phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền cho trước

Sở GD-ĐT Ninh ThuậnTRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ---CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THIÊN TRÊN MỘT MIỀN Họ và tên tác giả: Ngô –Phúng Chức vụ: TTCM Tổ Toán-

Sở GD-ĐT Ninh Thuận

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

-CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THIÊN TRÊN MỘT MIỀN

Họ và tên tác giả: Ngô –Phúng

Chức vụ: TTCM Tổ Toán-Tin

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

T

rong các bài toán ở trường phổ thông, bài toán tìm điều kiện để hàm số biến thiên trên 1 khoảng cho trước thường gặp trong các kỳ thi mà phương pháp là học sinh thường sử dụng kiến thức tam thức bậc 2 và so sánh nghiệm với 1 số thực theo chương trình cũ ,nhưng khi cải cách sách theo chương trình chuẩn và nâng cao thì không học định lý đảo dấu tam thức bậc 2 và so sánh 1 số thực với các nghiệm phương trính bậc 2 nên học sinh lúng túng và giải rất khó khăn loại bài toán này.Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tài liệu,cùng học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn trình bày “Phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền cho trước “

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:

Để học sinh ôn tập , học sinh tiếp thu bài có hiệu quả, kích thích sự tò mò và khám phá vấn đề của học sinh sau tiết dạy thì công việc chuẩn bị cũng như quá trình lên lớp của giáo viên phải chuẩn bị hết sức kỹ lưỡng và tiến hành tuần tự các bước như sau:

I/ BƯỚC CHUẨN BỊ :

1/ Hệ thống bài tập và nội dung kiến thức cần truyền đạt:

- Sưu tầm các bài toán “bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền”

Trang 1

và đặc biệt là các bài toán có trong các đề thi của một số năm trước.

- Chọn một số bài tập tiêu biểu để giải bằng phương pháp này mà gặp khó khăn khi giải phương pháp khác

- Hướng dẫn học sinh mở rộng thành nhiều bài toán mới

- Chuẩn bị hệ thống bài tập về nhà

2/ Xây dựng phương pháp giải:

Bài toán : Tìm tham số m để yf x m ;  tăng hoặc giảm trên khoảng I

Bước 1: - Tập xác định D (Ta phải có I D)

- Định m để f x m ;   0 hay f x m ;   0  x I

-Từ f x m ;   0 hay f x m ;   0 suy ra g x( ) f m( ) hay g x( ) f m( )

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số y g x ( ) trên tập hợp I.

- Lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) trên I.

- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

- Từ đó suy ra điều kiện tham số

3/ Chọn bài tập mẫu giải tại lớp:

Bài 1: Tìm m để hàm số y= 31x3-2x2+mx-2 đồng biến trên (-,1)

Bài 2: Tìm m để hàm số y= -13x3+(m-1)x2+(m+3)x-4

a) Nghịch biến trên 2; 

b) Đồng biến trên 0;3

Bài 3: Tìm m để hàm số y=

2

2 6 2







x

x mx

nghịch biến trên1;

Bài 4: Tìm m để hàm số y=

m x

m x m x









 ( 1 ) 1

2 2

đồng biến trên1;

4/ Bài tập về nhà:

Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x3-3x2+mx+4 nghịch biến trên 0; 

Trang 2

Bài 2: Cho hàm số y x 3 3 2 m 1x212m 5x 2

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và 2; 

Bài 3: Tìm m để hàm số y=

1

3

2 2







x

m x x

a) Đồng biến trên 3;

b) Nghịch biến trên (-2;0)

Bài 4: Tìm m để hàm số y = 2 5

3

x

 đồng biến trên khoảng  1;0

Dụng ý:- Không sử dụng kiến thức tam thức bậc 2 và so sánh nghiệm với các

số thực

- Kỹ năng sử dụng : m g x ( ); x D mmax ( )x D g x

m g x ( ); x D mmin ( )x D g x

II/ BƯỚC SOẠN GIẢNG :

