15 on tap tinh chat cac duong dong quy trong tam giac k2 toán lớp 7

Tính chất ba đường phân giác trong tam giác Mục tiêu: - Ôn tập tính chất ba đường phân giác trong tam giác - Giải được một số bài tập vận dụng Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội du

Ngày soạn: ……… Ngày dạy: ……… Lớp

:………

BUỔI 15:

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

I MỤC TIÊU

Qua bài này giúp học sinh:

1 Kiến thức:

- Củng cố tính chất ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba

đường cao trong tam giác

- Củng cố khái niệm đường phân giác, đường cao, đường trung trực trong tam giác

2 Kỹ năng: -Vận dụng các kiến thức đã học vào từng dạng bài cụ thể

như chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh ba điểm thuộc đường tròn, tính toán trên các đối tượng hình học

3 Thái độ: Giáo dục tính cẩn thận chính xác.

4 Định hướng năng lực, phẩm chất

- Năng lực: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề.

- Phẩm chất: Tự tin, tự chủ, tự lập.

II CHUẨN BỊ

1 Giáo viên: Phấn màu, bảng phụ, thước thẳng, SGK, SBT,

2 Học sinh: Đồ dùng học tập, đọc trước bài

III TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

1 Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số (1 phút)

2 Nội dung:

TIẾT 1 Tính chất ba đường phân giác trong tam giác

Mục tiêu:

- Ôn tập tính chất ba đường phân giác trong tam giác

- Giải được một số bài tập vận dụng

Hoạt động của giáo viên và

học sinh

Nội dung

GV yêu cầu học sinh nhắc lại khái

niệm tia phân giác của một góc

I/ Lý thuyết

- Trong một tam giác cân,

2 1 2

1

I

A

HS trả lời

GV yêu cầu học sinh nêu lại tính

chất đường phân giác xuất phát

từ đỉnh cân của tam giác cân

HS trả lời

? Nếu một tam giác có một

đường trung tuyến đồng thời là

đường phân giác thì tam giác có

gì đặc biệt?

HS: là tam giác (nội dung bài

42.SGK-73)

HS chú ý ghi nhớ kết quả này

GV yêu cầu học sinh nhắc lại tính

chất 3 đường phân giác của tam

giác

HS nhắc lại nội dung định lí SGK

GV hướng dẫn học sinh tổng hợp

lại các nội dung kiến thức trọng

tâm của bài

đường phân giác, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy

- Nếu tam giác có một đường trung tuyến ứng đồng thời là đường phân giác thì tam giác

đó là một tam giác cân

- Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

Bài tập 1: Cho ABC, các đường

phân giác BK, CH cắt nhau tại .I Chứng

minh rằng BIC là góc tù.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả

thiết, kết luận của bài toán

? Thế nào là một góc tù? Đề chứng minh

BIC là góc tù ta phải chứng minh điều gì?

TL:Phải chứng minh BIC   90

? Làm sao để chỉ ra BIC   90

? Đầu bài đã cho có yếu tố nào liên quan

đến số đo của BICchưa hay có thể biểu

diễn mối liên hệ giữa số đo của các góc

trong tam giác không?

? Có nội dung kiến thức nào đã học liên

quan đến số đo các góc trong một tam

giác?

? Hãy trình bày lời giải?

Bài 1:

Trong ABC, ta có B C  180  A

Vì BK, CH là các đường phân giác của

ABC

 nên

1 , C 1 .

Trong tam giác IBC ta có:

 

2 2

1 1

2 2

A

         

              Vậy ta có BIC là góc tù.

K

B A

D C

Bài tập 2: Cho ABC vuông tại A. Vẽ

DBC

 vuông cân tại D ở phía ngoài tam

giác ABC. Chứng minh rằng AD là tia

phân giác của góc A.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả

thiết, kết luận của bài toán

? Có những cách nào để chứng minh một

tia là tia phân giác cảu một góc?

