Luận văn:Bài toán đếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng docx

1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG TRƯƠNG NH T LÝ BÀI TOÁN Đ M NÂNG CAO TRONG T H P VÀ NG D NG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng – Năm 2011 Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH TR N QU C CHI N Ph n bi n 1: Ph n bi n 2: Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p Th c sĩ Khoa h c, h p t i Đ i h c Đà N ng vào 22 ngày tháng 10 năm 2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng M Đ U LÝ DO CH N Đ TÀI T h p có v trí đ c bi t tốn h c khơng ch nh ng ñ i tư ng ñ nghiên c u mà cịn đóng vai trị m t cơng c đ c l c c a mơ hình r i r c c a gi i tích, đ i s , Các toán t h p ngày chi m m t v trí quan tr ng kỳ thi olympic, vơ đ ch tốn Tốn t h p m t d ng tốn khó, địi h i tư lơgic, tư thu t tốn cao, tính hình tư ng t t, phù h p v i m c đích n ch n h c sinh có kh u toán h c Hơn n a, n i dung toán ki u ngày g n v i th c t cu c s ng chúng ta, u hồn tồn phù h p v i xu hư ng c a toán h c hi n đ i Chính nh ng lý trên, chúng tơi nghiên c u ch n đ tài “Bài tốn đ m nâng cao t h p ng d ng” nh m h th ng phương pháp gi i ñ ng th i nâng cao n a nh n th c ng d ng c a h c t p, nghiên c u công tác sau M C ĐÍCH NGHIÊN C U Nghiên c u lý thuy t v lý thuy t t h p t ñó nh m h th ng phương pháp gi i tốn đ m ng d ng c a vào nghiên c u, h c t p th c ti n Đ tài ñư c làm tài li u tham kh o cho h c sinh, sinh viên ñ i h c cao ñ ng, h c viên cao h c, thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p NHI M V NGHIÊN C U Nhi m v c a ñ tài nghiên c u v c u hình t h p t b n đ n nâng cao, nguyên lý bù tr , lý thuy t v hàm sinh, công th c truy h i T đưa đư c h th ng phương pháp ng d ng n hình c a tốn đ m nâng cao t h p Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U • Lý thuy t v c u hình t h p b n m r ng ki n th c liên quan đ n tốn đ m • Phương pháp gi i tốn đ m tốn áp d ng • ng d ng c a tốn ñ m t h p PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U S d ng phương pháp nghiên c u tài li u liên quan ñ n lu n văn ñ thu th p thơng tin, t phân tích, h th ng phân lo i phương pháp gi i m t s ng d ng ñi n hình liên quan đ n tốn đ m t h p Ý NGHĨA KHOA H C VÀ TH C TI N C A Đ TÀI Đ tài h th ng ki n th c v ngun lý đ m, c u hình t h p, lý thuy t hàm sinh, h th c truy h i ki n th c liên quan đ n tốn đ m t h p T hình thành phương pháp t b n ñ n nâng cao m t s ng d ng liên quan đ n tốn đ m Qua b sung thêm cho em h c sinh, sinh viên v phương pháp gi i tốn đ m t h p t b n đ n khó r t khó, đ c bi t trư c kì thi h c sinh gi i t c p t nh, c p qu c gia ñ n thi Olympic qu c t kỳ thi khác Đ tài cịn có th làm ngu n tham kh o cho nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p mà c th phương pháp gi i ng d ng c a tốn đ m t h p C U TRÚC C A LU N VĂN Lu n văn ñư c c u trúc b i chương: Chương 1: T ng quan v t h p Chương 2: M t s phương pháp ñ m nâng cao Chương 3: M t s ng d ng Chương T NG QUAN V T H P 1.1 SƠ LƯ C V L CH S T H P Có th nói tư t h p ñ i r t s m Vào th i nhà Chu Trung Qu c ngư i ta ñã bi t đ n nh ng hình vng th n bí Th i c Hi l p, th k th trư c Cơng ngun, nhà tri t