Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p nhóm

1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG NGUY N TH NG C HUY N L P LIÊN H P VÀ NG D NG VÀO QUAN H Đ NG CH T TRÊN CÁC p-NHĨM Chun ngành: Phương pháp tốn sơ c p Mã s : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng – Năm 2011 Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: Ti n sĩ Nguy n Ng c Châu Ph n bi n 1: TS Lê HồngTrí Ph n bi n 2: PGS TS Huỳnh Th Phùng Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư Ph m, Đ i h c Đà N ng M Đ U Lý ch n đ tài Bài tốn t ng quát c a nhóm h u h n, xác đ nh nhóm có c p cho trư c, ñã ñư c ñ b i A.Cayley năm 1878 Đây tốn khó cho đ n v n chưa có l i gi i ñ y ñ Năm 1939, P.Hall ñã ñ xu t m t quan m phân lo i nhóm, thơ phân lo i đ ng c u, sau: Hai nhóm G H đư c g i ñ ng ch t n u t n t i hai ñ ng c u ϕ : G / Z (G ) → H / Z ( H ) ψ : [G , G ] → [H , H ] cho bi u đ sau giao hốn ϕ ×ϕ G / Z (G ) × G / Z (G ) H / Z (H ) × H / Z (H ) ∂G [G, G ] ∂H ψ [H , H ] Z(G) [G, G ] l n lư t nhóm tâm nhóm giao hốn t c a G ; ∂ G ho c ∂ H hai ánh x ñư c cho b i (x, y ) a [x, y ]; v i x, y thu c G ho c H Cho a, b hai ph n t c a m t nhóm G Ta nói ph n t liên h p v i ph n t b a n u ∃ x ∈ G cho b = xax Quan h −1 liên h p m t quan h tương đương nhóm G, có vai trị nh t đ nh đ i v i tốn phân lo i đ ng ch t nhóm h u h n 4 Nh m tìm hi u quan h liên h p m t nhóm ng d ng c a vào quan h đ ng ch t gi a nhóm, tơi ch n ñ tài lu n văn th c s c a “L p liên h p ng d ng vào quan h ñ ng ch t p - nhóm” M c đích nghiên c u - Nghiên c u c u trúc nhóm quan h liên h p m t nhóm - Nghiên c u quan h ñ ng ch t gi a nhóm ng d ng c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t Đ i tư ng ph m vi nghiên c u - Nhóm p - nhóm h u h n - Quan h liên h p m t nhóm - Quan h đ ng ch t gi a nhóm - L p liên h p c a nh ng nhóm quen bi t - ng d ng c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t gi a m t vài l p p – nhóm Phương pháp nghiên c u - Nghiên c u tài li u v lý thuy t nhóm có liên quan đ n n i dung lu n văn, ñ c bi t quan h liên h p quan h ñ ng ch t t p nhóm - Nghiên c u tính b t bi n c a s l p liên h p có đ dài ñ i v i quan h ñ ng ch t, t s đưa ng d ng c th c a l p liên h p - Trao ñ i, th o lu n v i ngư i hư ng d n 5 C u trúc lu n văn M đ u Chương C u trúc nhóm quan h liên h p m t nhóm Chương Quan h ñ ng ch t t p nhóm ng d ng c a l p liên h p vào quan h ñ ng ch t K t lu n 6 Chương I C U TRÚC NHÓM VÀ QUAN H LIÊN H P TRONG M T NHĨM Ph n đ u chương nh c l i m t cách sơ lư c nh ng ki n th c b n v v c u trúc nhóm Ph n th hai c a chương trình bày quan h liên h p m t nhóm nh ng tính ch t c a 1.1 C U TRÚC NHĨM 1.1.1 Đ nh nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương 1.1.1.1 Đ nh nghĩa phép tốn hai Cho m t t p X ≠ ∅ M t phép tốn hai ngơi t p X m t ánh x t bình phương Đ X x X ñ n t p X f: XxX → X ( x, y ) a f( x, y Ph n t t ) f( x, y ) ñư