GIAO TRINH 4 đạo HÀM VÀ VI PHÂN p4

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) lân cận (x0, y0), lân cận ta có: n k d f ( x0 , y ) f ( x , y ) = f ( x0 , y ) + ∑ + Rn k! k =1 Cụ thể: n k 1 ∂ ∂  f ( x , y ) = f ( x , y ) + ∑  ∆ x + ∆ y ÷ f ( x , y ) + Rn ∂y  k = k ! ∂ x n +1 Rn = d ( x0 + ∆ x , y + ∆ y ) Phần dư Lagrange (n + 1)! Có thể thay Rn o( ρn) (Peano) (là VCB bậc cao ρn ρ→ 0), 2 n ρ = ∆x + ∆y , o ( ρ ) Khai triển lân cận (0, 0) gọi kt Maclaurin Thông thường sử dụng pd Peano Sử dụng khai triển Maclaurin hàm biến kt Taylor hàm nhiều biến Viết kt lân cận (x0, y0) viết kt theo lũy thừa ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy fx′ = yx y −1, fy′ = x y ln x ⇒ df (1,1) = ∆x + 0.∆y ′′ = y ( y − 1) x fxx y y −2 , y −1 y −1 ′′ fxy = x + yx ln x , ′′ = x ln x fyy 2 ⇒ d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x ∆y + 0.∆y df (1,1) = ∆x + 0.∆y 2 d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x ∆y + 0.∆y 2 df (1,1) d f (1,1) z = f ( x , y ) = f (1,1) + + + o( ρ ) 1! 2! ∆x 2∆x ∆y z = 1+ + + o( ρ ) 1! 2! = + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o ( ρ ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp cho z = f (x, y ) = + x + y − xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 2 z= = − u + u + o (u ) 1+ u 2 = − ( x + y − xy ) + ( x + y − xy ) + o (u ) = − x − y + x + 3xy + y + o ( ρ ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (0,1) cho z = f (x, y ) = e x + xy Đặt X = x, Y = y – 1, z=e X + X + XY = + X + X + XY 2 ( X + X + XY ) ( X + X + XY ) + + + o( ρ ) z = + X + X + XY 2 ( X + X + XY ) ( X + X + XY ) + + + o( ρ ) 3 = + X + X + XY + X + X Y + o ( ρ ) 3 z = + x + x + x ( y − 1) + x + x ( y − 1) + o ( ρ ) Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (1,2) cho z = f ( x , y ) = x sin( y − 2) Suy f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành  Y  + o (Y ) ÷ z = ( X + 1)sin Y = ( X + 1) Y −   Y = Y + XY − + o( ρ ) ( y − 2) = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o( ρ ) ( y − 2) f ( x , y ) = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o( ρ ) d f (1,2) = ( x − 1)( y − 2) = ∆x ∆y = dxdy 2! ⇔ ′′ (1,2)∆x + 2fxy ′′ (1,2) ∆x ∆y + fyy ′′ (1,2)∆y fxx ⇒ f”xy(1, 2) = = ∆x ∆y ... thường sử dụng pd Peano Sử dụng khai triển Maclaurin hàm biến kt Taylor hàm nhiều biến Vi t kt lân cận (x0, y0) vi t kt theo lũy thừa ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp...KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) lân cận (x0, y0), lân cận ta có: n k d f ( x0 , y ) f ( x , y ) = f ( x0 , y )... ρ ) 1! 2! ∆x 2∆x ∆y z = 1+ + + o( ρ ) 1! 2! = + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o ( ρ ) Ví dụ 2/ Vi t kt Maclaurin đến cấp cho z = f (x, y ) = + x + y − xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2