Ứng dụng lý thuyết đồ thị giải lớp các bài toán logic trong chương trình toán sơ cấp

1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG Cơng trình đư c hoàn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG TR N DUY PHƯƠNG Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS TSKH Tr n Qu c Chi n NG D NG LÝ THUY T Đ TH GI I L P CÁC BÀI TOÁN LOGIC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN SƠ C P Ph n bi n 1: TSKH Nguy n Gia Đ nh Ph n bi n 2: TS Cao Văn Nuôi CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60 46 40 Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng ch m lu n văn t t nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 28 tháng năm TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C 2011 * Có th tìm lu n văn t i: Đà N ng - 2011 - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng 4 M Đ U d n, lý thú ñ y b t ng Đi u thu hút s quan tâm ngày nhi u c a h c sinh gi i tốn Vì v y, lu n văn ñ ch a ñ ng nhi u ti m l n, có th khai thác ñ b i dư ng cho h c sinh Lý ch n ñ tài Lý thuy t ñ th ngành h c ñư c phát tri n t lâu l i gi i có nhi u ng d ng hi n đ i Nh ng ý tư ng b n c a đư c Các tốn dùng Lý thuy t ñ th ñ gi i ngày xu t nhà tốn h c Th y sĩ vĩ đ i Leonhard Euler ñưa t th k 18 Lý hi n nhi u cu c thi ch n h c sinh gi i toán cu c thi thuy t ñ th ñư c ng d ng nhi u ngành khoa h c: Tin toán qu c t Đi u phù h p v i xu hư ng đưa tốn h c v áp h c, V t Lý, Hóa H c, Sinh H c, Logic H c,… d ng vào th c t cu c s ng Trong toán sơ c p, m t s tốn kì thi Qu c gia, Hi n t i chương trình sách giáo khoa có m t s n i Qu c t , m t s tốn khó, vi c gi i theo cách truy n th ng dung ng d ng ñư c lý thuy t ñ th Lý thuy t ñ th giúp ph c t p thi u ch t ch đ i v i h c sinh ph thơng gi i quy t tốn d dàng, nhanh chóng, xác hi u Năm 2001, B Giáo D c Đào T o có qui đ nh chuyên ñ b i dư ng h c sinh gi i th ng nh t toàn qu c có qu so v i phương pháp gi i truy n th ng M c tiêu nhi m v chuyên ñ Lý Thuy t Đ Th Như v y, vi c h c chun đ Lý Tìm hi u kh o c u phương pháp lý thuy t ñ th Thuy t Đ Th ñ i v i h c sinh gi i ñang nhu c u th c t So sánh ñánh giá phương pháp d y h c tốn ph thơng Tuy nhiên, vi c d y h c chuyên ñ Làm sáng t t p ng d ng lý thuy t đ th đ gi i, cịn t n t i m t s khó khăn m t s lý khác M t cho ngư i ñ c th y ñư c b c tranh toàn c nh c a vi c ng d ng lý lý s m i m , đ c đáo khó c a ch ñ ki n th c thuy t ñ th đ gi i tốn logic chương trình toán sơ Hơn n a, s lư ng t p ph thơng ng d ng chun đ đ gi i không nhi u Lu n văn “ ng d ng lý thuy t ñ th gi i l p tốn logic chương trình tốn ph thơng” đưa đ n s sáng t o c p Đ i tư ng ph m vi nghiên c u Đ i tư ng nghiên c u: Nghiên c u ñ i tư ng v ñ th – – ñư ng ñi – chu trình cách nhìn nh n tốn l p lu n cách gi i dư i m t c a lý Ph m vi nghiên c u: Đ tài ch gi i h n nghiên c u ng thuy t ñ th Hơn n a, n i dung tốn đư c gi i b ng phương d ng lý thuy t ñ th ñ gi i tốn logic chương trình pháp đ th r t g n v i th c t , lý lu n đ gi i tốn h p toán sơ c p 5 L y lý thuy t ñ th làm s nghiên c u toán liên quan nh m thi t l p d ng tốn đưa phương pháp gi i nh Chương : Đ I CƯƠNG V Đ ng TH d ng c a lý thuy t ñ th 1.1 Các khái ni m b n v lý thuy t ñ th Phương pháp nghiên c u Đ nh nghĩa 1.1.1 T p h p V ≠ ∅ ñ i tư ng b E c p s p th t Tìm hi u m t s cơng c , thu t tốn có, s so sánh ñánh giá c a t ng phương pháp D a vào m t s công c , thu t tốn có, ng d ng vào gi i tốn sơ c p rút trích k t qu , nh n xét ñánh giá không s p th t ph n t c a V ñư c g i m t ñ th , đ ng th i đư c kí hi u b ng G = (V,E) (ho c b ng G(V,E) ho c b ng G(V)) -Đ th vô hư ng G = (V, E) g m m t t p V ñ nh t p E c