Giao trinh bai tap 7 trả lời câu hỏi phần cơ học 01

Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu Chương I: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN I.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN a) Điện tích nguyên tố điện tích nhỏ có tự nhiên e = 1,6 x 10-19 C b) Vật tích điện dương: nguyên tử hay phân tử trung hòa vật bò electron c) Vật tích điện âm: nguyên tử hay phân tử trung hòa vật nhận thêm electron d) Điện tích điểm: vật có kích thước nhỏ tích điện e) Hệ điện tích điểm: tập hợp nhiều điện tích điểm phân bố rời rạt f) Vật tích điện: hệ điện tích điểm phân bố liên tục có mối liên kết rắn Đònh luật bảo toàn điện tích:“ Trong hệ cô lập, điện tích bảo toàn” I.2 ĐỊNH LUẬT COULOMB : Đònh luật tương tác điện tích điểm r Phát biểu: Hai điện tích điểm q1 q2 đặt cách đoạn r chòu tác dụng tương tác lực F1 , r r r r r k q1 q r21 k q1 q r12 F2 F2 F1 = F2 = F1 q2 ε r ε r r21 r12 r r21 q1 , q2 : điện tích điểm r q1 r21 : vectơ đơn vò hướng từ điện tích gây tác dụng r21 ⎧ * Điểm đặt: điện tích xét q2 đến điện tích chòu tác dụng q1 ⎪ * Phương: đt nối từ q1 đến q2 Nm k = 9.10 = ⎪ * Chiều: q1.q2 > lực đẩy 4π ε C2 ⎨ q1.q2 < lực hút ⎪ −12 C : số điện ⇒ ε = 8.86.10 ⎪⎩ * Độ lớn: F1 = F2 = k q1 2q Nm ε r ε : số điện môi môi trường >1 Môi trường chân không ε =1, không khí ε ~1 I.3 Điện trường: Điện trường điện tích điểm: điện tích điểm q tạo xung quanh điện trường để xác r đònh điện trường vò trí thông qua đại lượng hửu hướng E gọi vectơ cường độ điện trường r r k q r m xét M ⎧ * Điểm đặt: điể E = r q M M ε r r i từ q đến M ⎪ * Phương: đt F2 nố r ⎪ ⎨ * Chiều: q > Er hướng xa điện tích q < E hướng vào điện tích ⎪ ⎪⎩ * Độ lớn: Er M = E M = k.q ε r 2 Điện trường hệ điện tích điểm ( q1 , q2 , , qn ) M sau: r Nguyên lý chồng chất điện trường: Điện trường hệ r k q1 r1 q1 M E1 = điện tích điểm tổng điện trường điện tích ε r12 r1 điểm riêng rẻ hệ r Ghi chú: r k q n rn r qn M En = E * Nế u cá c i phương ta cộâng đại số ε r r r F1 n (q1,…,qn) M n r r E = ∑ Ei n n E = ∑ Ei Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu r * Nếu E i khác phương ta chiếu lên ba phương: n n n E x = ∑ E ix , E y = ∑ E iy , E z = ∑ E iz 1 r F1 r r r r E = E x + E y + E z E = E x2 + E y2 + E z2 r r1 Điện trường vậtä tích điện r dq dE M r r VTĐ E = ∫ dE M z Er q1 Ghi chú: r * Nếu d E phương ta cộâng đại số E = ∫ dE n y r dE vtd r * Nếu dE khác phương ta chiếu lên ba phương: E x = ∫ dE x , E y = ∫ dE y , E z = ∫ dE z Vtd x r E qn q2 Vtd Vtd r E2 y r E1 z Vtd M x r r r r E = E x + E y + E z E = E x2 + E y2 + E z2 Ghi chú: dq - Nếu vật dây tích điện: Trên phần tử chiều dài dq = λ dl dq ⇒λ= (C/m): mật độ điện tích dài dl - Nếu vật mặt tích điện: Trên phần tử điện tích :dq= σ dS dq ⇒ σ = (C/m2): mật độ điện tích mặt dS - Nếu vật khối tích điện: Trên đơn vò thể tích: dq= ρ dV dq ⇒ρ= (C/m3) : mật độ điện tích khối dV - Nếu vật tích điện thì: số Q Q Q λ= ;σ = ;ρ = L S V p dụng: r 1/ Xác đònh vectơ E lưỡng cực gây điểm M trục đối xứng lưỡng cực - Lưỡng cực điện hệ gồm điện tích trái dấu, độ lớn, đặt cách khoảng l nhỏ r r q l Vectơ moment lưỡng cực điện : p e = q.l ( l hướng từ − q → + q ) E = 2.E1 cos α = K r1 2r1 r (vì r >> l) r k pe k ql E M EM = − = − ε r ε r Tại N: EN = k p e ε r3 r pe -q r l r EN +q Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu 2/ Điện trường gây đoạn dây thẳng L tích điện λ >0 gây điểm M nằm đường nối dài dây cách đầu gần đoạn a : dq = λ dx r L a dq dE M r r r r dE E M x O dây E = ∫ dE M day x k λ dx k λ dx r = dE = 2 ε r ε ( L + a − x) L r k λ ⎛ 1 ⎞ k λ − d ( L + a − x) ⎜⎜ − ⎟ ⇒ EM = ⇒ E = ∫ d E ⇔ E = ∫ dE = ∫ ε ( L + a − x) ε ⎝ a ( L + a) ⎟⎠ dây Tóm tắt: ⎧ * Điểm đặt: điểm xét M ⎪ * Phương: đường thẳng sợi dây r ⎪ * Chiều: λ > Er hướng xa sợi dây E M ⎨ * Độ lớn: ⎪ r ⎪⎩ E M = E M = k λ ⎜⎜⎛ − ⎞⎟⎟ ε ⎝ a ( L + a) ⎠ y 3/ Điện trường gây đoạn dây thẳng tích r r d E d E y điện λ >0 gây điểm M nằm dây cách dây đoạn a : dq = λ dx r dq dE M r x d E x r r dây E = ∫ dE M ϕ r day a k λ dx Với : dE = ε r2 r * Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương: O E x = ∫ dE x , E y = ∫ dE y , x Vtd Vtd r r r E = E x + E y E = E x2 + E y2 Với x = a.tgϕ ⇒ dx = a a.dϕ r = cos ϕ cos ϕ a.dϕ α k λ cos ϕ E x = ∫ dE.(sin ϕ ) = ∫ sin ϕ = sin ϕ dϕ ∫ ε a ⎞ ⎛ a day −α1 −α1 ⎟⎟ ε ⎜⎜ ⎝ cos ϕ ⎠ a.dϕ α k λ α k λ cos ϕ E y = ∫ dE.(cos ϕ ) = ∫ cos ϕ = cos ϕ dϕ ε a −∫α1 a2 ⎞ day −α1 ⎛ ⎟⎟ ε ⎜⎜ ⎝ cos ϕ ⎠ α2 Ey = k λ k λ [sin α − sin( −α )] = k λ (sin α + sin α ) ε a ε a ⇒ Ex = k λ (cos α − cos α ) ε a Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu r r r * Điểm đặt: điểm xét M 2 Tóm tắt: E M = E ⊥ + E // EM = E⊥ + E// * Phương: đt ⊥ dây M * Chiều: hướng xa dây Chọn α2 > α1: giá trị số học k λ * Độ lớn: E ⊥ = (sin α + sin α ) cM∈dây r r ⊥ ε a E E⊥ k λ (sin α − sin α ) hcM∉dây E⊥ = ε a ⎧ r ⎪⎪ E ⎨ ⎪ ⎪⎩ r E // α2 α1 a O ⎧ r ⎪⎪ E // ⎨ ⎪ ⎪⎩ * Điểm đặt: điểm xét M * Phương: đt ⊥ dây M * Chiều: hướng phía