một số nghiên cứu didactic về hàm số và phương trình lượng gáic trong dạy học toán 11

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thựy Trang LUN VN THC S GIO DC HC Thnh ph H Chớ Minh 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thựy Trang Chuyờn ngnh : Lý lun v phng phỏp dy hc mụn Toỏn Mó s : 60 14 10 LUN VN THC S GIO DC HC NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS Lấ TH HOI CHU Thnh ph H Chớ Minh 2012 LI CM N Trc ht tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS.TS Lờ Th Hoi Chõu, ging viờn khoa Toỏn Tin ca trng HSP Tp.H Chớ Minh, ngi ó b nhiu cụng sc, giỳp tụi lm quen vi cụng vic nghiờn cu v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny Tụi xin trõn trng cm n quý thy cụ: PGS.TS Lờ Vn Tin, TS.Trn Lng Cụng Khanh, TS.Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung v cỏc quớ thy cụ ó tn tỡnh ging dy, truyn th tri thc quý bỏu sut thi gian tham gia lp cao hc chuyờn ngnh didactic Toỏn Xin chõn thnh cm n PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS.Annie Bessot, GS.TS Alain Birebent ó cú nhng ý kin úng gúp quý bỏu cho lun Xin chõn thnh cm n: Phũng Sau i hc trng HSP Tp.H Chớ Minh ó to thun li cho chỳng tụi sut khúa hc Ban giỏm hiu cựng cỏc thy cụ t Toỏn-Tin trng THPT DTNT NTrang Lng ó giỳp v to iu kin cho tụi hon thnh lun ny Cm n nhng ngi bn ng nghip ó giỳp , h tr cho chỳng tụi thc nghim Li cm n chõn thnh xin gi n cỏc bn hc viờn cựng lp didactic Toỏn khúa 19, nhng ngi ó chia x khú khn, vui bun vi tụi sut nhng nm thỏng cao hc Cui cựng, tụi mun gi li cm n nhng ngi thõn yờu gia ỡnh ó ng viờn, khớch l, quan tõm v giỳp tụi sut thi gian thc hin lun ny Phm Th Thựy Trang MC LC Trang ph bỡa Li cm n Mc lc M U Chng 1: VAI TRề CA H THNG BIU T CA HM S LNG GIC 1.1 Nghiờn cu dao ng iu hũa .5 1.2 Nghiờn cu hm s v phng trỡnh lng giỏc 12 1.2.1 Hm s lng giỏc 12 1.2.2 Phng trỡnh lng giỏc 17 1.3 Kt lun chng 20 Chng 2: H THNG BIU T CA HM S TRONG NGHIấN CU HM S V PHNG TRèNH LNG GIC TRNG PH THễNG 21 A PHN TCH CHNG TRèNH .21 B PHN TCH SCH GIO KHOA HIN HNH 23 2.1 Hm s lng giỏc .23 2.2 Phng trỡnh lng giỏc 42 Kt lun 51 Chng 3: THC NGHIM 53 3.1 Hỡnh thc thc nghim 53 3.2 Bi toỏn thc nghim .54 BI TON (30 phỳt) .54 BI TON (20 phỳt) .54 BI TON (30 phỳt) .55 3.3 Phõn tớch cỏc bi toỏn .55 3.4 Phõn tớch tiờn nghim cỏc bi toỏn thc nghim 57 3.4.1 Bin v cỏc giỏ tr ca bin .57 3.4.2 Phõn tớch chi tit cỏc bi toỏn thc nghim 58 3.5 Phõn tớch hu nghim .71 BI TON .71 BI TON .73 BI TON .73 3.6 Kt lun v thc nghim 75 KT LUN 76 M U Nhng ghi nhn ban u v cõu hi xut phỏt Hm s l mt cỏc khỏi nim c bn ca Toỏn hc, biu din s ph thuc ca nhng i lng bin thiờn ny i vi nhng i lng bin thiờn khỏc Trong nhng hm s c dy trng ph thụng, chỳng tụi c bit quan tõm n hm s lng giỏc, bi vỡ: cỏc hm s lng giỏc l nhng hm s siờu vit; tun hon; th ca chỳng lp i, lp li trờn tng khong xỏc nh Mt hm s lng giỏc cú th c biu din bng ba cỏch sau: biu thc i s, ng trũn lng giỏc hay th hm s ng trũn lng giỏc l ngụn ng biu t c trng riờng dựng biu din cỏc hm s lng giỏc c bn, nú c dựng nghiờn cu cỏc hm s lng giỏc c bn Biu thc i s th hin bi cỏc h thc, cỏc cụng thc, lm vic trờn biu thc i s thng thc hin nhng phộp bin i phc th hm s l hỡnh nh trc quan th hin cỏc tớnh cht hm s, lm vic trờn th thng n gin, nhanh chúng nhng khú v th Ngy nay, s tỏc ng ca cụng ngh thụng tin lm cho vic v th hm s núi chung, th hm s lng giỏc núi riờng tr nờn rt d dng Do ú, s dng th hm s vo vic gii toỏn l mt xu th hin i c khuyn khớch trờn th gii Vit Nam, núi v hm s lng giỏc, Sỏch giỏo viờn i s v gii tớch 11, trang vit nh sau: Nhiu hc sinh thớch nghe, thớch hc v cỏc bin i lng giỏc v ú cú th ỏp dng tt nhng khụng trung nghe ging nờn khụng hiu bn cht khỏi nim cỏc hm s = y sin = x, y cos x, cng