nh Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a đ tài Đ tài góp ph n nghiên c u, h tr cho ñ c gi th y ñư c M i c nh e ∈ E ñư c liên k t v i m t c p đ nh (v, w) (khơng k th t ) t m quan tr ng c a ng d ng lý thuy t ñ th vào gi i l p tốn logic chương trình tốn sơ c p -Đ th có hư ng G = (V, E) g m m t t p V ñ nh t p E c nh có hư ng g i cung -M i cung e ∈ E ñư c liên k t v i m t c p đ nh (v, w) có Gi i quy t hàng lo t tốn khó kì thi Olympic mà ch có dùng lý thuy t đ th m i có th gi i đư c m t cách d dàng C u trúc lu n văn Ngồi ph n m đ u k t lu n lu n văn g m chương: Chương Đ i cương v ñ th Chương M t s tốn đ th b n Chương logic ng d ng lý thuy t ñ th vào gi i toán th t -Các ph n t v ∈ V ñư c g i ñ nh c a ñ th V s ñ nh c a ñ th -Các ph n t e ∈ E g i c nh (hay cung) c a ñ th E s c nh c a ñ th -N u c nh e liên k t ñ nh v, w ta nói c nh e liên thu c đ nh v, w ñ nh v, w liên thu c c nh e, ñ nh v, w ñ nh biên c a c nh e ñ nh v k ñ nh w -N u ch có nh t m t c nh e liên k t v i c p ñ nh v, w, ta vi t e = (v ,w) N u e cung v g i đ nh đ u w g i ñ nh cu i c a cung e -N u có nhi u c nh liên k t v i m t c p đ nh ta nói c nh song song 8 -M t cung (c nh) có th b t đ u k t thúc t i m t ñ nh g i khun hay nút Gi s có đ th G(V, E) - Bi u di n ñ nh: L y ñi m m t ph ng hay Đ nh nghĩa 1.1.2 Đ th G(V, E) khơng có khun m i c p đ nh khơng gian ng v i ph n t thu c t p V dùng kí hi u đư c n i v i b ng không m t c nh, ñư c g i ñơn ñ th ph n t ñ ghi ñi m tương ng hay đ th đơn thơng thư ng ñư c g i ñ th - Bi u di n c nh: N u c nh e v i hai đ nh v, w ñư c Đ nh nghĩa 1.1.3 Đ th G(V, E) khơng có khun có nh t m t bi u di n b ng m t ño n th ng hay m t ño n cong n i gi a hai ñi m c p ñ nh ñư c n i v i b ng hai c nh tr lên ñư c g i ña ñ v, w khơng qua m tương ng không gian khác - Bi u di n cung: N u cung e có đ nh đ u v, ñ nh cu i th Đ nh nghĩa 1.1.4 Đ th vô hư ng G(V, E) ñư c g i ñ th - ñ y w, đư c bi u di n b ng m t ño n th ng hay m t ño n cong ñ , n u m i c p ñ nh ñư c n i v i b ng ñúng m t c nh (m t ñư c ñ nh hư ng ñi t v sang w khơng qua m tương ng cung v i chi u dài tùy ý) không gian khác Đ nh nghĩa 1.1.5 Đa đ th vơ hư ng (có hư ng) G(V, E) đư c g i 1.2 B c c a ñ th ñ th k- ñ y ñ , n u m i c p ñ nh ñư c n i v i b ng ñúng k Đ nh nghĩa 1.2.1 Cho ñ th G(V, E), B c c a ñ nh v ∈ V t ng s c nh (k cung v i chi u dài tùy ý) c nh liên thu c v i ký hi u d(v) N u đ nh có khun m i Đ nh nghĩa 1.1.6 Đ th (ña ñ th ) G(V, E) ñư c g i ñ th (ña ñ khun đư c tính tính b c, v y: th ) k m ng, n u t p ñ nh V ñư c phân thành k t p r i V1, V2, d(v) := S c nh liên thu c v + 2*S khuyên V3,…,Vk mà m i c nh c a đ u có hai đ u thu c hai t p thành Đ nh nghĩa 1.2.2 Cho G = (V, E) ñ th có hư ng, v ∈ V ph n Vi, Vj (i≠j) khác Khi k = ta có đ th hai m ng, kí hi u -N a b c c a ñ nh v ∈ V s cung ñi t ñ nh v (v ñ nh ñ u) ký hi u d0(v) G(V1, V2:E) Đ nh nghĩa 1.1.7 Đ th (ña ñ th ) G(V, E) ñư c g i ñ th (ña ñ -N a b c vào c a ñ nh v ∈ V s cung ñi vào t ñ nh v (v th ) ph ng, n u có nh t m t d ng bi u di n hình h c tr i ñ nh cu i) ký hi u d1(v) m t m t ph ng ñó, mà c nh c a ñ th ch c t Đ nh lý 1.2.1 Trong m t ñ th hay ña ñ th tuỳ ý, t ng s b c c a ñ nh Đ nh nghĩa 1.1.8 Cho G(V, E) đ th , ta có : - Đ th G1(V1, E1) ñư c g i m t ñ th c a G n u V1 ⊆ V E1 = E ∩ (V1 x V1) - Đ th G2(V, E2) v i E2 ⊆ E ñư c g i ñ th riêng c a G(V, E) Bi u di n b ng hình h c c a đ th t t c đ nh bao gi g p đơi s c nh Đ nh lý 1.2.2 Trong m t ñ th hay ña ñ th tuỳ ý s ñ nh b c l luôn m t s ch n Đ nh lý 1.2.3 Trong m t ñ th v i n ( n ≥ 2) ñ nh có nh t đ nh b c 9 10 Đ nh lý 1.2.4 N u ñ th v i n (n > 2) đ nh có hai ñ nh Đ nh lý 1.3.2 N u ñ th có ñúng hai ñ nh b c l hai đ nh b c, hai đ nh khơng th đ ng th i có b c ho c n – ph i liên thơng Đ nh lý 1.2.5 S đ nh b c n - ñ th G v i n (n ≥ 4) ñ nh, mà Phân ho ch : đ nh tuỳ ý có nh t m t đ nh k v i đ nh cịn l i, khơng nh Gi s có t p M ≠ Ø Dãy t p c a M: V1 , V2 , …., Vm-1 , Vm n - ñư c g i m t phân ho ch c a t p M N u th a mãn ñ ng th i Đ nh lý 1.2.6 V i m i s t nhiên n (n > 2), ln t n t i đ th n ñ nh mà ñ nh b t kỳ c a đ th đ u khơng b c u ki n sau: 1) ∀ i (1≤ i ≤ m) Vi ≠ Ø 1.3 Đư ng ñi – Chu Trình – Tính liên thơng c a đ th 2) 1.3.1 Đ nh nghĩa Dãy µ c nh n i ti p b t ñ u t ñ nh v k t thúc t i ñ nh w S c nh dãy µ ∀ i, j (1≤ i, j ≤ m, i ≠ t ñ nh v ñ n ñ nh w dãy ñ nh g i ñ dài c a dãy µ ñư c bi u di n µ m UV 3) i =1 = (v, e1, i j) Vi ∩ V =Ø j =V v1, e2, v2, … , vn-1, en, w), vi = (i=1,…, n-1) ñ nh Đ nh lý 1.3.3 Dãy t p ñ nh c a thành ph n thu c ñ th dãy ei = (1,…, n) c nh dãy liên thu c ñ nh k trư c G(V,E) l p thành m t phân ho ch c a t p ñ nh V sau Các đ nh c nh dãy có th l p l i Đ nh lý 1.3.4 Đ th G(V, E) liên thông ch có m t Đ th vơ hư ng G(V, E) ñư c g i ñ th liên thơng, n u m i c p đ nh c a đ u liên thơng thành ph n liên thông nh t Đ nh lý 1.3.5 Gi s ñ th G có n ñ nh, m c nh, k thành ph n liên Đ th có hư ng G=(V, E) ñư c g i ñ th liên thông m nh, n u m i c p đ nh c a đ u liên thơng Gi s a ñ nh b t kỳ thu c ñ th G Dùng Ca ñ ký hi u t p ñ nh c a G, g m ñ nh a t t c ñ nh liên thơng v i a đ th G Đ th c a G, có t p đ nh Ca, ñư c g i m t thành ph n liên thơng c a đ th G H qu 1.3.2 N u ñ (n − 1)(n − 2) H qu 1.3.1 Đ th mà b c m i đ nh c a khơng nh m t n a s ñ nh, ñ th liên thơng th G có n đ nh s Đ nh lý 1.3.6 Gi s G(V, E) có có b c khơng nh 1.4 Cây c nh l n liên thơng Đ nh lý 1.3.1 Đ th v i n (n≥2) ñ nh, mà t ng b c c a hai ñ nh tùy ý đ u khơng nh n, đ th liên thông m ≤ (n − k )(n − k + 1) thơng Khi có b t ñ ng th c: V = n (n ≥ n    G(V, E) đ   2) ñ nh, n u m i ñ nh th liên thông 11 12 Đ nh nghĩa 1.4.1 Gi s G = (V, E) đ th vơ hư ng Ta nói r ng Cho đ th có hư ng G = (V, E) ñ th G m t n u liên thơng khơng có chu trình Chu trình có hư ng Euler c a ñ th G = (V, E) m t chu Đ nh lý 1.4.1 V i đ th vơ hư ng G(V, E) có s đ nh |V | = n ≥ 2, trình có hư ng qua m i cung m i ñ nh c a đ th , m i cung tính ch t sau tương đương: khơng q m t l n Đư ng có hư ng Euler đư ng có hư ng qua m i 1) G(V) m t 2) G(V) khơng có chu trình có n – c nh cung m i ñ nh c a ñ th , m i cung khơng q m t l n Đ th ch a chu trình Euler đư c g i Đ th Euler 3) G(V) liên thông có n – c nh 4) G(V) khơng có chu trình, n u thêm m t c nh n i ñ nh b t Đ nh lý 2.1.1.1 Trong m t ñ th G = (V, E), n u m i đ nh v i kì khơng k xu t hi n m t chu trình ∈ 5) G(V) liên thơng, n u b t m t c nh b t kỳ s m t tính H qu 2.1.1.1 Trong đ th G(V), n u đ nh đ u có b c ch n liên thơng t n t i m t chu trình đơn 6) M i c p ñ nh ñư c n i v i b ng m t ñư ng ñi ñơn Đ nh lý 2.1.1.2 Đ nh lý 1.4.2 M t có nh t hai ñ nh treo Euler ch đ nh đ u có b c ch n Đ nh nghĩa 1.4.2 Cây T ñư c g i bao trùm c a ñ th G(V) B đ 2.1.1.1 N u đa đ th vơ hư ng G = (V, E) đ th Eulere, n u T m t ñ th riêng c a G G ph i ch a không m t thành ph n liên thơng có c nh Đ nh lý 1.4.3 Đ th G(V) có bao trùm ch G(V) liên ñ nh ñ u b c ch n thông B ñ 2.1.1.2 N u đa đ th vơ hư ng G = (V, E) ch a khơng q 2.1 BÀI TỐN Đ Đ th vơ hư ng liên thơng G(V, E) có chu trình m t thành ph n liên thơng có c nh ñ nh ñ u b c ch n, G có Chương : M TS V có deg (vi) ≥ t n t i m t chu trình đơn TH CƠ B N Bài tốn v đư ng 2.1.1 Đư ng Euler – Chu trình Euler Trong m c ta ch xét đ th có đư ng đơn, chu trình chu trình Eulere H qu 2.1.1.2 Đ th liên thơng G(V) có đư ng Euler ch có đ nh b c l Đ nh lý 2.1.1.3 Đ th vô hư ng G(V,E) có |V| = n, |E| =m, m = 2n đơn khơng nh t thi t sơ c p +1 N u s ñư ng ñi có ñ dài ch n b ng s ñư ng có đ Đ nh nghĩa 2.1.1.1 Cho đ th G = (V, E) dài l Chu trình Euler c a ñ th G = (V, E) m t chu trình qua Đ nh lý 2.1.1.4.