Bài toán đếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng

Luận văn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG NHẬT LÝ BÀI TOÁN ĐẾM NÂNG CAO TRONG TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học, họp tại Đại học Đà Nẵng vào 22 ngày tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tổ hợp có vị trí ñặc biệt trong toán học không chỉ như là những ñối tượng ñể nghiên cứu mà còn ñóng vai trò như một công cụ ñắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, ñại số, . Các bài toán tổ hợp ngày càng chiếm một vị trí quan trọng trong các kỳ thi olympic, vô ñịch toán . Toán tổ hợp là một dạng toán khó, ñòi hỏi tư duy lôgic, tư duy thuật toán cao, tính hình tượng tốt, phù hợp với mục ñích tuyển chọn học sinh có khả năng và năng khiếu toán học. Hơn nữa, nội dung các bài toán kiểu này ngày càng gần với thực tế cuộc sống chúng ta, và ñiều ñó hoàn toàn phù hợp với xu hướng của toán học hiện ñại. Chính vì những lý do trên, chúng tôi ñã nghiên cứu và chọn ñề tài “Bài toán ñếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng” nhằm hệ thống các phương pháp giải ñồng thời nâng cao hơn nữa nhận thức và ứng dụng của nó trong học tập, nghiên cứu và công tác sau này. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý thuyết về lý thuyết tổ hợp và từ ñó nhằm hệ thống các phương pháp giải bài toán ñếm và ứng dụng của nó vào nghiên cứu, học tập cũng như trong thực tiễn. Đề tài cũng ñược làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ñại học và cao ñẳng, học viên cao học, thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế và những ai quan tâm ñến lý thuyết tổ hợp. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nhiệm vụ của ñề tài này là nghiên cứu về các cấu hình tổ hợp từ cơ bản ñến nâng cao, nguyên lý bù trừ, lý thuyết về hàm sinh, công thức truy hồi . Từ ñó ñưa ra ñược hệ thống các phương pháp và ứng dụng ñiển hình của bài toán ñếm nâng cao trong tổ hợp. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Lý thuyết về các cấu hình tổ hợp cơ bản và mở rộng và các kiến thức liên quan ñến bài toán ñếm. • Phương pháp giải bài toán ñếm và các bài toán áp dụng. • Ứng dụng của bài toán ñếm tổ hợp. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu liên quan ñến luận văn ñể thu thập thông tin, từ ñó phân tích, hệ thống và phân loại các phương pháp giải cũng như một số ứng dụng ñiển hình liên quan ñến bài toán ñếm trong tổ hợp. 4 6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Đề tài hệ thống kiến thức về các nguyên lý ñếm, các cấu hình tổ hợp, lý thuyết hàm sinh, hệ thức truy hồi và các kiến thức liên quan ñến bài toán ñếm tổ hợp. Từ ñó hình thành các phương pháp từ cơ bản ñến nâng cao và một số ứng dụng liên quan ñến bài toán ñếm. Qua ñó bổ sung thêm cho các em học sinh, sinh viên về các phương pháp giải các bài toán ñếm tổ hợp từ cơ bản ñến khó và rất khó, ñặc biệt là trước các kì thi học sinh giỏi từ cấp tỉnh, cấp