Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
474,46 KB
Nội dung
Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w( w t a i )l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i ∫ e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải TP1: TÍCHPHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I= x2 x − x + 12 • I = 1 + Câu I= 16 − dx = x + 16 ln x − − ln x − x −4 x −3 • Ta có: x + x3 Câu I= =− x ( x + 1) = + 25ln − 16 ln 1 x + + x x3 x2 + 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x 1 3x + x − x − 5x + dx I= ⇒ I = − ln x − Câu dx dx 13 14 • I = − ln + ln + ln 3 15 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 • Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = 3 ( x + 1) ( x + 1) 1 0 ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = Dạng 2: Đổi biến số CâuCâu ( x − 1)2 I= I= (2 x + 1)4 dx ( x − 1)99 101 ( x + 1) 7x − • I= 2x + 99 x −1 • Ta có: f ( x ) = 2x + I= Câu I= (x 5x 2 + 4) x7 (1 + x )5 99 7x − 1 7x − = d ( x + 1)2 x + x + dx 100 Câu x − ′ x −1 ⇒I = +C 2x + 2x + dx 1 7x − = ⋅ 100 x + 100 = 2 − 1 900 dx • Đặt t = x + ⇒ I = dx • Đặt t = + x ⇒ dt = xdx ⇒ I = (t − 1)3 1 dt = t5 25 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com Câu I = x (1 − x )6 dx • Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = Câu 10 I = Câu 12 I = − x7 x (1 + x ) 11 t t8 t (1 − t )dt = − = 30 168 1 t − dt = ln t t +1 32 dt • I = 10 Đặt t = x ⇒ I = 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) x.( x10 + 1)2 Câu 13 I = dx 3x ⇒I = • Đặt t = x ⇒ I = dx x ( x + 1) Câu 11 I = −dt •I= dx x dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) (1 − x ).x dx x (1 + x ) • Đặt : x = ⇒ I =− t 3 t6 dt = t2 + 1 117 − 41 π + t − t +1− dt = 135 12 t + 3 Câu 14 I = •I= x 2001 (1 + x )1002 x 2004 1002 x (1 + x ) Cách 2: Ta có: I = dx dx = 1 1002 x + 1 x 1000 • Ta có: 2 + x2 11+ x 1+ x 1+ x4 x2 + ⇒ dt = − x3 dx 11 x 2000 xdx Đặt t = + x ⇒ dt = xdx 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) (t − 1)1000 2 1 ⇒I= dt = 1 − t1000t 2 1 t Câu 15 I = dx Đặt t = 1 d 1 − = t 2002.21001 dx 1+ = x Đặt t = x − ⇒ dt = + dx 2 x x x + x 2 −1 t− ⇒I= = − dt = ln = ln 2 1t − t + 2 t + 2 + t −2 dt 1 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e∫u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫: / / w ww.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w∫ w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i ∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w ∫t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 16 I = − x2 11+ x4 1− x Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải dx −1 1 dt = x Đặt t = x + ⇒ dt = − dx ⇒ I = − 2 x 1+ x x t + x + x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u • Ta có: u2 ⇒I= 2 Câu 17 I = u1 1− x Câu 18 I = x4 + • Ta có: x6 + 1 dx dx x6 + x4 + 1 −1 x dx Đặt t = x + ⇒ I = ln • Ta có: I = x +x x 1x+x 2 (u2 − u1 ) = arctan − arctan 2 du = = ( x − x + 1) + x x6 + = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π ⇒ I = dx + dx = + = 3 (x ) + 4 x +1 Câu 19 3 I= x2 x4 − •I= 3 Câu 20 I = x ( x − 1)( x + 1) xdx x + x +1 1+ • Ta có: 0t dx = x2 + x +1 x − x +1 π 1 + dx = ln(2 − 3) + 12 x −1 x +1 1 dt 11 = t2 + t + dt 1 3 t + + 2 dx 1+ = 3 • Đặt t = x ⇒ I = x − x2 + 1 ⇒ I= 2 Câu 21 I = dx x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x − 1 ⇒ dt = + dx x x2 π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = du = π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) = π Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ h t t p :∫ / / w w w t a∫ i l∫ i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w ∫w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p∫ : / / ∫w w w tailieupro.co ∫ h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ( ) h t t p ∫: / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w w w t a i l i e u p r o c ) http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei( ul i)peruop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w∫ w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com TP2: TÍCHPHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I = dx 3x + x − x dx = x (3x − x − 1)dx = 3x 2dx − x x − 1dx •I= 3x + x − + I1 = 3x dx = x + C1 + I = x x − 1dx = 18 x − d (9 x − 1) = (9 x − 1) + C2 27 2 ⇒I= (9 x − 1) + x + C 27 x2 + x Câu 23 I = • 1+ x x x + x 1+ x x ⇒ x2 dx = x2 + I1 = dx 1+ x x 1+ x x x dx + 1+ x x dx Đặt t= + x x ⇔ t − = x x ⇔ x = (t − 1)2 ⇔ x 2dx = 4 4 (t − 1)dt = t − t + C = 9 x + I2 = 1+ x x Vậy: I = Câu 24 I = Câu 25 I = dx = 1+ x x 2x + 01+ 2x + − + x x + C1 • Đặt t = x + I = dx + + 4x + 1 t2 dt =2 + ln + t 12 • Đặt t = x + I = ln − • Đặt: t = − x ⇒ I = Câu 27 I = +C Câu 26 I = x − x dx 1+ x x d (1 + x x ) = + x x + C2 3 1+ x x dx 2x dx t − t dt = 1+ x 01+ x 15 dx t +t 11 • Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt I = dt = t − t + − − ln dt = t +1 1+ t 0 Câu 28 I = x −3 dx x + + x + Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) t(t − 1)dt Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t∫ at ial ∫ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / / w w w ∫ t a i l i ∫e u p ro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫ : / / w w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw(: /w/ ) w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải • Đặt t = x + ⇒ 2tdu = dx ⇒ I = Câu 29 I = 2t − 8t 1t + 3t + 2 dt = (2t − 6)dt + dt = −3 + ln t +1 x.3 x + 1dx −1 1 t7 t4 • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = 3(t − 1)dt = − = − 28 0 3 Câu 30 I = x2 + 1 x 3x + dx t2 − +1 4 2tdt 2tdt • Đặt t = 3x + ⇒ dx = ⇒ I= 3 t −1 t 4 21 t −1 100 = t − t + ln = + ln 93 t + 27 2 Câu 31 I = 2x2 + x − x +1 = 24 dt (t − 1)dt + 2 92 t −1 dx x + = t ⇔ x = t − ⇒ dx = 2tdt • Đặt 2(t − 1)2 + (t − 1) − ⇒I= 2tdt t Câu 32 I = 2 4t 54 = (2t − 3t )dt = − 2t = 1 x 2dx ( x + 1) x +1 • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx ⇒I = (t − 1)2 t3 Câu 33 I = 2tdt =2 x +1 + + 2x 2 2 t3 1 1 16 − 11 t − dt = − 2t − = t 1 t 3 dx t − 2t • Đặt t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt x = + 2x dx Ta có: I = (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 4 2 dt = dt = t − + − dt 22 22 2 t t2 t2 t2 = Câu 34 I = t2 2 − 3t + ln t + = ln − t x −1 x +1 dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u( rp)or( oc) oc m o thttpt :p/:/∫ /w/ w ww ww t.at ia( l ii le)i u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a ∫i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w w w∫ t a i l∫ i e u∫ p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u pro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p (: / ) / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ t ph :t /t /pw w w t a i : / / w w lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / ∫/ w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com x − dx = x + − ln x + x + •I= x2 + x +1 = + ln + − ln 8+3 Câu 35 I = ( x − 1)3 x − x dx • I = ( x − 1) 2 x − x dx = ( x − x + 1) x − x ( x − 1)dx Đặt t = x − x ⇒ I = − 0 Câu 36 I = 2 x3 − 3x + x x2 − x + •I= 15 dx ( x − x )(2 x − 1) dx Đặt t = x − x + ⇒ I = (t − 1)dt = x2 − x + 1 Câu 37 I = x 3dx + x2 • Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ xdx = 3t 2dt ⇒ I = 38 (t − 4t )dt = − + 23 25 Câu 38 I = dx x + + x2 −1 + 1 + x − + x2 11 + x2 • Ta có: I = dx = dx = dx + 1 dx − 2 2x −1 x 2x −1 (1 + x ) − (1 + x ) −1 −1 + I1 = + I2 = 1 + x − + x2 11 1 + 1 dx = ln x + x |−1 = −1 x −1 + x2 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = xdx ⇒ I2= 2x Vậy: I = t 2dt 2 2(t − 1) =0 Cách 2: Đặt t = x + x + Câu 39 I = x x4 Câu 40 I = 1 3 −x dx − x2 dx x − x2 ⇒I= 3 1 • Ta có: I = − 1 dx Đặt t = − ⇒ I = x x 1 x • Ta có: I = t(−tdt ) − t2 x xdx Đặt t = t2 − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx t−2 = dt = (1 + )dt = t + ln 2 t+2 − − t t 3 2− = − + ln + 3 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a ∫ i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln 2 5π 2t − dt = − + ln − 1 − t + 12 t + t2 + 1 1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + 1 x2 + x )2 (2 + + x )2 (1 + 3t dt dx • Đặt t = x + x + x + ⇒ I = 3 Câu 44 I = dx • Đặt t = x ⇒ I = • Đặt t = x + ⇒ I = dx = ln 3+ 3 dx 42 36 • Đặt + + x = t ⇒ I = 2t − 16 + − dt = −12 + 42 ln t t 3 Câu 45 I = x2 2( x + 1) + x + + x x + • Đặt t = x + ⇒ I = 2t (t − 1)2 dt t(t + 1)2 Câu 46 I = 2 x − x + 2011x x4 • Ta có: I = 2 M= 2 2 2011 x3 ⇒ I= x x3 N= 1 x2 x3 dx + 2 dx = 2 = (t − 1)2 dt = (t − 1)3 = 3 2011 x3 −1 2 dx −1 dx Đặt t = dx x2 dx = M + N −1 ⇒ M = − − t 3dt = − 2 2011 2011x dx = − x2 −3 = 213 128 14077 16 14077 21 − 16 128 Câu 47 I = dx (1 + x ) + x 3 3 • Đặt t = + x ⇒ I = t2 t (t − 1) 3 dt = dt t (t − 1) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p∫: / / w w w ∫t a i l i e u p r o c o ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p ∫: / / w∫ w w∫ t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w( w) w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw www tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫: / / h t t p∫ : / / w w w t∫ a i l i e u p r o c ∫ h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải = dt = t t − t Đặt u = − Câu 48 I = 2 t3 ⇒ du = 3dt t4 1 1 − = t t4 dt 3 t 1 − t ⇒I= 2 − u www.mathvn.com du = − dt −2 u du 30 1 u3 2 = 3 0 1 = u3 = x4 dx 1 x − x x +1 • Đặt t = x + ⇒I= (t − 1)2 t2 − t − 2t + dt = t2 − 2 3 2t dt = t dt + −2 dt = 19 4+ + ln − Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 1− x Câu 49 I = − x ln + x dx 1+ x 0 • Tính H = 1− x 1+ x dx Đặt π π x = cos t; t ∈ 0; ⇒ H = − 2 u = ln(1 + x ) • Tính K = x ln(1 + x )dx Đặt dv = xdx Câu 50 I = ⇒ K= ( x + x ) − x dx −2 •I= 2 ( x + x ) − x dx = −2 x −2 + Tính A = −2 + Tính B = − x dx + x − x dx = A + B −2 x − x dx Đặt t = − x Tính được: A = x − x dx Đặt x = 2sin t Tính được: B = 2π −2 Vậy: I = 2π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w w)w ww t.at ial ii lei u (/ w http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w∫ w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w ∫w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w∫ w w t ∫a i l i e u p r o c o h t t p : /( / w) w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www tailieupro.c http://www.ta ilieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ) ∫ ∫( http://www.tailieupro.c h t t ∫p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 51 I = Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải − − x dx 2x4 • Ta có: I = 2x + Tính I1 = 3 2x + Tính I = π dx − 2x4 − x2 2x4 dx −4 x dx = 21 16 dx = dx Đặt x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt 2 − x2 π π 6 cos tdt 12 = cot t dt = − cot t.d (cot t ) = π sin t 8π 8π sin t ⇒ I2 = Vậy: I = Câu 52 I = 7−2 16 x 2dx − x6 • Đặt t = x ⇒ dt = x dx ⇒ I = 1 dt − t2 π π π 16 Đặt t = 2sin u, u ∈ 0; ⇒ dt = cos udu ⇒ I = dt = 2 30 18 Câu 53 I = Câu 54 I = π ⇒ I =− 2π Câu 55 0 + 2x − x2 t • Đặt x = cos t ⇒ dx = −2sin tdt ⇒ I = sin2 dt = π − x 2dx • Ta có: I = π 2− x dx x+2 x 2dx 22 − ( x − 1)2 Đặt x − = cos t 2π (1 + cos t ) 2sin t − (2 cos t )2 dt = + cos t + cos2t dt = π π + 3 −4 2 π − x − x dx • Đặt x = sin t ⇒ I = (cos t − sin t )cos tdt = Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π 12 + − 8 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w∫ w w t∫ a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p : / /( w) w w t a i l i e u p r o c o ] h t t p : / / w w w t a i l[i e upro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ) u p r o c ∫ ( t a i l i e h t t p∫ : / / w w w h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com Dạng 3: TíchphânphầnCâu 56 I = x − 1dx x u = x − du = dx ⇒ • Đặt x − dv = dx v = x ⇒ I = x x2 − =5 2− ⇒ I= − ln − x x − 1dx − x x2 − dx = − dx x2 − x −1 + 2 dx x − = − I − ln x + x − 1 + + ln Chú ý: Không dùng phép đổi biến x = 2;3 ∉ −1;1 cos t TP3: TÍCHPHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I = 8cos2 x − sin x − dx sin x − cos x (sin x − cos x )2 + cos x •I= dx = sin x − cos x − 4(sin x + cos x dx sin x − cos x = 3cos x − 5sin x + C cot x − tan x − tan x Câu 58 I = dx sin x cot x − tan x cot x cos x • Ta có: I = dx = dx = dx = − +C sin x sin x 2sin x sin x π cos2 x + 8 Câu 59 I = dx sin x + cos x + π + cos x + dx • Ta có: I = 2 + sin x + π 4 cos x + π dx = dx + 2 2 + sin x + π π π sin x + + cos x + 4 8 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w at ial ii lei u ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww w t ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ ∫ http://www t a∫ i l i e u∫ p r o c o h t t p : /∫ / ∫w w w∫ ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o ( ) h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i ∫ l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ : /w / ww http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải e3 e dx − ln xdx = −3ln − 4e3 + 2e2 • I =3 x (1 − ln x ) e2 e2 Câu 145 I = e2 ln x − ln x + x2 dx dx • Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒I= x t − 2t + t e dt dt = t −1 t e dt = − t −1 t −1 e t dt + et dt = I1 + I dt = − −te−t + − = t t t 0 e e e et e 2 tdt dt dt dt + I2 = − = −te−t + − = −te−t = − t t t t 1 e e2 e e e e 2(e − 1) Vậy : I = e2 ln( x − + 1) Câu 146 I = dx x −1 x −1+ + I1 = − tdt dt x − + ⇒ 2dt = • Đặt t = ln e3 − dx x −1+ x −1 ln dt = ln2 − ln2 ln ln x dx x + ln x Câu 147 I = • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = ⇒I= t e Câu 148 I = ⇒ I =2 − ln x x + ln x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 dx e Câu 150 I = e • Đặt t = + ln x ⇒ I = (2 − t )dt = ln x + ln2 x Câu 149 I = dx x e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x xe x + dx x(e x + ln x) −5 3 • Đặt t = + ln2 x ⇒ I = 34 − 24 • Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln ee + e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 29 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w∫ w tw a i∫ lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w( t a) i∫ l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w∫ t