cú giỏo viờn ch ging qua loa phn ny. Nh vy, phi chng hc sinh ch quen lm vic vi cỏc biu thc lng giỏc, s dng cỏc lp lun v cỏc bin i lng giỏc cng knh, phc Xột bi toỏn sau: Gii phng trỡnh sin x = x Sau õy l hai cỏch gii bi toỏn: Cỏch gii : Xột cỏc trng hp sau x = : l nghim ca phng trỡnh (1) (1) x < hoc x > : suy x > , ú phng trỡnh (1) vụ nghim < x : Vỡ im ngn M trờn ng trũn lng giỏc thuc gúc vuụng phn t th nht nờn sin x > , mt khỏc x < Do ú phng trỡnh (1) vụ nghim x < : Vỡ im ngn M trờn ng trũn lng giỏc thuc gúc vuụng phn t th t nờn sin x < , mt khỏc x > Do ú phng trỡnh (1) vụ nghim Vy phng trỡnh (1) cú nghim nht x = Cỏch gii : V th ca hai hm s y = sin x v y = x trờn cựng mt h trc ta Da vo hỡnh v ta thy hai th ct ti mt im nht l gc ta Do ú phng trỡnh cú nghim nht x = Trong cỏch gii th nht vic tỡm nghim x = v chng minh nghim ú l nht bng phng phỏp chia khong khụng h n gin Rừ rng, cỏch gii th hai n gin, trc quan v d hiu hn Cõu hi t cho chỳng tụi l: Trong hai cỏch gii trờn, cỏch gii no c th ch dy hc Vit Nam mong i? Phng phỏp s dng th hm s tỡm nghim phng trỡnh cú c xột n chng trỡnh ph thụng nc ta khụng? Nhng ghi nhn trờn dn chỳng tụi ti vic t cỏc cõu hi xut phỏt sau: Q : V trớ ca tng ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc dy hc hm s v phng trỡnh lng giỏc trng ph thụng Vit Nam? Q : Hc sinh hiu v dng cỏc ngụn ng ca hm s lng giỏc v phng trỡnh lng giỏc ca hc sinh? Mc ớch nghiờn cu v phm vi lý thuyt tham chiu Mc ớch nghiờn cu ca lun l tỡm cõu tr li cho nhng cõu hi nờu trờn t c mc ớch ny, chỳng tụi t nghiờn cu ca mỡnh phm vi ca Didactic toỏn C th, chỳng tụi s dng mt s khỏi nim ca lớ thuyt nhõn chng hc (mi quan h th ch, mi quan h cỏ nhõn i vi mt tri thc, t chc toỏn hc) v ca lớ thuyt tỡnh (khỏi nim hp ng didactic, ỏn didactic) Trong phm vi lớ thuyt tham chiu ó la chn, chỳng tụi trỡnh by li nhng cõu hi nh sau: Q : Tm quan trng ca h thng biu t ca hm s lng giỏc? Q : Trong h thng dy hc toỏn trng ph thụng Vit Nam, h thng biu t ca hm s ó tỏc ng dy hc hm s v phng trỡnh lng giỏc? Cú nhng quy tc ngm n no ca hp ng didactic gn lin vi h thng biu t ca hm s lng giỏc? Q : Nhng rng buc ca th ch dy hc nh hng th no n mi quan h cỏ nhõn ca giỏo viờn v hc sinh i vi h thng biu t ca hm s lng giỏc? Phng phỏp v t chc nghiờn cu t c mc ớch ó cng nh tỡm cõu tr li cho nhng cõu hi nờu trờn, chỳng tụi xỏc nh tin hnh nghiờn cu nh sau: Phõn tớch, tng hp mt s giỏo trỡnh vt lớ v toỏn hc bc i hc lm rừ vai trũ ca tng ngụn ng biu t h thng biu t ca hm s lng giỏc Phõn tớch chng trỡnh v sỏch giỏo khoa toỏn ph thụng lm rừ mi quan h th ch vi cỏc ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc dy hc hm s v phng trỡnh lng giỏc Tng hp cỏc kt qu phõn tớch trờn, a gi thuyt nghiờn cu v thit k thc nghim kim chng gi thuyt Kt lun v gi thuyt nghiờn cu ó a trờn Cu trỳc ca lun Lun ny bao gm phn m u, chng v phn kt lun phn m u Chng Trỡnh by vic phõn tớch vai trũ ca h thng biu t ca hm s lng giỏc cp tri thc khoa hc C th l nghiờn cu s th hin cỏc ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc c trỡnh by mt s giỏo trỡnh toỏn v vt lớ bc i hc Chng Thụng qua vic phõn tớch lớ thuyt v cỏc t chc toỏn hc liờn quan n hm s v phng trỡnh lng giỏc lp 11, chỳng tụi lm rừ c trng ca mi quan h th ch vi cỏc ngụn ng biu t biu thc i s, ng trũn lng giỏc v th hm s Chng - Trỡnh by cỏc bi toỏn thc nghim vi i tng hc sinh - Phõn tớch tiờn nghim cỏc tỡnh - Phõn tớch hu nghim cỏc d liu thu thp c Kt lun Trỡnh by túm lc cỏc kt qu ó t c qua cỏc chng 1, 2, ca lun v hng nghiờn cu mi cú th m t lun Chng 1: VAI TRề CA H THNG BIU T CA HM S LNG GIC Mc tiờu ca chng Mc tiờu ca chng ny l tỡm cõu tr li cho cõu hi Q : Tm quan trng ca h thng biu t ca hm s lng giỏc? C th, qua vic phõn tớch mt s giỏo trỡnh toỏn