phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG KHOA TỐN Phạm Thị Thanh Hà PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG MỞ RỘNG TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Duy Thành Hải Phòng - 2016 MỤC LỤC Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Sự hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert thực 1.2 Hàm lồi vi phân hàm lồi 10 1.2.1 Tập lồi 10 1.2.2 Hàm lồi 11 1.2.3 Dưới vi phân hàm lồi 13 1.3 Phép chiếu tính chất 15 1.4 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 15 1.5 Bài toán cân 16 1.5.1 Phát biểu toán 16 1.5.2 Ví dụ thực tế 17 1.5.3 Điều kiện tồn nghiệm 19 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 20 2.1 Xây dựng dãy lặp 20 2.2 Kết hội tụ 22 2.3 Kết tính tốn 27 Kết luận 30 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực x chuẩn véc tơ x ∃x tồn x ∀x với x x, y tích vơ hướng hai véc tơ x y A⊂B tập hợp A tập thực tập hợp B A⊆B tập hợp A tập tập hợp B A∩B tập hợp A giao với tập hợp B A∪B tập hợp A hợp với tập hợp B B tích Đề-Các hai tập hợp A B argmin{f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C ∂f (x) vi phân f x δC (·) hàm C P rC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x V I(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân EP (C, f ) toán cân Sol(C, f ) tập nghiệm toán EP (C, f ) I ánh xạ đồng F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S MỞ ĐẦU Bài toán cân W Oettli E Blum [7] đưa năm 1994 Bài tốn khái qt hóa nhiều toán quen thuộc toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán điểm cân Nash, toán điểm yên ngựa, Tuy nhiên, Ky Fan [12] người công bố kết tồn nghiệm tốn cân Từ đến có nhiều dạng mở rộng đơn trị lẫn đa trị kết Một vấn đề quan tâm 20 năm trở lại xây dựng thuật toán xấp xỉ nghiệm tốn cân Những cơng trình khai phá W.Oettli [7], A.Moudafi [19], I.V Konnov [17], P.L Combettes S.A Hirstoaga [11], tạo phát triển mạnh mẽ số lượng chất lượng nghiên cứu thuật toán xấp xỉ điểm cân bằng, phải kể đến kết nghiên cứu số tác giả người Việt Nam L.D Muu [21], P.K Anh ([1, 2]), P.N Anh ([3, 5]), Một vấn đề quan tâm nhiều toán tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Hầu hết thuật tốn để giải tốn dựa tính ánh xạ nghiệm đề xuất P.L Combettes S.A Hirstoaga Tr (x) = z ∈ C : f (z, y) + y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C , r r > 0, song hàm f đơn điệu C, x ∈ H Khi đó, ta có (i) Tr đơn trị; (ii) F ix(Tr ) = Sol(C, f ) Vì vậy, bước lặp thứ k, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xk } sau:   x0 ∈ C tùy ý ,  Tìm uk ∈ C : f (uk , y) + y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C, rk điểm lặp xk+1 tính theo xk uk thơng qua kỹ thuật điểm bất động Do đó, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chuyển việc giải dãy toán cân phụ Thực tế cho thấy, toán phụ giải nghiệm dạng xấp xỉ, chưa dãy lặp hội tụ nghiệm tối ưu cần tìm Đây vấn đề quan tâm giải câu hỏi mở cho việc nghiên cứu để tìm thuật tốn hữu hiệu cho toán Một vài phương pháp