1 x  x2  o x2  f  0   f   x   1  x   f     Phần dư Lagrange bị giảm tải nên dùng Peano thay Bài 34 f  x   f 1  f   x   f 5 10 27 x x  243 x  f  x   1 33 x2  f  1  880 14  f 5  f  1  10 27 1  f 4 x  f   x    80 81 x 11  f 4 x5 1    f  1   80 81 880 243 1 10 22 5  x  1   x  1   x  1   x  1   x  1  o  x  1  81 243 729 Bài 35 f 0  f   x   cos x.esin x  cos x f  x   f     f   x    sin x f  x   cos x f   x   f     f     f   x    cos x f  x   sin x f   x   sin x f   x   cos x f   x   f     1        f  x    x  x2  o x3 Bài 36 eax  e ax  L  aeax  ae ax  lim 2 x 0 ln 1  x  x 0 1 x a) lim  cos ax  cos ax  L a sin ax  L a2 cos ax a2  lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x sin x x2 2x 2 b) sin x ~ x  lim   2arctan x  1 c) x   ln    ~ nên lim x   1  x x ln     x ln x  L  sin x  lim x  lim 1 d) lim x 0 ln  sin x  x 0 cos x x 0 x cos x sin x Hoàng Bá Mạnh 2   2arctan x  lim  lim  x  lim 2 x  x  x  1  1 x x x Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU  L Trang: Love NeverDies  ln 1  x   L   x  lim sin  x  lim sin  1  x  sin  x  1 e) lim  lim x 1 x 1 x 1  1  x  x 1  cot  x  1  x   sin  x m  L m 1  L  m  m  1 x m 1 x mx m!  lim   Lopitan thêm m lần lim x m  f) lim x  lim x x x  a x  a ln a x  x  a ln a a ln a Bài 37    tan x 1 1 x  tan x tan x ~ x x  tan x  L      lim  lim  lim a) lim cot x    lim  x 0 x 0 x 0 x  x 0  tan x x  x 0 x tan x x2 2x    tan x tan x ~ x x2  lim  lim   x   x 0 x 0 x x 0 x     x sin x    L  2sin x  x cos x   x sin x lim  x tan x   lim    lim  lim  1   x  /2 x   /2 x   /2 x   /2 cos x  cos x 2sin x   cos x cos x   lim b)   x  L 1   tan u ~u    lim  c) lim tan x tan   x   lim tan x   x   lim x  / x  / 4  4  x  / cot x x  / 2  cot x  d) lim ln x ln 1  x   lim ln 1   x  1 ln 1  x  x 1 x 1   L  lim x 1  1 x 1  x  ln 1 u  ~ u   lim  x  1 ln 1  x   lim x 1 x 1 ln 1  x  1 x  lim 1  x   x 1 Bài 38 ln  e  x    L  1  lim e  x  a) lim  ln  e  x   1  lim x 0 x x 0 x  x e x x cos b) y  1  x   ln y  cos ln 1  x  x  lim ln  e  x   e e x 0 1 x x cos cot ln 1  x   L  1 x lim ln y  lim cos ln 1  x   lim  lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1  x x 1  x   sin x cos cos2  x 2 x x cos cot  L  nên lim ln y   lim  sin  x   lim Ta có lim   x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2  x Vậy, lim 1  x  x 1  tan x  x c) y     x  cos x  e0   tan x  ln  x   ln y    x Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies  tan x   tan x  x  tan x  x ln  ln     ln1 u ~u tan x  x x x   lim x lim ln y  lim    lim   lim 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x3  L  tan x  tan x  tan x   lim  lim  lim   2 x 0 x  x  3x 3x  x   tan x  x Vậy, lim   