hc, vt lớ bc i hc chỳng tụi c gng lm rừ tm quan trng ca hm s lng giỏc cng nh vai trũ ca h thng biu t ca hm s lng giỏc i vi khỏi nim hm s, phng trỡnh lng giỏc v mt s ngnh khoa hc khỏc Trong t nhiờn, dao ng hay chuyn ng tun hon l nhng chuyn ng rt thng gp Cú nhiu hiu ng l tun hon chng hn nhp tim ca ng vt, cỏc nm, s lc l ca lc ng h, s dao ng ca cỏc nguyờn t cht rn, dũng in dõy dn ca búng ốn in,Tớnh cht tun hon ca cỏc hm s lng giỏc lm cho chỳng phự hp mụ hỡnh húa nhiu hin tng lp i lp li nh thy triu, lũ xo rung v súng õm thanh, dao ng ca cỏc nguyờn t,Nh vy, cỏc hm s lng giỏc cú vai trũ quan trng cuc sng v cỏc ngnh khoa hc khỏc Nh ó núi trờn, hm s lng giỏc cú vai trũ quan trng cỏc ngnh khoa hc khỏc Sau õy, chỳng tụi tin hnh nghiờn cu vai trũ ca h thng biu t ca hm s lng giỏc vic nghiờn cu dao ng iu hũa, mt lnh vc c bn ca ngnh vt lớ hc 1.1 Nghiờn cu dao ng iu hũa Ti liu nghiờn cu chớnh: Biờn kho: Trn Ngc Hi (ch biờn), Phm Vn Thiu (2006), Vt lớ i cng Cỏc nguyờn lớ v ng dng, Tp 2: in, t, dao ng v súng, NXB Giỏo dc (chỳng tụi gi tt l VLC) * nh ngha dao ng iu hũa Trong giỏo trỡnh ny, dao ng iu hũa c nh ngha bng biu thc i s: Mt vt thc hin dao ng iu hũa nu ta ca nú bin thiờn theo thi gian nh mt hm sin hoc cụsin: = x A cos ( t + ) [VLC,tr.300] Mt s yu t ca dao ng iu hũa: biờn dao ng A c trng cho phm vi dao ng, tn s gúc xỏc nh tc dao ng, ngoi cũn cỏc yu t pha ban u , pha t + , th biu din ta (hay cũn gi l li ) ca x theo thi gian (hỡnh 26-1) cho thy: c trng ca dao ng iu hũa l chuyn ng t lp li sau mt khong thi gian T c gi l chu kỡ, tc l vt thc hin mt vũng trn chuyn ng ca nú khong thi gian T [VLC,tr.300] Biu thc i s T = chng t chu kỡ T t l nghch vi , tn s gúc cng ln thỡ chu kỡ cng nh v vt s thc hin mt vũng chuyn ng cng nhanh. * Vn tc v gia tc ca mt vt dao ng iu hũa Vn tc v gia tc ca vt dao ng iu hũa c suy t biu thc= li x A cos ( t + ) , c th: dx dt + Vn tc: vx = = A sin ( t + ) + Gia tc: dv d 2x ax = x = = A cos ( t + ) = x dt dt th ba hm s x, v x , a x (hỡnh 26-2) phn ỏnh trc quan s bin i ca ba i lng li , tc, gia tc ca vt: x dao ng gia A v -A, v x dao ng gia A v -A, a x dao ng gia 2A v -2A Do ú tc cc i ca mt vt dao ng l v max = A v gia tc cc i cú ln l a max = 2A Mt khỏc t hỡnh v 26-2 v cỏc biu thc ca v x , a x cho thy mi liờn h gia ba i lng trờn nh sau: v x sm pha so vi x l 900, a x sm pha so vi v x l 900 v a x sm pha so vi x l 1800 T phng trỡnh ax = x cho thy i vi mt vt bt Trong cõu a) bn im ó cho c thit k rt n gin vi honh ca cỏc im u l Hc sinh thay ta ca hai im A ( 0;1) v B 0; vo hai hm s ó cho, t ú suy - im A ( 0;1) thuc th hm s = y sin x + cos x 1 - im B 0; thuc th hm = s y cos 3x b) Da vo cõu a), quan sỏt th ca hm s cú th thy = y sin x + cos x vỡ im A ( 0;1) thuc th hm s ny - Hỡnh 1: hm s - Hỡnh 2: hm = s y cos 3x vỡ im B 0; thuc th hm s ny Cõu 2: Chng minh hm s = y sin x + cos x khụng l hm s chn, cng khụng l hm s l + S3 S : Chin lc i s Hc sinh s chn ngu nhiờn giỏ tr x0 D no ú v kim tra xem cú tha iu kin f ( x0 ) f ( x0 ) khụng Cỏc giỏ tr c chn thng l , , , , , Chng hn hc sinh gii nh sau = f ( x ) sin x + cos x - Tp xỏc nh - Chn x = , ta cú f = + cos = sin 3 3 f = sin + cos ( ) = Vỡ f f nờn hm s = f ( x ) sin x + cos x khụng chn cng khụng l 3 Cn lu ý l vic chn c giỏ tr x lm phn vớ d ch mang tớnh mũ mn nờn cng khụng phi l mt iu n gin Trong chin lc th i xng di õy thỡ rt trc quan v nhanh chúng + S3 T : Chin lc th i xng th hm s = y sin x + cos x khụng nhn trc tung lm trc i xng cng khụng nhn gc ta lm tõm i xng, ú hm s khụng chn cng khụng l Cõu 3: Hm s = y sin x + cos x l mt hm s tun hon Cú th gii thớch bng mt cỏc cỏch sau: + S4 S : Chin lc i s Hc sinh nhn thy hm s sin 2x tun hon chu kỡ v hm s cos 3x tun hon chu kỡ , nờn chn s T = v chng minh nh