HS nêu các cách mà các em biết

? Có thể chứng minh bằng cách chỉ ra

khoảng cách từ D đến hai cạnh AC, AB

bằng nhau không?

? Hãy chứng minh bài toán?

Thông qua bài tập, giáo viên lưu ý cho hs

một cách khác để chứng minh một tia là

tia phân giác

Bài 2 :

Xét hai tam giác vuông DHB và DKC, ta có:

HDB KDC

Do đó DHBDKC (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra DH DK

Vậy AD là tia phân giác của góc A.

Chú ý : Như vậy để chứng minh Ot là tia phân giác của góc xOy, ngoài cách chứng minh xOt tOy  ta còn có thể chứng minh theo cách sau:

Lây M trên Ot, kẻ MH Ox MK Oy ,  Ta chứng minh MH MK

Bài tập 3: Cho tam giác ABC,

 120 ,

A   đường phân giác AD. Đường

phân giác góc ngoài tại C cắt đường

thẳng AB ở K. Gọi E là giao điểm của

DK và AC. Tính số đo của góc BED.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả

thiết, kết luận của bài toán

? Quan sát, so sánh số đo và chỉ ra đặc

điểm đặc biệt của các tia BE DK AK, ,

Nhận thấy: A1 A2 A3 A4  60 ,  suy ra

AK là tia phân giác CAy .

Bài 3 :

Vì BAC  120 nên A 3 180 120     60 

AD là phân giác của góc BAC (giả thiết)

nên

  

2

BAC

y

1 2

1 2 3 2 1

x

E

K

D B

A

C

Suy ra DK là tia phân giác ADC và BE là

tia phân giác góc ABD.

Từ đó ta có D 1 D 2 và B1 B 2

ADC ABC BED D B   

GV yêu cầu hs trình bày lại lời

giải theo hướng dẫn

Vẽ Ay là tia đối của tia AD ta có

 

4 1 60

A A   (đối đỉnh)

Suy ra A3 A4  60  Vậy AK là tia phân giác của góc CAy .

Tam giác ADC có K là giao điểm của hai tia phân giác ngoài tại C và A nên DK là tia phân giác của góc ADC, ta có D 1 D 2

Do A2 A3  60  nên AE là phân giác của góc DAK.

Tam giác ADB có E là giao điểm của hai tia phân giác ngoài tại A và D nên BE là tia phâm giác của góc B,ta có  

1 2

B B

Do đó,

1 1

60 30

ADC ABC BAD

Bài 4: Cho ABC vuông tại A,đường

cao AH. Tia phân giác của các góc BAH

và CAH cắt BC lần lượt tại D và E. Gọi

O là giao điểm các đường phân giác của

tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng đường tròn tâm

,

O bán kính OA đi qua ba điểm

, ,

A D E

b) Tính số đo góc DOE.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả

thiết, kết luận của bài toán

a) GV gợi ý ycđb

cm OA OD OE

GV yêu cầu học sinh thảo luận

nhóm để tìm ra cách chứng minh

.

Các nhóm trình bày ý tưởng, cả lớp cùng

tỏng hợp và chọn ra phương án tối ưu

Gv chữa bài

b) Gv gợi ý dựng tia đối của

.

OA

Học sinh thảo luận cùng giải

Bài 4 :

a) Ta có: BAE BAC EAC    90  EAC (1)

 90 

Mà EAC HAE (giả thiết), do đó từ (1)

và (2) suy ra BAE AEB  nên tam giác

AEB cân tại B.

Vì O là giao điểm các đường phân giác

của ABC nên BO là đường phân giác

của tam giác cân ABE, do đó BO là

đường trung trực của AE, suy ra

.

Chứng minh tương tự ta có CO là

đường trung trực của AD, suy r

.

x

I K

O E

D H A

bài tập.