a ∫i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com Dạng 2: Tíchphânphần π Câu 151 I = es inx sin xdx π u = sin x du = cos xdx ⇒ sin x cos xdx v = esin x dv = e • I = es inx sin x cos xdx Đặt π π ⇒I = 2sin xesin x 02 − e sin x π cos xdx = 2e − 2esin x 02 =2 Câu 152 I = x ln( x + x + 1)dx 2x + du = dx u = ln( x + x + 1) x + x +1 ⇒ • Đặt dv = xdx v = x x2 1 2x3 + x2 I= ln( x + x + 1) − dx 2 x + x +1 3π 11 1 2x + 31 dx = ln − (2 x − 1)dx + dx − = ln − 2 20 x + x +1 x + x +1 12 Câu 153 I = ln x x +1 dx u = ln x dx du = dx ⇒ ⇒ I = x + 1.ln x x x + v = x + • Đặt dv = + Tính J = 8 −2 x +1 dx = ln − ln − J x 3 x +1 t t2 1 dx Đặt t = x + ⇒ J = dt = + − 2tdt = dt 2 x t − t + 1 t − t − 1 2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 30 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w t a∫ i l i e∫ u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t ∫a i l i e u p r o c o ∫ h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c h t t p : /∫ / w w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải t −1 = 2t + ln t +1 = + ln − ln Từ I = 20 ln − ln − Câu 154 I = x + x ln x + x e dx x e e e • I = xe x dx + ln xe x dx + 1 e e x e dx x e +Tính I = e x ln xdx = e x ln x − 1 Vậy: I = I1 + I + e e x e e e + Tính I1 = xe x dx = xe x − e x dx = ee (e − 1) 1 e x e e dx = ee − dx x x 1 e x e dx = ee +1 x ln x + ln2 x dx x + ln x Câu 155 I = • Tính I1 = e ln x 1x e + ln x dx Đặt t = + ln x ⇒ I1 = 2 − 3 + Tính I = ln2 xdx Lấy tíchphânphần lần I = e − 2 − 3 ln( x + 1) Câu 156 I = dx x Vậy I = e − 2x u = ln( x + 1) du = ln( x + 1) 2 dx x + • Đặt ⇒ Do đ ó I = − + dx 2 dv = x v = − x ( x + 1) x 2x2 = ln ln x ln ln dx d ( x + 1) − + − dx = − + − x x2 + x x2 + = 2 ln ln − + ln | x | − ln | x + 1| = ln − ln 1 Câu 157 I = ln( x + 1) x2 dx dx u = ln( x + 1) du = x + 1 dx dx ⇔ ⇒ I = − ln( x + 1) + = 3ln − ln • Đặt dv = 1 ( x + 1) x x v = − x2 x 1+ x dx 1− x Câu 158 I = x ln Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 31 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ ∫w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải www.mathvn.com du = dx 1+ x 1+ x 2 (1 − x )2 − x dx • Đặt u = ln − x ⇒ ⇒ I = x ln 2 2 2 − x − x x dv = xdx v = 0 = 2 ln x ln ln 1 + dx = + 1 + dx = + + ln x −1 ( x − 1)( x + 1) 2 1 10 u = ln x + • Đặt x ⇒ I = ln − ln + dv = x 2dx 1 Câu 159 I = x ln x + dx x 2 π • Đặt u = ln(12 + x ) ⇒ I = ln + + Câu 160 I = ∫ x ln(1 + x )dx Câu 161 I = ln x ( x + 1) dv = x dx u = ln x dx • Đặt ⇒ dv = ( x + 1) dx I = − ln + ln ln x + e x (e x + ln x) dx + ex e Câu 162 I = e • Ta có: I = ln x.dx + e e2 x 1e x +1 dx = H + K e e + H = ln2 x.dx Đặt: u = ln x ⇒ H = e − ln x.dx = e − dv = dx 1 + K= e2 x e 1e x dx Đặt t = e + ⇒ ⇒ I = x +1 Vậy: I = ee – + ln x e +1 • Ta có: I = e x+ x t −1 e +1 dt = ee − e + ln t ee + e +1 ee + Câu 163 I = ( x + − )e ee +1 x+ x dx 1 x+ dx + x − e x dx = H + K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H = xe x+ x ⇒I= 1 x+ x 52 − x − e dx = e − K x 1 e Câu 164 I = ln( x + − x)dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 32 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w.tailieupro.co thttpt :p/://w/( w ww w ) t( a i l) i∫ e u p r o c o m http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / (/ w w) w t a i l i e u p r o c ∫ t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc : /w/ w w h t t p∫ : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải • Đặt u = ln x + − x ⇒ I = x ln dv = dx x +9 −x + x x2 + dx = TP5: TÍCHPHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I = x 2e x + 0 x dx 1+ x • I = x 2e x dx + x 1+ x dx 11 t 1 1 + Tính I1 = x e dx Đặt t = x ⇒ I1 = e dt = et = e − 30 3 + Tính I = x3 x 1+ dx Đặt t = x ⇒ I = x Vậy: I = e + π − 3 − x2 Câu 166 I = x e x − x3 2 x • I = xe dx + x2 + Tính I = ⇒ I2 = π cos2 t sin t π dt = (− cot t − t ) π2 = Câu 167 I = x • I = x e2 x dx − + Tính I = 1 − x2 x2 π dx Đặt x = 2sin t , t ∈ 0; 2 π x3 4−x + Tính I1 = x e ⇒ I= π e2 x − x − x dx − x2 3− Vậy: I = e2 + − π dt = − + 4 1+ t dx + Tính I1 = xe x dx = e2 π t4 dx − x2 1 2x dx = I1 + I e2 + dx = x3 − x2 dx Đặt t = − x ⇒ I = −3 + 16 e2 61 +3 3− 12 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 33 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w∫ t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ∫ w w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c h t t p : (/ / w) w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫:( / / w w w t a i l i e u p r o c ) ( ) ∫ ∫ h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p :∫ /( / w )w w( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w ) w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - TíchphâncólờigiảiCâu 168 I = x2 + ( x + 1) e x dx 2 t − 2t + • Đặt t = x + ⇒ dx = dt I = t2 Câu 169 I = x +1 x e www.mathvn.com e2 2 et −1dt = + − et −1dt = e − + − + e = e t2 t 1 dx + x2 2 • Đặt t = + x ⇒ dx = tdt ⇒ I = (t − 1)e dt = t 2et dt − et t 1 = J − ( e − e) 2 + J = t e dt = t e − 2te dt = 4e − e − tet − et dt = 4e2 − e − 2(tet − et ) 1 1 1 2 t t 2 t Vậy: I = e2 x ln( x + 1) + x Câu 170 I = x2 + • Ta có: f ( x ) = dx x ln( x + 1) + x ( x + 1) − x = x ln( x + 1) +x− x x +1 x +1 x +1 x +1 1 ⇒ F ( x ) = f ( x )dx = ln( x + 1)d ( x + 1) + xdx − d ln( x + 1) 2 2 = ln ( x + 1) + x − ln( x + 1) + C 2 Câu 171 I = ln x + x + − x x2 + •I= ln x + x + − x x +9 + Tính I1 = ⇒ I1 = ln x +9 udu = ln + Tính I = Vậy I = Câu 172 I = ln x + x + x +9 dx − x3 x +9 dx Đặt ln x + x + = u ⇒ du = dx = I1 − 3I 2 x +9 dx u2 ln ln2 − ln2 = ln x3 x +9 x + = v ⇒ dv = dx Đặt ⇒ I = (u2 − 9)du = ( dx = ln x + x + dx x x +9 dx , x = v −9 u 44 − 9u) = 3 ln x + x + − x x2 + ln − ln dx = I1 − 3I = − 44 ( x + 1) ln x + x + dx + x ln x e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 34 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫ /w/∫ w ww ww ∫t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co ∫ h t t p∫ : / / w ww.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w∫ w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / /∫ w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com e Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải e x3 e3 − + x dx = = 3 e e + ln x dx • I = x 2dx + + x ln x 1 e + e + ln x d (2 + x ln x ) dx = = ln + x ln x + x ln x + x ln x 1 Câu 173 I = e3 ln3 x x + ln x = ln e+2 Vậy: I = e3 − e+2 + ln dx • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = t ⇒I= e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 π Câu 174 I = x sin x dx cos x u= x ⇒ • Đặt sin x dv = dx cos2 x π + I1 = du = dx x ⇒ I= cos x v = cos x − π π π dx cos xdx = Đặt t = sin x ⇒ I1 = cos x − sin x 2 π π dx dx = − cos x cos x dt 1− t = 2+ ln 2− π 2+ − ln 2− Vậy: = ln(5 − x) + x3 − x Câu 175 I = dx x2 ln(5 − x) • Ta có: I = dx + x − x dx = K + H x2 1 + K= u = ln(5 − x ) ln(5 − x ) dx ⇒ K = ln dx Đặt dv = x x2 4 + H= x − x dx Đặt t = − x ⇒ H = 164 15 164 Vậy: I = ln + 15 Câu 176 I = x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx • Ta có: I = + I1 = 2 x (2 − x )dx + ln(4 + x )dx = I1 + I x (2 − x )dx = − ( x − 1)2 dx = π (sử dụng đổi biến: x = + sin t ) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 35 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww ww t.