c g i h p thành c a ph n t x v i ph n y c a phép tốn đó, đư c kí hi u b ng cách vi t x, y theo th t ñ t vào gi a x, y m t d u đ c trưng cho phép tốn, ch ng h n xTy, x ⊥ y, x y… 1.1.1.2 M t s tính ch t c a phép tốn hai ngơi i) Tính k t h p M t phép tốn hai ngơi, kí hi u * , t p X g i có tính k t h p n u b t kì ba ph n t x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z) ii) Tính giao hốn M t phép tốn hai ngơi * X đư c g i có tính giao hốn n u v i m i x, y ∈ X, x * y = y * x iii) Ph n t trung l p 7 Gi s t p X có m t phép tốn hai ngơi ký hi u * M t ph n t c a X, kí hi u e, g i ph n t trung l p bên trái (tương ng trung l p bên ph i) đ i v i phép tốn * n u ∀ x ∈ X, e * x = x ( tương ng x * e = x ) N u e v a trung l p bên trái, v a trung l p bên ph i ta nói e ph n t trung l p đ i v i phép tốn * N u phép tốn X đư c ký hi u phép nhân (tương ng phép tốn c ng) ph n t trung l p ñư c g i ph n t ñơn v (tương ng ph n t khơng) đư c ký hi u 1X hay (tương ng 0X hay 0) iv) Ph n t ñ i x ng Gi s t p X có phép tốn * v i ph n t trung l p e x m t ph n t c a X Ph n t x’ ∈ X ñư c g i ph n t ñ i x ng bên trái (tương ng bên ph i) c a ph n t x ñ i v i phép toán * n u x’ * x = e (tương ng x * x’ = e) N u ph n t x’ v a ph n t ñ i x ng bên trái, v a ph n t ñ i x ng bên ph i c a ph n t x ta nói x’ ph n t ñ i x ng c a x ñ i v i phép tốn * T đ nh nghĩa ta th y n u x’ ph n t ñ i x ng c a x ñ i v i phép tốn * x ph n t ñ i x ng c a x’ ñ i v i phép tốn đó, ta nói x x’ đ i x ng v i đ i v i phép tốn * N u phép tốn X đư c ký hi u phép nhân (tương ng phép c ng) ph n t ñ i x ng c a x ñư c g i ph n t ngh ch ñ o (tương ng ph n t ñ i) ñư c ký hi u x - (tương ng –x ) 8 Đ nh nghĩa 1.1 Cho X m t t p h p có xác đ nh m t phép tốn hai ngơi ký hi u * ; c p ( X, * ) ñư c g i m t nhóm n u: i) Phép tốn * có tính k t h p ii) Phép tốn * có ph n t trung l p iii) M i ph n t thu c X ñ u có ph n t đ i x ng đ i v i phép toán * N u X t p vơ h n ta nói X nhóm vô h n, n u t p X h u h n ta nói X nhóm h u h n S ph n t c a t p X ký hi u là: X g i c p c a nhóm X N u phép tốn hai ngơi nhóm X có tính giao hốn thi ta nói X m t nhóm giao hốn hay nhóm aben M nh đ 1.1 Gi s ( X, ) m t nhóm Khi đó: i) Ph n t trung l p cúa X nh t ii) V i m i x thu c X, ph n t ngh ch ñ o c a x nh t Đ nh lý 1.1 Trong m t nhóm, ta có: i) xy = xz ( yx = zx ) ⇒ y = z ii) Phương trình ax = b ( hay xa = b ) có nghi m nh t x = a-1b ( hay x = ba-1 ) iii) ( xy )-1 = y-1x-1 , v i x, y hai ph n t b t kỳ c a nhóm Đ nh nghĩa 1.2 Gi s p m t s nguyên t M t nhóm có c p m t lũy th a c a p ñư c g i m t p – nhóm 9 1.1.1.3 T p n đ nh Gi s t p X có phép tốn hai ngơi ký hi u * , A m t t p c a X T p A g i t p n ñ nh c a X ñ i v i phép toán * n u : ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A Khi A m t t p n đ nh c a X A có phép tốn ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A; g i phép toán c m sinh t phép toán