tiếp cận bật giải tốn khơng gian Hilbert thực H thời gian gần biết đến như: Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) đề xuất nhóm tác giả S Takahashi W Takahashi [24] Dãy {xk } định nghĩa bởi:    x0 ∈ C tùy ý ,    f (uk , y) + y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,  rk     xk+1 = αk g(xk ) + (1 − αk )Suk , ∀k ≥ 0, (1) g : C → C ánh xạ co Với điều kiện cho trước dãy tham số {αk } {rk }, ∞ ∞ (i) αk ∈ [0, 1], lim αk = 0, k→∞ αk = ∞, k=1 |αk+1 − αk | < ∞; k=1 ∞ (ii) rk ∈ (0, ∞), lim inf rk > 0, k→∞ |rk+1 − rk | < ∞ k=1 tác giả chứng minh dãy {xk } {uk } hội tụ mạnh tới z = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z) Phương pháp chiếu A Tada W Takahashi [23] giới thiệu Tác giả cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết chiếu xấp xỉ ban đầu dãy lặp lên giao hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm toán thu hội tụ mạnh thuật toán Cụ thể, tác giả xây dựng dãy lặp sau: Cho {xk } {uk } dãy sinh x1 = x ∈ H    uk ∈ C cho f (uk , y) + r1k y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,         wk = (1 − αk )xk + αk Suk ,    Ck = z ∈ H : w k − z ≤ x k − z ,      Dk = z ∈ H : xk − z, x − xk ≥ ,       xk+1 = P rC ∩D (x), k k {αk } ⊂ [a, 1] với a ∈ (0, 1) {rk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rk > k→∞ Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới P rF ix(S)∩Sol(C,f ) (x) Phương pháp đạo hàm tăng cường lần G.M Korpelevich [18] đề xuất để giải tốn tìm điểm n ngựa sau phát triển cho tốn bất đẳng thức biến phân Phương pháp sử dụng hai phép chiếu bước lặp sau: x0 ∈ C, y k = P rC (xk − λk F (xk )) xk+1 = P rC (xk − λk F (y k )) (2) Tiếp cận cho phép giải toán toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F ) không cần giả thiết đơn điệu mạnh hàm F mà cần giả đơn điệu liên tục Lipschitz Gần đây, phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng T.D Quoc, L.D Muu N.V Hien [21] để giải toán cân EP (C, f ) Rn Trong trường hợp này, sơ đồ lặp (2) viết dạng: Cho x0 ∈ C, tìm y k xk+1 thỏa mãn   y k = argmin λk f (xk , y) +  xk+1 = argmin λk f (y k , y) + y − xk 2 y − xk : y∈C , : y∈C , với {λk } ∈ (0, 1] Như nghiên cứu mở rộng, P.N Anh [4] sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với tập điểm bất động ánh xạ không giãn thu hội tụ yếu thuật toán Xuất phát từ điểm tùy ý x0 ∈ C, dãy lặp định nghĩa sau:     y k = argmin λk f (xk , y) + 12 y − xk : y ∈ C ,    tk = argmin λk f (y k , t) + 21 t − xk : t ∈ C ,      xk+1 = αk x0 + (1 − αk )Sxk (3) Dưới điều kiện tham số {λk } {αk }, tác giả chứng minh dãy {xk }, {y k } {tk } hội tụ yếu tới x ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ) không gian Hilbert thực Trên sở tận dụng, kế thừa tối đa kết nghiên cứu có nước giới phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, mở rộng, cải tiến để đưa thuật toán sử dụng tính đơn điệu suy rộng song hàm f tính giả đơn điệu đồng thời khắc phục số hạn chế tìm nghiệm xấp xỉ thơng qua việc giải tốn cân phụ phương pháp