(Đ nh lý Euler) N u G(V, E) ñ th ph ng, liên = n ñ nh, m i c nh m i ñ nh c a ñ th , m i c nh khơng q m t l n thơng, có Đư ng Euler đư ng ñi qua m i c nh m i ñ nh c a ñ th , f n – m + f = m i c nh khơng q m t l n V E = m c nh bi u di n ph ng Gp có s di n 13 2.1.2 Đư ng ñi Hamilton – Chu trình Hamilton Đ nh nghĩa 2.1.2.1 Đư ng đ th vơ hư ng G = (V, E) ñư c g i ñư ng ñi Hamilton, n u ñi qua t t c ñ nh G qua m i ñ nh ñúng m t l n Nói cách khác, ñư ng ñi Hamilton m t ñư ng ñi sơ c p, mà qua t t c đ nh c a ñ th 14 Đ nh nghĩa 2.2.2 - Tô màu c nh c a m t ñ th m t phép gán màu cho c nh cho hai c nh k b t kỳ có màu khác - S màu q nh nh t dùng đ tơ màu t t c c nh c a ñ th ñư c g i s c l p Ký hi u χ (G ) = q Chu trình đ th G = (V, E) ñư c g i chu trình Nh n xét 2.2.1 S c l p c a đ th G(V,E) s c s c a đ th Hamilton, n u qua t t c ñ nh c a ñ th G qua m i ñ nh G(E,V) xác ñ nh sau: Các ñ nh c a G(V, E) c nh c a G(E, ñúng m t l n Nói cách khác, chu trình Hamilton m t chu trình sơ V); c nh c a G(V, E) ñ nh c a G(E, V) Do v y m i c p, mà ñi qua t t c ñ nh c a ñ th toán v s c l p ñ u chuy n v toán v s c s ngư c l i Đ th vô hư ng G = (V, E) ñư c g i ñ th Hamilton, n u Đ nh lý 2.2.1 N u m t ñ th ñ y ñ g m n ñ nh v i hai màu xanh có chu trình Hamilton đ mà b n đ nh tùy ý có nh t m t đ nh ñư c n i b ng c nh B ñ 2.1.2.1 Đ th vô hư ng n (n ≥ 3) ñ nh liên thông, thu n nh t ñ v i ba đ nh cịn l i có nh t n – ñ nh, mà m i đ nh b c có chu trình Hamilton ñư c n i b ng c nh ñ v i t ng đ nh cịn l i B ñ 2.1.2.2 Đ th vô hư ng G = (V, E) có chu trình Hamilton Đ nh lý 2.2.2 Trong m t đơn đ th ph ng có nh t m t đ nh có b c ch có m t đ th b ph n liên thông thu n nh t b c nh ho c b ng Đ nh lý 2.1.2.1 Đ th G(V) ñơn, ñ y ñ , có hư ng ln t n t i m t Đ nh lý 2.2.3 M i ñ th ph ng v đ nh, đơn, vơ hư ng đ u có s c s ñư ng ñi Hamilton bé ho c b ng Đ nh lý 2.1.2.2 Trong ñ th G(V) vô hư ng b c c a m i ñ nh H qu 2.2.1 Các di n c a đ th ph ng G(V) ln có th tô b ng màu cho di n k có màu s c khác V l n H qu 2.2.2 M i b n ñ đ a lý có th tơ b ng màu khác nhau.(Hai 2.2 nư c k đư c tơ b ng màu khác nhau) Khi G(V) ln có chu trình Hamilton Tơ màu đ th Đ nh lý 2.2.4 Đ th ñ y ñ G(V, E) g m ñ nh, c nh ñư c tơ Đ nh nghĩa 2.2.1 - Tơ màu đ nh c a m t ñ th m t phép gán màu cho ñ nh cho hai đ nh k b t kỳ có màu khác b ng màu xanh ho c ñ Khi có đ th đ y đ K3 xanh ho c ñ th ñ y ñ K4 ñ - S màu p nh nh t dùng ñ tô màu t t c ñ nh c a ñ th Đ nh 2.2.5.Đ th ñ y ñ G(V, E) g m 14 ñ nh c nh ñư c tô b ng ñư c g i s c s Khi đ th G(V) đư c g i p- s c Ký hi u màu xanh ho c đ Khi G(V, E) có đ th đ y đ K3 xanh ho c χ (G ) = p ñ th ñ y ñ K5 ñ 16 15 Đ nh lý 2.2.6 Cho dãy s nguyên dương xác ñ nh sau: a1 = 2, a2 = 5,…, an+1 = (n + 1)an +1 Trư c h t tác gi trình bày phương pháp đư c s d ng ph bi n su t c chương “Phương pháp đ th ” Khi đ th đ y ñ an + ñ nh v i n màu c nh (các c nh đư c tơ Đ gi i tốn logic T b ng phương pháp đ th ta ti n hành b ng n màu) ln có tam giác màu (các c nh đư c tô th c l n lư c theo bư c sau: m t màu) Xây d ng đ th G mơ t tồn b quan h ñư c cho toán Đ nh lý 2.2.7 Cho dãy nguyên dương xác ñ nh sau: T Đ nh L y ñi m m t ph ng ho c không gian b2 = b3 = 6,…,bn+1 = (bn – 1)n + Khi ñó ta có: tương ng v i ñ i tư ng cho tốn T S d ng kí a) Đ th đ y đ bn+1 ñ nh v i n màu c nh luôn có tam giác hi u ho c tên đ i