X Đ nh nghĩa 1.3 M t t p n ñ nh A c a m t nhóm X đư c g i m t nhóm c a X n u A v i phép toán c m sinh m t nhóm, ký hi u A ≤ X Đ nh lý 1.2 Gi s A m t t p khác r ng c a m t nhóm X Các u ki n sau tương ñương: i) A m t nhóm c a X ii) ∀ x, y ∈ A; xy ∈ A x-1 ∈ A iii) ∀ x, y ∈ A; xy-1 ∈ A Đ nh lý 1.3 Giao c a m t h b t kỳ nh ng nhóm c a m t nhóm X m t nhóm c a X Đ nh nghĩa 1.4 Gi s U m t t p c a m t nhóm X Nhóm bé nh t c a X ch a U g i nhóm sinh b i U Ký hi u < U > N u U = { a1, a2,…, an-1, an } nhóm sinh b i U đư c ký hi u < a1, a2,…, an-1, an > 10 N u < U > = X, U ñư c g i m t h sinh c a X , hay cịn nói X đư c sinh b i U Đ nh nghĩa 1.5 M t nhóm X g i nhóm xyclic n u X ñư c sinh b i ch a ∈ X Ph n t m t ph n t a g i m t ph n t sinh c a X Nhóm xyclic c p n đư c ký hi u Cn 1.1.1.4 C p c a m t ph n t m t nhóm Gi s a m t ph n t b t kỳ c a nhóm X A nhóm c a X sinh b i a Ph n t a có c p vô h n n u A vô h n, trư ng h p khơng có m t s nguyên dương n cho an = e Ph n t a m có c p m , n u m s nguyên dương bé nh t cho a = e Ta ký hi u c p c a ph n t a ord ( a ) N u ord ( a ) = m, < a > = { a = 1, a , a , … , am-1 }, ta vi t < a / am = > , ord ( a ) = ch a = e 1.1.1.5 Đ nh lý Lagrange C p c a m t nhóm X h u h n b i c a c p c a m i nhóm c a H qu 1.1 C p c a m t ph n t tùy ý c a m t nhóm h u h n X c c a c p c a nhóm X M nh đ 1.2 M i nhóm xyclic đ u nhóm giao hốn M nh đ 1.3 Gi s X nhóm xyclic c p n sinh b i ph n t a 11 b = ak ∈ X Khi c p c a ph n t b b ng n , d c d chung l n nh t c a k n Đ nh nghĩa 1.6 Gi s S m t nhóm c a X V i m i a thu c X, t p h p aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } l n lư t ñư c g i l p k trái, l p k ph i c a nhóm S T p g m t t c l p k trái c a S nhóm X, đư c ký hi u X/S g i t p thương c a X nhóm S Đ nh nghĩa 1.7 S l p k trái c a S X ñư c g i ch s c a S X , ký hi u [ X : S ] = X / S Nh n xét: N u X nhóm h u h n, S ≤ X, X = S.X S = S [ X : S ] Đ nh nghĩa 1.8 Cho ( X, ) m t nhóm, m t nhóm S c a X đư c g i nhóm chu n t c c a X n u aS = Sa, v i m i a ∈ X, ký hi u S < X Đ nh lý 1.4 Gi s S m t nhóm c a X Các ñi u ki n sau tương ñương i) S chu n t c ii) x-1 sx ∈ S v i m i x ∈ X s ∈ S 1.1.1.6 Nhóm tâm Gi s X m t nhóm, ký hi u 12 Z(X) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } Khi Z(X) m t nhóm chu n t c c a X Ta g i Z ( X ) nhóm tâm tâm c a nhóm X Rõ ràng Z( X ) nhóm giao hốn c a X m i nhóm c a Z( X ) đ u nhóm chu n t c c a X Đ nh lý 1.5 N u S < X i) Quy t c cho tương ng c p ( aS, bS ) v i l p k trái abS X/S × X/S đ n X/S m t ánh x t ii) X/S v i phép toán hai ( aS, bS ) a abS m t nhóm, g i nhóm thương c a X S 1.1.1.7 Nhóm tâm hóa Cho m t nhóm X a ∈ X Khi t p CX (a) = { ∀x ∈ X / x−1ax = a, ∀a ∈ X } m t nhóm c a nhóm X đư c g i nhóm tâm hóa c a ph n t Rõ ràng Z ( X ) ≤ C X ( a ) a nhóm X Đ nh nghĩa 1.9 Cho X m t nhóm V i m i x, y ∈ X , ph n t [ x, y ] = x-1y-1xy đư c g i giao hốn t c a c p ph n t x, y