h c Kxenokrat bi t cách tính s t khác l p t b ng ch cho trư c Tuy nhiên có th nói r ng, lý thuy t t h p đư c hình thành m t ngành toán h c m i vào th k 17 b ng m t lo t cơng trình nghiên c u c a nhà toán h c xu t s c Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz … Các toán t h p có đ c trưng bùng n t h p v i s c u hình t h p kh ng l Vì v y th i gian dài, mà ngành toán h c Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân… phát tri n vũ bão, dư ng n m ngồi s phát tri n ng d ng c a toán h c Tình th thay đ i t xu t hi n máy tính s phát tri n c a toán h c h u h n Nhi u v n ñ t h p ñã ñư c gi i quy t máy tính phát tri n r t m nh m 1.2 CÁC D NG BÀI TỐN T H P D ng 1: Bài tốn t n t i D ng 2: Bài tốn đ m D ng 3: Bài toán li t kê D ng 4: Bài toán t i ưu t h p 1.3 CÁC C U HÌNH T H P CƠ B N VÀ M R NG 1.3.1 Hai nguyên lý ñ m b n 1.3.1.1 Nguyên lý c ng 1.3.1.2 Nguyên lý nhân 1.3.2 Các c u hình t h p 1.3.2.1 Hốn v khơng l p 1.3.2.2 Hốn v l p 1.3.2.3 Ch nh h p không l p 1.3.2.4 Ch nh h p l p Đ nh nghĩa 1.4: Ch nh h p l p ch p k c a n ph n t khác m t b có th t g m k thành ph n l y t n ph n t ñã cho, ph n t có th đư c l p l i Đ nh lí 1.2: S lư ng ch nh h p l p ch p k c a n ph n t đư c kí hi u xác đ nh b i cơng th c sau: A k = AR(n, k) = nk n 1.3.2.5 T h p không l p 1.3.2.6 T h p l p Đ nh nghĩa 1.6: T h p l p ch p k c a n ph n t khác m t nhóm khơng phân bi t th t g m k ph n t trích t n ph n t cho, ph n t có th đ c l p l i Đ nh lý 1.3: Gi s X có n ph n t khác Khi s t h p l p ch p k c a n ph n t c a X, ñư c ký hi u xác ñ nh b i công th c sau: CR(n, k) = C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k) Ví d 1.56 B t phương trình x1 + x2 + x3 ≤ 11 (1) có m y nghi m ngun khơng âm ? L i gi i: S nghi m c a b t phương trình (1) b ng s nghi m nguyên c a phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 11 v i x i ≥ 0, i = 1, 2, 3, M i nghi m c a phương trình ng v i m t cách ch n 11 ph n t t m t t p có lo i, cho có x1 ph n t lo i 1, x2 ph n t lo i 2, x3 ph n t lo i 3, x4 ph n t lo i ñư c ch n Vì v y s nghi m b ng s t h p l p ch p 11 t t p có ph n t Theo đ nh lý 1.3 s b ng: C(4 + 11 - 1, 11) = C(14, 11) = 364 1.3.3 Phân ho ch th t t h p phân ho ch không th t 1.3.3.1 Phân ho ch th t t h p Đ nh nghĩa 1.7: Cho X t p g m n ph n t khác nhau, r ≤ n S ⊂ X có r ph n t M t phân ho ch {S1, S2 , , Sk } có th t c a S g i m t phân ho ch th t t h p ch p r c a X N u r = n g i phân ho ch th t c a X Cho s nguyên dương n1, n , , n k th a n1 + n + + n k = r S phân ho ch th t t h p ch p r c a X d ng {S1, S2 , , Sk } có S1 = n1, S2 = n , , Sk = n k , ñư c kí hi u C(n; n1,n , ,n k ) M t c u hình t h p ki u ñư c xây d ng qua bư c sau: Bư c 1: Ch n n1 ph n t t X cho S1 , có C( n, n1 ) kh Bư c 2: Ch n n ph n t t X\S1 cho S2 , có C( n − n1,n ) kh … Bư c k: Ch n n k ph n t t X\ (S1 ∪ S2 ∪ ∪ Sk −1 ) cho Sk , có C( n − n1 − n − − n k −1, n k ) kh Theo nguyên lý nhân suy ra: C(n; n1,n , ,n k ) = C( n,n1 ).C( n − n1,n ) …C( n − n1 − n − − n k −1, n k ) n! = = P(n; n1 , n , , n k ,n − r) n1 !n ! n k !(n − r)! V y ta có ñ nh lí sau: Đ nh lý 1.4: S lư ng phân ho ch th t t h p ch p r c a X có n ph n t b ng n! C(n;n1,n , , n k ) = = P(n;n1 , n , n k ,n − r); C(n;n1,n , , n k ) n1 !n ! n k !