đoạn ngắn dây k λ cos α − cos α * Độ lớn: E // = ε a 4/ Điện trường gây cung tròn (O,R) tích điện λ >0 gây tâm O: dq = λ dx góc chắn cung 2α r r dq dE dE M k λ dl r r Với dE = ε r2 cung E = d E M ∫ day r * Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương x, y: ∫ dE Ex = x =0, ∫ dE y = Vtd α ∫α − α ϕ Vtd Ey = −α k λ.R.dϕ cos ϕ ε R 2k λ sin α ⇒ E= ε R r EO Tóm tắt: dq ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ * Điểm đặt: điểm xét O * Phương: đường trung trực dây cung r * Chiều: λ > E hướng xa sợi dây r 2k λ sin α * Độ lớn: EO = EO = ε R 5/ Điện trường gây vành tròn (O,R) tích điện λ >0 gây điểm M nằm trục r vành cách O đoạn h EM h k dq cos β = , dE = 2 ε ( R + h ) R +h r β d E Tương tự ta có M E x = ∫ dE x = , Vtd Ey = ∫ dE y = Vtd ⇒ EM = k dq ∫day ε ( R + h ) cos β k Q.h h.λ.R = 2 3/ ε ( R + h ) 2.ε ε ( R + h ) h dq O R Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu 5/ Điện trường gây dóa tròn (O,R) tích điện σ >0 gây rđiểm M nằm trục EM đóa cách O đoạn h r r k h dq d E M vành dq = σ dS = σ 2π r.dr → M→ dE = ε (r + h ) / R M r k h.σ 2π r.dr đóa → M → E M = ∫ ε (r + h ) / h R ⎞ dq h.σ 2π h.σ ⎛ 1 ⇒E = (− = ⎜ − ⎟ 1/ r 4π ε ε (r + h ) 2ε ε ⎝ h O R + h2 ⎠ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ σ ⎜ σ ⎟ EM = 1− R → ∞ : mặt phẳng vô hạn : R → ∞ : E = ⎟ ⎜ 2ε ε 2.ε ε R ⎜ + ⎟⎟ ⎜ h ⎠ ⎝ Vậy điện trường gây mặt phẳng rộng vô hạn: điện trường có phương vuông góc mặt phẳng, chiều hướng mặt tích điện dương, không phụ thuộc vào vò trí điểm khảo sát I.4.Đònh lý Gauss: r Đường sức E : a/ Đònh nghóa: đường cong mà tiếp tuyến điểm đường cong có phương trùng r r với E ,chiều đường sức chiều E b/ Tính chất: - Các đường sức không cắt - Đường sức điện trường đường cong hở Xuất phát từ +q, kết thúc –q - Tập hợp đường sức điện trường điện phổ r - Người ta qui ước vẽ số đường sức qua đơn vò diện tích tiết diện có giá trò E r - Đường sức E qua mặt phân cách môi trường bò gián đoạn Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu r r r C 2 Vectơ điện cảm D : D = ε ε E m r Đường sức D không phụ thuộc ε ε0 nên không bò gián đoạn qua mặt phân cách r r r r r Điện thông (thông lượng D ) gửi qua diện tích dS: dφ = D.dS = D.dS cos D, dS [ ] ε ( r D r dS ⎧ r⎪ dS ⎨ ⎪ ⎩ ) Điểm đặt : với điểm thuộc dS Phương: vuông góc dS Chiều: hướng mặt kín Độ lớn: dS r n dSn Đònh lý Gauss: α a/ Góc khối: Cho diện tích vi phân dS (coi phẳng) r điểm O dS; điểm M ∈ dS cách O đoạn r Góc khối từ O nhìn M O diện