∫at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l∫ i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải 2 2 + I = ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − x2 dx (sử dụng tíchphân phần) + x2 = ln + π − (đổi biến x = tan t ) Vậy: I = I1 + I = www.mathvn.com 3π − + ln 2 ln x dx x +1 Câu 177 I = ∫ u = ln x dx 8 x +1 du = dx ⇒ • Đặt ⇒ I = x + ln x − dx x dv = x x + v = x + 3 x +1 2t dt + Tính J = dx Đặt t = x + ⇒ J = = 1 + dt = + ln − ln 2 x t −1 t −1 2 ⇒ I = ln − ln − 2(2 + ln − ln 2) = 20 ln − ln − + x2 ln xdx x Câu 178 I = u = ln x 1 1 • Ta có: I = + ln xdx Đặt dv = ( + )dx x x x3 x 2 −1 −1 63 ⇒ I = + ln x ln x − + ln x dx = − ln + + ln2 x 64 4x 4x Câu 179 I = x + x ln x + x e dx x e e e 1 • Ta có: I = xe x dx + e x ln xdx + e e e e x e dx = H + K + J x + H = xe x dx = xe x 1e − e x dx = ee (e − 1) e x e e e + K = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx = ee − J x x 1 x x e e x Vậy: I = H + K + J = ee +1 − ee + ee − J + J = ee +1 π Câu 180 I = π x cos x sin3 x dx ′ cos x • Ta có = − Đặt sin x sin x 1 ⇒ I = − x 2 sin x π π π u = x du = dx dv = cos x dx ⇒ v = − sin3 x 2sin x π 2 dx π π 1 + = − ( − ) − cot x π = 2 π sin x 2 2 4 Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 36 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w∫ w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫ / / w w w ∫ t a i∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w ∫w w ∫ t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w w w t ∫a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải π Câu 181 I = x sin x cos3 x dx u = x du = dx x sin x • Đặt: ⇒ ⇒I = dv = dx v= cos2 x cos3 x 2.cos2 x π π − dx cos2 x = π π 1 − tan x = − 4 π π ( x + sin x) dx + sin x Câu 182 I = π π x sin2 x dx + dx = H + K + sin x + sin x 0 • Ta có: I = u = x du = dx dx x x dv = π + H= dx = dx Đặt: ⇒ π v = tan x − + sin x 2 0 cos2 x − π cos x − 4 4 π π 2 π π π 1 π2 π x tan x − + ln cos x − = ⇒H= π π 2 sin x cos2 x π dx Đặt t = − x ⇒ K = dx + sin x + sin x 0 + K= π π π2 dx 1 = tan x − = ⇒ K = 0 cos2 x − π 4 π Vậy, I = H + K = + ⇒ 2K = π Câu 183 I = x (cos3 x + cos x + sin x ) + cos2 x dx π π π cos x (1 + cos2 x ) + sin x x.sin x dx = J + K • Ta có: I = x dx = x.cos x.dx + 2 + cos x 0 + cos x π π π π u = x + Tính J = x.cos x.dx Đặt ⇒ J = ( x.sin x ) − sin x.dx = + cos x = −2 0 dv = cos xdx 0 + Tính K = ⇒K= π x.sin x + cos x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt (π − t ).sin(π − t ) ⇒ 2K = π π + cos (π − t ) ( x + π − x ).sin x + cos2 x dt = π (π − t ).sin t dx = π + cos t π sin x.dx + cos dt = π x (π − x ).sin x + cos2 x ⇒K= dx π π sin x.dx + cos2 x Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 37 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.a∫ t ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w ∫w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /p∫w: /w/ w∫ w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w ( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = π ⇒K= π Vậy I = − + tan u 2π Câu 184 I = π • Ta có: I = x + ( x + sin x )sin x (1 + sin x )sin x 2π π + K= 2π π Vậy I = − du = π −1 + t π 2 π u − π = , đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan2 u)du π2 4 π x sin x (1 + sin x )sin x 2π π dx = 2π x π