(n − r)! ñư c g i h s đa th c Ví d 1.57 17 sinh viên ñi d h i b ng xe khác theo th t có s ch ng i tương ng 4, 3, 3, 4, Hãy xác ñ nh s cách ch 17 sinh viên b ng xe, có sinh viên ph i ñi b ng phương ti n khác L i gi i: M i cách ch m t phân ho ch th t t h p ch p 15 c a 17 v i s ph n t m i t p tương ng 4, 3, 3, 4, Vì v y s cách ch là: C(17;4,3,3, 4,1) = 17! 4!3!3!4!1! = 8576568000 1.3.3.2 Phân ho ch không th t Đ nh nghĩa 1.8: Cho X t p g m n ph n t khác nhau, s nguyên dương n1,n , , n k p1, p , , p k th a n1p1 + n p + + n k p k = n M t h th ng t p c a X v i p1 t p l c lư ng n1 , p t p l c lư ng n , …, p k t p l c lư ng n k g i phân ho ch không th t c a X Đ nh lý 1.5: S phân ho ch không th t c a X v i p1 t p l c lư ng n1 , p t p l c lư ng n , …, p k t p l c lư ng n k là: C(n; n1, , n1, n , , n , , n k , , n k ) n! = p1 !p ! p k ! p1 !(n1 !) p1 p !(n !)p2 p k !(n k !) pk Trong t s C(n; n1, , n1, n , , n , , n k , , n k ) s n1 l p l i p1 l n, n l p l i p l n, …, n k l p l i p k l n Ví d 1.60 Phân ph i n qu c u phân bi t vào m h p phân bi t cho: H p ch a n1 v t, h p ch a n v t, …, h p m ch a n m v t: n1 + n + + n m = n H i có cách phân ph i khác nhau, không k th t c u m i h p L i gi i: Có th phân ph i b ng m bư c sau: Bư c 1: Ch n n1 ph n t t n c u cho h p 1, có C( n,n1 ) cách Bư c 2: Ch n n ph n t t n - n1 cho h p 2, có C( n − n1,n ) cách … Bư c m: Ch n n m ph n t t n − n1 − n − − n m−1 cho h p m, có C( n − n1 − n − − n m−1, n m ) kh Theo nguyên lý nhân suy s cách phân ph i là: C( n,n1 ) C( n − n1,n ) C( n − n1 − n − − n m−1, n m ) = n! n1 !n ! n m ! Chương PHƯƠNG PHÁP Đ M NÂNG CAO M TS 2.1 NGUYÊN LÝ BÙ TR V i n t p h u h n A1, A2, , An ta có đ nh lý t ng quát sau: Đ nh lý 2.1: V i n t p h p A1, , An b t kỳ ta có cơng th c |A1∪ ∪ An| = n ∑ Ai i=1 - ∑ 1≤i< j≤n | A i ∩ A j | + + (-1)n-1|A1∩A2∩ ∩An| (1) Hay ta có th phát bi u cách khác sau: | A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = N1 − N2 + N3 − + (−1)n-1Nn Nm (1 ≤ m ≤ n) t ng ph n t c a t t c giao m t p l y t n t p ñã cho, nghĩa là: Nm = ∑ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | 1≤i1 0, ta có {Cn +k −1, n = 0, 1, 2, } ↔ F(x) = n (1 − x) k k   k Th y v y, ta có =  = ( + x + x + x + ) k (1 − x) 1− x  N u ta khai tri n bi u th c b ng cách th c hi n nhân phá ngo c, s l n xu t hi n s h ng xn s b ng s nghi m nguyên không âm c a phương trình: x1 + x2 + + xk = n Ta ñã bi t s nghi m c a phương trình b ng: Cn +k −1 Như n n v y h s c a x b ng s cách ch n n v t t t p có k lo i đ v t Nh n xét 2.7: Ví d áp d ng qui t c xo n g i ý cho ta phương pháp gi i nhi u tốn đ m Ch ng h n v i hàm sinh: F(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)(1 + x + x2)(1 + x + x2 + x3 ) Gi s x x1 , x x , x x3 tương ng s h ng l y t th a s th nh t, th hai ba c a v ph i, suy ≤ x1 ≤ 5, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ Khi khai tri n v ph i th a s s cho ta s h ng xn, v i n = x1 + x2 + x3 Như th h s c a xn F(x) s s nghi m nguyên không âm c a phương trình x1 + x2 + x3 = n th a mãn: ≤ x1 ≤ 5, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ Như v y h s cho