e3  x 0  x  1 x e x  x   L d) lim e  x   lim  lim e x   x 0 x x 0 x 0 x    e) y   x x  x  ln y  lim ln y  lim x     x  x x 0   e2    lim L x  x Vậy, lim x  x   lim e  x x x ln  x x  x   ln x  x  x ln   L  x ln 2  L  x ln3  lim  lim  lim ln  ln x  x ln  x  x ln 2 x  2x  x x  eln2  x 2  2  y   arctan x   ln y  x ln  arctan x      f) 2 ln    ln  arctan x   L   x arctan x  2  lim ln y  lim x ln  arctan x   lim    lim x  x  x  1   x   x x 1  lim  x      x  1 arctan x    x  2  Vậy, lim  arctan x   e  x     Bài 39 a) MXĐ:  0;  y  x  x y′ 1 0 x  x bảng dấu y  1/2   Từ bảng => y tăng khoảng (1/2; +∞) giảm (0;1/2) y   cos x  x  y   cos x  1  x    k 2 => tập rời b) MXĐ: rạc Do y tăng c) MXĐ: 3 2 y   x  1  x    x 2  x  1 x     x  1  x         x  1 x    x  1 x    x  x    3x  x  1     x  1 x   3x  5x  Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 10  x  x 1    y    x    x   3x  5x    x   13  Dấu y theo dấu  x  1  x  x  1  13  x y   13        13   13   Từ bảng => y tăng  ;   ; giảm ;1             13   13   ;    1;     e x x  e x  x  1 e y     x 1   x  d) MXĐ: \ 0 x2 x2 Dấu y theo dấu  x  1 x  x y ||   4 y  x x   x 3 x  x  y     x 1  x   x y 6 x  7   x  x    x  3 6 x  7  28 x  x  1 3 6 x  7 Dấu y theo dấu x  x  1   giảm  ;0   0;1 Từ bảng => y tăng 1;  ; e) MXĐ:  1   7/6  Từ bảng => y tăng  ;0  1;   || (7/6 nằm MXĐ) giảm (0;1) f) MXĐ:  1;   y   x y x  0 x 0 1 x 1 x Dấu y theo dấu x 1  x   -1   Từ bảng => y tăng (0; +∞), giảm (-1; 0) x   ln x  y  ln x  ln x  ln x  ln x       2  ln x   x  e g) MXĐ: (0; +∞) x y e-2 + Từ bảng => y tăng (0; e-2) (1; +∞); +∞  + giảm (e-2; 1) x  y  xe  x  x e  x  x   x  e  x    x  Dấu y′ theo dấu x(2 – x) h) MXĐ: Hồng Bá Mạnh Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 11 x -∞  y′ +∞ + Từ bảng => y tăng (0; 2);  giảm (-∞; 0) (2; +∞) Bài 40 x2 y   x  a) MXĐ: [-1;1] 1 x Dấu y′ theo dấu (1 – 2x2) x 1 / -1 y′ -   2x2 1 x   1 2x   x   1/ + - Từ bảng => y có cực tiểu xCT  1 / , cực đại xCD  / b) MXĐ: y  1  c) MXĐ: (Kết luận theo Định lý điều kiện đủ bậc 1, Giáo trình trọng điểm trang 357 Ngồi bạn vẽ bảng biến thiên cho rõ) 1 2x y     x   x  1 y  2 1 x  x2   1 y 1    x  cực tiểu y   x  1 cực đại y 2 3 x 3 x 3 x y  e  3xe  1  3x  e   x  / y  3   x  e 3 x y 1 / 3  3.e1   x  / cực đại y 2x 5x  3 0 x 2/5 3x  3x  Dấu y′ theo dấu (5x – 2)(3x – 2) x -∞ 2/5 2/3  y′ + || + y   3x    d) MXĐ: Từ bảng => hàm số có cực đại xcđ = 2/5 y  1 e) MXĐ:  cực tiểu xct = 2/3 -∞ y′ + y  f) MXĐ: -1  -∞ g) MXĐ: Hoàng Bá Mạnh    5x  Dấu y′ theo dấu (2x2 – 2) +∞ 5x Tự kết luận nốt :v +      2  x   x  x  15 x   5x  5x  12  x   5x  Dấu y′ theo dấu (12 – 5x) +∞ 12/5  Từ bảng => hàm số có cực đại xcđ = 12/5 y′   x  1  x  y   12  5x   x  12 / x  x  x   x  x  1 2x 2x2    y    x2  x 1 x2  x  x2  x 1 y   x    x   x  1 x +∞  x  x      y  x arctan x   x   x  arctan x          4 arctan x  x  tan     Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 12 y  arctan x   x  x2   y        x  cực đại hàm số   x  cực tiểu hàm số 1 1 1 x2  y  x arcsin x   x    1 x2   x 2   x2 4  x2 y 1  h) MXĐ:     2   2x 1   x  x     x  arcsin x     x  arcsin x   6 6    x2 x  x   y    arcsin x    x  sin     y  arcsin x    x  x2  y        x  cực đại hàm số 1 y      x  cực tiểu hàm số 2 Bài 41 f   x    3x   x   x  1 a) f(-1) = -2 f(1) = Vậy, Max f  x   f 1  f  2   f(-2) = x 2;3 x 2;3 x2 1    x2   x  x x Max f  x   f 100   f  0,01  100,01 b) f   x    Vậy, f(3) = Min f  x   f  1  2 x0,01;100 f  1  f  0,01  f 100   100,01 Min f  x   f 1  x0,01;100 c) y  x ln x  x  x  ln x  1   ln x    x  e 1   f e 1  e 2 f  e   e2 f 1    Min y  x   y e1  e2 Vậy, Max y  y  e   e2 x1;e x1; e d) Bài 40-a tính điểm tới hạn x     => f    2   f  2 2    Vậy, Max y  y   x 1; 1  2 2 f  1  f 1    Min y  y     x 1;1 2    x   1 x  1 x        0 x e) y  2 2  x2  x   1  x   1 x   1 x   1   1 1 x  1 x     Max y  y    arctan 1  x0; 1  Min y  y 1  arctan  x0,1 Bài 42 Xét x0 cực đại f(x), tức tồn   cho  x   x0   ; x0    f  x   f  x0  Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 13 Nếu x0 cực đại  x   a, b  ta ln có f  x   f  x0  hay max f  x   f  x0  x a ;b  Tình tương tự x0 cực tiểu f(x) Vậy, x0 cực trị f(x) khoảng (a, b) cực trị toàn cục Bài 43 Nếu f″(x) >  x   a, b  f   x  đơn điệu tăng (a,b) => f   a   f   x   f   b  - Nếu f   a  f   b    f   x   f   x    x   a, b   f  x  khơng có điểm dừng - Nếu f   a  f   b    tồn điểm x0   a, b  cho f   x0   =>f(x) có tối đa điểm dừng f″(x) > 0, theo 42 cực trị tồn cục f(x) Tình huồng tương tự f″(x) < (a,b), lúc f′(x) đơn điệu giảm (a,b) Bài 44 y  x    y  x   9  0   1  x   x   x  / 2 x 1  x  x 1  x  18    x   0,1 x 1  x 3 Như vậy, theo kết luận 43, x = 2/5 cực tiểu y (0;1) đó, y đạt GTNN Bài 45 1 x y   x   3  x  2  4x  3  x  2 0 x  Bài khơng y″ biểu thức cồng kềnh y″ không dương âm Dấu y′ theo dấu (7 – 4x) x -∞ 7/4 y′ + +∞  Khơng tin, em thử :”))  || Từ bảng => x = 7/4 cực đại y nên đây, y đạt GTLN Bài 46 (Chưa thi, chưa kiểm tra nên mạnh dạn bỏ qua) Bài 47 MPPL  Q  L   L  MPPL  L     1,25 Ý nghĩa: L = 8, xài thêm đơn vị lao động sản lượng đầu tăng xấp xỉ 1,25 đơn vị Tương tự với L = 1000 Bài 48 TC 3Q2  7Q  12 12   3Q   Q Q Q 10 ATC  2Q2  3Q   Q a) MC  TC  Q   6Q  ATC  b) MC  TC  6Q2  6Q  Bài 49 MR  TR  Q   200  6Q TR  P  Q  P  Q   Hoàng Bá Mạnh TR  200  3Q Q  hàm cầu Q  200  P 3 Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 14 Bài 50 Q  500  0,2 p  p  2500  5Q  TR  pQ   2500  5Q  Q  2500Q  5Q2 MR  TR  Q   2500  10Q  MR  90   1600 Ý nghĩa: Q = 90, sản xuất thêm đơn vị sản lượng doanh thu tăng xấp xỉ 1600 đơn vị Bài 51 a)  d  dQ p p  p2   p  dp Q 3200  0,5 p2 3200  0,5 p2 P < 80 hiển nhiên Q > Khơng cần quan tâm 20  3200  0,5.20 15 Ý nghĩa: p = 20, giá tăng (%) lượng cầu giảm xấp xỉ 2/15 (%) Tương tự cho p = 50 b) p  20   d   Bài 52 Q  a  bp   p  a b  d  Q  p  p p  pb  b  Q a  bp a  bp  d  1  bp a  1  bp  a  bp  2bp  a  p  a  bp 2b (1) Tìm đường cầu: p  Bài 53 Hướng dẫn: Tương tự cho trường hợp ε < -1 -1 < ε < TR  500  4Q  Q  125  0,25 p Q (2) Tính co giãn → thay p = 300 giải thích ý nghĩa 51-b Bài 54  s  Qs  p  p b  Qs a  bp Bài 55 Q  30     Q   Q2  28Q  60    Q  2  lo¹i   Q  30 ;    2Q  28     30   32  Vậy, Q = 30 cực đại π(Q) nên mức sản lượng tối đa lợi nhuận Bài 56 a)   TR  TC  2Q3  30Q2  3600Q  5000    6Q2  60Q  3600    Q  20 ;    12Q  60  Vậy, Q = 20 cực đại π nên mức sản lượng cần tìm b) Tương tự, em triển nhé, Q = 40 Bài 57   TR  TC    MR  MC    5900  20Q    6Q2  8Q  140    6Q2  12Q  5760    Q  30    MR  MC  12Q  12   Q  Vậy, Q = 30 cực đại π nên mức sản lượng cần tìm Bài 58 (Đây dạng điển hình mà em gặp đề kiểm tra, đề thi) Hồng Bá Mạnh Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies 15 p  1400  7,5Q  Q  560  p 15 p p p   Q 15 560  p 1400  p 15 b TR  pQ  1400  7,5Q  Q  1400Q  7,5Q2 a  d  Q  p   MR  1400  15Q   TR  TC    MR  MC   1400  15Q    3Q2  12Q  140    3Q2  3Q  1260    Q  20    6Q   Q  Vậy, Q = 20 cực đại π, nên mức sản lượng cần tìm Bài 59 TR  pQ  20.12 L2  240 L2      TR  TC  240 L2  40 L  C0 TC  40 L  C0 160  40   L   L  64 L     160 3 L4  L  Vậy, L = 64 cực đại π, nên mức sử dụng lao động cần tìm Bài 60  Q  D  p   750  p  p  750  Q  TR   750  Q  Q  750Q  Q2  750.6 L  L TC  14 L  C0     4500 L  36 L    TR  TC  4500 L  50 L  C0 2250  50   L  45  L  2025 L     1125 L3  L  Vậy, L = 2025 cực đại π, nên mức sử dụng lao động cần tìm Hồng Bá Mạnh Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Trang: Love NeverDies ... x   Δf(1) df(1) dx  x  =7 = f(2) – f(1) = 16 – = 73 dx  x  0,2 = 7. 0,2 = 1,4 = f(1,2) – f(1) = 6,1328 dx  x  0,05 = 7. 0,05 = 0,35 = f(1,05) – f(1) = 1, 277 Nhận xét: x nhỏ f  x ... 11 x -  y′ +∞ + Từ bảng => y tăng (0; 2);  giảm (- ; 0) (2; +∞) Bài 40 x2 y   x  a) MXĐ: [-1 ;1] 1 x Dấu y′ theo dấu (1 – 2x2) x 1 / -1 y′ -   2x2 1 x   1 2x   x   1/ + - Từ... Dấu y′ theo dấu (7 – 4x) x - 7/ 4 y′ + +∞  Khơng tin, em thử :”))  || Từ bảng => x = 7/ 4 cực đại y nên đây, y đạt GTLN Bài 46 (Chưa thi, chưa kiểm tra nên mạnh dạn bỏ qua) Bài 47 MPPL  Q  L