tích dS : dS dS cos α dSn dΩ = = (sr)(stêradian) r r2 4π R Góc khối không gian: Ω= = 4π (sr) R2 r b/ Đònh lý Gauss điện trường: Thông lựợng D qua mặt kín S tổng đại số điện tích r r n Φ D = ∫ D.dS = ∑ qi chứa mặt kín (S ) i =1 c/ Công thức dạng tích phân vi phân đònh lý Gauss: r r (V: thể tích phần có điện tích nằm mặt Gauss) ∫ D.dS = ∫ ρ dV (S ) ∫ (V ) r divD.dV = ∫ r ∂Dx ∂Dy ∂Dz r r + + divD = ∇.D = ρ với ∇.D = ∂x ∂y ∂z ρ dV ⇒ (V ) (V ) r Tương tự với E : ∑q r r ρ divE dV divE = ; = ∫S ∫ ε ε V ε ε ( ) r p dụng đònh lý Gauss để tính D : a/ Tại điểm nằm dây tích điện (λ > 0) dài vô hạn Mặt kín S (mặt Gauss) mặt trụ, trục sợi dây bán kính R = a , độ cao h r r r r r r r r ∫ D.dS = ∫ D.dS1 + ∫ D.dS2 + ∫ D.dS3 = ∫ D.dS3 = D ∫ dS3 = D.2π a.h r E.dS = (S ) S1 i S2 S3 ( S3 ) r dS1 r dS3 r D λ r dS 2π a KL: Vậy điện trường dây dài vô hạn gây M có phương vuông góc dây, chiều hướng λ > , hướng vào λ < r b/ Tính D M cách mặt phẳng vô hạn (σ > ) tích điện gây M cách khoảng h σ σ E= ⇒D= 2ε ε Mặt Gauss mặt trụ bán kính R bất kỳ, độ cao 2h vuông góc mặt phẳng D.2π a.h = ∑ qi = λ h ⇒ D = r D Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu r r r r r r r r D d S = D d S + D d S + D ∫ ∫ ∫ ∫ dS (S ) ( S1 ) (S2 ) r dS1 r dS3 (S3 ) = D ∫ dS1 + D ∫ dS = D.S1 + D.S = D.S1 ( S1 ) (S2 ) DS1 = ∑ qi = σ S1 ⇒ D = σ r c/ Tính D M cách tâm cầu đặc tích điện (ρ > 0) đoạn r ⎡4 ⎤ Q = ρ ⎢ π R ⎥ ⎣3 ⎦ Mặt Gauss mặt cầu tâm 0, bán kính r r r r r D d S = D ∫ ∫ dS = D ∫ dS = D.4π r = ∑ qi r (S ) (S ) D (S ) o Xét r < R: ρ r D.4π r = ρ π r ⇒ D = 3 o Xét r > R: D.4π r = ρ π R = Q ⇒ D= * Nếu cầu rỗng: Q = σ 4π R o r < R: D.4.π r = ⇒ D = o r > R: D.4.π R = Q = σ 4.π R ⇒ D K Q ⇒E= = ε ε r Q ρ R = 4π r 3r r r D ∫ dS = D.4.π r = ∑ qi D= σ R r = r dS r dS r D r dS Q 4.π r Khi cầu tích điện đặc hay rỗng, với điện tích toàn thể Q, ta coi cầu tương đương điện tích điểm đặt tâm O cầu xét điểm M nằm từ mặt cầu ∞ I.5 Lực tónh điện (lực điện): Một điện tích q đặt điện trường mà có vectơ cường độ điện r r r r r trường E điện tích q chòu lực: FE = q0 E E FE r r r 1/ Điện tích điểm q0 → E → FE = q0 E r r dq → E → dFE ⇒ r r r 2/ Vật tích điện: Vtd → E → FE = ∫ dF Vtd Vd: Hai L tích điện λ > , cách khoảng a r Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu x dFE r O k λ ⎡ 1 ⎤ → E1 = − ⎢ r ε ⎣ a + x L + a + x ⎥⎦ E r r L a dq2 → E1 → dF2 E r r r k λ ⎡ ( a + L ) ⎤ F 1= ln ⎢ Thanh 1: Q2 → E1 → F2 E = ∫ dF2 E ⎥ ε ⎢⎣ ( L + a ) a ⎥⎦ dq2 = λ.dx L L k λ ⎡ 1 k λ ⎛ ⎛ a + x ⎞ ⎤ dx = ⇒ F2 E = − ⎜ ln ε ∫0 ⎣⎢ a + x L + a + x ⎦⎥ ε ⎝⎜ ⎝⎜ L + a + x ⎠⎟ I.6.ĐIỆN THẾ 1.Công lực tónh điện:Điện tích q đặt điện trường q chòu tác dụng lực tónh điện r r FE di chuyển từ A → B : A Cộng nguyên tố: B B r r dA = FE dl ⇒ A = ∫ dA = ∫ FE dl.cos α A rA A rB Xét điện tích q > q0 > di chuyển điện trường q : B A = ∫ q0 A k q.q0 k q dl.cos α = ε r ε rB dr ∫r rA (vì : dl.cos α = dr ) k q.q0 ⎛ ⎤ B k q.q0 ⎛ 1 ⎞ − = A= ⎜ − ⎟ ε ⎜⎝ r ⎦⎥ rA ε ⎝ rA rB ⎠ r r dl α FE B *Công lực tónh điện di chuyển điện tích từ phụ thuộc vào vi trí đầu vò trí cuối mà không phụ thuộc vào đường lực tónh điện lực trường tónh điện trường Thế năng: ( lượng phụ thuộc vào vò trí) Wt B WtB ∫ dA = ∫ −dW t A = Wt A − WTB = Wt A k q.q0 k q.q0 − ε rA ε rB K q.q0 k q.q0 Wt (r =∞ ) = ⇒ C = ⇒ Wt (r ) = + C Chọn gốc ∞ : ε r ε r Cũng công di chuyển điện tích q điện trường gây điện tích q từ r → ∞ ⇒ Hàm năng: Wt = Điện điện tích điểm đặt cách q đọan r: Một điện tích điểm q tạo xung quanh điện trường điện (V) điểm M xác đònh q > → VM > k q VM = q < → VM < ε r *Điện công di chuyển đơn vò điện tích q từ M → ∞ Điện hệ điện tích điểm ( q1 , q2 , , qn ) gây M: ⎧q1 → M → V1 ⎪q → M → V ⎪ 2 ⎨ ⎪M ⎪⎩qn → M → Vn n q1 , , qn → M → VM = ∑ Vi i =1 Điện vật tích điện: Vật tích điện → M → V = ∫ VTD dV Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu Vd1: Điện điểm M gây dây L tích điện λ > r = x+a L dq = λ dx x ⇒ dV = K dq K λ dx = ε r ε ( x + a) a x r Cả thanh: K λ dx K λ dx K λ ln ( x + a ) V =∫ = = ∫ ε ( x + a) ε x+a ε L M O L L ⇒V = K λ ⎛ L+a⎞ ln ⎜ ⎟ ε ⎝ a ⎠ Vd2: Điện điểm O gây cung (O,R) tích điện Q chắn góc α k k Q k λ R.α k λ.α dq = ⇒ V0 = ∫ dV = = = ∫ ε ε ε ε R R R cong O α Mặt đẳng thế: a/ Đònh nghóa: tập hợp điểm có điện b/ Tính chất: - công di chuyển điện tích q mặt đẳng dq ⎛ K q K q ⎞ Aq0 ( A→ B ) = q0 ⎜ − ⎟ = q0 (VA − VB ) ⎝ ε rA ε rB ⎠ - Vecto cường độ điện trường điểm nằm mặt đẳng vuông góc mặt đẳng theo chiều giảm điện r I.7 LIÊN HỆ GIỮA E VÀø V: r Cho điểm M, N gần điện trường E : điện M VM = V øvà N V+dV (dV>0) Ta di chuyển điện tích q từ M → N r r r r dA = q0 E.dl = q0 E.dl.cos E , dl = q0 El dl ( ) dA( M → N ) = q0 (VM − VN ) = q0 ( − dV ) dV r dl E dV ⎞ dV dV ⎛ Chọn : l ≈ x; l ≈ y; l ≈ z ⇒ ⎜ Ex = − ; ⎟ Ey = − ; Ez = − dx ⎠ dy dz ⎝ r r r r ⎛ ∂V r ∂V r ∂V r ⎞ ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ i+ j+ k ⎟ = −⎜ i + j + k ⎟V Mà: E = Ex i + E y j + Ez k = − ⎜ ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x