ta s cách ch n n v t t t p có lo i v t, g m v t lo i 1, v t lo i v t lo i 17 Ví d 2.41 Bây gi ta xét m t tốn đ m r t khó ch u Có nhiêu cách s p m t gi n trái tho mãn u ki n ràng bu c sau: • S táo ph i ch n • Ch có th có nhi u nh t qu cam • S chu i ph i chia h t cho • Ch có th có nhi u nh t qu ñào Ch ng h n, ta có cách s p gi trái có trái: Táo 4 2 0 Chu i 0 0 5 Cam Đào 0 1 L i gi i: Các ñi u ki n ràng bu c ph c t p có c m giác vi c tìm l i gi i vô v ng Nhưng ta xem hàm sinh s x lý toán th Trư c h t, ta tìm hàm sinh cho s cách ch n táo Có cách ch n qu táo, có cách ch n qu táo (vì s táo ph i ch n), có cách ch n qu táo, có cách ch n qu táo … Như th ta có hàm sinh cho s cách ch n táo A(x) = + x2 + x4 + … = − x2 Tương t , hàm sinh cho s cách ch n chu i B(x) = + x5 + x10 + … = − x5 Bây gi , ta có th ch n qu cam b ng cách, qu cam b ng cách, … Nhưng ta − x5 không th ch n qu cam, th ta có C(x) = + x + x + x + x = 1− x − x2 Và tương t , hàm sinh cho s cách ch n ñào D(x) = + x = 1− x Theo quy t c xo n, hàm sinh cho cách ch n t c lo i trái b ng 1 − x5 − x A(x).B(x).C(x).D(x) = = = + 2x + 3x + 4x + − x − x − x − x (1 − x) G n t t c ñư c gi n c v i nhau! Ch l i mà ta tìm đư c chu i (1 − x)2 lu th a t trư c Như th s cách s p gi trái g m n trái ñơn gi n b ng n + Đi u phù h p v i k t qu mà ta tìm trư c đó, có cách s p cho gi trái Th t thú v ! Ví d 2.42 Tìm hàm sinh cho s nghi m nguyên dương l c a phương trình x1 + x2 + x3 + + xk = n L i gi i: Hàm sinh c n tìm là: ( ) k k xk  x + x + x + x +  =  x  = f(x) = (x + x + x + x + ) =  2   (1 − x )k 1− x  k 18 Chương M TS NG D NG 3.1 M T S NG D NG C A H TH C TRUY H I 3.1.1 ng d ng tốn tìm s h ng t ng quát c a h th c truy h i vào gi i m t s toán v dãy s t h p Bài toán 3.2 (Olympic tốn sinh viên tồn qu c – 2004) b Cho dãy s (bn) xác ñ nh b i h th c sau: b0 = 0, bn = n −1 + (−1)n , n ≥ 2004 Tính lim b n n →+∞ L i gi i: Phương trình đ c trưng r - 1 =0 ⇔ r= 2004 2004 n   Nghi m t ng quát c a h th c truy h i thu n nh t tương ng b n = C 1.   2004  f(n) = (-1)n nên ch n b* = C2.(-1)n Thay vào h th c truy h i ñ ta ñư c: n 2004 2004 C2 = ⇒ b* = (-1)n n 2005 2005 n ⇒ Công th c t ng quát c a dãy s 2004 2005 V y công th c t ng quát c a dãy s Đ cho b0 = ⇒ = C + 2004 n   c n tìm bn = C1. ( −1)  + 2005  2004  2004 ⇒ C1 = − 2005 c n tìm là: 2004   2004 ( −2004 ) − n bn = −  + ( −1) = −  n −1 2005  2004  2005 2005.( 2004 ) n n 2  ( −1) n 2004n −   ( −1)n (2004)n − 1 =  2004 2  =  lim   Suy lim b n = lim   n −1 n →+∞  2005 2004 n −1  n →+∞  n →+∞ 2005.( 2004 )   2005  ( )     Bài toán 3.7 (IMO 1967) Trong m t cu c thi đ u th thao có m huy chương, ñư c phát n ngày thi ñ u Ngày th nh t, ngư i ta phát m t huy chương s huy chương l i Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương huy chương l i Nh ng ngày cịn l i đư c ti p t c tương t v y Ngày sau l i n huy chương đ phát H i có t t c có huy chương phát ngày L i gi i: G i ak s huy chương l i trư c ngày th k, suy a1 = m ta có: 19 ak+1 = ak – k - 1 (ak – k) = a k - 6k (Do ngày th k phát ñi k huy chương huy 7 7 chương l i) Gi i h th c truy h i ta ñư c: a k =     7 n −1 k −1 (m − 36) − 6k + 42 Theo gi thi t ta có an = n =   (m − 