trước Nội dung đề tài trình bày hai chương, kết nằm Chương Chương chương có tính chất bổ trợ, cung cấp vấn đề tốn cân ánh xạ khơng giãn Cụ thể, chương nhắc lại số khái niệm cần thiết giải tích hàm giải tích lồi như: Sự hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert thực, hàm lồi tập lồi, vi phân hàm lồi, phép chiếu lên tập lồi đóng Bên cạnh đó, định nghĩa ánh xạ không giãn với định lý điểm bất động tiếng trình bày chi tiết Sau đó, chúng tơi giới thiệu tốn cân bằng, trình bày điều kiện tồn nghiệm tồn nghiệm toán Chương đưa kỹ thuật lặp để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz không gian Hilbert thực H tập điểm bất động ánh xạ không giãn S Thuật toán cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường P.N Anh [4] với phương pháp quy thay phiên S Sun [22] để làm giảm nhẹ điều kiện hàm f từ đơn điệu đơn điệu mạnh xuống giả đơn điệu, đồng thời loại bỏ q trình giải tốn cân phụ, công việc phức tạp thường cho nghiệm dạng xấp xỉ Thay vào đó, bước lặp thứ k, cần giải hai tốn lồi mạnh, tốn thu lời giải xác chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp Chương Kiến thức sở 1.1 Sự hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert thực Các khái niệm hội tụ mạnh yếu khái niệm khơng gian Hilbert Nó sở để xây dựng chứng minh định lý hội tụ thuật toán sau Định nghĩa 1.1 Dãy {xk } không gian Hilbert H gọi hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu: lim xk − x = k→∞ Ta ký hiệu: xk → x Định nghĩa 1.2 Dãy {xk } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu đến x ∈ H nếu: lim xk , y = x, y , k→∞ Ta ký hiệu: xk ∀y ∈ H x Mệnh đề 1.1 ([8]) Cho không gian Hilbert thực H, dãy {xk } x thuộc H Khi đó, ta có (i) Nếu xk → x, xk (ii) Nếu xk x; x xk → x H, xk → x; Lấy x∗ [yi ] = x∗ , ∀j = i0 , ta có fi0 (x∗ ) = fi0 (x∗ [yi ]), ∀j = i0 Kết hợp điều kiện trên, ta suy p (fi (x∗ [yi ]) − f (x∗ ) < 0, ∀y ∈ K i=1 Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x∗ ∈ K nghiệm toán cân Nash 1.5.3 Điều kiện tồn nghiệm Mệnh đề 1.3 ([17]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cho với y ∈ C, f (., y) hàm liên tục C với x ∈ C, f (x, ) hàm tựa lồi C Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: i) C tập compact; ii) Tồn tập W ⊂ C cho với x ∈ C\W , tồn y ∈ W để f (x, y) < Khi đó, tốn EP (C, f ) có nghiệm Định lý 1.7 ([17]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} i) Nếu f đơn điệu chặt tốn EP (C, f ) có khơng q nghiệm ii) Nếu f (., y) hàm nửa liên tục với y ∈ C, f (x, ) hàm lồi, nửa liên tục với x ∈ C song hàm f đơn điệu mạnh, tốn EP (C, f ) có nghiệm 19 Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 2.1 Xây dựng dãy lặp Trong thời gian gần đây, thuật tốn lặp để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực nghiên cứu mở rộng nhiều tác giả (xem [4, 5, 6, 10, 15, 22, 24, 25, 26, 28]) Trong [22], S Sun giới thiệu phương pháp quy thay phiên (the alternative regularization method) Dãy lặp xây dựng sau:    x0 , u ∈ C,     f (uk , y) + y − uk , uk − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,  rk     xk+1 = βk g(xk ) + (1 − βk )S(αk u + (1 − αk )uk ), ∀k ≥ 0, (2.1) g : H → H ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1), f song hàm đơn điệu C Tác giả chứng minh rằng, với điều kiện cho trước dãy tham số {αk }, {βk } {rk }, ∞ (i) αk ∈ [0, 1], lim αk = 0, k→∞ ∞ αk = ∞, k=1 ∞ (ii) βk ∈ [0, 1], lim βk = 0, k→∞ |αk+1 − αk | < ∞; k=1 ∞ βk = ∞, k=1 |βk+1 − βk | < ∞; k=1 αk ; k→∞ βk (iii) lim 20 ∞ (iv) rk ∈ (0, ∞), lim inf rk > 0, k→∞ |rn+1 − rk | < ∞ k=1 dãy {xk } {uk } hội tụ mạnh tới z = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z) Tuy nhiên, thuật toán bước lặp thứ k địi hỏi phải giải tốn cân phụ xấp xỉ với song hàm đơn điệu C Đây cách làm phức tạp khó khăn chạy thuật tốn máy tính Để tránh điều đó, chúng tơi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường giới thiệu P.N Anh [4] với phương pháp quy hóa tương đối S Sun [22], đưa kỹ thuật lặp để tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân giả đơn điệu EP (C, f ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert thực Khi đó, bước lặp thứ k chúng tơi cần giải hai tốn lồi mạnh với phương pháp giải tương đối đơn giản thu nghiệm xác Cho trước x1 , t ∈ H Dãy {xk } xác định sau     y k = argmin{λk f (xk , y) + 21 y − xk : y ∈ C}    tk = argmin{λk f (y k , t) + 21 t − xk : t ∈ C}     k+1  x = βk g(xk ) + (1 − βk )S(αk t + (1 − αk )tk ) (2.2) Trong g : H → H ánh xạ co với hệ số co δ ∈ (0, √ ) Giả sử song hàm f : C × C → R ánh xạ không giãn S : C → C thỏa mãn điều kiện: (A1 ) f liên tục kiểu Lipschitz C; (A2 ) f giả đơn điệu liên tục C; (A3 ) Với x ∈ C, f (x, ) khả vi phân lồi C; (A4 ) F ix(S) ∩ Sol(C, f ) = ∅ Bổ đề 2.1 ([27]) Cho {ak } dãy số thực không âm cho ak+1 ≤ (1 − αk )ak + βk , {αk }, {βk } thỏa mãn: 21 k ≤ 0, (i) αk ⊂ (0, 1), ∞ k=1 |βk | (ii) ∞ k=1 αk = ∞; < ∞ lim sup k→∞ βk ≤ αk Khi đó, lim ak = k→∞ Bổ đề 2.2 ([13]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hillbert thực H Nếu F ix(S) = ∅ (I − S) nửa đóng, tức là, {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x¯ ∈ C dãy {(I − S)(xk )} hội tụ mạnh tới y¯ (I − S)¯ x = y¯, với I toán tử đơn vị H Bổ đề 2.3 ([4]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho f : C × C → R song hàm giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz với số c1 , c2 > Với x ∈ C, cho f (x, ) lồi, khả vi phân C Giả sử dãy {xk }, {y k }, {tk } sinh (2.2) x∗ ∈ Sol(C, f ) tk − x∗ 2.2 ≤ xk − x∗ − (1 − 2λk c1 ) xk − y k − (1 − 2λk c2 ) y k − tk , ∀k ≥ Kết hội tụ Định lý 2.1 Giả sử giả thiết (A1 ) - (A4 ) thỏa mãn x1 , u ∈ C dãy số dương thỏa mãn điều kiện: i) αk ⊂ (0, 1), ∞ k=0 αk = ∞, ii) βk ⊂ (0, 1), ∞ k=0 βk = ∞, lim αk = 0; k→∞ lim βk = 0; k→∞ αk = 0; k→∞ βk iii) lim iv) λk ⊂ [a, b], a, b ∈ (0, ), L = max{2c1 , 2c2 } L Khi dãy {xk }, {y k }, {tk } hội tụ mạnh đến x∗ với điều kiện lim xk+1 − xk = 0, đó, x∗ = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(x∗ ) k→∞ Chứng minh Bước Chứng minh lim xk − tk = k→∞ 22 Với x∗ ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), từ xk+1 = g(xk ) + (1 − βk )S(αk t + (1 − αk )tk ) Bổ đề 2.3 ta có xk+1 − x∗ = βk g(xk ) + (1 − βk ) S(αk u + (1 − αk )tk ) − x∗ = βk (g(xk ) − x∗ ) + (1 − βk ) S(αk u + (1 − αk )tk ) − S(x∗ ) ≤ βk g(xk ) − x∗ + (1 − βk ) αk u + (1 − αk )tk − x∗ = βk g(xk ) − g(x∗ ) + g(x∗ ) − x∗ ) + 2βk g(x∗ ) − x∗ + (1 − βk )(1 − αk ) tk − x∗ ≤ 2βk δ xk − x∗ + (1 − βk )(1 − αk ) xk − x∗ + (1 − βk )αk (u − x∗ ) 2 + (1 − βk )αk (u − x∗ ) 2 − (1 − 2λk c1 ) xk − y k 2 + (1 − βk )αk u − x∗ − (1 − 2λk c1 )(1 − βk )(1 − αk ) xk − y k ≤ xk − x∗ 2 ≤ 2βk δ + (1 − αk )(1 − βk ) xk − x∗ + 2βk g(x∗ ) − x∗ 2 + 2βk g(x∗ ) − x∗ − (1 − 2λk c2 ) y k − tk 2 + (1 − βk ) αk (u − x∗ ) + (1 − αk )(tk − x∗ ) ≤ 2βk δ xk − x∗ + 2βk g(x∗ ) − x∗ 2 (2.3) + (1 − βk )αk u − x∗ − (1 − 2λk c1 )(1 − βk )(1 − αk ) xk − y k (2.4) Từ giả thiết (iv) (2.4), ta có (1 − αk )(1 − βk )(1 − 2bc1 ) xk − y k ≤ (1 − αk )(1 − βk )(1 − 2λk c1 ) xk − y k ≤ xk − x∗ − xk+1 − x∗ 2 + 2βk g(x∗ ) − x∗ + (1 − βk )αk u − x∗ xk − x∗ + xk+1 − x∗ ≤ xk − xk+1 +2βk g(x∗ ) − x∗ + (1 − βk )αk u − x∗ (2.5) Từ (2.3), ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ − αk (1 − βk ) + βk (1 − 2δ ) 23 xk − x∗ 2 g(x∗ ) − x∗ − 2δ +αk (1 − βk ) u − x∗ +βk (1 − 2δ ) Từ đó, dẫn đến: xk+1 − x∗ max { xk − x∗ , ≤ g(x∗ ) − x∗ , u − x∗ } − 2δ ≤ max { x0 − x∗ , ≤ g(x∗ ) − x∗ , u − x∗ } − 2δ Suy {xk } dãy bị chặn Do đó, {y k }, {tk } bị chặn Vì lim xk − xk+1 = 0, lim βk = lim αk = 0, {xk } dãy bị chặn nên từ (2.5) k→∞ k→∞ k→∞ ta có: lim xk − y k = k→∞ Bằng lập luận tương tự, ta có lim y k − tk = k Từ x − t k k ≤ x −y k k→∞ k k + y − t , ta lim xk − tk = k→∞ Bước Chứng minh lim tk − S(tk ) = k→∞ k Đặt u = αk t + (1 − αk )tk Khi đó, ta có: xk+1 − xk = βk g(xk ) + (1 − βk )S(uk ) − xk = βk (g(xk ) − xk ) + (1 − βk )(tk − xk ) +(1 − βk )(S(uk ) − S(tk ) + S(tk ) − tk ) Điều dẫn tới (1 − βk ) S(tk ) − tk ≤ βk g(xk ) − xk + (1 − βk ) tk − xk +(1 − βk ) S(uk ) − S(tk ) + xk+1 − xk ≤ βk g(xk ) − xk + (1 − βk ) tk − xk +(1 − βk ) uk − tk + xk+1 − xk 24 Lại có uk − tk = αk t + (1 − αk )tk − tk = αk t − tk → Sử dụng lim αk = lim βk = Bước ta được: k→∞ k→∞ lim S(tk ) − tk = k→∞ Bước Chứng minh lim sup g(x∗ ) − x∗ , xk − x∗ ≤ k→∞ k Theo Bước 1, {t } dãy bị chặn nên tồn dãy {tki } {tk } cho lim sup g(x∗ ) − x∗ , tk − x∗ = lim g(x∗ ) − x∗ , tki − x∗ i→∞ k→∞ Từ dãy {tki } bị chặn, tồn dãy {tkij } {tki } hội tụ yếu tới t¯ Khơng tính tổng qt, giả sử dãy {tki } hội tụ yếu tới t¯ Từ Bước 2, ta có S(tk ) → tk nên S(tki ) → tki Mặt khác tki t¯ nên theo Bổ đề 2.2 (I − S)(t¯) = Do đó, S(t¯) = t¯ Vậy t¯ ∈ F ix(S) Bây ta chứng minh t¯ ∈ Sol(C, f ) Thật vậy, từ Bước 1, ta có {xki }, {y ki } hội tụ yếu đến t¯ Từ y k nghiệm toán lồi mạnh min{ y − xk 2 + λk f (xk , y) : y ∈ C} Ta có ∈ ∂2 (λk f (xk , y) + y − xk )(y k ) + NC (y k ) Nên = λk u + y k − xk + v k , u ∈ ∂2 f (xk , y k ) v k ∈ NC (y k ) Từ v k ∈ NC (y k ) ta y k − xk , y − y k ≥ λk v k , y k − y ∀y ∈ C (2.6) ∀y ∈ C (2.7) Từ u ∈ ∂2 f (xk , y k ) ta có f (xk , y) − f (xk , y k ) ≥ u, y − y k , 25 Kết hợp (2.6) (2.7), ta suy ra: λk (f (xk , y) − f (xk , y k )) ≥ y k − xk , xk − y , ∀y ∈ C Do λkj (f (xkj , y) − f (xkj , y kj ) ≥ y kj − xkj , xkj − y , Sử dụng điều kiện {λk } ⊂ [a, b] ⊂ (0, ∀y ∈ C (2.8) ) tính liên tục f , chuyển qua giới L hạn (2.8), ta f (t¯, y) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy t¯ ∈ Sol(C, f ) Do đó: lim sup g(x∗ ) − x∗ , tk − x∗ = g(x∗ ) − x∗ , t¯ − x∗ k→∞ Từ định nghĩa x∗ tính chất phép chiếu metric ta có: g(x∗ ) − P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(x∗ ), P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(x∗ ) − t¯ ≥ Nên g(x∗ ) − x∗ , x∗ − t¯ ≥ Hay g(x∗ ) − x∗ , t¯ − x∗ ≤ Từ Bước 2, tk → xk , k → ∞ ta có lim sup g(x∗ ) − x∗ , xk − x∗ k→∞ = lim sup g(x∗ ) − x∗ , tk − x∗ k→∞ ≤ Bước Chứng minh dãy {xk }, {y k }, {tk } hội tụ mạnh đến x∗ Từ xk+1 − x∗ = (1 − βk )(S(uk ) − x∗ ) + βk (g(xk ) − x∗ ), ta có xk+1 − x∗ ≤ (1 − βk )2 uk − x∗ + 2βk g(xk ) − x∗ , xk+1 − x∗ ≤ (1 − βk )2 αk (u − x∗ ) + (1 − αk )(tk − x∗ ) +2βk g(xk ) − x∗ , xk+1 − x∗ ≤ (1 − βk )2 (αk u − x∗ + (1 − αk ) xk − x∗ ) +2βk g(xk ) − g(x∗ ) + g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ 26 ≤ (1 − βk )2 (αk u − x∗ +2βk δ xk − x∗ + (1 − αk ) xk − x∗ ) xk+1 − x∗ + 2βk g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ ≤ (1 − βk )2 (αk u − x∗ +βk δ( xk − x∗ 2 + (1 − αk ) xk − x∗ ) + xk+1 − x∗ ) + 2βk g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ = [(1 − βk )2 (1 − αk ) + βk δ] xk − x∗ +(1 − βk )2 αk u − x∗ 2 + βk δ xk+1 − x∗ + 2βk g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ Do đó: x k+1 −x ∗ ≤ = = = (1 − βk )2 + βk ˙.δ k x − x∗ − δβk (1 − βk )2 αk 2βk u − x∗ + g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ + − δβk − δβk 2(1 − δ)βk βk2 1− xk − x∗ + xk − x∗ − δβk − δβk (1 − βk )2 αk 2βk + u − x∗ + g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ − δβk − δβk 2(1 − δ)βk 2(1 − δ)βk 1− xk − x∗ + − δβk − δβk βk (1 − βk )2 αk u − x∗ × M+ 2(1 − δ) 2(1 − δ)βk g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ + 1−δ (1 − Ak ) xk − x∗ + Ck Trong M = sup{ xk − x∗ Bk = : k ∈ N}; Ck = Ak Bk ; Ak = βk (1 − βk )2 αk M+ t − x∗ 2(1 − δ) 2(1 − δ)βk Từ lim βk = dẫn tới lim Ak = Lại có k→∞ k→∞ + 2(1 − δ)βk ; − δβk g(x∗ ) − x∗ , xk+1 − x∗ 1−δ ∞ k=0 βk = ∞ nên ∞ k=0 αk = ∞ Ck = lim sup Bk ≤ Nên theo Bổ đề 2.2, dãy {xk } hội tụ k→∞ k→∞ Ak ∗ mạnh đến x = P rF ix(S)∩Sol(C,f ) g(x∗ ) Từ Bước dãy {y k } {tk } hội Mặt khác: lim sup tụ mạnh đến nghiệm x∗ 27 2.3 Kết tính tốn Xét toán cân EP (C, f ) R5 , ánh xạ không giãn S ánh xạ đồng Ví dụ 2.1 Cho C tập lồi đa diện xác định sau: C = {x ∈ R5 : x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 ≥ 3; ≤ x1 ≤ 2; ≤ x2 ≤ 1; ≤ x3 , x4 , x5 ≤ 3} f (x, y) = Ax + By + q, y − x ma trận A, B, q là:  3.1 0    3.6 0   A= 0 3.5   0 3.3  0 0    0   0 ,   0    1.6 0      1.6 0 0     B= 0 1.5 0     0 1.5 0   0 0 q = (1, −2, −1, 2, −1) Khi đó, song hàm