Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p-nhóm

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN CÁC p-NHĨM Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Cơng trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 1: TS Lê HồngTrí Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn tổng qt nhóm hữu hạn, xác định nhóm có cấp cho trước, ñược ñề A.Cayley năm 1878 Đây tốn khó chưa có lời giải ñầy ñủ Năm 1939, P.Hall ñã ñề xuất quan điểm phân loại nhóm, thơ phân loại đẳng cấu, sau: Hai nhóm G H gọi ñồng chất tồn hai ñẳng cấu ϕ : G / Z (G ) → H / Z ( H ) ψ : [G , G ] → [H , H ] cho biểu ñồ sau giao hốn ϕ ×ϕ G / Z (G ) × G / Z (G ) H / Z (H ) × H / Z (H ) ∂G [G, G ] ∂H ψ [H , H ] Z(G) [G, G ] nhóm tâm nhóm giao hốn tử G ; ∂ G ∂ H hai ánh xạ ñược cho (x, y ) a [x, y ]; với x, y thuộc G H Cho a, b hai phần tử nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a ∃ x ∈ G cho b = xax −1 Quan hệ liên hợp quan hệ tương ñương nhóm G, có vai trị định tốn phân loại đồng chất nhóm hữu hạn Footer Page of 126 Header Page of 126 Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp nhóm ứng dụng vào quan hệ đồng chất nhóm, tơi chọn đề tài luận văn thạc sỹ “Lớp liên hợp ứng dụng vào quan hệ ñồng chất p - nhóm” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm quan hệ liên hợp nhóm - Nghiên cứu quan hệ đồng chất nhóm ứng dụng quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p - nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm - Quan hệ ñồng chất nhóm - Lớp liên hợp nhóm quen biết - Ứng dụng quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất vài lớp p – nhóm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan ñến nội dung luận văn, ñặc biệt quan hệ liên hợp quan hệ ñồng chất tập nhóm - Nghiên cứu tính bất biến số lớp liên hợp có độ dài quan hệ đồng chất, từ đưa ứng dụng cụ thể lớp liên hợp - Trao ñổi, thảo luận với người hướng dẫn Footer Page of 126 Header Page of 126 5 Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương Cấu trúc nhóm quan hệ liên hợp nhóm Chương Quan hệ đồng chất tập nhóm ứng dụng lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất Kết luận Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương I CẤU TRÚC NHÓM VÀ QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHĨM Phần đầu chương nhắc lại cách sơ lược kiến thức về cấu trúc nhóm Phần thứ hai chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính chất 1.1 CẤU TRÚC NHĨM 1.1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương 1.1.1.1 Định nghĩa phép tốn hai ngơi Cho tập X ≠ ∅ Một phép tốn hai ngơi tập X ánh xạ từ bình phương Đềcác X x X ñến tập X f: XxX → X ( x, y ) a f( x, y ) Phần tử f( x, y ) ñược gọi hợp thành phần tử x với phần tử y phép tốn đó, ñược kí hiệu cách viết x, y theo thứ tự ñặt vào x, y dấu ñặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xTy, x ⊥ y, x y… 1.1.1.2 Một số tính chất phép tốn hai