Hs tự trình bày, giáo viên chữa

lỗi (nếu có)

Từ (3) và (4) suy ra OA OD OE  Điều này chứng tỏ ba điểm A,E,D nằm trên đường tròn tâm O, bán kính OA hay

đường tròn tâm O, bán kính OA đi qua

ba điểm A D E, , b) Từ (3) suy ra OAE cân tại O,nên

 

OAE OEA Vẽ tia Ox là tia đối của

tia OA, ta có EOx OAE OEA      2 xAE. Tương tự, xOD2.xAD.

Do đó,

 2.   2  2  

Vậy DOE   90

Bài tập về nhà

1 Cho tam giác ABC có BC17 , cm CA15 , cm AB8 cm Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại O Tính tổng các khảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác

2 Cho tam giác ABC và điểm I là giao của ba đường phân giác của tam giác Gọi H

là chân đường cao kẻ từ B đến AI Chứng minh rằng IBH ICA 

3 Cho tam giác ABC có B 50 , C 20 , đường cao AH Tia phân giác của góc AHC cắt AC ở D Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB Chứng minh rằng điểm D nằm trên tia phân giác của góc ABC

TIẾT 2 Tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Mục tiêu:

- Ôn tập tính chất 3 đường trung trực của tam giác

- Giải được một số bài tập vận dụng

Gv yêu cầu học sinh nhắc lại tính

chất đường trung trực của cạnh

đáy của tam giác cân, tính chất 3

đường trung trực của tam giác

I Lý thuyết

- Trong một tam giác cân, đường

trung trực của cạnh đáy đồng thời

là đường trung tuyến ứng với cạnh này

- Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường

trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân

- Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại

A Đường trung trực của AC cắt BC ở .I

Chứng minh rằng IA IB IC 

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết,

kết luận của bài toán

? Để chứng minh IA IB IC  ta cần

chứng minh những đẳng thức nào?

IA IB và IB IC

? Hãy tìm cách chứng minh hai đẳng thức

trên và trình bày lời giải

Hs lên bảng làm bài tập

Bài 1:

1

I

B

I nằm trên đường trung trực của AC nên

.

IAC

 cân tại I nên A C1  Ta lại có A1

phụ A2và C phụ B nên A2 B

Do đó IAB cân tại I, suy ra IA IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC 

Bài tập 2: Cho xOy  80 , điểm A nằm

trong góc xOy Lấy điểm B sao cho Ox

là đường trung trực của AB. Lấy điểm

C sao cho Oy là đường trung trực của

.

AC

a) Chứng minh O thuộc đường

trung trực của BC

b) Tính số đo góc BOC

Bài 2:

a) Ta có:

OA OB , vì Ox là đường trung trực của .

AB

OA OC , vì Oy là đường trung trực của

x

y

4 3 2 1

B

C A O

AC

Do đó OB OC , suy ra O thuộc đường trung trực của BC

b) Ta có:

OAB

 cân tại O nên O O1  2

OAC

 cân tại O nên O 3 O 4 Khi đó

    

 

2 3

BOC O O O O

   

Vậy BOC  160 

Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A

, O là giao điểm của ba đường trung trực

Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên

cạnh AC sao cho AD CE Chứng minh

rằng:

b) O nằm trên đường trung trực của DE.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết,

kết luận của bài toán

a) ?Để chứng minh OA OB OC  ta sử

dụng tính chất nào?

Hs: Ba đường trung trực của một

tam giác cùng đi qua một điểm

Điểm này cách đều ba đỉnh của

tam giác đó.

? hãy chứng minh dựa vào định lí

trên

b) ? Để chứng minh O nằm trên

đường trung trực của DEta làm thế

nào?

Chứng minh OD OE .

Thảo luận theo nhóm từ 3-5 người

đề tìm cách chứng minh bài toán

GV chốt kiến thức, hs chữa bài

Bài 3:

1

1 2

E O

C B

A

D

a) O là giao điểm của ba đường trung trực của ABC nên OA OB OC 

b) OA OC nên A2 C1 (1) Tam giác ABC cân tại A, AO là đường trung trực nên A1 A2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A C1  1 Xét OAD và OCE có:

OA OC (theo a)

 

1 1

A C (chứng minh trên)

Do đó, OADOCE c g c . , suy ra

.