36) − 6n + 42 ⇒ m − 36 = 7(n − 6)       7 6 n-1 Vì m – 36 ∈ (6, 7) = 1, > n – nên n – = ⇔ n = ⇒ m = 36 n −1 V y có 36 huy chương đư c phát ngày 3.1.2 ng d ng gi i h th c truy h i m t h bi u th c n tính thu n nh t c pm t a1 = α, b1 = β  Xét h : a n +1 = pa n + qb n , v i α , β , p, q, r, s h ng s th c b = + sb  n +1 n n Gi i h ñi xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (an) (bn) th a mãn h th c truy h i B ng cách bi n đ i ñưa v gi i h th c truy h i n tính thu n nh t c p hai Mu n v y ta thay n b i n + vào phương trình th hai c a h ta có: a n +2 = pa n +1 + qb n +1 = pa n +1 + q(ra n + sb n ) = pa n +1 + qra n + s(a n +1 − pa n ) Suy a n +2 = (p + s)a n +1 + (qr − ps)a n M t khác t h ta l i có a = pa1 + qb1 = pα + qβ V y ta có h th c truy h i n tính thu n nh t c p hai a n +2 = (p + s)a n +1 + (qr − ps)a n , a1 = α, a = pα + qβ Mà ta ñã bi t cách gi i T ta tìm đư c an , th vào h thu ñư c bn 3.1.3 ng d ng tìm s h ng c a m t s dãy s ñ c bi t 3.1.3.1 D ng px + q Cho dãy s ( x n ) xác ñ nh b i x n +1 = n , đó: x0 = a cho trư c p, q, r, s rx n + s h ng s Tìm s h ng t ng quát x n Gi s yn zn nghi m c a h :  y n +1 = py n + qz n , y0 = a, z0 =  z n +1 = ry n + sz n y y a Khi x n = n nghi m c a h th c truy h i ñã cho Th t v y, x = = = a zn z0 y p n +q y py + qz n px + q zn = = n đúng Ta l i có: x n +1 = n +1 = n yn z n +1 ry n + sz n rx n + s r +s zn 20 3.1.3.2 D ng Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i u1 = α, u = β u n +1 = u n −1.u n au n −1 + bu n (1) Tìm s h ng t ng quát u n au + bu n 1 Bi n ñ i (1) ⇒ = n −1 ⇔ = a + b u n +1 u n −1.u n u n +1 un u n −1 Đ t = ta có: v n +1 − av n − bv n −1 = (Đây h th c truy h i n tính thu n un nh t h s h ng) 3.1.3.3 D ng Cho dãy s (un) xác ñ nh sau: u n = a.u n −1 + bu −1 + c , ∀n ≥ n (2) u1 = α, a2 − b = Tìm s h ng t ng quát u n Ta có: (2) ⇔ (un – aun-1)2 = b u −1 + c ⇔ u − 2au n u n −1 + u −1 − c = n n n (3) Thay n b i n – ta có: u −2 − 2au n −1u n −2 + u n −1 − c = n T (3) (4) ta có un un-2 nghi m c a phương trình: (4) t − 2au n −1.t + u n −1 − c = Áp d ng ñ nh lý Viet, ta có: un + un-2 = 2a.un-1 T suy un 3.1.3.4 D ng u n −1 , ∀n ≥ Tìm dãy s (un) xác đ nh sau: u n = a + c.u n −1 + b (5) V i ñi u ki n: u1 = α , α > 0, a > 0, a2 − b = Ta có (5) ⇔ a b = + c+ ñ t x n = ta ñư c: u n u n −1 un u n −1 x n = a.x n −1 + b.x n −1 + c ñây tốn d ng 3, nên ta tìm đư c xn, t suy un 3.2 M T S NG D NG C A PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH Dùng song ánh ñ thi t l p h th c truy h i, d a ý tư ng: N u t n t i m t song ánh t t p A đ n t p B s ph n t c a A B s b ng T ng d ng vào gi i m t s tốn như: Tính t ng t h p, ch ng minh ñ ng th c t h p d ng tốn đ c trưng c a phương pháp song ánh Ph n tìm hi u tốn thu c d ng đ c trưng 3.2.1 Dùng song ánh xây d ng h th c truy h i ch ng minh hai t p b ng áp d ng vào gi i m t s toán t h p Bài toán 3.15 Cho s nguyên dương n, tìm s t p khác r ng c a t p S = {1, 2, , n} cho m i t p không ch a hai s nguyên liên ti p L i gi i: Đ t Sn = {M ⊂ S | M không ch a s nguyên liên ti p nào} 21 Pn = {(a1, a , , a n ) | a i ∈{0, 1} ∀i = 1, n; (a i , a i+1 ) ≠ (1, 1), ∀i = 1, n − 1} • Xét ánh x f: f: Sn → Pn