hàm số và PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 Cơ sở số 1/31 Nguyễn Chí Thanh, Ba Đình,HN- Cơ Sở số 34 Hoàng Hoa Thám, Hà Đơng,HN Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323 Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NẮM Có đồ thị đường hình sin Hàm số y = cot x Có tập xác định D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} • • • • Có tập giá trị ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π Nghịch biến khoảng ( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ • Có đồ thị nhân đường thẳng x = kπ ; k ∈ ℤ làm đường tiệm cận Ô ̣I • x= ẦY π TH • PH Ư Ơ • • • • • π  Có tập xác định D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  Có tập giá trị ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hồn với chu kì π Đồng biến khoảng  π  π  − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ   Có đồ thị nhân đường thẳng Là hàm số chẵn Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) nghịch biến khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ π  3π khoảng  + k 2π ; + k 2π  , k ∈ ℤ 2  Có đồ thị đường hình sin Hàm số y = tan x À N • • H • • • Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến khoảng  π  π  − + k 2π ; + k 2π  nghịch biến   G • • • • • Hàm số y = cos x Có tập xác định ℝ Có tập giá trị  −1;1 N • • Hàm số y = sin x Có tập xác định ℝ Có tập giá trị  −1;1 + kπ ; k ∈ ℤ làm đường tiệm cận B BÀI TẬP Dạng Tập xác định hàm số - Hàm số xác định với điều kiện - Hàm số xác định hai hay nhiều điều kiện - Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định ℝ - Hàm số y = tan x xác định cos x ≠ ; Hàm số y = cot x xác định sin x ≠ Lưu ý: π π sin u = ⇔ u = + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π sin u = ⇔ u = kπ 2 π cos u = ⇔ u = + kπ cos u = ⇔ u = k 2π cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π π π tan u = ⇔ u = + kπ tan u = −1 ⇔ u = − + kπ tan u = ⇔ u = kπ 4 π π π cot u = ⇔ u = + kπ cot u = −1 ⇔ u = − + kπ cot u = ⇔ u = + kπ 4 - Hàm số y = xác định A ≠ A - Hàm số y = A xác định A ≥ “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 1 xác định A > A Tìm tập xác định hàm số sau: - Hàm số y = Bài a) y = + cos x sin x b) y = + sin x cos x c) y = + cos x − cos x d) y = − sin x HD Giải a) Hàm số xác định sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} b) Hàm số xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ π π  + kπ , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  + cos x ≥ Vì + cos x ≥ nên điều kiện − cos x > hay − cos x − cos x ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} c) Hàm số xác định d) Vì −1 ≤ sin x ≤ nên − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy D = ℝ Bài Tìm tập xác định hàm số sau:    π π π a) y = tan  x −  b) y = cot  x +  c) y = tan  x +  3 6 3    d) y = tan x + cot x HD Giải À N Ô ̣I  5π π π π a) Hàm số xác định cos  x −  ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ℤ 3   5π  Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ    TH ẦY PH Ư Ơ N G H  π π π b) Hàm số xác định sin  x +  ≠ ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ 6 6   π  Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ     π π π π kπ c) Hàm số xác định cos  x +  ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + ,k ∈ℤ 3 12   π kπ  Vậ y D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 12  cos x ≠ kπ d) Hàm số xác định  ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ ,k ∈ℤ sin x ≠  kπ  Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ    Bài Tìm tập xác định hàm số sau: 2x x a) y = cos b) y = tan x −1 d) y = sin e) y = cos x + x −1 f) y = cos x − cos3x − sin x 3sin x − i) y = + cos x cos x − HD Giải 2x 2x a) Ta có y = cos xác định ℝ ∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ ⇔ x ≠ x −1 x −1 g) y = sin x − cos2 x c) y = cot2x h) y = “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 2x D = ℝ \ {1} x −1 x x x π 3π b) Hàm số y = tan xác định cos ≠ ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k 3π , k ∈ ℤ 3 2  3π  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ  2  Vậy tập xác định hàm số y = cos  kπ  c) Tập xác định hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ    d) Tập xác định hàm số D = ℝ \ {−1;1} e) Ta có cos x + ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ f) Ta có cos x − cos3 x = −2 sin x sin(− x ) = sin x cos x  kπ  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ     π kπ  g) Ta có sin x − cos2 x = − cos x Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 4  h) Ta có − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ Do hàm số xác định ∀x ∈ ℝ cos x ≠ −1 Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ} i) Ta có 3sin x − < 0, cos x − < nên À N 1+ x 1− x b) y = sin − cos x  π + tan  x −  3  PH Ư e) y = ẦY cot x cos x − TH d) y = Ơ N G a) y = cos x Ơ ̣I Tìm tập xác định hàm số sau: H Bài 3sin x − > 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ cos x − − cos x + cos2 x tan x + cot x f) y = − sin x c) y = HD Giải a) Ta có y = cos x xác định ℝ Vậy tập xác định hàm số D = [0; +∞) x ∈ℝ ⇔ x ≥ 1+ x xác định ℝ 1− x Vậy tập xác định hàm số D = [−1;1) b) Ta có y = sin 1+ x 1+ x ∈ℝ ⇔ ≥ ⇔ −1 ≤ x < 1− x 1− x c) Ta có − cos x ≥ 0,1 + cos2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vậy tập xác định hàm số D = ℝ sin x ≠  x ≠ kπ cot x d) Hàm số y = xác định ⇔  ⇔ ⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ cos x − cos x ≠  x ≠ k 2π Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}   π  5π cos  x −  ≠ x≠ + kπ  − cos x     e) Hàm số y = xác định ⇔  ⇔ ;k ∈ℤ  π π   π tan x − x ≠ + tan  x −  + kπ  ≠0    12        5π   π  Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ   12    “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”  kπ cos x ≠ x≠  tan x + cot x   f) Hàm số y = xác định ⇔ sin x ≠ ⇔  ;k ∈ℤ − sin x π sin x ≠  x ≠ + kπ     kπ   π   Vậy tập xác định hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ       Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) Tìm tập xác định D hàm số, kiểm chứng D tập đối xứng hay không, tức ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1) Tính f (− x ) so sánh f (− x ) với f ( x ) : Nếu f (− x ) = f ( x ) f ( x ) hàm số chẵn (2) Nếu f (− x ) = − f ( x ) f ( x ) hàm số lẻ (3) Do Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm f ( x ) hàm số không chẵn, không lẻ D Nếu điều kiện (2) (3) không nghiệm f ( x ) hàm số khơng chẵn, không lẻ D Để kết luận f ( x ) hàm số không chẵn, không lẻ D, ta cần tìm điểm x0 c) y = − cos x f) y = sinx – cosx G H À N Ô ̣I cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) f (− x0 ) ≠ − f ( x0 ) Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối HSLG Bài Xác định tính chẵn, lẻ hàm số sau: cos x a) y = b) y = x – sinx x  3π  d) y = + cos x.sin  − 2x  e) y = sinx.cos2x + tanx   Ơ N tan x + cot x sin x HD Giải PH Ư h) y = TH ẦY g) y = sin x − tan x cos x có tập xác định D = ℝ \ {0} Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D x cos(− x ) cos x cos x f (− x ) = =− = − f ( x ) Vậy hàm số y = f ( x ) = hàm số lẻ (− x ) x x b) Hàm số lẻ c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ a) Hàm số y = f ( x ) = π  π   π  π ta có : f   = − ; f −  = − − Suy f   ≠ f  −  2 6 2  6 6  6 Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ h) Là hàm số lẻ Lấy x = π Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D hai số M m Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M ∃x cho f ( x0 ) = M M gọi GTLN hàm số y = f ( x ) D kí hiệu Max y = M D Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m ∃x cho f ( x0 ) = m m gọi GTNN hàm số y = f ( x ) D kí “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” hiệu Min y = m D Chú ý: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = cos x + c) y = (1 + cos x ) + b) y = − sin x π  d) y = 3sin  x −  − 6  HD Giải cos x ≥ a) y = cos x + Điều kiện:  ⇔ ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ −1 ≤ cos x ≤ Ta có: ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x ≤ hay ≤ y ≤ Vậy: Max y = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ ℝ π + kπ , k ∈ ℤ b) y = − sin x Tập xác định: D = ℝ Ta có: −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≥ −2 sin x ≥ −2 ⇔ + ≥ − sin x ≥ −2 + ⇔ ≥ − sin x ≥ hay ≥ y ≥ Min y = ⇔ cos x = ⇔ x = ℝ Vậy: Max y = ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − ℝ Min y = ⇔ sin x = ⇔ x = ℝ π π + k 2π , k ∈ ℤ + k 2π , k ∈ ℤ À N Ô ̣I c) y = (1 + cos x ) + Tập xác định: D = ℝ PH Ư Ơ N G H Ta có: −1 ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ + cos x ≤ ⇔ ≤ (1 + cos x ) ≤ TH ẦY ⇔ ≤ (1 + cos x ) ≤ ⇔ ≤ (1 + cos x ) + ≤ Vậy: Max y = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ ℝ Min y = ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ ℝ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau π   π a) y = cos  + x  + b) y = cos x + cos  x −  3 3   Bài d) y = cos x + cos x e) y = − cos2 x.sin x HD Giải c) y = − sin x f) y = sin x − cos x π  a) Hàm số y = cos  + x  + có tập xác định D = ℝ 3  π  π  π  Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ ⇔ −2 ≤ cos  + x  ≤ ⇔ −1 + ≤ cos  + x  + ≤ + 3  3  3  π  ⇔ ≤ cos  + x  + ≤ hay ≤ y ≤ 3  π  π Vậy: Max y = cos  + x  = ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ ℝ 3  π  2π Min y = −1 cos  + x  = −1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ ℝ 3  “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”  π b) Hàm số y = cos x + cos  x −  có tập xác định D = ℝ 3     π π π π Ta có cos x + cos  x −  = cos  x −  cos = cos  x −  3 6 6     π Với x ∈ ℝ ta ln có: − ≤ cos  x −  ≤ hay − ≤ y ≤ 6   π π Vậy: GTLN y , đạt đựơc cos  x −  = ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ 6   7π π GTNN y − , đạt cos  x −  = −1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ 6  c) Hàm số y = − sin x có tập xác định D = ℝ Ta có ≤ sin x ≤ ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ ⇔ ≤ − sin x ≤ hay ≤ y ≤ Vậy: GTLN y 3, đạt sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ GTNN y 1, đạt sin x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ , k ∈ ℤ d) Hàm số y = cos2 x + cos x có tập xác định D = ℝ + cos x + cos x + cos x = 2 + cos x Với x ∈ ℝ ta có: −2 ≤ ≤ Vậy: GTLN y 3, đạt cos x = ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ G H À N Ơ ̣I Ta có cos2 x + cos x = π + kπ , k ∈ ℤ ẦY PH Ư Ơ N GTNN y -2, đạt cos x = −1 ⇔ x = TH e) Hàm số y = − cos2 x.sin x có tập xác định D = ℝ − cos2 x.sin x = − sin 2 x Ta có Vì ≤ sin 2 x ≤ nên − Vậy: GTLN y 1 ≤ − sin 2 x ≤ ⇔ ≤ − sin2 x ≤ hay ≤y≤ 2 2 , đạt sin 2 x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ π kπ , đạt sin 2 x = ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = ± + ,k ∈ℤ f) Hàm số y = sin x − cos x = − cos x có tập xác định D = ℝ Ta có −1 ≤ − cos x ≤ GTNN y π + kπ , k ∈ ℤ GTNN y -1, đạt cos x = ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ Vậy: GTLN y 3, đạt cos x = −1 ⇔ x = Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a) y = + sin x cos x d) y = − sin x b) y = − cos2 x ( ) e) y = − sin x − c) y = + cos x f) y = 4sin x HD Giải “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” π , đạt x = + kπ , k ∈ ℤ π GTNN y , đạt x = − + kπ , k ∈ ℤ a) GTLN y π + kπ , k ∈ ℤ GTNN y 2, đạt x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ c) Hàm số y = có tập xác định D = ℝ + cos x 1 1 Ta có −1 ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ + cos x ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤1 + cos x 2 + cos x GTLN y 1, đạt x = π + k 2π , k ∈ ℤ GTNN y , đạt x = k 2π , k ∈ ℤ π d) GTLN y , đạt x = + kπ , k ∈ ℤ GTNN y , đạt đươc x = kπ , k ∈ ℤ b) GTLN y 4, đạt x = ( ) e) Hàm số y = − sin x − có tập xác định D = ℝ ( ) Với x ∈ ℝ ta ln có: −1 ≤ − sin x − ≤ − Vậy H À N Ô ̣I + k 2π , k ≥ G Ơ π + k 2π , k > PH Ư ẦY GTNN y −1 , đạt x = π N − , đạt x = − TH GTLN y f) Hàm số y = 4sin x có tập xác định D =  0; +∞ ) Trên D ta có: −4 ≤ 4sin x ≤ x= Vậy: GTLN y 4, đạt π + k 2π , k ≥ π + k 2π , k ≥ Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a) y = sin x − cos4 x b) y = sin x + cos4 x GTNN y −4 , đạt x =− c) y = sin x + sin x + d) y = cos4 x + cos2 x + HD Giải 4 2 a) y = sin x − cos x = sin x − cos x sin x + cos2 x = − cos x ( Mặt khác: −1 ≤ cos x ≤ )( ) π + kπ , k ∈ ℤ GTNN y −1 , đạt x = kπ , k ∈ ℤ GTLN y 1, đạt x = ( b) y = sin x + cos4 x = sin x + cos2 x Mặt khác ) − sin x cos2 x = − sin 2 x 1 ≤ − sin 2 x ≤ 2 GTLN y 1, đạt x = kπ ,k ∈ℤ “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” GTNN y π kπ , đạt x = + ,k ∈ℤ c) Ta có y = sin x + sin x + = ( sin x + 1) + Mặt khác: ≤ ( sin x + 1) + ≤ GTLN y 9, đạt x = π GTNN y 5, đạt x = − ( + k 2π , k ∈ ℤ π + k 2π , k ∈ ℤ ) ( ) d) Ta có y = cos4 x + cos2 x + = cos2 x + + Mặt khác: ≤ cos2 x + + ≤ 10 GTLN y 10, đạt x = kπ , k ∈ ℤ GTNN y 5, đạt x = π + kπ , k ∈ ℤ C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Tìm tập xác định hàm số sau tan x a) y = b) y = + tan x cot x + Bài e) y = 1+ cos9x + cot9x 1+ cos9x f) y = c) y = sin x cos x + g) y = 3sin x + π  − 3cos  x +  6  tan x − 1 + sin x + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhật hàm số sau  π a) y = + cos x − c) y = − + sin x b) y = + 5cos  3x +  3  h) y = À N H G N Ơ PH Ư ẦY f) y = − 8sin 2 x TH π  e) y = − 3sin  x −  3  sin x π  − cos  x +  4  − cot x − + sin x Ô ̣I Bài d) y = g) y = − sin x d) y = +1 cot x + h) y = sin x − “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TỐN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NẮM Phương trình sin x = m (1) Nếu m > : phương trình (1) vơ nghiệm Nếu m ≤ : Nếu α nghiệm phương trình (1), nghĩa sin α = m  x = α + k 2π sin x = m ⇔  ;k ∈ℤ  x = π − α + k 2π  x = α + k 360 Nếu số đo α cho độ thì: sin x = m ⇔  ;k ∈ℤ 0  x = 180 − α + k 360 Nhận thấy, cơng thức nghiệm phương trình lượng giác khơng dùng đồng thời hai đơn vị độ radian Chú ý:  π π − ≤ α ≤ i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2 ta viết α = arcsin m sin α = m   x = arcsin m + k 2π Khi đó: sin x = m ⇔  ,k ∈ℤ x = − arcsin m + k π π  ii) Các trường hợp đặc biệt π • + k 2π , k ∈ ℤ m = , phương trình sin x = có nghiệm x = kπ ; k ∈ ℤ • m = , phương trình sin x = có nghiệm x = ẦY PH Ư Ơ N G H À N Ô ̣I m = −1 , phương trình sin x = −1 có nghiệm x = − TH • π + k 2π ; k ∈ ℤ u = v + k 2π iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔  ,k ∈ℤ u = π − v + k 2π Phương trình cos x = m (2) Nếu m > : phương trình (2) vơ nghiệm Nếu m ≤ : Nếu α nghiệm phương trình (2), nghĩa cos α = m  x = α + k 2π cos x = m ⇔  ,k ∈ℤ  x = −α + k 2π  x = α + k 360 Nếu số đo α cho độ thì: cos x = m ⇔  ,k ∈ℤ  x = −α + k 360 Chú ý: i) Nếu α thoả điều kiện ≤ α ≤ π cos α = m ta viết α = arccosm Khi pt (2) có nghiệm : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ ii) Các trường hợp đặc biệt m ∈ {0; ±1} • • • cos x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” u = v + k 2π iii) Tổng quát: cos u = cos v ⇔  ,k ∈ℤ u = − v + k π  Phương trình tan x = m (3) π • + kπ , k ∈ ℤ Nếu α nghiệm phương trình (3), nghĩa tan α = m tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ • Nếu số đo α cho độ tan x = m ⇔ x = α + k180 ; k ∈ ℤ • Nếu α thảo mãn điều kiện − • Các trường hợp đặc biệt biệt m ∈ {0; ±1} Điều kiện: x ≠ π π tan α = m ta viết α = arctanm Lúc nghiệm 2 phương trình (3) là: x = arctan m + kπ , k ∈ ℤ