f liên tục kiểu Lipschitz C với số c1 = c2 = A− B = 1.4525 f giả đơn điệu C thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 Chọn: g(x) = x, λk = 0.0001, 1 , αk = √ , k+3 k+3 ε = 10−3 βk = √ u = (2, 1, 1, 2, 1), Ta có bước lặp sau: k xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 0.8296 0.1770 1.1281 0.8287 1.6041 0.7838 0.2733 0.7477 0.7827 0.9858 0.7792 0.3279 0.5748 0.7780 0.6993 0.7874 0.3605 0.4936 0.7863 0.5614 0.7986 0.3810 0.4548 0.7976 0.4932 28 0.8094 0.3944 0.4363 0.8084 0.4590 0.8189 0.4036 0.4277 0.8178 0.4419 0.8267 0.4100 0.4241 0.8257 0.4335 0.8332 0.4147 0.4230 0.8322 0.4296 10 0.8385 0.4183 0.4230 0.8374 0.4280 11 0.8428 0.4209 0.4235 0.8416 0.4277 12 0.8462 0.4230 0.4242 0.8450 0.4280 13 0.8490 0.4246 0.4250 0.8478 0.4285 14 0.8513 0.4259 0.4257 0.8500 0.4291 15 0.8531 0.4269 0.4264 0.8517 0.4298 16 0.8545 0.4277 0.4269 0.8531 0.4304 17 0.8557 0.4283 0.4273 0.8542 0.4309 18 0.8566 0.4288 0.4277 0.8551 0.4313 19 0.8573 0.4292 0.4280 0.8557 0.4317 20 0.8578 0.4294 0.4282 0.8562 0.4320 21 0.8582 0.4296 0.4283 0.8565 0.4322 22 0.8584 0.4298 0.4284 0.8567 0.4324 23 0.8585 0.4298 0.4284 0.8568 0.4326 24 0.8586 0.4299 0.4284 0.8568 0.4327 25 0.8585 0.4299 0.4283 0.8567 0.4327 26 0.8584 0.4298 0.4283 0.8565 0.4327 27 0.8582 0.4298 0.4281 0.8563 0.4327 28 0.8580 0.4297 0.4280 0.8560 0.4327 29 0.8577 0.4295 0.4278 0.8557 0.4326 30 0.8574 0.4294 0.4277 0.8554 0.4325 Như vậy, chọn điểm xuất phát x0 = (1, 0, 2, 1, 3) sau 30 bước lặp ta thu ε-nghiệm xấp xỉ x¯ = (0.8574, 0.4294, 0.4277, 0.8554, 0.4325) với thời gian 2,398 giây Chúng tơi thực tính tốn phần mềm Matlab R2010b Laptop Intel(R) Pentium(R) CPU P6300 @ 2.27GHz 2Gb RAM 29 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu khoa học đạt kết sau: 1) Sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn S không gian Hilbert thực H với giả thiết song hàm f giả đơn điệu 2) Tại bước lặp, thay giải tốn cân phụ thường cho nghiệm dạng xấp xỉ, giải hai toán lồi mạnh, toán thu lời giải xác chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp 3) Xây dựng ví dụ tính tốn sử dụng phần mềm Mathlab để minh họa cho kết đề tài Các vấn đề cần nghiên cứu là: 1) Áp dụng phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo cho tốn tìm nghiệm chung F ix(S) ∩ Sol(C, f ) để loại bỏ điều kiện liên tục kiểu Lipschizt song hàm f 2) Sử dụng phương pháp chiếu để tìm nghiệm chung toán cân tập điểm bất động ánh xạ giả co chặt-lớp ánh xạ tổng quát ánh xạ không giãn 30 Tài liệu tham khảo [1] P.K Anh, and C.V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (35), pp 649-664 Doi: 10.1080/01630563.2013.830127 [2] P.K Anh, and D.V Hieu (2014), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi φ- nonexpansive mappings", J Appl Math Comput Doi: 10.1007/s12190-014-0801-6 [3] P.N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl (154), pp 303-320 [4] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optim (62), pp 271-283 [5] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems", Bull