sau: t = f ( x ) sin x + cos x Tp xỏc nh D=, x : x + v x f ( x + 2= ) sin ( x + ) + cos ( x + ) Ta cú = sin ( x + ) + cos ( x + ) =sin x + cos x = f ( x ) Vy hm s = y sin x + cos x l hm s tun hon + S4 T : Chin lc th lp i, lp li Da vo th hm s = y sin x + cos x hỡnh 2, ta thy c sau n v giỏ tr ca bin s x thỡ giỏ tr ca hm s lp li Vy hm s tun hon chu kỡ c) S la chn ca bin v nh hng n cỏc chin lc Cng nh bi toỏn 1, chỳng tụi cho sn th ca hm s cn xột tớnh chn l v tớnh tun hon Vic a vo mt phng ta cú li v chia n v ụ li trờn trc honh l v n v ụ li trờn trc tung l giỳp hc sinh d dng xỏc nh th no tng ng vi hm s no cõu v ta cỏc im thuc th xỏc nh chớnh xỏc tớnh cht th ca cỏc hm s cn xột cú phi l th ca hm s chn-l hay hm s tun hon khụng Nh vy, õy l iu kin thun li cho cỏc chin lc s dng th xut hin Vi bin V , chỳng tụi la chn mt hm s khụng chn cng khụng l (V 6b ) vỡ chỳng tụi nhn thy vic chng minh hm s chn-l bng phng phỏp i s n gin hn vic ch mt giỏ tr x lm phn vớ d chng t hm s khụng chn cng khụng l Trong da vo th nhn hm s khụng chn cng khụng l l mt iu rt d dng Vi bin V , chỳng tụi la chn mt hm s tun hon BI TON a) Bin v cỏc giỏ tr ca bin Bi toỏn 3: V : Cỏc biu thc phng trỡnh V 8a : l nhng hm s n gin d v th V 8b : l nhng hm s phc khú v th Cỏc biu thc l nhng hm s n gin, d v th s to iu kin thun li cho chin lc s dng th xut hin Biu thc phc s ngn cn chin lc s dng th v to iu kin thun li cho cỏc chin lc i s V : Cỏch cho phng trỡnh V 9a : cho phng trỡnh dng f ( x ) g ( x ) = V 9b : cho phng trỡnh dng f ( x ) = g ( x ) s n giu hai hm s cn v th Cho phng trỡnh dng f ( x ) g ( x ) = Ngc li, cho phng trỡnh dng f ( x ) = g ( x ) , nhm gi ý cho hc sinh v hai hm s quen thuc v d v th, t ú to iu kin cho chin lc s dng th xut hin V 10 : V trớ ca bi toỏn gii phng trỡnh Bi toỏn c a trc hay sau cỏc bi toỏn v hm s lng giỏc v th Nu bi toỏn c a sau cỏc bi toỏn v th v v th cỏc hm s lng giỏc s gi cho hc sinh liờn tng n chin lc th gp khú khn vi chin lc i s Ngc li, nu c a trc, hc sinh khú cú s liờn tng n th m chuyn i sang chin lc s dng th gii quyt V 11 : Yờu cu bi toỏn Bi toỏn yờu cu gii bng mt cỏch hay nhiu cỏch b) Cỏc chin lc v li gii cú th quan sỏt c * Cỏc chin lc + S5 S : Chin lc i s S dng cỏc phộp bin i lng giỏc v cỏc lp lun i s a v phng trỡnh lng giỏc c bn Gii phng trỡnh lng giỏc c bn tỡm nghim tng quỏt Tỡm tham s k nghim va tỡm c thuc on ó cho, t ú suy nghim phng trỡnh trờn on ú + S5 T : Chin lc tng giao th Tỡm nghim phng trỡnh f ( x ) = g ( x ) bng cỏch: V th hai hm s y = f ( x ) v y = f ( x ) trờn cựng mt h trc ta Khi ú, nghim ca phng trỡnh f ( x ) = g ( x ) l honh cỏc giao im ca hai th * Li gii cú th quan sỏt c + S5 S : Chin lc i s + m , m 4 tan x tan sin x= tan x sin x= + tan x.tan tan x sin x = + tan x sin x (1 + tan x ) =tan x iu kin: x + m , m x sin x + sin x sin x sin x = cos x cos x sin x cos x + sin x =sin x cos x sin x cos x + sin x sin x + cos x = (1) * Trng hp 1: x = + n , n x = + n , n thay vo phng trỡnh ban 2 u ta thy khụng l nghim ca phng trỡnh * Trng hp 2: x + n2 , n x x t t = tan , vỡ x ; nờn ; , ú t [ 1;1] 2 4 2 Khi ú= ta cú sin x 2t t2 = ; cos x 1+ t2 1+ t2 Do ú phng trỡnh (1) tr thnh: 2t t 2t 2t t2 + + = 1+ t2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 2t (1 t ) + 4t 2t (1 + t ) + (1 t )(1 + t ) = t + 4t 4t =0 ( t 1) + ( 4t 4t ) = ( t 1) ( t + t + t + 1) + 4t ( t 1) =0 ( t 1) ( t + 5t + t + 1) =0 t = t = t + 5t + t + =0 t 4,84 ( loaùi ) Vi t = 1: ta cú tan x x = = + k , k x = + k , k 2 Vỡ x ; nờn ta cú + k k k = (vỡ k ) 2 2 2 Vy phng trỡnh cú nghim x = + S5 T : Chin lc tng giao th - V th hm s y = tan x , tnh tin th va v sang phi mt on th hm = s y tan x ta c - V th hm s y = sin x trờn cựng mt h trc ta - Da vo th ta thy trờn on ; , th hai hm s