Nhóm c a X ñư c sinh b i t t c giao hoán t [x, y], ∀ x, y ∈ X đư c g i nhóm giao hốn t (hay nhóm d n xu t ) c a X, ký hi u [ X, X ] M nh đ 1.4 Cho nhóm X Ta có: [ X, X ] < X Đ nh lý 1.6 Gi s X m t nhóm A ≤ Z ( X ) N u X/A nhóm 13 cyclic X m t nhóm Aben Ch ng minh Vì X/A nhóm cyclic nên ∃ a ∈ X cho X/A = [aA] Lúc đó, ∀ x ∈ X , xA ∈ X ⇒ ∃ m ∈ Z : xA = a m A Suy t n t i A h1 ∈ A : x = a m h1 ∀ y ∈ X , yA ∈ X A ⇒ ∃ k ∈ Z : yA = a k A Suy t n t i h2 ∈ A : y = a k h2 Vì A ≤ Z ( X ) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } xy = a m h1a k h2 = a m+k h1h2 = a k h2 a m h1 = yx V y X m t nhóm Aben 1.1.2 Đ ng c u nhóm Đ nh nghĩa 1.10 Gi s X Y hai nhóm M t ánh x f : X → Y ñư c g i m t ñ ng c u nhóm n u f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X N u X = Y đ ng c u f g i m t t ñ ng c u c a nhóm X M t đ ng c u nhóm f v i f m t ñơn ánh, (tương ng tồn ánh, song ánh) đư c g i m t đơn c u, (tương ng tồn c u, ñ ng c u) M t t ñ ng c u mà song ánh g i m t t đ ng c u N u có m t ñ ng c u t nhóm X ñ n nhóm Y ta nói hai nhóm X Y đ ng c u nhau, ký hi u X ≅ Y Đ nh nghĩa 1.11 Gi s f : X → Y m t đ ng c u t nhóm X đ n nhóm Y, ph n t trung l p c a X Y đư c kí hi u theo th t eX eY Ta kí hi u 14 Im f = f ( X ) Kerf = { x ∈ X / f ( x) = eY } = f −1 (eY ) g i Imf nh c a ñ ng c u f, Kerf h t nhân c a ñ ng c u f Đ nh lí 1.7 X, Y, Z nh ng nhóm f : X → Y g : Y → X nh ng đ ng c u Th ánh x tích gf : X → Z m t ñ ng Gi s c u Đ nh lý 1.8 N u f : X → Y m t ñ ng c u nhóm, ta có: i) f( eX ) = eY ii) f( x-1 ) = [ f( x ) ]-1 , v i m i x ∈ X 1.2 QUAN H LIÊN H P 1.2.1 Đ nh nghĩa quan h liên h p m t nhóm Cho nhóm X a, x thu c X Ph n t liên h p c a a b i ph n t xax-1 ∈ X, ñư c g i x, ký hi u ax = xax-1 Trong nhóm X ta xác đ nh m t quan h hai R sau: a, b ∈ X, a R b n u ∃ x ∈ X cho b = ax 1.2.2 Nh ng tính ch t c a quan h liên h p M nh ñ 1.5 Quan h liên h p ñư c xác ñ nh m t quan h tương ñương nhóm X M nh đ 1.6 Cho m t nhóm X, a ∈ X L p tương ñương ch a ph n t a, theo quan h liên h p, ký hi u Ca Ta có a ∈ Z ( X ) ⇔ Ca = {a} 15 B ñ Cho X m t nhóm, a ∈ X i) T n t i m t song ánh X/CX( a ) → Ca ii) Z( X ) ≤ CX( a ) N u X nhóm khơng giao hốn Z( X ) ≤ CX( a ) M nh đ 1.7 Cho m t nhóm X h u h n V i m i a ∈ X, ta có: Ca = [ X : C X (a )] i) Ca ≤ [ X , X ] iii) Ca ≤ X / Z( X ) ii) N u nhóm X khơng giao hốn Ca < X / Z ( X ) H qu 1.2 Gi s X p – nhóm h u h n, a ∈ X , k Ca = p , h t X / Z( X ) = p , [ X,X ] = p Lúc đó, ta có  k ≤ h  k ≤ t Khi X m t p – nhóm h u h n khơng giao hốn, ta ký hi u jk s l p liên h p g m pk ph n t N u X / Z ( X ) = ph [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t j0 = Z ( X ) 1.2.3 L p liên h p c a m t s nhóm quen bi t Như m t ví d minh h a, ph n s tính l p liên h p c a m t s nhóm quen bi t n−1 1/ D 2n = < x, y / x = y2 = , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 2/ Q2n = < x, y / x n −2 n−1 = y2 ; y-1xy = x −1 > ; n ≥ 