Bài dạy: Phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền cho trước

Trang 3

A/ Mục tiêu:

1/ Kiến thức:

- Nắm vững định nghĩa và định lý cơ bản tính đơn điệu hàm số học ở bài đầu tiên

- Vận dụng cho từng loại hàm số

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đạo hàm

2/ Kỹ năng:

- Linh hoạt trong mọi tình huống

- Kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số

3/ Tư duy:

- Phân tích tổng hợp

- Quan hệ biện chứng

- Tính sáng tạo

B/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1/ Giáo viên:

- Chuẩn bị các phương pháp

- Bài tập mẫu

- Bài tập tự giải ở nhà

2/ Học sinh:

- Nắm vững trước phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số

- Biết lập bảng biến thiên của các hàm số

C/ Hoạt động dạy học:

I/ Kiểm tra bài cũ: (5 phút)

Câu hỏi: Nêu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến:

( )

yf x trên D bằng đạo hàm

Ứng dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 2 3

x

 trên 2; 

Giáo viên: Nhận xét và chuyển qua bài mới.

Trang 4

II/ Hoạt động trên lớp:

gian GV: Sau khi các em đã biết cách tìm

giá trị lớn nhất-nhỏ nhất của hàm số

một biến bằng phương pháp đạo hàm

Tiết học hôm nay giúp các em tìm

tham số m để hàm số biến thiên trên

1 miền

Bài toán 1:

Kiến thức cơ bản:

x D

m g x x D m g x



x D



GV: ĐK để hàm số đồng biến

trên (-;1)

HS: y’0 ,x(-;1)

GV: Khi m -x2+4x,x(-;1)

thì m như thế nào ?

HS: m

 ax;1

M

x   g(x)

Bài toán 1: Tìm m để hàm số :

y y=1

3x3-2x2+mx-2 đồng biến trên (-;1)

Bài giải:

Ta có y’=x2-4x+m Để hàm số đồng biến trên (-;1)  y’0 ,x(-;1)

 x2-4x+m0 ,x(-;1)

 m -x2+4x,x(-;1)

 mMax g(x) ,x   ;1 Tìm GTLNg(x) x   ;1 : Ta có

g’(x) = -2x+4, Cho g’(x) = 0 x=2

1 phuùt

7 phuùt

Trang 5

với g(x)= -x2+4x

Ta tìm max g(x) x   ;1

GV : Gọi học sinh giải

BBT

+

3

 

1

g(x) g'(x)

x  

( )

;1

Max g x





   g(1)=3  m3 KẾT LUẬN : Với m3 thì hàm số đồng biến trên (-,1)

Bài toán 2:

GV: Gọi HS giải câu a và GV gợi ý

HS: Dự kiến trả lời

 y’0x2 , 

 -x2+2(m-1)x+m+30;x

2; 

 m(2x+1) x2+2x-3;x 2; 

 m

1 2

3 2 2







x

x

x ;x 2;  ,

GV: Bài toán đã cho trở thành

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài toán 2: Tìm m để hàm số:

y = -1

3x3+(m-1)x2+(m+3)x-4 a) Nghịch biến trên 2; 

b) Đồng biến trên 0;3

Bài giải:

Ta có y’=-x2+2(m-1)x+m+3 Để hàm số nghịch biến trên 2; 

 y’0;x 2; 

 -x2+2(m-1)x+m+30;x 2; 

 m(2x+1) x2+2x-3;x 2; 

 m

1 2

3 2 2







x

x

x ;x 2;  , ( vì 2x+1>0x 2;  )

 mMin g(x) ;x 2; 

14 phuùt

Trang 6

g(x)= 22 2 1 3







x

x

x với x2; 

GV: Đạo hàm g x ( )?