quốc gia ñến thi Olympic quốc tế và các kỳ thi khác. Đề tài còn có thể làm nguồn tham khảo cho những ai quan tâm ñến lý thuyết tổ hợp mà cụ thể là phương pháp giải và ứng dụng của bài toán ñếm tổ hợp. 7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn ñược cấu trúc bởi 3 chương: Chương 1: Tổng quan về tổ hợp Chương 2: Một số phương pháp ñếm nâng cao Chương 3: Một số ứng dụng Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 1.1. SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ TỔ HỢP Có thể nói tư duy tổ hợp ra ñời rất sớm. Vào thời nhà Chu ở Trung Quốc người ta ñã biết ñến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hi lạp, thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat ñã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp ñược hình thành như một ngành toán học mới vào thể kỷ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz … Các bài toán tổ hợp có ñặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân… phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay ñổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn ñề tổ hợp ñã ñược giải quyết trên máy tính và phát triển rất mạnh mẽ. 1.2. CÁC DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP Dạng 1: Bài toán tồn tại Dạng 2: Bài toán ñếm Dạng 3: Bài toán liệt kê Dạng 4: Bài toán tối ưu tổ hợp 5 1.3. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG 1.3.1. Hai nguyên lý ñếm cơ bản 1.3.1.1. Nguyên lý cộng 1.3.1.2. Nguyên lý nhân 1.3.2. Các cấu hình tổ hợp 1.3.2.1. Hoán vị không lặp 1.3.2.2. Hoán vị lặp 1.3.2.3. Chỉnh hợp không lặp 1.3.2.4. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.4: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử ñã cho, các phần tử có thể ñược lặp lại. Định lí 1.2: Số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử ñược kí hiệu và xác ñịnh bởi công thức sau: k n A = AR(n, k) = n k . 1.3.2.5. Tổ hợp không lặp 1.3.2.6. Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.6: Tổ hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử ñã cho, trong ñó các phần tử có thể ñựợc lặp lại. Định lý 1.3: Giả sử X có n phần tử khác nhau. Khi ñó số tổ hợp lặp chập k của n phần tử của X, ñược ký hiệu và xác ñịnh bởi công thức sau: CR(n, k) = C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k). Ví dụ 1.56. Bất phương trình x 1 + x 2 + x 3 ≤ 11 (1) có mấy nghiệm nguyên không âm ? Lời giải: Số nghiệm của bất phương trình (1) chính bằng số nghiệm nguyên của phương trình: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 11 với i x 0, i = 1, 2, 3, 4.≥ Mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách chọn 11 phần tử từ một tập có 4 loại, sao cho có x 1 phần tử loại 1, x 2 phần tử loại 2, x 3 phần tử loại 3, x 4 phần tử loại 4 ñược chọn. Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 11 từ tập có 4 phần tử. Theo ñịnh lý 1.3 số ñó bằng: C(4 + 11 - 1, 11) = C(14, 11) = 364. 1.3.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp và phân hoạch không thứ tự 1.3.3.1. Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa 1.7: Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, r n≤ và S X⊂ có r phần tử. Một phân hoạch { } 1 2 k S , S , ., S có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X. Nếu r = n thì gọi là phân hoạch thứ tự của X. Cho các số nguyên dương 1 2 k n , n , ., n thỏa 1 2 k n n . n r.+ + + = Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng { } 1 2 k S , S , ., S có 6 1 1 2 2 k k S n , S n , ., S n , = = = ñược kí hiệu là 1 2 k C(n; n ,n , .,n ) . Một cấu hình tổ hợp kiểu này ñược xây dựng qua các bước như sau: Bước 1: Chọn 1 n phần tử từ X cho 1 S , có C( 1 n, n ) khả năng. Bước 2: Chọn 2 n phần tử từ X\S 1 cho 2 S , có C( 1 2 n n ,n− ) khả năng. … Bước k: Chọn k n phần tử từ X\ 1 2 k 1 (S S . S ) − ∪ ∪ ∪ cho k S , có C( 1 2 k 1 k n n n . n ,n − − − − − ) khả năng. Theo nguyên lý nhân suy ra: 1 2 k C(n; n ,n , .,n ) = C( 1 n,n ).C( 1 2 n n ,n− ) …C( 1 2 k 1 k n n n . n ,n − − − − − ) = 1 2 k 1 2 k n! P(n; n ,n , ., n ,n r). n !n ! .n !(n r)! = − − Vậy ta có ñịnh lí sau: Định lý 1.4: Số lượng các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X có n phần tử bằng 1 2 k C(n;n ,n , .,n ) = 1 2 k 1 2 k n! P(n;n ,n , .n ,n r); n !n ! .n !(n r)! = − − 1 2 k C(n;n ,n , .,n ) ñược gọi là hệ số ña thức. Ví dụ 1.57. 17 sinh viên ñi dạ hội bằng 5 xe khác nhau theo thứ tự có số chỗ ngồi tương ứng là 4, 3, 3, 4, 1. Hãy xác ñịnh số cách chở 17 sinh viên bằng 5 xe, trong ñó có 2 sinh viên phải ñi bằng phương tiện khác. Lời giải: Mỗi cách chở là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 15 của 17 với số phần tử trong mỗi tập con tương ứng là 4, 3, 3, 4, 1. Vì vậy số cách chở là: C(17;4,3,3,4,1) = 17! 4!3!3!4!1! = 8576568000. 1.3.3.2. Phân hoạch không thứ tự Định nghĩa 1.8: Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, các số nguyên dương 1 2 k n ,n , .,n và 1 2 k p ,p , .,p thỏa 1 1 2 2 k k n p n p . n p n.+ + + = Một hệ thống các tập con của X với 1 p tập lực lượng 1 n , 2 p tập lực lượng 2 n , …, k p tập lực lượng k n gọi là phân hoạch không thứ tự của X. Định lý 1.5: Số phân hoạch không thứ tự của X với 1 p tập lực lượng 1 n , 2 p tập lực lượng 2 n , …, k p tập lực lượng k n là: 1 2 k 1 1 2 2 k k p p p 1 2 k 1 1 2 2 k k C(n; n , ., n , n , ., n , ., n , ., n ) n! p !p ! .p ! p !(n !) p !(n !) . p !(n !) = Trong tử số 1 1 2 2 k k C(n; n , ., n , n , ., n , ., n , ., n ) số 1 n lặp lại 1 p lần, 2 n lặp lại 2 p lần, …, k n lặp lại k p lần. Ví dụ 1.60. Phân phối n quả cầu phân biệt vào m hộp phân biệt sao cho: Hộp 1 chứa 1 n vật, hộp 2 chứa 2 n vật, …, hộp m chứa m n vật: 1 2 m n n . n n + + + = 7 Hỏi có bao nhiêu cách phân phối khác nhau, không kể thứ tự cầu trong mỗi hộp. Lời giải: Có thể phân phối bằng m bước như sau: Bước 1: Chọn 1 n phần tử từ n cầu cho hộp 1, có C( 1 n,n ) cách Bước 2: Chọn 2 n phần tử từ n - 1 n cho hộp 2, có C( 1 2 n n ,n− ) cách … Bước m: Chọn m n phần tử từ 1 2 m 1 n n n . n − − − − − cho hộp m, có C( 1 2 m 1 m n n n . n ,n − − − − − ) khả năng. Theo nguyên lý nhân suy ra số cách phân phối là: C( 1 n,n ) .C( 1 2 n n ,n− ) .C( 1 2 m 1 m n n n . n ,n − − − − − ) = 1 2 m n! n !n ! .n ! . Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO 2.1. NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Với n tập hữu hạn A 1 , A 2 , ., A n ta có ñịnh lý tổng quát sau: Định lý 2.1: Với n tập hợp A 1 , ., A n bất kỳ ta có công thức |A 1 ∪ . ∪ A n | = n i i=1 A ∑ - 1 i j n | | i j A A ≤ < ≤ ∩ ∑ + .+ (-1) n-1 |A 1 ∩A 2 ∩ .∩A n | (1) Hay ta có thể phát biểu cách khác như sau: | A 1 ∪ A 2 ∪ . ∪ A n | = N 1 − N 2 + N 3 − . + (−1) n-1 N n trong ñó N m (1 ≤ m ≤ n) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ n tập ñã cho, nghĩa là: N m = 1 2 m 1 2 m i i i 1 i i . i n | A A . A | ≤ < < < ≤ ∩ ∩ ∩ ∑ Ví dụ 2.6. Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe lên bàn cờ quốc tế ñã bị gạch ñi một ñường chéo chính sao cho không có con nào ăn con nào. Lời giải: Có 8! cách xếp 8 con xe lên bàn cờ quốc tế sao cho không có con nào ăn con nào. Ta cần ñếm số cách xếp không hợp lệ, tức là số cách xếp có ít nhất một con xe nằm trên ñường chéo. Gọi A i là tập hợp các cách xếp có quân xe nằm ở ô (i, i). Ta cần tìm |A 1 ∪ .∪A 8 |. Nhưng dễ dàng thấy rằng |A i | = 7!, |A i ∩A j | = 6! , ., |A 1 ∩ .∩A 8 | = 1 nên từ ñịnh lý trên ta suy ra: |A 1 ∪ . ∪ A 8 | = 1 8 C .7! - 2 8 C .6! + 3 8 C .5! - . - 8 8 C .0! = 8! 8! 8! 8! . 2! 3! 8! − + − − . Như vậy số cách xếp 8 con xe lên bàn cờ quốc tế ñã bị gạch ñi một ñường chéo chính sao cho không có con nào ăn con nào bằng: 8 8! – ( 8! 8! 8! 8! . 2! 3! 8! − + − − ) = 8! ( . 2! 3! 8! 1 1 1 + − + ) Ví dụ 2.8. Trong tập S = {1, 2, ., 280} có mấy số không chia hết cho 2, 3, 5, 7. Lời giải: Ta ñếm xem trong tập S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7. Kí hiệu A 1 = {k ∈ S: k chia hết cho 2}, A 2 = {k ∈ S: k chia hết cho 3}, A 3 = {k ∈ S: k chia hết cho 5}, A 4 = {k ∈ S: k chia hết cho 7}. Khi ñó 1 2 3 4 A A A A∪ ∪ ∪ là tập các số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7. Ta có: 1 2 3 4 280 280 280 280 | A | 140; | A | 93; | A | 56; | A | 40 2 3 5 7         = = = = = = = =                 ; 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 280 280 280 | A A | 46; | A A | 28; | A A | 20; 2.3 2.5 2.7 280 280 280 | A A | 18; | A A | 13; | A A | 8; 15 21 35       ∩ = = ∩ = = ∩ = =                   ∩ = = ∩ = = ∩ = =             1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 280 280 | A A A | 9; | A A A | 6; 30 42 280 280 | A A A | 4; | A A A | 2; 70 105     ∩ ∩ = = ∩ ∩ = =             ∩ ∩ = = ∩ ∩ = =         1 2 3 4 280 | A A A A | 1. 210   ∩ ∩ ∩ = =     Do ñó theo nguyên lý bù trừ ta có | 1 2 3 4 A A A A∪ ∪ ∪ | = 216. Vậy trong tập S có 280 – 216 = 64 số không chia hết cho 2, 3, 5, 7. 