tư ng ñ ghi ñ nh tương ng màu (các c nh đư c tơ m t màu) b) Đ th đ y đ có bn+1 -1 ñ nh (n ≥ 2) v i n màu c nh (các c nh đư c tơ n màu), cho khơng có tam giác màu nào, ln C nh Hai đ nh x, y tùy ý ñư c n i v i b ng m t c nh v i “tính ch t (t)” ch ñ i tư ng x, y có quan h (t) v i Khi đ th G mơ t tồn b quan h đư c cho ln có hình c nh v i c nh màu ñư ng chéo đư c tốn T Lúc tốn T ñã ñư c phát bi u dư i d ng tính ch t tơ b ng màu khác c a ñ th Chương : NG D NG LÝ THUY T Đ TH VÀO GI I BÀI TỐN LOGIC Trong chương này, tác gi h th ng, phân lo i m t s toán sơ c p có th gi i đư c b ng cách v n d ng ñ nh lý, k t Căn c ñ th G s k t qu c a lý thuy t ñ th , mà suy ñáp án c a tốn logic T b ng ngơn ng đ th Căn c vào ñ t tương ng xây d ng ñ nh c nh c a ñ th , mà chuy n ñáp án ngư c l i t ngơn ng đ th sang ngơn ng thơng thư ng, t c đáp án c a tốn T ban đ u qu v lý thuy t đ th đư c trình bày, ch ng minh chương chương Tuy nhiên, v m t phương pháp ñưa g p ph i m t s Chú ý: Đ trình gi i ñư c ñơn gi n ngư i ta thư ng th c hi n g p bư c bư c v n đ khó khăn h c sinh ph thơng đ i trà khơng đư c trang b V n d ng phương pháp nêu s trình bày cách m t cách h th ng v lý thuy t ñ th Do v y, tác gi ñã c g ng gi i m t s toán sơ c p theo t ng lo i sau: phát bi u l i m t s k t qu dư i d ng đơn gi n, ph thơng hóa đ 3.1 h c sinh có th v n d ng k t qu gi i ñư c m t s toán Bài toán 3.1.1(Thi Olympic Toán 1982 M ) sách giáo khoa hi n hành toán tương t Bài tốn v đ nh - c nh c a ñ th S ng m t ký túc xá có 1982 ngư i C b n ngư i bao gi ch n ñư c nh t m t ngư i quen v i c ba ngư i 17 18 l i Có nh t ngư i mà m i ngư i quen v i t t c mà m i đ i bi u có th nói chuy n tr c ti p v i t t c nh ng ngư i nh ng ngư i ký túc? cịn l i Bài tốn 3.1.2 Có 20 ñ i bóng thi ñ u v i nhau, m i đ i ph i đ u Bài tốn 3.1.9 Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n( n ≥ ) m t tr n v i ñ i khác Ch ng minh r ng vào b t c lúc có ln tìm đư c m t nhóm g m n ngư i, mà ngư i b t kỳ hai ñ i ñã ñ u m t s tr n nhóm đ u khơng có s ngư i quen b ng Bài toán 3.1.3 M t h i ngh g m có 2011 đ i bi u tham d Các đ i Bài tốn 3.1.10 Có đ i bóng đá, th l thi đ u sau: C m i ñ i bi u g p b t tay (hai ñ i bi u b t tay nhi u nh t bóng ph i thi đ u v i m t đ i bóng khác l n Ch ng minh r ng l n) Ch ng minh r ng s ñ i bi u b t tay m t s l l n m t s th i m mà m i đ i bóng ñ u ñư c tr n t n t i đ i bóng ch n mà m i ñ i ñã ñ u v i ñ i cịn l i Bài tốn 3.1.4 M t h i th o qu c t có n ≥ ñ i bi u tham d C Bài toán 3.1.11 Trong m t h i ngh có 23 đ i bi u b n đ i bi u có nh t m t ngư i nói chuy n ñư c tr c ti p v i ba Bi t r ng m i ñ i bi u có th giao ti p đư c nh t ñ i bi u ngư i Ch ng minh r ng có nh t n – ñ i bi u mà m i ngư i khác Ch ng minh r ng t n t i ñ i bi u có th giao ti p tr c ti p có th nói chuy n tr c ti p v i t t c nh ng ngư i cịn l i đư c v i Bài toán 3.1.5 Cho n ≥ s t nhiên tùy ý C s đ u có nh t Bài tốn 3.1.12 Có 16 nhà tốn h c g p m t s nguyên t v i ba s l i Ch ng minh r ng có h phát hi n r ng c ngư i h có nh t ngư i nói nh t n – s mà m i s nguyên t v i t t c s cịn đư c th ti ng (m i nhà toán h c nói đư c khơng nhi u l i th ti ng) Ch ng minh r ng nh t có nhà tốn h c nói đư c Bài toán 3.1.6 Ch ng minh r ng m t nhóm h c sinh tùy ý m t th ti ng g m t h c sinh tr lên ln ln có nh t h c sinh, mà h có s 3.2 Bài tốn v đư ng - chu trình tính liên thơng cu ñ th b n quen b ng nhóm h c sinh Bài tốn 3.2.1 Nhà vua m i 2n (n ≥ 2) k mã ñ n d ti c M i k Bài toán 3.1.7 Ch ng minh r ng n u m t nhóm tùy ý g m mã quen nh t n k mã ñ n d ti c Ch ng minh r ng ln ln có nh t ngư i, mà có ngư i có s ngư i quen b ng nhau, h th x p t t