a = i ∈ M cho  i M a (a1,a , ,a n ) a i = i ∉ M D dàng ki m tra ñư c r ng f song ánh nên |Sn| = |Pn|, ∀n ≥ • Xét ánh x g: g: Pn → Pn-1 ∪ Pn-2 ∀n ≥ (a ,a , ,a n −1 ) ∈ Pn −1 an = (a1,a , ,a n ) a  (a1,a , ,a n −2 ) ∈ Pn −2 an = D dàng ki m tra ñư c r ng g song ánh, Pn Pn-1 r i nên |Pn| = |Pn-1| + |Pn-2| , ∀n ≥ suy |Sn| = |Sn-1| + |Sn-2| , ∀n ≥ Vì |S1| = ; |S2| = nên |Sn| = |Fn+2| ∀n ≥ v i {Fn} dãy Fibonacci n n  +   −    Ta có Fn =  −   suy        n+2 n+2  1−   +   |Sn| =  −          n+2 n+2 1−    +   Mà t p ∅ ⊄ Sn nên s t p c n tìm b ng  −   -        * th a mãn ñi u ki n < k ≤ n, m >1 Bài toán 3.17 (VMO 1996) Cho n, k, m ∈ H i có ch nh h p không l p ch p k: (a1, a2, , ak) c a n s nguyên dương ñ u tiên mà m i ch nh h p đ u th a mãn nh t m t hai ñi u ki n: (1) ∃i, j ∈ {1,2, ,k} cho i < j > aj (2) ∃i ∈ {1,2, ,k} cho − i không chia h t cho m L i gi i: Đ t A t p g m ch nh h p ch p k c a n l y t t p {1, 2, , n} Ta có: |A| = A k n A* t p g m ch nh h p th a mãn gi thi t B= { (a1,a , ,a k ) ∈ A | a1 < a < < a k , (ai − i) M m ∀ i = 1, k } D th y A* = A\B • Xét ánh x f: f: B → B' (a1,a , ,a k ) a (a1 − + m,a − + 2m, ,a k − k + km) Khi f song ánh t B ñ n B’ 22 v i B’ = { (b1, b2 , , bk ) | b1 < b2 < < bk , bi ∈{1, 2, , n − k + km} , bi M m ∀ i = 1, k } Do |B| = |B’| = Ckn −k  (Vì B’ t p b g m k ph n t không phân bi t th   m +k   t l y t t p s nguyên dương không l n n − k + km chia h t cho m nên s ph n t c a t p B’ |B’| = Ckn −k +km  = Ckn −k  = Ckn −k  )    V y |A*| = |A| - |B| = A k n   m   C kn − k    m +k    m +k     m  +k   3.2.2 Tính t ng t h p ch ng minh ñ ng th c t h p M t ng d ng khác c a phương pháp song ánh dùng đ tính t ng ph n t c a m t t p h p ñó Có th xem ý tư ng ñã ñư c ñ xu t toán quen thu c: “Tính t ng + + + n”, v i cách gi i quy t t v i mà tương truy n c a Gauxơ Ta có th di n đ t l i cách tính sau: V i m i i ∈ S ={1, 2, …, n}, xét ánh x f xác ñ nh sau: f(i) = n + – i Rõ ràng f m t song ánh t S vào S Do đó: n(n + 1) 2∑ i = ∑ (i + f (i)) = S (n + 1) = n(n + 1) ⇒ ∑ i = i∈S i∈S i∈S Bài toán 3.18 (VMO 2002) Cho t p S g m t t c s nguyên thu c [1, n] (n ∈ * ) T t p t t c t p khác r ng c a S V i m i X ∈ T, kí hi u m(X) ∑ m(X) trung bình c ng t t c ph n t thu c X Tính m = X∈T T L i gi i: Xét ánh x f: f: T → T X a f (X) = {n + − x | x ∈ X} m(X) + m(f (X)) = n + , ∀X ∈ T  D th y f song ánh nên  m(X) = ∑ ∑ m(f (X)) X∈T  X∈T Suy ra: ⇒ ∑ m(X) = ∑ [ m(X) + m(f (X))] = T (n + 1) X∈T X∈T ∑ m(X) V y: m = X∈T T = n +1 Bài tốn 3.19 (Olympic 30.4.2000) Hãy tính trung bình c ng t t c s N g m 2002 ch s th a mãn N M 99 ch s c a N thu c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} L i gi i: G i M t p s N th a mãn ñi u ki n ñ Xây d ng ánh x f sau: N u N = a1a a 2002 f(N) = b1b b 2002 , v i bi = – , ∀i = 1,2002 23 Do N + f(N) = 99 M 99 nên f : M → M song ánh (kí hiêu: cs “ch s ”) { 2002 cs T ta có: ∑ N = N∈M ∑ (N + f (N)) = | M | 99 ⇒ ∑ N = | M | 99 { { N∈M 2002 cs N∈M 2002 cs 1 10 −1 ∑ N = 99 = { | M | N∈M 2002 cs Nh n xét 3.2: Cũng t vi c so sánh l c lư ng t p h p, phương pháp song ánh m t cơng c đ c l c đ xây d ng ch ng minh công th c t h p Thông thư ng ngư i ta xây d ng m t song ánh ñi t m t t