3/ M = < x, y / x = y2 = ; y-1xy = x1+ n n−2 >; n ≥ 16 n−1 4/ S 2n = < x, y / x = y2 = ; y-1xy = x n−2 −1 >; n ≥ 5/ (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s, t < } 6/ (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  ≤ s, t ≤ 1, ≤ h < } B n nhóm D 2n , Q2n , M 2n , S 2n nhóm khơng giao hốn có c p 2n, hai nhóm (C1) (C2) nhóm khơng giao hốn c p 16 M nh đ 1.8 Nhóm D 2n , n ≥ 4, đư c chia thành 2n-2 + l p liên h p sau • Ce = { e } , • Cy = 2k • Cxy 2k + • • j0 = ; = { x2 } n-2 C x j = { x j , x2 {x = {x C x 2n-2 } − 1} y / k = 0; 2n-2 − y / k = 0; 2n-2 n−1 −j } ; j = 1; 2n-2 −1 j1 = 2n − − ; jn − = M nh đ 1.9 Nhóm Q , n ≥ ñư c chia thành 2n-2 + l p liên h p n sau = { x2 } n-2 • Ce = { e } , C • Cxj = { x j, x2 • C y = { x 2k y / k = 0; 2n-2 − } • Cxy = { x 2k + y / k = 0; 2n-2 − } x 2n-2 n −1 −j }, j = 1; n-2 − 17 j1 = 2n − − ; j0 = ; • jn− = M nh đ 1.10 Nhóm M , n ≥ có Z ( M 2n ) = x ñư c chia thành n 5.2n-3 l p liên h p sau • Cx 2t = { x 2t }, t = 0, 2n-2 − • C x 2k + = • C x k y = { x k y , x k + y / k = 0; 2n-2 − 1} • j0 = 2n −2 ; {x 2k + , x2k + 1+ 2n-2 } / k = 0, n-3 − n− j1 = n − + 2n −3 = 3.2n −3 M nh đ 1.11 Nhóm S 2n , n ≥ ñư c chia thành 2n-2 + l p liên h p sau • Ce = { e } , C • C x 2k = { x k , x • C x 2k+1 = • C 2n-2+ 2k +1 = x2 • Cy = • C xy • j0 = ; {x { x {x = {x 2k = { x2 } n-2 x 2n-2 n −1 k +1 n-2 −2k , x2 + 2k +1 } y , k = 1; 2n - − n−2 − ( k +1) n−1 , x2 k = 0; n -3 − }, −1} −(2k+1) y / k = 0; 2n-2 2k + }, y / k = 0; 2n-2 − j1 = 2n− − ; k = 0; 2n-4 −1 } jn− = 18 M nh đ 1.12 Nhóm (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s, t < } , ñư c chia thành 10 l p liên h p sau • Ce = { e }; C x = { x }; C y = { y }; • C x2 y = { x y } Cx = { x, x }; C y3 = { y , x y }; Cxy = { xy , x3 y } C xy = { xy , x y }; C xy = { xy , x y }; C y = { y , x y } • j0 = 4, j1 = M nh đ 1.13 Nhóm (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  ≤ s, t ≤ 1, ≤ h < }, có 10 l p liên h p • Ce ={e}; Cu2 = { u2 }; Cv ={v}; • Cx = { x, xv } ; Cu = {u, vu } ; Cvu2 = { vu2 } Cu3 = {u3 , vu3} Cxu = {xv, xvu}; Cxu2 = {xu2 , xvu2}; Cxu3 = {xu3, xvu3} • j0 = 4, j1 = 19 Chương II QUAN H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC NHÓM VÀ NG D NG C A L P LIÊN H P VÀO QUAN H Đ NG CH T Chương trình bày quan h ñ ng ch t t p nhóm, tính b t bi n c a s l p liên h p có đ dài đ i v i quan h ñ ng ch t Ph n cu i c a chương minh h a m t ng d ng c a l p liên h p vào quan h ñ ng ch t 2.1 QUAN H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC NHÓM Đ nh nghĩa quan h ñ ng ch t Cho X m t nhóm, ký hi u X’ = [ X, X ], X = X/Z( X ) Đ nh nghĩa ánh x ∂X: X × X → [ X, X ] ( x , y ) a [ x, y ] Hai nhóm X Y đư c g i ñ ng ch t n u t n t i hai ñ ng c u: ϕ: X →Y , ψ: X’ → Y’ cho bi u đ sau giao hốn ϕ ×ϕ X ×X Y ×Y ∂X [ X, X ] ∂Y ψ [ Y, Y ] 20 nghĩa ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X M nh ñ 2.1 Quan h