OD OE Vậy O nằm trên đường trung trực của DE.

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có Bài 4:

 100 ,  30

A  C , đường cao AH. Trên

cạnh AC lấy điểm D sao choCBD   10

Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC

tại E Chứng minh rằng AE là đường

trung trực của đoạn thẳng BD.

GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định

giả thiết kết luận

? Để chứng minh AE là đường trung

trực của đoạn thẳng BD ta cần cm điều gì?

Hãy chỉ ra hai điều trên và trình bày lời

giải

? Ngoài cách cm như trên còn cách lập

luận nào khác để chỉ ra AE là đường trung

trực của đoạn thẳng BD không?

HS: CÓ Sử dụng tính chất về

đường cao đường trung tuyến

trong tam giác cân

? Hãy chứng minh bài toán bằng

cách đó

40°

40° 10° I 30°

E

D

H B

A

C

Tam giác có ABC A100 ,  C 30 nên

 180   50

B   A C   Lại có CBD   10 nên ABD B CBD   40  Mặt khác góc ABD là góc ngoài tại đỉnh

D của tam giác BCD nên

   40

ADB CBD C    Suy ra ABD ADB ,

do đó ABDcân tại A, ta cóAB AD . Xét AEB và AED có:

 

AE là cạnh chung

Vậy AEBAED c g c . , suy ra EB ED .

Ta có AB AD nên A thuộc đường trung trực của BD (1)

của BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD

CÁCH KHÁC:

Gọi giao điểm của AE với BD là I

Xét AIB và AID có:

  ,IAB IAD

AB AD  (giả thiết), AIcạnh chung

Vậy AIBAUD c g c . , suy ra IB ID . Tam giác ABD cân tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI

là đường trung trực của đoạn thẳng BD

Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD

Bài tập về nhà:

1 Cho tam giác ABC cân tại A có A  36 , đường phân giác CD Tia phân giác của góc

A cắt đường trung trực của AC tại O Chứng minh rằng:

a) O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC

b) O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ACD

2 Tam giác ABC có A 110 Cac đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I Tính



BIC

TIẾT 3 Tính chất ba đường cao trong tam giác

Mục tiêu:

- Ôn tập tính chất ba đường cao trong tam giác

- Giải được một số bài tập vận dụng

Gv yêu cầu học sinh nhắc lại

tính chất ba đường cao của tam

giác; đường cao của tam giác

cân; đặc điểm trọng tâm, trực

tâm, điểm cách đều 3 cạnh, 3

đỉnh của ta giác

Lí thuyết

- Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này gọi là trực tâm của tam giác

- Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó

- Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân

- Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh là bốn điểm trùng nhau

Bài tập 1: Cho ABCvuông cân tại

B.Trên cạnh AB lấy điểm H Trên tia

đối của tia BC lấy điểm D sao cho

.

BH BD Chứng minh rằng:

a) DH AC

b) CH AD

HS vẽ hình, ghi GT/KL

? Để cm hai đường thẳng vuông

góc ta làm thế nào?

Hs: + chứng hai đường thẳng

tạo thành góc vuông

+ chứng minh là đường cao ứng

với một cạnh của tam giác

HS hoạt động nhóm giải toán

bài toán

GV gọi HS chữa bài

GV hướng dẫn HS khi cần thiết

Bài tập 1:

a) Chứng minh DH AC ABC

 vuông cân tại B,nên C  450

HBD

 có B  900(gt) ; BH BD (gt) Vậy HBD vuông cân tại B, suy ra D  45 0

Xét DIC có D C   450 450  900 (CMT) Suy ra DIC 900

Vậy DH AC

b) Chứng minh CH AD

Xét DACcó

ABBC (gt)

DH AC (CMT) Vậy H là trực tâm DACnên CH AD

Bài tập 2: Cho ABCvuông tại

A.Trên cạnh AC lấy các điểm D,E sao

cho ABD DBE EBC  trên tia đối của

tia DB lấy điểm F sao cho DF BC .