y = sin x v 2 = y tan x ct ti mt im cú honh Vy phng trỡnh cú nghim nht x = 2 c) S la chn ca bin v nh hng lờn cỏc chin lc Trong bi toỏn ny, chỳng tụi thit k mt phng trỡnh m nu hc sinh s dng chin lc i s thỡ s a v mt phng trỡnh i s cú bc cao (bc 4), to tõm lớ e ngi hc sinh, t ú kớch thớch hc sinh tỡm tũi chin lc khỏc hp lớ hn Bờn cnh ú, phng trỡnh c cho di dng f ( x ) = g ( x ) vi f ( x ) = sin x v = g ( x ) tan x l nhng hm s n gin, d dng v c th nhm gi ý cho hc sinh s dng chin lc tng giao th gii bi toỏn Mc dự bi toỏn ny chỳng tụi khụng cho sn th hm s nhng vic la chn v trớ l bi toỏn th 3, ng sau hai bi toỏn v th s gi ý cho hc sinh liờn tng n th ca hai hm s cú phng trỡnh v s dng th gii phng trỡnh gp khú khn vic gii bng phng phỏp i s 3.5 Phõn tớch hu nghim BI TON Cõu 2: Em hóy xột s bin thiờn ca hm s = y sin x + trờn on ; Tng s hc sinh: 119 hc sinh, ú cú 36 hc sinh khụng cú li gii v 83 hc sinh cú li gii Bng s liu thu c (83 hc sinh) Cỏc chin S1 T S1 TLG S1 TC S1 K : CL khỏc S HS 10 57 T l 12,0% 68,7% 8,4% lc 77,1% 10,9% Bng thng kờ cho thy: Cú 57/83 hc sinh s dng chin lc S1 TLG v 7/83 hc sinh s dng chin lc S1 TC kho sỏt s bin thiờn ca hm s c bit, quan sỏt giy nhỏp ca hc sinh, chỳng tụi nhn thy: c hc sinh s dng chin lc S1 TC u v ng trũn lng giỏc giy nhỏp kim tra li tớnh cht bin thiờn ca hm s lng giỏc c bn Nh vy, thc cht cú n 64/83 (77,1%) hc sinh da vo ng trũn lng giỏc suy tớnh bin thiờn ca hm s iu ny cho phộp chỳng tụi khng nh s tn ti ca quy tc hp ng R1 liờn quan n gi thuyt H1: Mun xột tớnh n iu ca hm s lng giỏc thỡ cn c vo ng trũn lng giỏc Cú 10/83 hc sinh ỏp dng chin lc S1 T kho sỏt s bin thiờn ca hm s Cú n 36/119 hc sinh khụng gii cõu ny chng t rng 36 em hc sinh ú cng khụng nhn vai trũ ca th vic xột s bin thiờn ca hm Hay núi cỏch khỏc, ch cú 10/119 hc sinh thy c ng dng ca th v vic xột tớnh bin thiờn ca hm s lng giỏc iu ny cho phộp chỳng tụi khng nh th hm s khụng thc s l cụng c sn cú hc sinh xột tớnh bin thiờn ca hm s lng giỏc Cõu 3: Phng trỡnh sin x + = cú my nghim thuc on 5; Bng s liu thu c (119 hc sinh) Cỏc chin lc S hc sinh T l S2 S 118 99,2% S2 T 0,8% Bng thng kờ cho thy: Cú 157/158 hc sinh s dng chin lc S2 S Ch cú nht hc sinh P40 l s dng chin lc th (õy cng l mt 10 hc sinh s dng chin lc S1 T cõu 2) iu khỏ thỳ v l em hc sinh ny gii cõu bng hai cỏch: cỏch s dng chin lc S2 S , sang cỏch em mi s dng S2 T Tc l, mc dự ó bit cỏch ỏp dng th vo vic gii toỏn cõu trc nhng cõu 3, th khụng phi l chin lc u tiờn em hc sinh ú ngh ti iu ny chng t rng hc sinh khụng bit dng th hm s vo vic gii phng trỡnh, tỡm s nghim ca phng trỡnh trờn mt khong ó cho Ngha l, khng nh s tn ti ca quy tc hp ng R2: Gii phng trỡnh lng giỏc l s dng cỏc phộp bin i i s a v gii phng trỡnh lng giỏc c bn v mt phn ca gi thuyt H2: th hm s khụng thc s l cụng c sn cú hc sinh gii phng trỡnh lng giỏc Trong cõu ca bi toỏn 1, mc dự ỏp dng chin lc i s suy s nghim phng trỡnh l di dũng nhng khụng h khú Do ú, mun kim chng xem quy tc hp ng R2 cú thc s mnh hc sinh khụng, chỳng tụi tin hnh phõn tớch s liu thu c ca bi toỏn sau õy BI TON Gii phng trỡnh = sin x tan x trờn on ; 2 Em hóy gii bi toỏn trờn bng hai cỏch khỏc Bng s liu thu c (119 hc sinh) Cỏc chin lc S hc sinh T l S5 S 111 93,3% S5 T 0% S5 S v S5 T 6,7% (Chin lc S5 S v S5 T l ch hc sinh lm bng cỏch khỏc nhau) Nhn xột: Cú 111/119 (93,3%) hc sinh ch s dng chin lc S5 S gii bi toỏn Khụng cú hc sinh no gii ỳng kt qu cui cựng, tc l cỏc em khụng gii c n kt qu cui cựng hoc bin i sai, dn n gii bi toỏn sai Cú 8/119 (6,7%) hc sinh gii phng trỡnh bng cỏch (s dng chin lc S5 S v S5 T ) iu ỏng lu ý l: c em hc sinh ny u bt u cỏch bng chin lc S5 S v cha c n kt qu cui cựng, sau ú cỏc em chuyn sang s dng chin lc S5 T Khụng cú hc sinh no ch s dng