c k mã ng i xung quanh m t bàn trịn, đ m i ngư i khơng th khơng quen ho c đ ng th i quen t t c nh ng ngư i ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta quen l i nhóm Bài tốn 3.2.2 Khi v ngh hè m i h c sinh l p 10A trao đ i đ a ch Bài tốn 3.1.8 M t cu c h i th o qu c t v i n(n ≥ 4) ñ i bi u tham v i nh t m t n a s b n l p Ch ng minh r ng m i em h c gia C đ i bi u đ n d có nh t m t ngư i nói chuy n tr c ti p sinh l p 10A đ u có th báo tin (m t cách tr c ti p ho c gián ti p) ñư c v i ngư i cịn l i Ch ng minh r ng có nh t n – ñ i bi u, cho t t c b n l p 23 nư c khác H i ngh Qu c t 19 20 Bài toán 3.2.3 M t t p M g m nh t s ngun khơng âm M t ln có th x p t t c ñ i bi u ng i xung quanh m t bàn trịn, đ s đ u có c chung v i nh t m t n a s thu c t p M Khi có m i ngư i ng i gi a hai ngư i, mà ñ i bi u ñã b t tay th ghi t t c s thu c M lên m t đư ng trịn, đ m i s đ u đ ng Bài tốn 3.2.10 Trong m t đ t thi đ u bóng bàn có 2n (n ≥ 2) ñ u gi a hai s , mà có c chung th tham gia M i ñ u th g p t ng ñ u th khác m t l n Bài tốn 3.2.4 M t qu n đ o có 2n (n ≥ 1) hịn đ o M i hịn đ o có Trong thi đ u bóng bàn ch có kh th ng ho c thua Ch ng ñư ng ng m n i tr c ti p v i nh t n hịn đ o khác Ch ng minh minh r ng sau đ t thi đ u có th x p t t c ñ u th ñ ng thành r ng t m t ñ o b t kỳ thu c qu n ñ o ñ u có th ñi t i b t kỳ m t hàng d c, ñ ngư i ñ ng sau th ng ngư i ñ ng trư c trư c hịn đ o thu c qu n ñ o b ng ñư ng ng m anh (ch ) ta Bài toán 3.2.5 M t cu c h p có nh t đ i bi u Khi đ n h p m i Bài tốn 3.2.11 Trên bàn c x ô vuông Ch ng minh r ng ñ i bi u ñã b t tay nh t đ i bi u ñ n d h p Ch ng minh r ng ta mã khơng th qua t t c ơ, m i m t l n, r i tr v ln ln có th x p m t s ñ i bi u ng i xung quanh m t bàn trịn, xu t phát đ m i ngư i ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta ñã b t tay (Xét đ th có đ nh tương ng vng, hai Bài tốn 3.2.6 M t cu c h p có nh t ñ i bi u T ng s ngư i c a ñư ng chéo (2, 3) ho c (3, 2) n i b ng m t c nh Ta th y ñ th quen cu c h p c a hai đ i bi u tuỳ ý khơng s đ i bi u G( X) khơng liên thơng suy khơng có chu trình Hamilton) c a h i ngh Ch ng minh r ng ln ln có th x p t t c đ i 3.3 Bài tốn v tơ màu đ th bi u ng i xung quanh m t bàn tròn, ñ m i ñ i bi u ng i gi a hai đ i Bài tốn 3.3.1 Cho n m m t ph ng cho khơng có ba ñi m bi u mà anh (ch ) ta quen? th ng hàng M t s c p ñi m ñư c n i b ng ño n th ng tơ Bài tốn 3.2.7 Trong m t cu c h p có đ i bi u khơng quen màu xanh ho c đ , cho hai ñi m b t kỳ ñ u ñư c n i v i nhau m i ñ i bi u có m t s l ngư i quen ñ n d Ch ng b ng m t ñư ng g p khúc nh t g m ño n th ng ñã ñư c tơ minh r ng ln ln có th x p m t s ñ i bi u ng i chen gi a hai màu Ch ng minh r ng có th tơ n t đo n th ng cịn l i (có hai đ i bi u nói trên, ñ m i ngư i ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta ñ u t i n ñi m ñã cho) b ng màu xanh ho c ñ , ñ b t kỳ tam giác quen (có đ nh t i n m cho) có s c nh tơ ñ l Bài toán 3.2.8 Trong m t ph ng cho 2011 ñi m khác C n n i Bài toán 3.3.2 Mư i b y nhà khoa h c ñ n d h i ngh Qu c t M i nh t ño n th ng (có hai ñ u c a ñi m ñã cho) ñ ngư i s h ch bi t m t ba ngo i ng : Anh, Nga, Pháp ch c ch n bao gi ñư c m t tam giác Ch ng minh r ng có nh t nhà khoa h c bi t m t ba Bài tốn 3.2.9 Cu c h p có nh t ngư i M i ñ i bi u ñ n d h p ngo i ng nói đ u b t tay nh t m t n a s đ i bi u có m t Ch ng minh r ng ln Bài tốn 3.3.3 M t quan c n n ba ngư i ñ thành l p m t hai đ u nhóm có ñ l c biên d ch tài li u t sáu th ti ng: Anh, 21 22 Pháp, Nga, Đ c,Trung Qu c, B Đào Nha sang Ti ng Vi t Có Ch ng minh r ng s ch n có nh t n - s , mà m i b y ngư i đ n d n, m i ngư i ñ u bi t hai ch hai s có c chung v i t t c s ñã ch n sáu th ti ng nói b t c hai ngư i bi t nhi u Bài tốn 3.3.9 M t cu c h p có chín ñ i bi u, ñó ba ñ i bi u nh t m t th ti ng chung sáu th ti ng Bi t r ng th ti ng b t kỳ đ u có hai đ i bi u không quan Ch ng minh r ng có nh t ngư i bi t Li u có th x y trư ng h p khơng ln ln tìm đư c b n ñ i bi u thu c b n quan khác n ch n ñư c u c u nêu hay khơng? Bài tốn 3.3.10 Ch ng minh r ng 14 h c sinh tùy ý ln Bài tốn 3.3.4.