HS: Dự kiến trả lời

2

) 1 2

(

8 2 2







x

x x

GV: cho hs lập BBT và kết luận

GV: Nhận xét:

GV: gọi hs giải câu b và gviên gợi ý

GV: Khi m

1 2

3 2 2







x

x

thì mMax g(x) hay mMin g(x)

x 0;3?

HS: mMax g(x) ;x 0;3

Tìm GTNN g(x); x 2;  :

Ta có g’(x)= 2

2 ) 1 2 (

8 2 2







x

x x

>0;  x2;  BBT:

2

+

1



g(x) g'(x)

x



Vậy

( ) 2;

Min g x x  =g(2)=1  m1

Kết luận : Với m1 thì hàm số nghịch biến trên 2; 

b) Để hàm số đồng biến trên 0;3 

 y’0;x 0;3

 m

1 2

3 2 2







x

x

x ;x 0;3, (vì 2x+1>0;x0 , 3)

 mMax g(x) ;x 0;3 :

Tìm GTLN g(x) x0;3

Với g(x) =

1 2

3 2 2







x

x x

BBT

Trang 7

GV: Cho học sinh tìm

Max g(x);x 0;3 và kết luận

m?

Bài toán 3:

GV: Tính y’

2

) 2 (

14 4







x

mx mx

GV: Hsố nghịch biến trên1;  ?

GV: Đặt g(x) =x2 1414x





m

x

14

2 



;x 1; khi

m Ming(x) hay m Max g(x) ?

GV: Bài toán trở thành Tìm giá trị

nhỏ nhất của g(x) trên 1; 

0

- 

+

12 7 3



3

g(x) g'(x )

x

Vậy x Max g x0;3 ( )

 

 



7 12

Kết luận : Với m

7

12

thì hàm số đồng biến trên 0;3

Bài toán 3: Tìm m để hàm số :

y= 2 6 2

2

x

 nghịch biến trên1;

Bài giải:

2 ) 2 (

14 4







x

mx mx

Để hàm số nghịch biến trên1; 

 mx2+4mx+14 0;x 1;

 m(x2+14x)  -14 ;x 1;

 m

x

14 2





;x 1;

 m Ming(x) ;x 1; 

Tìm GTNN g(x); x1; 

Ta có g’(x) =( 2 14 ) 2

) 7 ( 28

x x

x





Cho g’(x)=0  x=-7 Bảng biến thiên:

Trang 8

GV: Lập bảng biến thiên của g(x)

trên 1; 

HS: Lập BBT và kết luận giá trị m

cần tìm

Bài toán 4:

GV: Hướng dẫn và gọi học sinh giải

tương tự các bài toán trên

HS: Giải và sau đó lớp nhận xét

GV: Nêu điều kiện hàm số đồng biến

trên1;?

1

- 

+

14 15





g(x ) g'(x )

x



( ) 1;

Min g x

x 



  =g(1) = 14

15



 m 14

15



Kết luận: Với m 14

15

 thì hàm số nghịch biến trên1;

Bài toán 4: Tìm m để hàm số :

y = 2x2 (1 m x m) 1

x m



đồng biến trên1;

Bài giải:

Ta thấy : y’= 2

2 2

) (

1 2 4

2

m x

m m mx x











Để hàm số đồng biến trên1;

1

m









1

m







( *)

Tìm GTNN g(x); x1 ,  với m1

Ta có g’(x) =4(x-m) , Cho g’(x) =0 x=m Bảng biến thiên:

8phuùt

8 phút

Trang 9

Đặt g(x) =2x2  4mx m 2  2m 1

Hãy tìm Min g(x)x1 ,  với

m1 ?