ngơi i) Tính kết hợp Một phép tốn hai ngơi, kí hiệu * , tập X gọi có tính kết hợp ba phần tử x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z) ii) Tính giao hốn Một phép tốn hai ngơi * X gọi có tính giao hốn với x, y ∈ X, x * y = y * x iii) Phần tử trung lập Footer Page of 126 Header Page of 126 Giả sử tập X có phép tốn hai ngơi ký hiệu * Một phần tử X, kí hiệu e, gọi phần tử trung lập bên trái (tương ứng trung lập bên phải) phép tốn * ∀ x ∈ X, e * x = x ( tương ứng x * e = x ) Nếu e vừa trung lập bên trái, vừa trung lập bên phải ta nói e phần tử trung lập phép tốn * Nếu phép tốn X ñược ký hiệu phép nhân (tương ứng phép tốn cộng) phần tử trung lập gọi phần tử đơn vị (tương ứng phần tử khơng) ñược ký hiệu 1X hay (tương ứng 0X hay 0) iv) Phần tử ñối xứng Giả sử tập X có phép tốn * với phần tử trung lập e x phần tử X Phần tử x’ ∈ X ñược gọi phần tử ñối xứng bên trái (tương ứng bên phải) phần tử x phép tốn * x’ * x = e (tương ứng x * x’ = e) Nếu phần tử x’ vừa phần tử ñối xứng bên trái, vừa phần tử ñối xứng bên phải phần tử x ta nói x’ phần tử đối xứng x phép tốn * Từ ñịnh nghĩa ta thấy x’ phần tử đối xứng x phép tốn * x phần tử đối xứng x’ phép tốn đó, ta nói x x’ ñối xứng với ñối với phép tốn * Nếu phép tốn X ký hiệu phép nhân (tương ứng phép cộng) phần tử ñối xứng x ñược gọi phần tử nghịch ñảo (tương ứng phần tử ñối) ñược ký hiệu x - (tương ứng –x ) Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp có xác định phép tốn hai ngơi ký hiệu * ; cặp ( X, * ) ñược gọi nhóm nếu: i) Phép tốn * có tính kết hợp ii) Phép tốn * có phần tử trung lập iii) Mọi phần tử thuộc X có phần tử đối xứng phép tốn * Nếu X tập vơ hạn ta nói X nhóm vơ hạn, tập X hữu hạn ta nói X nhóm hữu hạn Số phần tử tập X ký hiệu là: X gọi cấp nhóm X Nếu phép tốn hai ngơi nhóm X có tính giao hốn thi ta nói X nhóm giao hốn hay nhóm aben Mệnh đề 1.1 Giả sử ( X, ) nhóm Khi đó: i) Phần tử trung lập cúa X ii) Với x thuộc X, phần tử nghịch ñảo x Định lý 1.1 Trong nhóm, ta có: i) xy = xz ( yx = zx ) ⇒ y = z ii) Phương trình ax = b ( hay xa = b ) có nghiệm x = a-1b ( hay x = ba-1 ) iii) ( xy )-1 = y-1x-1 , với x, y hai phần tử nhóm Định nghĩa 1.2 Giả sử p số nguyên tố Một nhóm có cấp lũy thừa p gọi p – nhóm Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.1.3 Tập ổn định Giả sử tập X có phép tốn hai ký hiệu * , A tập X Tập A gọi tập ổn định X phép tốn * : ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A Khi A tập ổn ñịnh X A có phép tốn ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A; gọi phép toán cảm sinh từ phép toán X Định nghĩa 1.3 Một tập ổn định A nhóm X gọi nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm, ký hiệu A ≤ X Định lý 1.2 Giả sử A tập khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: i) A nhóm X ii) ∀ x, y ∈ A; xy ∈ A x-1 ∈ A iii) ∀ x, y ∈ A; xy-1 ∈ A Định lý 1.3 Giao họ nhóm nhóm X nhóm X Định nghĩa 1.4 Giả sử U tập nhóm X Nhóm bé