p vào nó, ý tư ng b n ñây có th phát bi u sau: “Khi ñ m s ph n t c a m t t p h p b ng nhi u cách k t qu ñ m thu ñư c ph i b ng nhau, cho dù v i cách ñ m khác ta thu ñư c bi u th c r t khác nhau” Ta ñi xét tốn sau: Bài tốn 3.23 (Vơ đ ch Trung Qu c – 1994) 2002 V y trung bình c ng s N là: n Ch ng minh r ng: ∑2 k =0 k  n −k  k    C n C n −k  = Cn +1 , ∀n ∈ 2n + L i gi i: Ta ch n n s không l p t 2n+1 s , s cách ch n b ng Cn +1 2n M t khác, ta có th ch n ch n n s t 2n + s b ng cách khác sau: Trư c h t, t 2n+1 s , ta chia n c p l i m t s g i a không thu c n c p Sau ta th c hi n liên ti p hai bư c ch n sau: Bư c 1: Ta ch n k c p t n c p y r i t m i c p ch n m t s Trư ng h p có t t c Ck 2k cách ch n n n − k  c p n - k c p cịn l i, ngồi ra, s a s ñư c ch n n u Bư c 2: Ch n     n - k l khơng đư c ch n n u n – k ch n bư c có 2k Ck cách ch n bư c n có  n −k     Cn −2  k cách ch n ta ch n ñư c t ng c ng n s , ñó k ch y t ñ n n V y theo nh n xét 3.2 suy ñi u ph i ch ng minh 3.3 M T S NG D NG C A HÀM SINH 3.3.1 ng d ng hàm sinh vào tốn tìm dãy s 3.3.1.1 Phương pháp • Đ tìm dãy s {an} Ta xét hàm sinh sinh b i dãy {an} F(x) = ∑ anxn n ≥0 • D a vào đ c ñi m c a dãy {an} h th c truy h i ta tìm hàm F(x) • Khai tri n F(x) theo lũy th a x (Khai tri n Taylor), ta tìm đư c an v i m i n 24 3.3.1.2 Bài t p ng d ng Bài toán 3.26 (Dãy Fibonacci) F = F + F Tìm dãy s Fibonacci th a mãn u ki n:  n + n +1 n F0 = 0,F1 = L i gi i: Xét hàm sinh F(x) sinh b i dãy {Fn} t c là: F(x) = F0 + F1x + F2x2 + + Fn+2xn+2 + Áp d ng tính ch t c a hàm sinh: N u {an} ↔ F(x) F(x) − a − a1x − a x − a 3x − − a h −1x h −1 {an+h} ↔ , h∈ xh F(x) − F0 F(x) F(x) − F0 − F1.x F(x) − x Ta suy ra: {Fn+2} ↔ = {Fn+1} ↔ = x x x2 x2 F(x) − x F(x) Vì Fn + = Fn +1 + Fn nên = + F(x) hay x x2 n n x 1 1 ∞ 1+  1−   n F(x) = = ( + )=  −  x ∑ − x − x2 1+ 1− 5 n =0         1− x 1− x 2 n n 1+  1−    V y Fn =  −          Bài toán 3.31 Trên m t ph ng k n ñư ng th ng cho khơng có đư ng đ ng qui khơng có đư ng song song H i m t ph ng ñư c chia làm m y ph n? G i pn s l n nh t ph n m t ph ng có th có m t ph ng đư c chia b i n ñư ng th ng th a mãn u ki n tốn Nh n xét 3.5: Ví d g p ph n trư c ta l p đư c cơng th c truy h i cho pn pn = pn-1 + n v i p1 = 2, p0 = tìm đư c cơng th c tư ng minh cho pn b ng cách Bây gi ta tìm cơng th c hi n c a pn dư i cách nhìn t hàm sinh L i gi i: ∞ Hàm sinh cho dãy p1, p2, p(x) = ∑ pi x i = p0 + p1x + p2 x + (1) i =0 ∞ Nhân v c a (1) v i x ta có x.p(x) = ∑ pi x i+1 = xp0 + p1x + p2 x + (2) i =0 L y (1) tr (2) v theo v ta có: p(x) - xp(x) = p0 + (p1 - p0)x + (p2 - p1)x2 + m t khác ta có p0 = 1, pn – pn-1 = n, v y ta thay vào (3) ta có (1 - x).p(x) = + x + 2x2 + 3x3 + = + x(1 + 2x + 3x2 + ) = + x (1 − x)2 (3) 25 Suy ra: p(x) = ∞ p(x) = ∑x n n =0 ∞ 1 + x , khai tri n lũy th a v ph i ta ñư c: 1− x (1 − x)3 ∞ + x ∑ m =0 ∞ = C2 + x m m ∑x n + n =0 ∞ ∑ C2 +2 x m+1 m m =0 ∞ ∞ ∞ n =1 n =0 n =0 = ∑ x n + ∑ C2 +1.x n = ∑ x n + ∑ C2 +1.x n n n n =0 n(n + 1) n2 + n + Suy h s c a x pn = + =1 + = 2 3.3.2 Tính t ng t h p ch ng minh ñ ng th c t h p 3.3.2.1 Phương pháp: Đ tính t ng S(n) = ∑ h m (n) ta xét hàm sinh: C2 +1 n n m n F(x) = ∑ S(n).x = ∑ (∑ h