1

- 

+





g(x)

g'(x)

x

2 6 1

Vậy Min g(x)  x1;  với m 1

là : g(1)=m2-6m+1

( *) 













 1

0 1 6

2

m

m m

 m  3 2 2

Kết luận , Với m  3 2 2 thì hàm số đồng biến trên1;

II/ Củng cố và dặn dò: (2 phút)

- Từ phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Bài học hôm nay giúp các em nắm được một số cách tìm giá trị tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên 1 miền mà không sử dụng dấu tam thức bậc 2

- Các em phải tự bản thân nỗ lực và rèn luyện thêm

♣♣ Bài tập về nhà.

Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x3-3x2+mx+4 nghịch biến trên 0; 

Bài 2: Cho hàm số y x 3 3 2 m 1x212m 5x 2

c) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và 2; 

Bài 3: Tìm m để hàm số y=

1

3

2 2







x

m x x

a) Đồng biến trên 3 , 

b) Nghịch biến trên (-2,0)

Bài 4: Tìm m để hàm số y = 2 5

3

x

 đồng biến trên khoảng  1;0

Trang 10

♣♣ Hướng dẫn Bài tập về nhà :

Bài 1: m Ming(x) x 0;  với g(x)=3x2+6x ; Đáp số m Ming(x) = 0

Bài 2: a) 12 3 2 6 5 2

1

x

12

b) 12 3 2 6 5 1

1

x

1

x

Đáp số : 7 5

12 m 12

Bài 3: a) m Min g(x) x 3;  với g(x)=2x2  4x 3 Đáp số m 9

Bài 3: b) mMax g(x) x  2;0;với g(x)=2x2  4x 3 Đáp số m 19

Bài 4: 3m Min g(x) x  1;0; với g(x)= x2  6x 5; Đáp số 5

3

m 

C ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:

Với việc dạy cho học sinh tiếp cận dạng toán “tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền” thông qua phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là rất cần thiết vì so với các phương pháp khác thì đây là một phương pháp dễ tiếp cận và giải được nhiều bài toán Qua đó giúp các em tự tin khi bước vào các kỳ thi Đặc biệt là tuyển sinh đại học và kỳ thi học sinh giỏi sắp tới của các em

Sau khi dạy vấn đề này một thời gian tôi cho kiểm tra và đánh giá thì thấy đạt hiệu quả khá cao và kết quả như sau:

1/ Năm học 2008 – 2009:

Đề: Tìm m để hàm số y = 1 3 2 1

3x  mx  mx đồng biến trên khoảng (0; )

Kết quả:

Nhận xét:

- Đa số các em nắm được cách giải

Trang 11

- Một số em mắc lỗi tính toán.

2/ Năm học 2009 – 2010:

Đề: Tìm m để hàm số y = 1 3 ( 1) 2 (5 ) 1

3mx  m x   m x đồng biến trên khoảng (   ;1)

Kết quả:

Nhận xét:

- Đa số các em nắm được cách giải

- Một số em mắc lỗi tính toán

D KẾT LUẬN:

Để học sinh giải các bài tập về dạng này ở các kỳ thi, người thầy phải biết tìm tòi cách dạy toán khó thường gặp, đồng thời hệ thống và trang bị cho các em một số các cách giải quyết cơ bản, qua đó giúp các em tự giải quyết và tiếp tục nghiên cứu thêm Đồng thời phải biết vận dụng bố trí thời gian giảng dạy để ôn tập các em có hiệu quả Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đã vận dụng nhiều năm cho các lớp dạy về vấn đề tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền; có thể ngắn gọn và dễvận dụng mà bản thân tôi thấy mang lại hiệu quả tốt

Tuy nhiên, để bài dạy ngày càng được hoàn hảo, bản thân luôn mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để sáng kiến ngày càng hoàn thiện và áp dụng có khả thi hơn Xin chân thành c m n!ảm ơn! ơn!

Đánh giá xếp loại tổ CM

Phan Rang-TC, ngày 05 tháng 5 năm 2010

Người viết

Ngô Phúng

Trang 12

Ngoâ Phuùng

Nhận xét của HĐKH Trường THPT Chu Văn An

Chủ tịch HĐKH

Trang 13