2.2. PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH 2.2.1. Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ f: A → B. • Ánh xạ f ñược gọi là một ñơn ánh nếu với hai phần tử bất kì a 1 , a 2 ∈ A mà a 1 ≠ a 2 thì f(a 1 ) ≠ f(a 2 ), tức là f(a 1 ) = f(a 2 ) ⇔ a 1 = a 2 . • Ánh xạ f ñược gọi là một toàn ánh nếu với mọi b ∈ B ñều tồn tại a ∈ A ñể cho f(a) = b. • Ánh xạ f ñược gọi là một song ánh (tương ứng 1-1) nếu với mọi b ∈ B, tồn tại và duy nhất a ∈ A ñể f(a) = b. Nói cách khác f là song ánh khi và chỉ khi nó vừa là ñơn ánh vừa là toàn ánh. 2.2.2. Định lý 2.2 Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi ñó: • Nếu có một ñơn ánh f: A → B thì |A| ≤ |B|. • Nếu có một toàn ánh f: A → B thì |A| ≥ |B|. • Nếu có một song ánh f: A → B thì |A| = |B|. 9 Phương pháp song ánh dựa vào một ý tưởng rất ñơn giản: Nếu tồn tại một song ánh từ A vào B thì |A| = |B|. Do ñó, muốn chứng minh hai tập hợp có cùng số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng. Hơn nữa, ta có thể ñếm ñược số phần tử của một tập hợp A (kí hiệu |A|), ta có thể xây dựng song ánh từ A vào một tập hợp B mà ta ñã biết cách ñếm số phần tử. Bởi B có cùng số phần tử với A nhưng có cấu trúc ñược mô tả khác A nên ta có thể ñếm ñược số phần tử của B dễ dàng hơn việc ñếm số phần tử của A. Ví dụ 2.14 (APMO 1998). Giả sử F k là tập hợp tất cả các bộ (A 1 , A 2 , ., A k ), trong ñó A i (i = 1, 2, ., k) là một tập con của tập E = {1, 2, ., 1998}. Kí hiệu |A| là số phần tử của tập A. Hãy tính: 1 2 k k k 1 2 k (A ,A , .,A ) F S | A A . A | ∈ = ∪ ∪ ∪ ∑ (1) Lời giải: Lời giải thứ nhất ta có thể dùng phương pháp quy nạp khá tự nhiên về mặt ý tưởng, tuy rất cồng kềnh và ñòi hỏi nhiều kĩ năng tính toán. Lời giải thứ hai cũng tính S k thông qua việc tính T(i, k) là số các bộ: (A 1 , A 2 , ., A k ) F,∈ sao cho 1 2 k A A . A i∪ ∪ ∪ = tuy nhiên với một cách nhìn khác như sau: Với i phần tử n 1 , n 2 , ., n i thuộc {1, 2, ., n} ta ñếm xem có bao nhiêu bộ (A 1 , A 2 , ., A k ) thỏa mãn ñiều kiện 1 2 k A A . A∪ ∪ ∪ = {n 1 , n 2 , ., n i } (2), từ ñó tính ñược T(i, k) và S k . Ta cho các phần tử n 1 , n 2 , ., n i “ñăng ký” có mặt trong các tập hợp A i theo qui tắc: nếu, chẳng hạn n 1 ñăng kí có mặt trong A 1 , A 2 và không có mặt trong các tập còn lại thì phiếu ñăng kí của n 1 ñược ghi là (1, 1, 0, 0, ., 0), còn nếu n 1 chỉ có mặt trong A k thì ghi phiếu là (0, 0, ., 1). Phiếu ñăng kí là hợp lệ nếu có ít nhất một số 1 (nếu không, phần tử tương ứng sẽ không có mặt trong 1 2 k A A . A∪ ∪ ∪ ). Với i phiếu ñăng kí của n 1 , n 2 , ., n i ta lập ñược 1 bộ (A 1 , A 2 , ., A k ). Dễ thấy rằng với hai bộ phiếu ñăng kí khác nhau, ta có hai bộ tập hợp (A 1 , A 2 , ., A k ) khác nhau và như vậy số bộ (A 1 , A 2 , ., A k ) thỏa mãn (2) bằng số bộ phiếu ñăng kí hợp lệ. Vì phiếu ñăng kí của n p , p = 1, 2, ., i gồm k số 0 hoặc 1 và phải có ít nhất một số 1 nên n p có 2 k – 1 cách ghi phiếu ñăng kí (do trừ ra xâu (0, 0, ., 0) và như vậy