Chứng minh rằng CDFcân

GV yêu cầu HS vẽ hình, xác

định giả thiết, kết luận của bài

Bài 2:

I

A

B H

? Chứng minh tam giác bằng

nhau ta chứng minh như thế

nào?

Hs: hai cạnh bên bằng nhau, hai

góc kề một cạnh bằng nhau

? Hãy chứng minh bài toán trên

? Trình bày lời giải

Trên BF đặt đoạn BG BC thì G nằm giữa D và

F và BD GF . BCG cân tại B có BE là tia phân giác nên cũng là đường cao, BECGtại H

Ta có CDG CGF 

0 1 90

3B





  Suy ra CDGcân tại C nên CD CG

Hai tam giác CDF và CGF có

CD CG

BD GF





 

Nên  CDB = CGF  (c.g.c) CB CF Vậy CDFcân

Bài tập 3: Cho ABCvuông tại

A,đường cao AH, lấy I là trung điểm

AC

a) Chứng minh rằng I là giao điểm ba

trung trực của AHC

b) Gọi K và D thứ tự là trung điểm của

AH và HC Chứng minh KD AC/ /

c) Chứng minh BK AD

d) Trong hình thì A là trực tâm của

những tam giác nào?

Yêu cầu hs vẽ hình, ghi giả thiết, kết

luận của bài toán

a) ? Em có nhận xét gì về tam giác

AHC

Bài tập 3:

a) Chứng minh rằng I là giao điểm ba trung trực của AHC

Dễ dàng chứng minh được

1

AI IC HI =

2AC

G

F

C

A

B

D E

D

H

A

C B

HS: là tam giác vuông.

? Trực tậm của tam giác vuông nằm ở

đâu, có đặc điểm gì?

Hs: là trung điểm của cạnh huyền, bằng

nửa cạnh huyền

? Chứng minh

b) ? Nêu các cách chứng

minh hai đường thẳng

song song

Hs: có cặp góc so le trong hoặc

đồng vị bằng nhau

Cặp góc trong cùng phía bù

nhau

Hai đường thẳng cùng vuông

góc với 1 đt

? Quan sát hình vẽ, giả thiết kết

luận và chọn ra cách phù hợp

để chứng mình btoan

c) Hướng dẫn tương tự bài 1

d) Hs dựa vào hình vẽ tự trả

lời

Vậy I là giao điểm ba trung trực của AHC b) Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và

HC Chứng minh KD/ /AC Xét KHDvà DIKcó: AH BC,DI BC Suy ra AH / /DI  KDI HKD

IKAH,AH BC Suy ra IK/ /BC  HDK IKD

KD chung

 

 

HDK IKD (CMT) Nên KHD = DIK (gcg) Suy ra Nên HK ID HD KI,  Xét hai tam giác vuông KDH và IDC có

HD DC (DI là trung trực)

Vậy KHD = DIC(Hai cạnh góc vuông)

=>D C  (góc tương ứng)

 DK/ /AC (Hai góc đồng vị bằng nhau) c) DK/ /AC (chứng minh ở câu b)

ABAC (giả thiết)

.

Trong ABD có: AH BD (giả thiết),

,

BK AD

d) A là trực tâm ABC Xét BKDcó A thuộc đường cao KH; A thuộc đường cao qua đỉnh B

Nên A là trực tâm KBD

Bài tập 4 : Cho ABCcân tại

A.Đường phân giác AH và đường

trung trực của cạnh AB cắt nhau

tại O.Trên AB và AC lấy điểm

,

E F sao cho AE CF .

a) Chứng minh rằng OE OF

b) Chứng minh khi E,F di động trên

hai cạnh AB AC, . Nhưng AE CF

thì đường trung trực của EF đi

qua một điểm cố định

Bài tập 4: