TOÁN CAO cấp GIẢI TÍCH 1

Học để lập nghiệp KHÓA HỌC: TỐN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I BUỔI 09 : CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI KHẢO SÁT HÀM SỐ - ĐÁP ÁN BTTL Bài 1: Xét hàm số f (x)  10 x1  x thỏa mãn điều kiện định lý Rolle R Ta có f (x)  10 x1 ln10  f (x)   x   log10  x   log10 (ln10) ln10 Vì f (x) có nghiệm nên f (x) có tối đa nghiệm (hệ định lý Rolle) Mà ta lại dễ thấy f (1)  f (0,13713) 0 nên phương trình cho có nghiệm Chú ý : Hệ định lý Rolle : - Nếu phương trình f (x)  có n nghiệm phân biệt phương trình f (x)  có (n  1) nghiệm phân biệt - Nếu phương trình f (x)  có n nghiệm phân biệt phương trình f (x)  có nhiều (n  1) nghiệm phân biệt Bài 2: Xét hàm số F(x)  a sin x  b sin 2x sin 3x liên tục 0; π khả vi (0; π) c Ta dễ thấy F(0)  F( π)   phương trình F(x)   acos x  bcos 2x  c cos 3x  có nghiệm khoảng (0; π) (định lý Rolle)  đpcm Bài 3: Xét hàm số F(x)  ax8  bx3  cx  d liên tục 0;1 khả vi (0;1) Ta dễ thấy F(0)  d; F(1) a b c d d (do a  b  c  )  F(0)  F(1)  phương trình F(x)   8ax7  3bx2  c  có nghiệm khoảng (0;1) (định lý Rolle) Bài 4: Dễ thấy hàm số g(x)  x có g(x)  3x   x     1;1 nên không áp dụng định lý Cauchy cho hàm số   1;1 Bài 5: Từ đề ta có : f (c) f (3)  f ( 1) 3c 27  ( 1)    c g(c) g(3)  g( 1) 2c 1 Định lý Cauchy điều kiện đủ để tồn số c vậy, không mâu thuẫn www.edemy.vn Học để lập nghiệp _ Bài 6: - Với x  y , bất đẳng thức - Với x  y , dễ thấy hàm số f (x)  cot x thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange (x; y) (do x, y  (0; π) ) Vậy áp dụng định lý Lagrange ta thấy : c  (x; y)| f (c)   f (x)  f (y) cot x  cot y   xy xy sin c cot x  cot y    cotx  cot y  x  y xy sin2 c Vậy ta có điều phải chứng minh Dễ thấy hàm số f (x)  arctan x thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange (a; b) với a,b thỏa mãn  a  b Vậy áp dụng định lý Lagrange ta thấy : c  (a;b)| f (c)  Mà c  (a;b) nên ta có Từ (1) (2)  f (b)  f (a) arctanb  arctana (1)   ba ba c 1 1 (2)   b 1 c 1 a 1 arctanb  arctan a ba ba     arctanb  arc tan a  ba b 1 a  1 b  a2 Vậy ta có điều phải chứng minh Dễ thấy hàm số f (x)  ln x thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange (b; a) với a,b thỏa mãn  b  a Vậy áp dụng định lý Lagrange ta thấy : c  (b; a)| f (c)  Mà c  (b; a) nên ta có Từ (1) (2)  f (a)  f (b) lna  lnb (1)   ab c ab 1   (2) a c b ln a  lnb ab  a  ab     ln    a ab b a b b Vậy ta có điều phải chứng minh Xét f (x)  sin x liên tục  a; b  khả vi (a; b) Ta có f (x)  cos x www.edemy.vn Học để