(Vơ đ ch nư c Anh năm1980) Trong m t phịng tìm ñư c h c sinh ñôi m t h ho c h c sinh đơi m t khơng có 10 ngư i, bi t r ng gi a ngư i b t kỳ có ngư i quen h Ch ng minh r ng có th tìm đư c ngư i mà ngư i b t kỳ s Bài tốn 3.3.11 M t qu c gia có năm thành ph , mà c ba thành ph đ u quen K t qu có khơng s ngư i đ u có hai thành ph ñư c n i v i b ng c u hàng khơng Ch ng phịng ngư i, ngư i minh r ng khách du l ch có th tham quan b ng máy bay qua m i Bài tốn 3.3.5.(Đ thi Olympic Tồn Qu c t l n th 6) l n r i tr l i ñư c nơi xu t phát Mư i b y nhà Bác h c vi t thư cho M i ngư i ñ u vi t thư cho Bài toán 3.3.12 Ch ng minh r ng khơng gian có đư ng t t c ngư i khác Các thư ch trao ñ i v ñ tài T ng c p nhà Bác th ng, khơng có đư ng th ng ñ ng quy t i m t ñi m h c ch vi t thư trao ñ i v m t đ tài Ch ng minh r ng có khơng có đư ng th ng đ ng ph ng khơng có đư ng th ng nh t nhà Bác h c vi t thư cho trao ñ i v m t ñ tài song song, nh t đ nh có đư ng th ng đơi m t chéo Bài tốn 3.3.6 M t qu c gia có 14 sân bay Bi t r ng c sân bay Bài tốn 3.3.13 Cho chín s t nhiên, s tùy ý đ u có b t kỳ s có nh t hai sân bay có đư ng n i tr c ti p nh t hai s nguyên t Ch ng minh r ng ln tìm đư c Ch ng minh r ng có sân bay mà sân bay b t kỳ s có b n s ngun t (đơi m t ngun t nhau) ñư ng n i tr c ti p 3.4 M t s tốn logic chương trình ph thơng Bài tốn 3.3.7(Thi Olympic Tốn 1978, Bungary) M t nhóm g m Trong m c này, tác gi mu n chuy n m t s k t qu v lý thành viên, c ba ngư i có ngư i quen ngư i thuy t ñ th chương sang k t qu mà h c sinh ph khơng quen Ch ng minh r ng có th x p h ng i xung quanh thơng đ i trà có th v n d ng vào gi i m t s t p chương m t bàn trịn, đ m i ngư i đ u ng i gi a hai ngư i mà thành viên trình ph thơng hi n hành ho c đ t p cho h c sinh quen 3.4.1 Bài toán 3.3.8 L y n (n ≥ 4) s nguyên dương khác tuỳ ý, cho c s b t kỳ có nh t m t s có c chung v i s cịn l i ng d ng vào toán logic liên quan ñ n b c c a ñ th S d ng Đ nh lý 1.2.1 v b c c nh c a ñ th , ta có th phát bi u ch ng minh toán sau: 23 24 Bài toán 3.4.1 Cho m t kh i ña di n l i A1A2…An G i m1, m2, , mn Bài toán 3.4.11 Ch ng minh r ng ch có năm lo i kh i ña di n ñ u, l n lư t s c nh xu t phát t ñ nh A1, A2,…An c s c nh lo i: {3;3}, {4;3}, {5;3}, {3;5} (Kh i ña di n ñ u lo i c a kh i ña di n Khi ñó ta có m1 + m2 + …+ mn = 2c {p;q} kh i ña di n có m i m t m t ña giác ñ u ñúng p c nh Bài toán 3.4.2 Ch ng minh r ng n u kh i đa di n có m t tam m i ñ nh ñ nh chung c a ñúng q m t) giác s m t ph i s ch n 3.4.3 Bài toán 3.4.3 Ch ng minh r ng n u m t kh i đa di n có m i đ nh Bài tốn 3.4.12 [4, tr 300] Tr n thi ñ u th thao gi a hai ñ i A ñ nh chung c a c nh s đ nh ph i s ch n B g m ván Đ i th ng ván trư c s k t thúc cu c thi giành Bài toán 3.4.4 Ch ng minh r ng m t ña di n l i mà m i ñ nh c a chi n th ng Cu c thi ñ u có th di n theo cách khác ñ u ñ nh chung c a m t s l m t t ng s đ nh c a ph i nhau? m t s ch n Cho ví d Bài tốn 3.4.13 Có cách s p x p ch a, b, c, d Bài toán 3.4.5 Cho m t ña di n g m 10 ñ nh, bi t m i ñ nh c a ña cho ch b không ñi li n sau ch a di n n i ñư c ñ nh đ nh cịn l i H i đa di n có bao Bài tốn 3.4.14 Tìm t t c t p c a t p A= {3, 7, 9, 11, 