uuuuur r r E = − grad V = −∇.V ⇒ − dV = El dl ⇒ El = − * Từ uuuuur r r ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ V ⇒ E = − grad V = −∇V = − ⎜ i + j + k ⎟V ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Vd: Cho điện điện trường phân bố theo quy luật: V=x2+ y3+ z (V) r r r r V = x + y + z ⇒ E = − x.i + y j + k ( ) Vd:Điên điểm M nằm đường nối dài dây (trục x ) cách đầu gần gốc O đoạn x là: r dl M r El N Tóm tắt giảng phần Điện – Từ GVC :Nguyễn – Minh Châu K λ ⎡ L + x ⎤ K λ ln = VM = ⎡ln ( L + x ) − ln x ⎤⎦ x ⎥⎦ ε ⎢⎣ ε ⎣ r 1⎤ r ⎤ K λ ⎡ K λ ⎡ ⇒E=− − ⎥ i hay : E = − ⎢ ⎢ ε ⎣L + x x⎦ ε ⎣ x L + x ⎥⎦ r r r *Từ: E → V : Chọn phương E phương r ⇒ Tổng quát: −dV = Er dr VB rB VA rA ∫ −dV = ∫ E dr ⇒ V ⇒ r Lưu ý: rB A − VB = ∫ Er dr rA K q (ta chọn Wt (r = ) = 0, hay : V∞ = ) điện tích phải hữu hạn ε r (không tiến ∞ ) - Khi điện tích phân bố vô hạn ta tính hiệu điện tính điện điểm Vd1: Dây dài vô hạn tích điện λ >0 tính hiệu điện hai điểm M N cách dây rM rN Hay hai mặt trụ dài vô hạn,đồng trục,tích điện có mật độ điện dài theo trục + λ - λ tính hiệu điện hai mặt trụ Dùng đònh lý Gauss ⇒ E ⇒ VM - VN - 2.k λ λ = ε r 2.π ε ε r E= VN ∫ VM Công thức: V = λ − dV = ∫ Er dr = 2π ε ε ⇔ VM − VN = r rN ∫ rM r E dr r r λ λ r ln r r = ln N 2π ε ε 2π ε ε rM N M Vd2: Mặt phẳng vô hạn tích điện σ tính hiệu điện hai điểm M N cách mặt phẳng rM rN : σ ∫ dr.E = ∫ 2ε ε r dr = − ∫ dV ⇒ VN σ ∫ −dV = 2.ε ε VM r rN ⇔ VM − VN = r M M N σ ( rN − rM ) 2.ε ε Vd3:Quả cầu đặc: (0, R) tích điện ρ hay điện tích toàn thể Q tính điện điểm O , A∈mặt cầu M cách O đoạn r 0< r < R: ρ r ρ R ρ R ρ R Er = ⇒ ∫ −dV = ∫ Er dr = r dr ⇔ V − V = = A 3.ε ε 3.ε ε ∫0 3.ε ε 6.ε ε V VA VA = K Q ρ R ρ R ρ R ρ R = ⇒ V0 = + = ρ π R = 3.ε ε 6.ε ε 3.ε ε 2.ε ε ε R 4π ε ε R V0 − VM = ρ r ρ R ρ r ⇒ VM = − 6.ε ε 2.ε ε 6.ε ε k Q r > R : VM = ε r O M A r r ... = E x2 + E y2 + E z2 Ghi chú: dq - Nếu vật dây tích điện: Trên phần tử chiều dài dq = λ dl dq ⇒λ= (C/m): mật độ điện tích dài dl - Nếu vật mặt tích điện: Trên phần tử điện tích :dq= σ dS dq ⇒... sức chiều E b/ Tính chất: - Các đường sức không cắt - Đường sức điện trường đường cong hở Xuất phát từ +q, kết thúc –q - Tập hợp đường sức điện trường điện phổ r - Người ta qui ước vẽ số đường... dài vô hạn,đồng trục,tích điện có mật độ điện dài theo trục + λ - λ tính hiệu điện hai mặt trụ Dùng đònh lý Gauss ⇒ E ⇒ VM - VN - 2.k λ λ = ε r 2.π ε ε r E= VN ∫ VM Công thức: V = λ − dV = ∫