m (n)).x n n n (*) m Sau s d ng phương pháp đ i t ng đ tính v ph i c a (*) r i ñ ng nh t th c hai v ta thu ñư c S(n) 3.3.2.2 Bài t p ng d ng n Bài toán 3.32 Tính t ng sau: ∑ (−1)k Ck Cm n k k =m L i gi i: Đ t S(m) = n ∑ (−1)k Ck Cm n k k =m Xét hàm sinh: F(x) = ∑ S(m).x m = m = ∞ n k m ∑ ( ∑ (−1)k Ck Cm ).x m = ∑ (−1)k Cn ∑ Ck x m n k m =0 k = m k ≤n m≤k k ∑ (−1)k Ck (1 + x)k = (−1)n ∑ (−1)n −k Cn (1 + x)k = (−1)n (−1 + + x)n = (−1)n x n n k ≤n k ≤n (-1)n m = n  Đ ng nh t th c ta có: S(m) =   m < n  n Bài tốn 3.34 Hãy tính t ng sau: f(n) = ∑ C2k k 2n −k n+ k =0 L i gi i: G i F(x) hàm sinh c a dãy {f(n)} Ta có F(x) = ∑ f (n)x n suy ra: n ≥0 n n n F(x) = ∑ ∑ C2k k 2n −k x n = ∑ 2− k ∑ C2k k 2n x n = ∑ 2− k (2x) − k ∑ C2k k (2x) n + k n+ n+ n+ n ≥0 k =0 n −k k =0 k =0 n − k ≥0 = ∑ (2x) − k (2x)2k ∑ n ≥0 k =0 k Cn −+1+(n −k)−1 (2x)n −k = 2k n ≥0 n ∑ 2− k (2x)k (1 − 2x)2k+1 k =0 26 k   x = ∑  (1 − 2x)2  = − 2x − 2x k ≥0   1− = − 2x (1 − 4x)(1 − x) x (1 − 2x)  1 = + =  ∑ (4x)n + ∑ x n  = ∑ (22n +1 + 1)x n = 3(1 − 4x) 3(1 − x)  n≥0 n ≥0  n ≥0 22n +1 + V y: f(n) = (n ≥ 0) ∑ f (n)x n n ≥0 K T LU N Lu n văn ñã trình bày m t cách có h th ng t ng quan v lý thuy t t h p Cũng ch n nh ng ví d phù h p phong phú ñ làm rõ ph n lý thuy t trình bày Đ c bi t chương hai, Chúng tơi nghiên c u, ch ng minh m t cách chi ti t ñ nh lý t ng quát v nguyên lý bù tr , h th c truy h i lý thuy t v hàm sinh Trên s xây d ng m t h th ng phương pháp gi i d ng toán t h p liên quan ng d ng ph n lý thuy t ñã nêu Đ c bi t lu n văn cịn đ xu t m t phương pháp gi i toán ñ m t h p nâng cao ng d ng m t phương pháp đ c s c phương pháp song ánh chương ba, chúng tơi nghiên c u ñưa m t s d ng tốn ng d ng đa d ng cho nh ng lý thuy t đư c trình bày chương hai Đ ng th i lu n văn ñã nêu lên ñư c m i quan h gi a h th c truy h i hàm sinh K t qu c a lu n văn nh m nâng cao ch t lư ng d y h c tốn t h p nói riêng tốn r i r c nói chung, nh m phát tri n tư tốn h c cho h c sinh ph thơng ñ c bi t h c sinh chuyên tốn có m t tư li u đ tham kh o b ích, b i t h p đư c xem mơn h c khó cho h c sinh c p h c Cu i cùng, chúng tơi xin đư c nêu lên m t s v n đ có th đư c m r ng nghiên c u ti p theo tương lai là: (1) Lý thuy t v h th c truy h i n tính b c k b t kì v i h s bi n thiên cho ñ n v n chưa hoàn ch nh, lý thuy t v d ng h th c truy h i khác (2) ng d ng hàm sinh h th c truy h i ñ gi i tốn liên quan đ n đ ph c t p c a thu t toán gi i toán lĩnh v c tin h c (3) ng d ng c a hàm sinh ñ gi i toán r t hay g p kỳ thi vơ đ ch tốn toán phân ho ch t p h p phân ho ch s nguyên ... Chính nh ng lý trên, chúng tơi nghiên c u ch n đ tài “Bài tốn đ m nâng cao t h p ng d ng” nh m h th ng phương pháp gi i ñ ng th i nâng cao n a nh n th c ng d ng c a h c t p, nghiên c u cơng tác sau... h c cao ñ ng, h c viên cao h c, thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p NHI M V NGHIÊN C U Nhi m v c a ñ tài nghiên c u v c u hình t h p t b n ñ n nâng cao, ... thuy t v hàm sinh, công th c truy h i T đưa ñư c h th ng phương pháp ng d ng n hình c a tốn đ m nâng cao t h p Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U • Lý thuy t v c u hình t h p b n m r ng ki n th c liên