24} nhiêu c nh? cho t ng giá tr c a ph n t c a m i t p nh 28 3.4.2 ng d ng vào toán logic liên quan ñ n ñ nh lý Euler Đ nh lý 3.4.1 (Công th c Euler) N u (H) m t đa di n l i có d 3.4.4 ng d ng vào toán logic liên quan ñ n bi u ñ ng d ng vào tốn logic liên quan đ n tơ màu ñ th Bài toán 3.4.15 (IMO 1979) [9,tr.141-143] ñ nh, c c nh, m m t d - c + m = Cho hình lăng tr có ñáy ñáy dư i ngũ giác Bài tốn 3.4.6 Ch ng minh r ng khơng t n t i m t hình đa di n l i A1A2A3A4A5 B1B2B3B4B5 M i c nh c a hai ngũ giác có c nh m i c nh 25 c nh AiBj (i, j = 1, ,5) đ u đư c tơ màu đ Bài tốn 3.4.7 Ch ng minh r ng khơng t n t i m t hình đa di n l i ho c xanh Bi t r ng b t kỳ tam giác t o thành t đ nh c a lăng khơng có m t tam giác góc tam di n tr mà c c nh đ u đư c tơ màu ph i có c nh có màu khác Bài tốn 3.4.8 Ch ng minh r ng khơng t n t i m t hình đa di n l i cho t t c m t c a có s c nh l n Ch ng minh r ng t t c 10 c nh c a hai ngũ giác ( ñáy Bài tốn 3.4.9 Cho kh i đa di n l i (H) có 20 đ nh, m i đ nh ñ u ñáy dư i) ñ u có m t màu n i ñư c ñ nh đ nh cịn l i H i đa di n (H) có Bài tốn 3.4.16 (IMO 1986) [9,tr.184-185] m t? Trong m t ph ng t a ñ , cho m t t p h u h n m có Bài tốn 3.4.10 Ch ng minh r ng m t ña di n l i, ln t n t i t a đ ngun H i r ng, có ph i ta ln ln có th tơ màu đ m t nh t ñ nh ñ nh c a m t góc tam di n ho c nh t m t m t s ñi m c a t p h p này, s l i ñư c tô màu xanh, cho v i tam giác b t kỳ ñư ng th ng L song song v i m t hai t a ñ s 25 26 khác (v giá tr t ñ i) c a s ñi m màu xanh s ñi m K T LU N màu ñ L s không l n 1? Hãy ch ng minh câu tr l i c a Trong lu n văn này, tác gi ñã t p trung vào vi c nghiên c u b n lý thuy t ñ th v n d ng k t qu c a đ gi i quy t Bài toán 3.4.16 [1,tr.428] toán logic chương trình tốn sơ c p đ t đư c k t qu Các b c tư ng c a m t phòng tri n lãm ch n n n nhà thành m t ña giác ph ng n c nh Hãy ch ng minh r ng ñ chi u sáng  n toàn b gian c a phòng tri n lãm ngư i ta ch c n   ng n ñèn (  3 ký hi u [ x ] ñ ch ph n nguyên c a x) sau: Nh m m c ñính t ng quan v m t s v n ñ b n nh t c a lý thuy t đ th : trình bày khái ni m, ñ nh nghĩa b n v lý thuy t ñ th , ñ nh lý, tính ch t ñư c áp d ng thi t th c hi u qu ñ gi i m t s l p toán sơ c p Làm n i b t ưu th c a lý thuy t ñ th vi c gi i m t s tốn sơ c p: Nêu đư c m t s tốn liên quan đ n đ nh, c nh, tơ màu, chu trình, đư ng c a đ th Các tốn đư c ch ng minh m t cách c th ñư c v n d ng có hi u qu vi c gi i toán sơ c p liên quan H th ng phân lo i m t s l p toán logic chương trình tốn sơ c p có th gi i b ng cách ng d ng hi u qu c a lý thuy t ñ th Bên c nh nh ng toán dành cho h c sinh l p chuyên, l p ch n, tác gi chuy n m t s k t qu v lý thuy t đ th thành tốn đ gi ng d y cho h c sinh ph thơng đ i trà Tuy nhiên, v i kh nghiên c u khoa h c h n ch , n i dung c a ñ tài r t m i ñ i v i gi , dù c g ng r t nhi u v n cịn có nh ng h n ch , c th là: Chưa nêu ñư c nhi u ñ nh lý v lý thuy t ñ th ; vi c phân lo i tốn chưa đa d ng, phong phú; vi c chuy n k t qu lý thuy t đ th sang tốn cho h c sinh ph thơng đ i trà  ... thuy t ñ th đ gi i tốn logic chương trình toán sơ Hơn n a, s lư ng t p ph thơng ng d ng chun đ đ gi i không nhi u Lu n văn “ ng d ng lý thuy t ñ th gi i l p tốn logic chương trình tốn ph thơng”... d dàng C u trúc lu n văn Ngồi ph n m đ u k t lu n lu n văn g m chương: Chương Đ i cương v ñ th Chương M t s tốn đ th b n Chương logic ng d ng lý thuy t ñ th vào gi i toán th t -Các ph n t v... ng tính ch t tơ b ng màu khác c a ñ th Chương : NG D NG LÝ THUY T Đ TH VÀO GI I BÀI TỐN LOGIC Trong chương này, tác gi h th ng, phân lo i m t s toán sơ c p có th gi i đư c b ng cách v n d ng