theo nguyên lý nhân có tất cả (2 k – 1) i bộ phiếu ñăng kí hợp lệ khác nhau. Cuối cùng, chú ý rằng có i n C cách chọn i phần tử n 1 , n 2 , ., n i từ n phần tử nên ta có: T(i, k) = i k i n C (2 1)− suy ra: S k = n n i k i n i 0 i 0 iT(i,k) iC (2 1) = = = − ∑ ∑ = n(2 k – 1).2 k(n-1) . (nhờ khai triển (1 + x) n và lấy ñạo hàm, cho x = 2 k – 1 và nhân hai vế với 2 k – 1). Ví dụ 2.15 (Vô ñịch Liên Xô). Có một nhóm người mà trong ñó, mỗi cặp không quen nhau có ñúng hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung. Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau. 10 Lời giải: Nếu a quen b và tập các người quen của a và b (không kể a, b) lần lượt là A và B. Mỗi người a’ thuộc A sẽ quen với duy nhất một người thuộc B (do a’ và b không quen nhau, hơn nữa họ ñã có một người quen chung là a). Tương tự, mỗi người thuộc B cũng quen với duy nhất một người thuộc A. Vậy tồn tại một song ánh ñi từ A tới B, tức a và b có số người quen bằng nhau. Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b. Do ñó, số người quen của a và b bằng nhau do cùng bằng số người quen của c (suy ra từ trên). 2.3. HỆ THỨC TRUY HỒI 2.3.1. Khái niệm mở ñầu và mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Định nghĩa 2.2: Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) ñối với dãy số {a n } là công thức biểu diễn a n qua một hay nhiều số hạng ñi trước của nó, cụ thể là a 0 , a 1 , a 2 , …, a n-1 với n ≥ n 0 nguyên dương nào ñó. Dãy số ñược gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này. Các giá trị gán cho một số hữu hạn các số hạng ñầu của dãy gọi là các ñiều kiện ban ñầu hay ñiều kiện biên của hệ thức truy hồi. Ví dụ 2.18. Hệ thức truy hồi cho dãy số Fibonacci là F n = F n-1 + F n-2 với n ≥ 3 và F 1 = F 2 = 1. 2.3.2. Giải hệ thức truy hồi 2.3.2.1. Giải hệ thức truy hồi bằng phương pháp lặp Ta có thể dùng một trong hai phương án sau: Hoặc ta ñi thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay như vậy bậc n sẽ giảm ít nhất 1 ñơn vị, cho ñến khi ñạt giá trị ban ñầu. Hoặc là ta xuất phát từ ñiều kiện ñầu ta sẽ tính một số số hạng ñầu và nhận ra qui luật, sau ñó dự ñoán số hạng tổng quát và dùng phương pháp chứng minh qui nạp ñể chứng minh tính ñúng ñắn của công thức vừa dự ñoán ñó. Ví dụ 2.22 (Bài toán tháp Hà Nội) ‘‘Có ba cọc 1, 2, 3. Ở cọc 1 có n ñĩa xếp chồng lên nhau sao cho ñĩa nằm dưới lớn hơn ñĩa nằm trên. Hãy chuyển tất cả các ñĩa từ cọc 1 sang cọc 3 có thể dùng cọc 2 làm cọc trung gian với ñiều kiện mỗi lần chỉ ñược chuyển 1 ñĩa từ cọc này sang cọc khác và luôn ñảm bảo ñĩa nằm dưới lớn hơn ñĩa nằm trên’’. Bài toán ñặt ra là: Tìm số lần di chuyển ñĩa ít nhất cần thực hiện ñể giải xong bài toán trên. Lời giải: Phương pháp di chuyển như sau: Gọi s n là số lần di chuyển ñĩa ít nhất cần thực hiện. • Chuyển n-1 ñĩa từ cọc 1 sang cọc 2 (lấy cọc 3 làm trung gian) ta có s n-1 phép chuyển. • Chuyển ñĩa lớn nhất ở cọc 1 sang cọc số 3: ta có 1 phép chuyển.