Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm pot

Lecture 4 Lecture 4 Nguyen Van Thuy À Â Đ Ạ O H À M, VI PH Â N Ứng dụng của đạo hàm R e vi e w ee  Đ ị nh nghĩ a . Đ ạ o hà m củ a hà m s ố f tạ i a , ký hi ệ u Đ ị nh nghĩ a . Đ ạ o hà m củ a hà m s ố f tạ i a , ký hi ệ u f’(a), được xác định bởi 0 ()() '( ) lim h f ah fa fa h → + − = nếu giới hạn đó tồn tại 0 h h →  Phươn g trình ti ế ptuy ế n của đườn g con g (C): y =f ( x ) t ạ i đ i ể mP (a, f (a)) y ( ) ạ đ (a, (a)) y = f’(a)(x-a) + f(a) 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-2 R e vi e w ee  Cá ccôngth ứ c đ ạ o hà mcơ bả n Cá c công th ứ c đ ạ o hà m cơ bả n 1 ' () '', () '', ( ln ) ' uu u uuueeuu αα α − === () () ( ) (sin )' 'cos , (cos )' 'sin u uu u u uu==− 22 (tan )' '(1 tan ),(cot )' '(1 cot ) '' uu u u u u uu =+ =−+ 22 (arcsin )' ,(arccos )' 11 uu uu uu = =− −− 22 '' (arctan )' ,(arccot )' 11 uu uu uu ==− ++ 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-3 11 uu ++ R e vi e w ee  () ( 1) '' ( ' ) ' , ''' ( '' ) ' , ,() ' nn yyyy y y − = ==  Công thức (), (),, ( ) yyyy y y () 1 1(1)! () n n n n xa xa + − ⎛⎞ = ⎜⎟ ++ ⎝⎠ () () ax n n ax eae= () (sin ) sin 2 nn ax a ax n π ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ () (cos ) cos 2 nn ax a ax n π ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 ⎝⎠ 2 ⎜⎟ ⎝⎠ Công thức Leibniz () () ( ) (0) 0 ! () , , ! () ! n nkknk k nn k n fg C f g f f C knk − = === − ∑ 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-4 0 () k = Ư ́ n g dụ n g kh ả o sá t h à m s ố Ư g dụ g ả o sá t à s ố  Tì mti ệ mc ậ n Tì m ti ệ m c ậ n  Tìm khoảng tăng, giảm  T ìm c ự c trị  Tí nh l ồ i lõ m đi ể mu ố n  Tí nh l ồ i lõ m , đi ể m u ố n  Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-5 Quy t ắ c L’H osp i ta l Quy t ắ cospta  Đ ị nh lý . N ế u có dạ ng khi x → a và t ồ n tạ i ()fx 0 , ∞ Đ ị nh lý . N ế u có dạ ng khi x → a và t ồ n tạ i ()gx , 0 ∞ ' () fx () ' () fx f x thì () lim '( ) xa fx gx → () () lim lim () '() xa xa fx f x g x g x →→ =  Chú ý. Quá trình x→a có thể thay bởix→a + ,x→a - , x→∞,x→- ∞  Ví dụ  Ví dụ . 32 0000 sin 0 1 cos 0 sin 0 cos 1 lim lim lim lim 0306066 xxxx xx x x x xxx →→→→ −− ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ = === ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-6 0000 0306066 xxxx xxx →→→→ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ Quy t ắ c L’H osp i ta l Quy t ắ cospta  Ví dụ . Ví dụ . 3 0 arctan 0 )lim 0 x xx aL x → − ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 ln )lim x x bL x →∞ ∞ ⎛⎞ = ⎜⎟ ∞ ⎝⎠ 0 x ⎝⎠ x ⎝⎠ ( ) 1 )lim x cL ⎛⎞ = − ∞ − ∞ ⎜⎟ )lim(.0) x dL xe = ∞ ( ) 1 )lim 1ln x cL xx → =∞∞ ⎜⎟ − ⎝⎠ )lim(.0) x dL xe →−∞ 0 )li (0) x f 1/(2 2) 1 )lim (1) x x eL x − ∞ → = 0 0 )li m (0 ) x x f Lx + → = 1/ 0 )lim( )() xx x gL x e →∞ = +∞ 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-7 Đ a t h ứ c T ay l or at ứ cayo  Bà i toá n Tì m đath ứ cP ( x ) b ậ c ≤nsaocho  Bà i toá n . Tì m đa th ứ c P ( x ) b ậ c ≤n sao cho f’(0)=P’(0) f’’(0)=P’’(0) … f (n) (0)=P (n) (0)  Kết quả () 2 '(0) ''(0) (0) () (0) n n ff f Px f x x x =+ + ++ () () (0) 1! 2! ! ( 0 ) k n k Px f x x x n f =+ + ++ ∑ " 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-8 0 () ! k k f x k = = ∑ Đ a t h ứ c T ay l or at ứ cayo  Bà i toá n. Tì m đath ứ cP ( x ) b ậ c ≤nsaocho  Bà i toá n. Tì m đa th ứ c P ( x ) b ậ c ≤n sao cho f’(a)=P’(a) f’’( ) P’’( ) f’’( a ) = P’’( a ) … f (n) (a)=P (n) (a)  K ế t quả  K ế t quả () 2 '( ) ''( ) ( ) ()() () () () n n fa fa f a Px fa xa xa xa =+ + ++ () ()() () () () 1! 2! ! () () k n k Px fa xa xa xa n f a =+ − + − ++ − ∑ " 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-9 0 () () ! k k f x a k = = − ∑ Đ a t h ứ c T ay l or at ứ cayo  Ví dụ Vi ế t đath ứ csaud ướ i dạ ng đath ứ c  Ví dụ . Vi ế t đa th ứ c sau d ướ i dạ ng đa th ứ c theo x-1 432 () 37 f xx xx = −++  Ví dụ Tì m đath ứ cTaylorc ấ p 3 củ a hà m () f  Ví dụ . Tì m đa th ứ c Taylor c ấ p 3 củ a hà m sau tại x=1 ( ) arctan f xx = 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-10 [...]... 1 + + + + + + O( x n ) 1! 2! 3! n! x3 x5 x 7 x 2 n −1 arctan x = x − + − + + (−1) n +1 + O( x n ) 3 5 7 2n − 1 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-13 Áp dụng khai t ể cơ bản p dụ g a triển bả Ví dụ Vi t khai triển Maclaurin của hàm số sau đến cấp 3 sin x f ( x) = 1− x f ( x) = e arctan x x 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-14 . Lecture 4 Lecture 4 Nguyen Van Thuy À Â Đ Ạ O H À M, VI PH Â N Ứng dụng của đạo hàm R e vi e w ee  Đ ị nh nghĩ a . Đ ạ o hà m củ a hà m s ố f tạ i a , ký hi ệ u Đ ị nh . 3-9 0 () () ! k k f x a k = = − ∑ Đ a t h ứ c T ay l or at ứ cayo  Ví dụ Vi ế t đath ứ csaud ướ i dạ ng đath ứ c  Ví dụ . Vi ế t đa th ứ c sau d ướ i dạ ng đa th ứ c theo x-1 432 () 37 f xx. ) 21 nn x Ox n + + −+ − " Á p dụ n g kh a i t ri ể n cơ bả n p dụ gat ể cơ bả  Ví dụ . Vi ế tkhaitri ể n Maclaurin củ a hà ms ố sau Ví dụ . Vi ế t khai tri ể n Maclaurin củ a hà m s ố sau đến