X chứa U gọi nhóm sinh U Ký hiệu < U > Nếu U = { a1, a2,…, an-1, an } nhóm sinh U ñược ký hiệu < a1, a2,…, an-1, an > Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 Nếu < U > = X, U ñược gọi hệ sinh X , hay cịn nói X sinh U Định nghĩa 1.5 Một nhóm X gọi nhóm xyclic X ñược sinh phần tử a ∈ X Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm xyclic cấp n ký hiệu Cn 1.1.1.4 Cấp phần tử nhóm Giả sử a phần tử nhóm X A nhóm X sinh a Phần tử a có cấp vơ hạn A vơ hạn, trường hợp khơng có số nguyên dương n cho an = e Phần tử a có cấp m , m số nguyên dương bé cho am = e Ta ký hiệu cấp phần tử a ord ( a ) Nếu ord ( a ) = m, < a > = { a0 = 1, a1, a2, … , am-1 }, ta viết < a / am = > , ord ( a ) = a = e 1.1.1.5 Định lý Lagrange Cấp nhóm X hữu hạn bội cấp nhóm Hệ 1.1 Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn X ước cấp nhóm X Mệnh đề 1.2 Mọi nhóm xyclic nhóm giao hốn Mệnh đề 1.3 Giả sử X nhóm xyclic cấp n sinh phần tử a Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 11 b = ak ∈ X Khi cấp phần tử b n , d ước d chung lớn k n Định nghĩa 1.6 Giả sử S nhóm X Với a thuộc X, tập hợp aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } ñược gọi lớp kề trái, lớp kề phải nhóm S Tập gồm tất lớp kề trái S nhóm X, ký hiệu X/S gọi tập thương X nhóm S Định nghĩa 1.7 Số lớp kề trái S X ñược gọi số S X , ký hiệu [ X : S ] = X / S Nhận xét: Nếu X nhóm hữu hạn, S ≤ X, X = S.X S = S [ X : S ] Định nghĩa 1.8 Cho ( X, ) nhóm, nhóm S X gọi nhóm chuẩn tắc X aS = Sa, với a ∈ X, ký hiệu S < X Định lý 1.4 Giả sử S nhóm X Các ñiều kiện sau tương ñương i) S chuẩn tắc ii) x-1 sx ∈ S với x ∈ X s ∈ S 1.1.1.6 Nhóm tâm Giả sử X nhóm, ký hiệu Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 12 Z(X) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } Khi Z(X) nhóm chuẩn tắc X Ta gọi Z ( X ) nhóm tâm tâm nhóm X Rõ ràng Z( X ) nhóm giao hốn X nhóm Z( X ) nhóm chuẩn tắc X Định lý 1.5 Nếu S < X i) Quy tắc cho tương ứng cặp ( aS, bS ) với lớp kề trái abS ánh xạ từ X/S × X/S đến X/S ii) X/S với phép tốn hai ( aS, bS ) a abS nhóm, gọi nhóm thương X S 1.1.1.7 Nhóm tâm hóa Cho nhóm X a ∈ X Khi tập CX (a) = { ∀x ∈ X / x−1ax = a, ∀a ∈ X } nhóm nhóm X gọi nhóm tâm hóa phần tử a nhóm X Rõ ràng Z ( X ) ≤ C X ( a ) Định nghĩa 1.9 Cho X nhóm Với x, y ∈ X , phần tử [ x, y ] = x-1y-1xy ñược gọi giao hốn tử cặp phần tử x, y Nhóm X ñược sinh tất giao hoán tử [x, y], ∀ x, y ∈ X gọi nhóm giao hốn tử (hay nhóm dẫn xuất ) X, ký hiệu [ X, X ] Mệnh đề 1.4 Cho nhóm X Ta có: [ X, X ] < X Định lý 1.6 Giả sử X nhóm A ≤ Z ( X ) Nếu X/A nhóm Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 13 cyclic X nhóm Aben Chứng minh Vì X/A nhóm cyclic nên ∃ a ∈ X cho X/A = [aA] Lúc đó, ∀ x ∈ X , xA ∈ X ⇒ ∃ m ∈ Z : xA = a m A Suy tồn A h1 ∈ A : x = a m h1 ∀ y ∈ X , yA ∈ X A ⇒ ∃ k ∈ Z : yA = a k A Suy tồn h2 ∈ A : y = a k h2 Vì A ≤ Z ( X ) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } xy = a m h1a k h2 = a m+k h1h2 = a k h2 a m h1 = yx Vậy X nhóm Aben 1.1.2 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.10 Giả sử X Y hai nhóm Một ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu nhóm f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu nhóm X Một đồng cấu nhóm f với f đơn ánh, (tương ứng tồn ánh, song ánh) gọi đơn cấu, (tương ứng tồn cấu, ñẳng cấu) Một tự ñồng cấu mà song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu có đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ta nói hai nhóm X Y đẳng cấu nhau, ký hiệu X ≅ Y Định nghĩa 1.11 Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, phần tử trung lập X Y kí hiệu theo thứ tự eX eY Ta kí hiệu Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 14 Im f = f ( X ) Kerf = { x ∈ X / f ( x) = eY } = f −1 (eY ) gọi Imf ảnh ñồng cấu f, Kerf hạt nhân ñồng cấu f Định lí 1.7 Giả sử X, Y, Z nhóm f : X → Y g : Y → X đồng cấu Thế ánh xạ tích gf : X → Z đồng cấu Định lý 1.8 Nếu f : X → Y đồng cấu nhóm, ta có: i) f( eX ) = eY ii) f( x-1 ) = [ f( x ) ]-1 , với x ∈ X 1.2 QUAN HỆ LIÊN HỢP 1.2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp nhóm Cho nhóm X a, x thuộc X Phần tử xax-1 ∈ X, ñược gọi liên hợp a phần tử x, ký hiệu ax = xax-1 Trong nhóm X ta xác ñịnh quan hệ hai R sau: a, b ∈ X, a R b ∃ x ∈ X cho b = ax 1.2.2 Những tính chất quan hệ liên hợp Mệnh ñề 1.5 Quan hệ liên hợp ñược xác ñịnh quan hệ tương đương nhóm X Mệnh đề 1.6 Cho nhóm X, a ∈ X Lớp tương đương chứa phần tử a , theo quan hệ liên hợp, ký hiệu Ca Ta có a ∈ Z ( X ) ⇔ Ca = {a} Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15 Bổ ñề Cho X nhóm, a ∈ X i) Tồn song ánh X/CX( a ) → Ca ii) Z( X ) ≤ CX( a ) Nếu X nhóm khơng giao hốn Z( X ) ≤ CX( a ) Mệnh đề 1.7 Cho nhóm X hữu hạn Với a ∈ X, ta có: Ca = [ X : C X (a )] i) Ca ≤ [ X , X ] iii) Ca ≤ X / Z( X ) ii) Nếu nhóm X khơng giao hốn Ca < X / Z ( X ) Hệ 1.2 Giả sử X p – nhóm hữu hạn, a ∈ X , k Ca = p , h t X / Z( X ) = p , [ X,X ] = p Lúc đó, ta có  k ≤ h k ≤ t Khi X p – nhóm hữu hạn khơng giao hốn, ta ký hiệu jk số lớp liên hợp gồm pk phần tử Nếu X / Z ( X ) = ph [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t j0 = Z ( X ) 1.2.3 Lớp liên hợp số nhóm quen biết Như ví dụ minh họa, phần tính lớp liên hợp số nhóm quen biết n−1 1/ D 2n = < x, y / x = y2 = , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 2/ Q2n = < x, y / x n −2 n−1 = y2 ; y-1xy = x −1 > ; n ≥ 3/ M = < x, y / x = y2 = ; y-1xy = x1+ n Footer Page 15 of 126 n−2 >; n ≥ Header Page 16 of 126 16 n−1 4/ S 2n = < x, y / x = y2 = ; y-1xy = x n−2 −1 >; n ≥ 5/ (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s, t < } 6/ (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  ≤ s, t ≤ 1, ≤ h < } Bốn nhóm D 2n , Q2n , M 2n , S 2n nhóm khơng giao hốn có cấp 2n, hai nhóm (C1) (C2) nhóm khơng giao hốn cấp 16 Mệnh đề 1.8 Nhóm D 2n , n ≥ 4, ñược chia thành 2n-2 + lớp liên