Malays Math Sci Soc (36), pp 107-116 [6] P.N Anh, J.K Kim, and J.M Nam (2012), "Strong convergence of an extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J Korea Math Soc (49), pp 187 -200 [7] E Blum, and W Oettli (1994), "From optimization and variational inequality to equilibrium problems", Math Student (63), pp 123-145 [8] H Brezis (1987), Analyse fonctionnelle: Theórie et applications, MAS-SON 31 [9] F.E Browder (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space", Proc Nat Acad Sci USA (54), pp 1041-1044 [10] L C Ceng, A Petrusel, and J C Yao (2009), "Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (143), pp 37 - 58 [11] P.L Combettes, and S.A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert space", J Nonlinear Convex Anal (6), pp 117–136 [12] K Fan (1972), "A minimax inequality and applications", In: O Shisha (ed.), Inequality III, Academic Press, New York pp 103-113 [13] K Goebel, and W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, England [14] D Gohde (1965), "Zum prinzip der contraktiven abbindung", Math Nachr (30), pp 251-258 [15] C Jaiboon, and P Kumam (2009), "A hybrid extragradient viscosity approximation method for solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2009/374815 [16] W.A Kirk (1965), "A fixed point theorem for mappings with not increase distances", Amer Math Monthly (72), pp 1004-1006 [17] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequalities, Springer-Verlag, Berlin [18] G.M Korpelevich (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomikai Matematcheskie Metody (12), pp 747-756 32 [19] A Moudafi (2000), "Viscosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl (241), pp 46-55 [20] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc (73), pp 591-597 [21] T.D Quoc, L.D Muu, and N.V Hien (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optim (57), pp 749-776 [22] S Sun (2012), "An alternative regularization method for equilibrium problems and fixed point of nonexpansive mappings", J Appl Math Article ID 202860, 16 pages [23] A Tada, and W Takahashi (2007), "Weak and strong convergence theorems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problems", J Optim Theorem Appl (133), pp 359-370 [24] S Takahashi, and W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (331), pp 506-515 [25] S Wang, Y.J Cho, and X Qin (2010), "A new iterative method for solving equilibrium problems and fixed point problems for infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2010/165098 [26] R Wangkeeree (2008), "An extragradient approximation method for equilibrium problems of a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory and Appl Article ID 134148, 17 pages [27] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl (116), pp 659-678 [28] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "Convergence theorem for equilibrium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2007/64363 33