ñ ng ch t t p nhóm m t quan h tương đương Xét ba nhóm khơng giao hốn sau (xem 1.2.3) D16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } S16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } Q16 = < x, y  x4 = y2 , y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s < 8, ≤ t ≤ } M nh đ 2.2 Ba nhóm S16 , Q16 , D16 quan h ñ ng ch t v i Ch ng minh T quan h b n nhóm S16, Q16, D16 Ta tính đư c, Z ( S16 ) ≅ Z ( Q16 ) ≅ Z ( D16 ) = < x > ≅ C2 S16 /Z( S16 ) ≅ Q16 /Z( Q16 ) ≅ D16 / Z( D16 ) = < x, y | x = y = [ x, y ] = > ≅ D8 [ S16, S16 ] = < [ x, y ] > = < x2 > ≅ C4 [ D16, D16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4 [ Q16, Q16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4 V i X Y hai ba nhóm ta d dàng ki m ch ng ñư c bi u ñ sau giao hốn ϕ ×ϕ Y ×Y X×X ∂X [ X, X ] ∂Y ψ [ Y, Y ] 21 nghĩa ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X Ch ng h n, ta xét X = D16 = < x, y x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } , Y = Q16 = < a, b  a4 = b2 , b-1ab = a-1 > = { as bt  ≤ s < 8, ≤ t ≤ } Ta có: Q16 /Z ( Q16 ) ≅ D16 / Z ( D16 ) ≅ D8 [D16, D16] ≅ [Q16, Q16] Ta xét hai ñ ng c u sau ϕ : D16 / Z ( D16 ) → Q16 / Z (Q16 ) x y ψ: a a a b [ D16 , D16 ] [ x, y ] (  ∂ o (ϕ × ϕ )  x, y   (ψ o ∂ ) ( x, → a ) ) [ Q16 , Q16 ] [ a, b ] ( ) ( ) = ∂ (ϕ × ϕ ) x, y  = ∂ a, b = [ a, b ]   ( ) y = ψ  ∂ x, y  = ψ ( [ x, y ] ) = [ a , b ]   ⇒ ∂ o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ nghĩa bi u đ sau giao hốn ϕ ×ϕ D16 Z ( D16 ) × D16 Z ( D16 ) Q16 Z ( Q16 ) × Q16 Z ( Q16 ) ∂ [ D16, D16 ] ∂ ψ [ Q16, Q16] 22 V y hai nhóm D16 Q16 đ ng ch t v i Đ nh lý (Tính b t bi n c a s l p liên h p ñ i v i quan h ñ ng ch t) X Y hai p-nhóm h u h n có c p, đ ng Gi s ch t v i Kí hi u jk (X) s l p liên h p có pk ph n t c a nhóm X Khi jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, … Ch ng minh Gi s X Y hai p-nhóm h u h n đ ng ch t v i nhau, t n t i hai ñ ng c u ϕ : X → Y , ψ : X ' → Y ' cho ϕ ×ϕ Y ×Y X×X ∂X ∂Y X’ Y’ ψ , ta có C X ( x) ≤ X ∀x ∈ X , ký hi u C X ( x) = C X ( x ) Z (X ) a ∈ X , ñ t b = ϕ ( a ) ∈ Y , b ∈ Y ∀x ∈ C X ( a ) , y = Y ñ ng ch t nên [ x, a ] = 1X ⇒ [ y, b ] ) = ⇒ y ∈ CY (b) ⇒ ϕ C X (a) ⊂ CY (b) Ngư c l i, v i v ∈ CY (b) Khi ∀u ∈ ϕ cho ϕ (u ) = v ( ϕ ( x ) Do X −1 (v ) ⇒ u ∈ CX ( a ) 23 ( Suy CY (b) ⊂ ϕ (CX (a)) V y ⇒ C X (a ) = CY (b) ⇒ CX (a) = CY (b) ) ϕ C X (a) = CY (b) X, Y h u h n ϕ song ánh Z ( X ) = Z (Y ) ⇒ Ca = Cb Do X Y p-nhóm h u h n nên jk( X ) = jk( Y ), k = 0,1,2,… 2.2 NG D NG C A CÁC L P LIÊN H P Đ I V I QUAN H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC p-NHĨM H U H N Xét hai nhóm khơng giao hốn c p 26 sau ( xem [4] ) X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, , [ x1, x2 ] = a, [ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1, i = 1, , [ xi, xj ] = 1, ∀(i, j ) ≠ (1, 2), (3, 4) > = { as bt x1i x2j x3k x4h / ≤ s, t, i, j, k, h ≤ } X2 