hợp sau • Ce = { e } , • Cy = 2k • Cxy 2k + • C x j = { x j , x2 • j0 = ; {x = {x C = { x2 } n-2 x 2n-2 } − 1} y / k = 0; 2n-2 − y / k = 0; 2n-2 n−1 −j } ; j = 1; 2n-2 −1 j1 = 2n − − ; jn − = Mệnh đề 1.9 Nhóm Q , n ≥ ñược chia thành 2n-2 + lớp liên hợp n sau = { x2 } n-2 • Ce = { e } , C • Cxj = { x j, x2 • C y = { x 2k y / k = 0; 2n-2 − } • Cxy = { x 2k + y / k = 0; 2n-2 − } Footer Page 16 of 126 x 2n-2 n −1 −j }, j = 1; n-2 − Header Page 17 of 126 17 j1 = 2n − − ; j0 = ; • jn− = Mệnh đề 1.10 Nhóm M , n ≥ có Z ( M 2n ) = x ñược chia thành n 5.2n-3 lớp liên hợp sau • Cx 2t = { x 2t }, t = 0, 2n-2 − • C x 2k + = • C x k y = { x k y , x k + y / k = 0; 2n-2 − 1} • j0 = 2n −2 ; {x 2k + , x2k + 1+ 2n-2 } / k = 0, n-3 − n− j1 = n − + 2n −3 = 3.2n −3 Mệnh đề 1.11 Nhóm S 2n , n ≥ ñược chia thành 2n-2 + lớp liên hợp sau • Ce = { e } , C • C x 2k = { x k , x • C x 2k+1 = • C 2n-2+ 2k +1 = x2 • Cy = • C xy • j0 = ; {x { x Footer Page 17 of 126 {x = {x 2k = { x2 } n-2 x 2n-2 n −1 k +1 n-2 −2k , x2 + 2k +1 } y , k = 1; 2n - − n−2 − ( k +1) n−1 , x2 k = 0; n -3 − }, −1} −(2k+1) y / k = 0; 2n-2 2k + }, y / k = 0; 2n-2 − j1 = 2n− − ; k = 0; 2n-4 −1 } jn− = Header Page 18 of 126 18 Mệnh đề 1.12 Nhóm (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s, t < } , ñược chia thành 10 lớp liên hợp sau • Ce = { e }; C x = { x }; C y = { y }; • C x2 y = { x y } Cx = { x, x }; C y3 = { y , x y }; Cxy = { xy , x3 y } C xy = { xy , x y }; C xy = { xy , x y }; C y = { y , x y } • j0 = 4, j1 = Mệnh ñề 1.13 Nhóm (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  ≤ s, t ≤ 1, ≤ h < }, có 10 lớp liên hợp • Ce ={e}; Cu2 = { u2 }; Cv ={v}; • Cx = { x, xv } ; Cu = {u, vu } ; Cvu2 = { vu2 } Cu3 = {u3 , vu3} Cxu = {xv, xvu}; Cxu2 = {xu2 , xvu2}; Cxu3 = {xu3, xvu3} • j0 = 4, Footer Page 18 of 126 j1 = Header Page 19 of 126 19 Chương II QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM VÀ ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT Chương trình bày quan hệ đồng chất tập nhóm, tính bất biến số lớp liên hợp có độ dài quan hệ ñồng chất Phần cuối chương minh họa ứng dụng lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất 2.1 QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM Định nghĩa quan hệ đồng chất Cho X nhóm, ký hiệu X’ = [ X, X ], X = X/Z( X ) Định nghĩa ánh xạ ∂X: X × X → [ X, X ] ( x , y ) a [ x, y ] Hai nhóm X Y ñược gọi ñồng chất tồn hai ñẳng cấu: ϕ: X →Y , ψ: X’ → Y’ cho biểu đồ sau giao hốn ϕ ×ϕ X ×X Y ×Y ∂X [ X, X ] Footer Page 19 of 126 ∂Y ψ [ Y, Y ] Header Page 20 of 126 20 nghĩa ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X Mệnh ñề 2.1 Quan hệ ñồng chất tập nhóm quan hệ tương đương Xét ba nhóm khơng giao hoán sau (xem 1.2.3) D16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } S16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x3 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } Q16 = < x, y  x4 = y2 , y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s < 8, ≤ t ≤ } Mệnh ñề 2.2 Ba nhóm S16 , Q16 , D16 quan hệ đồng chất với Chứng minh Từ quan hệ nhóm S16, Q16, D16 Ta tính được, Z ( S16 ) ≅ Z ( Q16 ) ≅ Z ( D16 ) = < x > ≅ C2 S16 /Z( S16 ) ≅ Q16 /Z( Q16 ) ≅ D16 / Z( D16 ) = < x, y | x = y = [ x, y ] = > ≅ D8 [ S16, S16 ] = < [ x, y ] > = < x2 > ≅ C4 [ D16, D16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4 [ Q16, Q16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4 Với X Y hai ba nhóm ta dễ dàng kiểm chứng biểu đồ sau giao hốn ϕ ×ϕ Y ×Y X×X ∂X [ X, X ] Footer Page 20 of 126 ∂Y ψ [ Y, Y ] Header Page 21 of 126 21 nghĩa ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X Chẳng hạn, ta xét X = D16 = < x, y x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 > = { xs yt  ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ } , Y = Q16 = < a, b  a4 = b2 , b-1ab = a-1 > = { as bt  ≤ s < 8, ≤ t ≤ } Ta có: Q16 /Z ( Q16 ) ≅ D16 / Z ( D16 ) ≅ D8 [D16, D16] ≅ [Q16, Q16] Ta xét hai ñẳng cấu sau ϕ : D16 / Z ( D16 ) → Q16 / Z (Q16 ) ψ: x a a y a b [ D16 , D16 ] [ x, y ] (  ∂ o (ϕ × ϕ )  x, y (ψ o ∂ ) ( x, → a ) ) [ Q16 , Q16 ] [ a, b ] ( ) ( ) = ∂ (ϕ × ϕ ) x, y  = ∂ a, b = [ a, b ]   ( ) y = ψ  ∂ x, y  = ψ ( [ x, y ] ) = [ a , b ]   ⇒ ∂ o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ nghĩa biểu đồ sau giao hốn ϕ ×ϕ D16 Z ( D16 ) × D16 Z ( D16 ) Q16 Z ( Q16 ) × Q16 Z ( Q16 ) ∂ [ D16, D16 ] Footer Page 21 of 126 ∂ ψ [ Q16, Q16] Header Page 22 of 126 22 Vậy hai nhóm D16 Q16 đồng chất với Định lý (Tính bất biến số lớp liên hợp ñối với quan hệ ñồng chất) Giả sử X Y hai p-nhóm hữu hạn có cấp, đồng chất với Kí hiệu jk (X) số lớp liên hợp có pk phần tử nhóm X Khi jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, … Chứng minh Giả sử X Y hai p-nhóm hữu hạn đồng chất với nhau, tồn hai đẳng cấu ϕ : X → Y , ψ : X ' → Y ' cho ϕ ×ϕ Y ×Y X×X ∂X ∂Y X’ Y’ ψ , ta có C X ( x) ≤ X ∀x ∈ X , ký hiệu C X ( x) = C X ( x ) Z (X ) a ∈ X , ñặt b = ϕ ( a ) ∈ Y , b ∈ Y ∀x ∈ C X ( a ) , y = Y ñồng chất nên [ x, a ] = 1X ⇒ [ y, b ] Footer Page 22 of 126 ) = ⇒ y ∈ CY (b) ⇒ ϕ C X (a) ⊂ CY (b) Ngược lại, với v ∈ CY (b) Khi ∀u ∈ ϕ cho ϕ (u ) = v ( ϕ ( x ) Do X −1 (v ) ⇒ u ∈ CX ( a ) Header Page 23 of 126 23 ( Suy CY (b) ⊂ ϕ (CX (a)) Vậy ⇒ C X (a ) = CY (b) ⇒ CX (a) = CY (b) ) ϕ C X (a) = CY (b) X, Y hữu hạn ϕ song ánh Z ( X ) = Z (Y ) ⇒ Ca = Cb Do X Y p-nhóm hữu hạn nên jk( X ) = jk( Y ), k = 0,1,2,… 2.2 ỨNG DỤNG CỦA CÁC LỚP LIÊN HỢP ĐỐI VỚI QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC p-NHĨM HỮU HẠN Xét hai nhóm khơng giao hốn cấp 26 sau ( xem [4] ) X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, , [ x1, x2 ] = a, [ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1, i = 1, , [ xi, xj ] = 1, ∀(i, j ) ≠ (1, 2), (3, 4) > = { as bt x1i x2j x3k x4h / ≤ s, t, i, j, k, h ≤ } X2 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, , [ x1, x2 ] = a, [ x1, x3 ] = [ x2, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [a, xi] = 1, i = 1, , [ xi, xj ] = 1, ∀(i , j ) ≠ (1, 2), (1, 3), (2, 4) > = { as bt x1i x2j x3k x4h / ≤ s, t, i, j, k, h ≤ } Mệnh ñề 2.4 i) Nhóm X1 chia thành 25 lớp liên hợp sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • C xm = { xm , axm }, m = 1, , C xn = { xn , bxn }, n = 3, , C x1x2 = { x1 x2 , ax1 x2 } , C x x = { x3 x4 , bx3 x4 } , Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Cbx1 x2 = { bx1 x2 , abx1 x2 } , Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24 Caxn = { axn , abxn } , Cbxm = { bxm , abxm } • Cxm xn = { xm xn , axm xn , bxm xn , abxm xn } , ∀( m, n) ≠ (1, 2), (3, 4) Cxu xv x j = {xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j }; C x1 x2 x3 x4 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 } • j0 = , j1 = 12 , j2 = ii) Nhóm X2 chia thành 22 lớp liên hợp sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • C xn = { xn , bxn }, n = 3, , Cx3x4 = { x3 x4 , bx3 x4 } , Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Caxn = { axn , abxn } • C xm = { xm , axm , bxm , abxm }, m = 1, • C x x = { xu xv , axu xv , bxu xv , abxu xv } u = 1, , v = 2, , u ≠ v u v Cxu xv x j = { xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j }, ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j Cx1x2 x3 x4 = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 } • j0 = 4, j1 = 6, j2 = 12 Từ Mệnh ñề ta thấy j0(X1) = j0(X2) = 4, j1(X1) = 12 ≠ j1(X2) = , j2(X1) = ≠ j2(X2) = 12 ñó theo Định lý 2.1.2 ta có hệ sau Hệ Hai nhóm X1 X2 khơng đồng chất với Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 25 KẾT LUẬN Luận văn “Lớp liên hợp ứng dụng vào quan hệ đồng chất p - nhóm” thực ñược nội dung sau: Khảo sát tính chất quan hệ liên hợp nhóm, xác định lớp liên hợp số p-nhóm, cụ thể nhóm: D 2n , Q2n , M 2n , S 2n , ( C1 ) ( C2 ) Khảo sát quan hệ ñồng chất tập nhóm, cho số ví dụ minh họa Chứng minh tính bất biến số lớp liên hợp có độ dài quan hệ đồng chất tập p-nhóm hữu hạn Đưa ví dụ thể ứng dụng quan hệ liên hợp ñối với quan hệ ñồng chất tập p-nhóm hữu hạn Hy vọng nội dung đề tài cịn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nhiều nữa, nhằm giải tốn phân loại đồng chất p-nhóm hữu hạn Footer Page 25 of 126  ... nhóm quan hệ liên hợp nhóm - Nghiên cứu quan hệ đồng chất nhóm ứng dụng quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p - nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm - Quan. .. nhóm quan hệ liên hợp nhóm Chương Quan hệ đồng chất tập nhóm ứng dụng lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất Kết luận Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương I CẤU TRÚC NHÓM VÀ QUAN HỆ LIÊN... Những tính chất quan hệ liên hợp Mệnh ñề 1.5 Quan hệ liên hợp ñược xác ñịnh quan hệ tương ñương nhóm X Mệnh ñề 1.6 Cho nhóm X, a ∈ X Lớp tương ñương chứa phần tử a , theo quan hệ liên hợp, ký hiệu