chin lc S5 T gii phng trỡnh Vi kt qu 100% ban u cỏc em u chn chin lc i s v rt ớt hc sinh chuyn sang chin lc th mc dự b b tc chin lc i s ó chng t rng hc sinh luụn u tiờn s dng cỏc phộp bin i i s gii phng trỡnh Kt qu ny mt ln na khng nh s tn ti ca quy tc hp ng R2 hc sinh BI TON Cõu 2: Hm = s y sin x + cos 3x cú l hm s chn hay l hm s l khụng? Ti sao? Tng s hc sinh: 119 Trong ú, s hc sinh tr li l 115 hc sinh v s hc sinh khụng tr li l Bng s liu thu c (115 hc sinh) Cỏc chin lc S hc sinh T l S3 S 113 98,3% S3 T 1,7% T kt qu thng kờ cho thy: Cú 113/115 hc sinh ỏp dng chin lc S3 S xột tớnh chn-l ca hm s Mc dự chỳng tụi thit k hm s cõu v l ging nhng ch cú 2/115 hc sinh da vo th kt lun hm s khụng chn cng khụng l Rừ rng, hc sinh ó khụng ngh n mi liờn h gia th v tớnh cht chn-l ca hm s Nh vy khng nh tớnh hp lớ ca mt phn gi thuyt H2: th khụng thc s l cụng c sn cú hc sinh xột tớnh chn-l ca hm s Cõu 3: Hm s = y sin x + cos x cú phi l hm s tun hon khụng ? Ti sao? Tng s hc sinh: 119 hc sinh, ú cú 35 hc sinh khụng cú li gii v 84 hc sinh cú li gii Bng s liu thu c (84 hc sinh) Tr li nhng khụng Cỏc chin lc S4 T S4 S S HS 14 63 T l 16,7% 75,0% gii thớch L hm s Khụng l TH hm s TH 8,3% Nhn xột: Ch cú 14/84 (16,7%) hc sinh gii thớch rng hm s tun hon vỡ th ca hm s lp li sau Cú 63/84 (75,0%) hc sinh gii thớch hm s tun hon hoc khụng tun hon bng nhng lp lun i s Nh vy, phn ln hc sinh s dng chin lc i s xột tớnh tun hon ca hm s lng giỏc Cú 7/84 hc sinh tr li nhng khụng gii thớch cõu tr li ca mỡnh Cú n 35/119 hc sinh b qua cõu ny Hỡnh dỏng th l lp i, lp li khỏ rừ rng nhng cú nhiu em b qua v khụng cú kt lun gỡ v tớnh tun hon ca hm s chng t cỏc em hc sinh ny ó khụng cú s liờn h n th hm s Nh vy, ch cú 14/159 hc sinh thy c mi liờn h gia th v tớnh tun hon Túm li, th hm s cng khụng thc s l cụng c sn cú ca hc sinh xột tớnh tun hon ca hm s lng giỏc 3.6 Kt lun v thc nghim Nhng phõn tớch thc nghim trờn ó cho thy: - Phn ln hc sinh s dng cỏc cụng c i s nghiờn cu v hm s lng giỏc v phng trỡnh lng giỏc, h cha thy c vai trũ ca th hm s vic xột cỏc tớnh cht ca hm s lng giỏc v gii phng trỡnh lng giỏc - Thc nghim kim chng c tớnh tha ỏng ca hai gi thuyt H1, H2 KT LUN Qua vic phõn tớch mt s ti liu v vai trũ ca h thng biu t ca hm s lng giỏc, phõn tớch chng trỡnh v sỏch giỏo khoa trỡnh by v ni dung hm s v phng trỡnh lng giỏc dy hc toỏn 11 cng nh cỏc kt qu thu nhn c t thc nghim i vi hc sinh, cho phộp chỳng tụi tr li cỏc cõu hi nghiờn cu ó t phn u ca lun Trong chng 1: Vic tng hp mt s ti liu v giỏo trỡnh bc i hc ó cho phộp chỳng tụi lm rừ c trng ca tng ngụn ng biu t ng trũn lng giỏc, biu thc i s hay th hm s, vai trũ cng nh tm quan trng ca tng ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc Trong chng 2: Vic nghiờn cu chng trỡnh v SGK lp 11 ó cho phộp lm rừ nhng c trng v rng buc ca th ch dy hc hm s v phng trỡnh lng giỏc i vi cỏc ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc + ng trũn lng giỏc: c s dng xột s bin thiờn ca hm s, hỡnh thnh cụng thc nghim phng trỡnh lng giỏc c bn + th hm s: cú vai trũ va l i tng va l cụng c v th ca mt hm s lng giỏc, khụng l cụng c gii phng trỡnh lng giỏc + Biu thc i s: úng vai trũ ch cht vic nghiờn cu hm s v phng trỡnh lng giỏc trng ph thụng Vit Nam S ni kt gia hai khỏi nim hm s v phng trỡnh lng giỏc hu nh khụng cú V trớ, vai trũ ca th hm s l khỏ m nht th ch dy hc lng giỏc trng ph thụng Vit Nam Kt qu ca vic phõn tớch mi quan h th ch dn n vic oỏn cỏc quy tc hp ng R1, R2 thuc gi thuyt H1 v gi thuyt H2 Gi thuyt nghiờn cu Gi thuyt H1: Tn ti hai quy tc hp ng sau R1: Mun xột tớnh n iu ca hm s lng giỏc thỡ cn c vo ng trũn lng giỏc R2: Gii phng trỡnh lng giỏc l s dng cỏc phộp bin i i s a v gii phng trỡnh lng giỏc c bn Gi thuyt H2: th hm s khụng thc s l cụng c sn cú hc sinh xột cỏc tớnh cht gii tớch ca hm s lng giỏc (tớnh bin thiờn, tớnh chn-l, tớnh tun hon) v gii phng trỡnh lng giỏc Kt qu phõn tớch thc nghim chng ó cho phộp lm rừ mt phn mi quan h cỏ nhõn ca hc sinh i vi cỏc ngụn ng biu t ca hm s lng giỏc c bit, vi th hm s, phn ln hc sinh khụng cú c k nng dng th vo vic gii nhng bi toỏn v hm s v phng trỡnh lng giỏc Kt qu thc nghim thu c chng t tớnh hp thc ca hai gi thuyt H1 v H2 Hng nghiờn cu m t lun Nghiờn cu tin trỡnh v xõy dng nhng tỡnh dy hc khỏi nim hm s v phng trỡnh lng giỏc dy hc toỏn lp 11 trng ph thụng, cho phỏt huy ti a vai trũ ca tng ngụn ng biu t, c bit l th hm s TI LIU THAM KHO Ting vit [1] Trn Vn Ho (Tng ch biờn), V Tun (Ch biờn), o Ngc Nam, Lờ Vn Tin, V Vit Yờn (2007) i s v Gii tớch 11 NXB Giỏo dc [2] V Tun (Ch biờn), Trn Vn Ho, o Ngc Nam, Lờ Vn Tin, V Vit Yờn (2007) Bi i s v Gii tớch 11 NXB Giỏo dc [3] Trn Vn Ho (Tng ch biờn), V Tun (Ch biờn), o Ngc Nam, Lờ Vn Tin, V Vit Yờn (2007) Sỏch giỏo viờn i s v Gii tớch 11 NXB Giỏo dc [4] on Qunh (Tng ch biờn), Nguyn Huy oan (ch biờn), Nguyn Xuõn Liờm, Nguyn Khc Minh, ng Hựng Thng (2007) i s v Gii tớch 11 Nõng cao NXB Giỏo dc [5] Nguyn Huy oan (ch biờn), Nguyn Xuõn Liờm, Nguyn Khc Minh, on Qunh, Ngụ Xuõn Sn, ng Hựng Thng, Lu Xuõn Tỡnh (2007) Bi i s v Gii tớch 11 Nõng cao NXB Giỏo dc [6] on Qunh (Tng ch biờn), Nguyn Huy oan (ch biờn), Nguyn Xuõn Liờm, Nguyn Khc Minh, ng Hựng Thng (2007) Sỏch giỏo viờn i s v Gii tớch 11 Nõng cao NXB Giỏo dc [7] Biờn kho: Trn Ngc Hi (ch biờn), Phm Vn Thiu (2006), Vt lớ i cng Cỏc nguyờn lớ v ng dng, Tp 2: in, t, dao ng v súng, NXB Giỏo dc [8] B Giỏo dc v o to (2008) Ti liu phõn phi chng trỡnh THPT (ỏp dng t nm hc 2008-2009 n nay) [9] B Giỏo dc v o to (2007) Ti liu bi dng giỏo viờn thc hin chng trỡnh, sỏch giỏo khoa lp 11 NXB Giỏo dc [10] Nguyn Th Khụi (tng ch biờn), V Thanh Khit (ch biờn), Nguyn c Hip, Nguyn Ngc Hng, Nguyn c Thõm, Phm ỡnh Thit, V ỡnh Tỳy, Phm Quý T (2008) Vt lớ 12 nõng cao NXB Giỏo dc [7] Nguyn Th Nga (2003), Dy hc hm s trng ph thụng Mt nghiờn cu khoa hc lun v s phm, Lun tt nghip i hc, Trng i hc s phm TP.H Chớ Minh [8] Bựi Anh Tun (2007) Biu din th hm s v nghiờn cu ng cong qua phng trỡnh ca nú Lun thc s, Trng i hc s phm TP.H Chớ Minh Song ng Phỏp Vit [10] Annie Bessot, Claude Comiti (i hc Joseph Fourrier Grenoble I), Lờ Th Hoi Chõu, Lờ Vn Tin (i Hc S Phm TP H Chớ Minh) (2009), Nhng c bn ca Didactic Toỏn NXB i hc quc gia TP.H Chớ Minh Ting Anh [1] V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978) Elementary Mathematics (A review course), Translated from the Russian by George Yankovsky Mir publishers Moscow [2] Franklin Demana, Bert K.Waits (1990) Trigonometry, A Graphing approach The Ohio State University [3] James Stewart Calculus, Early transcendentals, Sixth edition Mcmaster University (Ebook) [...]... (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt và công thức lượng giác + Phần 2: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, được đưa tiếp vào chương đầu tiên của Đại số và Giải tích 11 Phần này được chia làm 3 bài với những nội dung: hàm số lượng giác (trình bày khái niệm hàm số lượng giác biến số thực, khảo sát các tính chất của hàm và vẽ đồ thị hàm số) ; phương trình lượng giác cơ bản; một số phương trình lượng. .. số và đường tròn lượng giác Cần lưu ý rằng các tính chất trên đều đúng cho hàm số lượng giác biến số thực bởi vì Hàm số lượng giác biến số thực x đúng bằng hàm số lượng giác của một góc có số đo x radian” [M1,tr.306] Ngoài hai ngôn ngữ trên, hàm số lượng giác biến số thực còn được thể hiện bằng đồ thị hàm số Về cách dựng đồ thị hàm số, trong luận văn của Bùi Anh Tuấn: “Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên. .. lựa chọn hai giáo trình này là: Việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số và phương trình lượng giác trong hai giáo trình này là khá phong phú Bên cạnh đó, mỗi giáo trình tiếp cận các khái niệm hàm số và phương trình lượng giác theo những cách khác nhau, vai trò của các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác đối với khái niệm hàm số và phương trình lượng giác trong từng giáo trình cũng khác nhau... cứu chương trình, câu hỏi sau đây của chúng tôi vẫn chưa có lời giải đáp: Ngoài phương diện là một “đối tượng” nghiên cứu thì đồ thị hàm số còn đóng vai trò nào nữa không trong việc nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác? Chúng tôi hy vọng sẽ tìm được câu trả lời cho câu hỏi trên trong phần nghiên cứu SGK11 tiếp theo sau đây Về việc phân phối thời lượng cho hai nội dung hàm số lượng giác và phương. .. đại số, đường tròn lượng giác và đồ thị hàm số Quan điểm sau đây của SGV11 khẳng định vai trò của đường tròn lượng giác: “Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác cơ bản.” [SGV11,tr.10] Trong bài hàm số lượng giác, đồ thị hàm số đóng vai trò là một “đối tượng” nghiên cứu Khi nghiên. .. bản về lượng giác, công cụ để tính toán và thực hiện các phép biến đổi lượng giác (chẳng hạn: hệ thức lượng giác, công thức lượng giác) đều đã được nghiên cứu ở phần 1 Trong phần 2 chỉ còn nghiên cứu về một số tính chất đặc trưng của hàm số lượng giác biến số thực (sự biến thiên, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn), đồ thị của chúng và giải phương trình lượng giác Chúng tôi nhận thấy trong phần 1, hàm lượng. .. kê số giờ ánh sáng trong một ngày tại các thời điểm trong năm, biểu diễn nó bằng một đồ thị Sau đó dựa vào các phép biến đổi đồ thị để mô hình hóa đồ thị hàm số bằng một công thức Từ công thức này, có thể tính toán được số giờ ánh sáng ban ngày tại bất kì ngày nào trong năm Nghiên cứu tiếp theo sau đây cho thấy vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác trong nghiên cứu hàm số và phương trình. .. biểu đạt của hàm số đã tác động ra sao trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? Q 3 : Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? A PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH Chương trình toán phổ thông... của các phép biến đổi lượng giác đối với việc giải phương trình lượng giác Vấn đề này đặt ra cho chúng tôi câu hỏi: Với thời lượng dành cho hàm số lượng giác quá ít như vậy thì mối quan hệ cá nhân của học sinh với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác như thế nào? Học sinh có thấy được vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số trong việc nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác hay không?... thức trong hàm số, - Giải các phương trình, bất phương trình lượng giác để tìm điều kiện biến số x Công nghệ θ TXĐ : - Định nghĩa tập xác định của một hàm số - Nghiệm của phương trình, bất phương trình lượng giác Những bài tập thuộc T TXĐ có đặc trưng sau: Đối với hàm số lượng giác có chứa căn bậc hai: biểu thức dưới dấu căn luôn không âm trừ một vài trường hợp, từ đó việc giải các bất phương trình ... đạt hàm số lượng giác dạy học hàm số phương trình lượng giác trường phổ thông Việt Nam? Q’ : Học sinh hiểu vận dụng ngôn ngữ hàm số lượng giác phương trình lượng giác học sinh? Mục đích nghiên cứu. .. CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1 Nghiên cứu dao động điều hòa .5 1.2 Nghiên cứu hàm số phương trình lượng giác 12 1.2.1 Hàm số lượng giác 12 1.2.2 Phương trình lượng. .. làm với nội dung: hàm số lượng giác (trình bày khái niệm hàm số lượng giác biến số thực, khảo sát tính chất hàm vẽ đồ thị hàm số) ; phương trình lượng giác bản; số phương trình lượng giác đơn giản