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, , [ x1, x2 ] = a, [ x1, x3 ] = [ x2, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [a, xi] = 1, i = 1, , [ xi, xj ] = 1, ∀(i , j ) ≠ (1, 2), (1, 3), (2, 4) > = { as bt x1i x2j x3k x4h / ≤ s, t, i, j, k, h ≤ } M nh ñ 2.4 i) Nhóm X1 đư c chia thành 25 l p liên h p sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • C xm = { xm , axm }, m = 1, , C xn = { xn , bxn }, n = 3, , C x1x2 = { x1 x2 , ax1 x2 } , C x x = { x3 x4 , bx3 x4 } , Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Cbx1 x2 = { bx1 x2 , abx1 x2 } , 24 Caxn = { axn , abxn } , Cbxm = { bxm , abxm } • Cxm xn = { xm xn , axm xn , bxm xn , abxm xn } , ∀( m, n) ≠ (1, 2), (3, 4) Cxu xv x j = {xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j }; C x1 x2 x3 x4 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 } • j0 = , j1 = 12 , j2 = ii) Nhóm X2 đư c chia thành 22 l p liên h p sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • C xn = { xn , bxn }, n = 3, , Cx3x4 = { x3 x4 , bx3 x4 } , Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Caxn = { axn , abxn } • C xm = { xm , axm , bxm , abxm }, m = 1, • C x x = { xu xv , axu xv , bxu xv , abxu xv } u = 1, , v = 2, , u ≠ v u v Cxu xv x j = { xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j }, ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j Cx1x2 x3 x4 = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 } • j0 = 4, j1 = 6, j2 = 12 T M nh ñ ta th y j0(X1) = j0(X2) = 4, j1(X1) = 12 ≠ j1(X2) = , j2(X1) = ≠ j2(X2) = 12 theo Đ nh lý 2.1.2 ta có h qu sau H qu Hai nhóm X1 X2 khơng đ ng ch t v i 25 K T LU N Lu n văn “L p liên h p ng d ng vào quan h đ ng ch t p - nhóm” ñã th c hi n ñư c n i dung sau: Kh o sát tính ch t c a quan h liên h p m t nhóm, xác đ nh đư c l p liên h p c a m t s p-nhóm, c th nhóm: D 2n , Q2n , M 2n , S 2n , ( C1 ) ( C2 ) Kh o sát quan h ñ ng ch t t p nhóm, cho m t s ví d minh h a Ch ng minh tính b t bi n c a s l p liên h p có đ dài đ i v i quan h ñ ng ch t t p p-nhóm h u h n Đưa m t ví d th hi n ng d ng c a quan h liên h p ñ i v i quan h ñ ng ch t t p p-nhóm h u h n Hy v ng r ng n i dung c a đ tài cịn ti p t c đư c hồn thi n m r ng nhi u n a, nh m gi i quy t tốn phân lo i đ ng ch t p-nhóm h u h n  ... a trung l p bên trái, v a trung l p bên ph i ta nói e ph n t trung l p ñ i v i ph? ?p toán * N u ph? ?p tốn X đư c ký hi u ph? ?p nhân (tương ng ph? ?p tốn c ng) ph n t trung l p ñư c g i ph n t đơn... liên h p m t nhóm - Quan h đ ng ch t gi a nhóm - L p liên h p c a nh ng nhóm quen bi t - ng d ng c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t gi a m t vài l p p – nhóm Phương ph? ?p nghiên c u - Nghiên... nhóm quan h liên h p m t nhóm - Nghiên c u quan h ñ ng ch t gi a nhóm ng d ng c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t Đ i tư ng ph m vi nghiên c u - Nhóm p - nhóm h u h n - Quan h liên h p m