lập nghiệp Áp dụng định lý Lagrange tồn c  (a;b) cho cosc  Lại có  a  c  b  sinb  sin a  (b  a)cosc  sinb  sin a (1) ba π   cos c  (2) Từ (1) (2)  (b  a)  sinb  sin a  b  a Ta có đpcm Bài 7: Giả sử tồn hàm số f Vậy theo định lý Lagrange c  (0; 2)| f (c)  f (2)  f (0)  20 Mà theo giả thiết : f (x)  với x , mâu thuẫn với định lý Lagrange Vậy không tồn hàm f thỏa mãn đề Bài 8: Giả sử tồn hàm số f Vậy theo định lý Lagrange α  (0;1)| f (α)  β  ( 1;0)| f (β)  f (1)  f (0) ; 1 f (0)  f ( 1)  ( 1) Mà theo giả thiết : f (1)   f ( 1), f (0)  nên f (α)  f (β) Lại áp dụng định lý Rolle cho hàm số f (x) α; β  γ  (α; β) cho f (γ)  , mâu thuẫn với giả thiết f (x)  x  ( 2; 2) Vậy không tồn hàm f thỏa mãn đề Bài 9: Xét hàm số f (x)  g(x) thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange 0;1 Vậy theo định lý ex Lagrange ta có c  (0;1)| f (c)   f (1)  f (0) 1 g(c)  g(c) g(1) / e  g(0)   (do g(0)  g(1)  ) ec  g(c)  g(c) Vậy ta có điều phải chứng minh x Bài 10: Xét hàm số g(x)   f (x)dx hàm số liên tục  a; b  , khả vi (a; b) g(a)  g(b)  (do a b  f (x)dx  a a  f (x)dx  ) Vậy áp dụng tập ta suy tồn c  (a;b) cho g(c)  g(c) a c Tức f (c)   f (x)dx (chú ý g(x)  f (x) ) Vậy ta có đpcm a www.edemy.vn Học để lập nghiệp _ Bài 11: Ta xét đạo hàm hàm số y  x  điểm x  Ta có : lim x 1 y(x)  y(1) y(x)  y(1) x 1 1 x   lim  1; lim  lim  1 x1 x1 x1 x 1 x 1 x 1 x 1  y (1)  y (1)  hàm số khơng có đạo hàm x   0; 2  áp dụng định lý Fermat cho hàm số 0; 2 Lập bảng biến thiên ta dễ thấy hàm số đạt cực tiểu x  , yct  y(1)  Bài 12: a) Xét hàm số F(x)  ax4  bx3  cx  d liên tục   1;0  khả vi ( 1;0) Ta dễ thấy F(0)  d; F( 1)  a b c d d (do a  b  c  )  F(0)  F( 1)  phương trình F(x)   4ax3  3bx2  c  có nghiệm khoảng ( 1;0) (định lý Rolle) b) Xét hàm số F(x)  ax  bx  2cx  d liên tục 0; 2 khả vi (0; 2) Ta dễ thấy F(0)  d; F(2)  4(a b c) d d (do a  b  c  )  F(0)  F(2)  phương trình F(x)   ax3  2bx  2c  có nghiệm khoảng (0; 2) (định lý Rolle) c) Xét hàm số F(x)  cx5  bx4  ax3 liên tục 0;1 khả vi (0;1) Ta dễ thấy F(0)  0; F(1) a b c 0  F(0)  F(1)  x0  (0;1)|F(x0 )   5cx04  4bx03  3ax02  (định lý Rolle)  1   3a    4b   x0   x0    5c  (chia vế cho x0 )   phương trình 3ax2  4bx  5c  có nghiệm  (1;  ) (do x0  (0;1) ) x0 d) Xét hàm số F(x)  ax6  bx5  cx  dx liên tục   1;0  khả vi ( 1;0) Ta dễ thấy F(0)  0; F( 1)  a b c d 0 (do a  b  c  d )  F(0)  F( 1)  phương trình F(x)   6ax5  5bx4  4cx3  d  có nghiệm khoảng ( 1;0) (định lý Rolle) www.edemy.vn Học để lập nghiệp Bài 15 Xét hàm số y  2x arctan x  ln(1  x )  Ta có y  2arctan x   x  Lập bảng biến thiên ta dễ thấy y   y  x  Vậy ta có đpcm Khai triển Maclaurin hàm số y  ln(x  1) đến cấp 0;   , sử dụng phần dư dạng Lagrange ta : ln(x  1)  x  x2 x2 x3 (trong c số thực nằm x , tức ; ln(x  1)  x   3(c  1)3 2(c  1)2  c  x ) Từ ta suy : ln(x  1)  x   x2 x2 x3  0; ln(x  1)  x    (do x  ) 3(c  1)3 2(c  1)2 Vậy ta có đpcm  π Khai triển Maclaurin hàm số y  cosx đến cấp 0;  , sử dụng phần dư dạng Lagrange ta :  2 x x (sinc).x π   (trong c số thực nằm x , tức  c  x  ) 2! 4! 5! cosx   (chú ý (cos x)( )  cos(x  5π )   sin x ) x2 x4 (sinc).x π  cosx      (do  c   sinc  ) 4! 5! Vậy ta có đpcm Cách 1: Ta tính đạo hàm cấp 1,2,3,4 hàm số y  tan x Ta có : (tan x)  2sin x ;(tan x)  ; cos x cos3 x (tan x)  sin2 x sin x  ;(tan x)( 4)  (16  24tan2 x) cos x cos x (cos x) π Khai triển Maclaurin hàm số y  tan x đến cấp (0; ) , sử dụng phần dư dạng Lagrange ta : tan x  x  x3 sinc π  (  tan2 c).x (trong c số thực nằm x , tức  c  x  ) 3 (cos c) www.edemy.vn Học để lập nghiệp _ x3 sinc π  tan x  x   (  tan2 c).x  (do  c   cos c  sinc  ) 3 (cos c) Vậy ta có đpcm Nhận xét: Cách trình bày ngắn gọn tính đạo hàm q dài dịng dễ nhầm lẫn Cách 2: Xét hàm số f (x)  tan x  x  Ta có f (x)  π x3 (0; )   x  tan2 x  x  (tan x  x)(tan x  x) cos x π Dễ thấy (0; ) sin x  cos x   tanx   tanx  x  Ta cần xét dấu biểu thức tanx  x 1  cos2 x π Xét hàm số g(x)  tan x  x (0; ) Ta có g(x)  1   nên g(x) đồng biến cos2 x cos2 x  g(x)  g(0)  x  π π Vậy ta có f (x)  (0; )  f (x)  f (0)  0x  (0; ) 2 Vậy ta có đpcm Bài 16: y   x(x  2) ymin  y( 2)  , ymax  y(0)  2 (x  x  1) Các em tự lập BBT y  x(3x  2) 5(x (x  1)) ycd  y( 2 ) , y  y(0)  27 ct www.edemy.vn Học để lập nghiệp ln y  (4x  2)ln x ycd  y( )   , yct  y(1)  2 1  y     y  y(1)  2, yct  y(0)  y(2)   x x   cd y  x  ycd  y( 1)  1, yct  y(0)  www.edemy.vn Học để lập nghiệp _ y  1 2(x  3) ycd  y( 3)  , yct  y(  3)  2 (x  3) 3 y  e x (x2  3x  2) ycd  y( 2)  y  , yct  y( 1)  e e 3x  2 2  2 yct  y( )   ln   x 3  3 www.edemy.vn Học để lập nghiệp y    2sin x 7π  11π yct  y( )  , ycd  y( ) 6 (2  sin x) Bài 17: Ta có : 1 - lim y  lim (xe x  2)    đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x  x 1  x lim y  lim(xe  2)  2;   x 0   x 0 -  1 t t  lim y  lim(xe x  2)  lim   e t    lim 2t  e  lim  e    t  t  t  t  t  x 0      x 0  đồ thị hàm số nhận x  làm đường tiệm cận đứng Chú ý ta đặt ẩn phụ t  1/ x sử dụng quy tắc L'Hospital cho giới hạn dạng  /  1 y  lim (e x  )  e    đồ thị hàm số có tiệm cận xiên x  x x  x - lim www.edemy.vn Học để lập nghiệp _ 1  1  1 et  Vậy xét lim (y  x)  lim (xe x   x)  lim  x(e x  1)  2  lim( )  2) (đặt t  x  x  x  t 0 x  t    lim( t 0 t  2)  (thay tương đương (et  1)  t t  ) t  đường thẳng y  x  tiệm cận xiên đồ thị hàm số y y ln(1  e 2x ) ln(1  e 2x ) 2e 2x / (1  e 2x ) (quy tắc  lim  ; lim  lim  lim x  x x x  x x x x x Ta có : lim   L'Hospital)  lim  2    2 x   e 2x   Vậy xét lim (y  2x)  lim ln(1  e 2x )  2x   lim ln(1  e t )  t  (đặt t  2x ) x x t    et  lim ln(1  e t )  ln e t   lim ln  t t  t   e    ln1   Vậy đường thẳng y  2x tiệm cận xiên đồ thị hàm số Ta có : - lim y  lim x sin x   lim t 0 x  2020 sin 2020t (đặt t  )  lim t 0 x x t 2020t (thay tương đương)   t2 Vậy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang  2020   (dùng giới hạn kẹp)  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng - lim y  lim  x sin x 0 x 0 x   y 2020 sin 2020t (đặt t  )  lim x sin  lim x  x x  t 0 x t x - lim  lim t 0 2020t  2020  đồ thị hàm số có tiệm cận xiên t Lại xét lim (y  2020x)  lim (x sin x  lim t 0 x  2020  sin 2020t 2020   2020x)  lim   t  x t  t2  sin 2020t  2020t 2020cos2020t  2020 2020 sin 2020t  lim  lim 0 t 0 t 0 2t t2 Vậy đường thẳng y  2020x tiệm cận xiên đồ thị hàm số www.edemy.vn Học để lập nghiệp Kinh nghiệm để tìm tiệm cận đường cong tham số tìm giới hạn điểm làm cho x(t) y(t) tiến tới  Ở ta thấy xét giới hạn t  1 Ta có : lim  x(t)    ; lim  y(t)   Vậy đường cong có tiệm cận xiên t ( 1) t ( 1) y(t) 2020t 2020(t  t) 2020t 2020  lim  1 ; lim  y(t)  x(t)  lim  lim  t 1 x(t) t 1 2020t t 1 t 1 t  t 1 t t 1 Xét : lim Vậy tiệm cận xiên đường cong đường thẳng y   x  2020 x y x2  lim  Ta có : lim  lim x  x x  x  x x   xx    x x( x  x  3) Vậy xét lim (y  x)  lim   x   lim x   1  lim  x  x   x x  x   x2   x 3    lim x  x( x  x  3) x 3  lim x  x(x  (x  3)) x  3( x  x  3) 2  lim x  3x 3x  lim  x x x 2x Vậy đường thẳng y  x tiệm cận xiên đồ thị hàm số www.edemy.vn ... _ Bài 11 : Ta xét đạo hàm hàm số y  x  điểm x  Ta có : lim x ? ?1 y(x)  y (1) y(x)  y (1) x ? ?1? ?? 1? ?? x   lim  1; lim  lim  ? ?1 x? ?1 x? ?1 x? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1  y (1)  y (1)  hàm... (a;b) nên ta có Từ (1) (2)  f (b)  f (a) arctanb  arctana (1)   ba ba c ? ?1 1 (2)   b ? ?1 c ? ?1 a ? ?1 arctanb  arctan a ba ba     arctanb  arc tan a  ba b ? ?1 a  1? ?? b  a2 Vậy ta... số f Vậy theo định lý Lagrange α  (0 ;1) | f (α)  β  ( ? ?1; 0)| f (β)  f (1)  f (0) ; 1? ?? f (0)  f ( ? ?1)  ( ? ?1) Mà theo giả thiết : f (1)   f ( ? ?1) , f (0)  nên f (α)  f (β) Lại áp