sin x dx + 2π π dx =H+K + sin x u = x π du = dx ⇒H= dv = dx ⇒ v = − cot x sin x dx Đặt dx = + sin x π dx x (1 + sin x ) + sin x + H= dt −2 2π = π π (1 + tan u)du π π π www.mathvn.com dx = π + cos − x 2 2π π dx = −2 x 2π cos − 2 + 3−2 π x + sin2 x Câu 185 I = dx + cos2 x π x + sin x dx = • Ta có: I = 03 + cos2 x π x π sin x dx = H + K cos2 x π π u = x x x du = dx dx ⇒ + H= dx = dx Đặt 2 dv = cos x v = tan x cos x cos2 x π π π π π 1 1 ⇒ H = x tan x − tan xdx = + ln cos x = − ln 0 2 π sin x + K= dx = 2 cos x Vậy: I = H + K = Câu 186 I = π cos2 x dx + π π 1 tan2 xdx = [ tan x − x ] = − 2 3 1 π π − ln + − = 2 3 π −1 + ( − ln 2) x + 1sin x + 1.dx 2 1 • Đặt t = x + ⇒ I = t.sin t.2tdt = 2t sin tdt = x sin xdx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 38 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii∫lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ww.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w w w t a i l i e ∫u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://ww w∫ t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iae i ul ipe∫ruop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://w ww.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải 2 u = x du = xdx ⇒ I = −2 x cos x + x cos xdx Đặt ⇒ dv = sin xdx v = − cos x u = x du = 4dx Đặt Từ suy kết ⇒ dv = cos xdx v = sin x π + sin x x e dx + cos x Câu 187 I = π •I= π 2 e dx sin x x + e dx + cos x x cos x π π π x x 2sin cos sin x x 2 e x dx = tan x e x dx + Tính I1 = e dx = x + cos x 0 cos2 u = ex π π du = e x dx π x 2 e dx − tan x e x dx + Tính I = Đặt dv = dx ⇒ I = e ⇒ x x 20 v = tan x cos2 cos 2 2 π Do đó: I = I1 + I = e π Câu 188 I = π •I= ⇒I = cos x e x (1 + sin x ) dx cos x −(sin x + cos x )dx u= du = x cos x e ex dx Đặt ⇒ x dx sin x e (sin x + cos x ) dv = v = (sin x + cos x ) sin x + cos x cos x e x sin x sin x + cos x π π + π sin xdx e x = sin xdx ex π u1 = sin x du1 = cos xdx −1 ⇒ I = sin x x + Đặt dx ⇒ −1 e dv1 = x v1 = x e e u2 = cos x du2 = − sin xdx Đặt dx ⇒ −1 dv1 = x v1 = x e e ⇒I = −1 π e2 π π + cos x −1 ex − sin xdx ex = −1 π + − I ⇒ 2I = π π cos xdx −π −e e x = −1 π e2 +1 ⇒ I = e2 + cos xdx ex −π −e 2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 39 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) + Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i∫ e u∫ p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tíchphâncólờigiải π Câu 189 I = sin x + cos6 x π 6x + − dx π • Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ I = − π ⇒ 2I = − ⇒I = (6 x + 1) 6 6x + 6t 6 sin t + cos t 6t + π π dt = − 6x dx = − sin x + cos6 x 6x + π dx π sin x + cos x π π (sin x + cos6 x )dx = π − 5 5π + cos x dx = 16 π 8 5π 32 π Câu 190 I = sin xdx π 2− x + − π • Ta có: I = + Tính I1 = sin xdx π 2x + x x sin xdx π 2x + = − − π − ⇒I = www.mathvn.com x sin xdx 2x + π π + x sin xdx 2x + Đặt x = −t ⇒ I1 = − sin xdx 2x + 2−t sin (−t ) π 2− t + dt = π = I1 + I + sin xdx 2x + x π = sin xdx = 0 π sin t π 16 (1 − cos2 x )2 dx 40 4π − 16 (3 − cos x + cos x )dx = 80 64 eπ Câu 191 I = cos(ln x )dx • Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt π ⇒ I = et cos tdt = − (eπ + 1) (dùng pp tíchphân phần) π 2 Câu 192 I = esin x sin x.cos3 xdx • Đặt t = sin x ⇒ I = sin x dt = dx x 2t + π +1 π = 11 t e (1 − t )dt = e (dùng tíchphân phần) 20 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 40 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a∫ i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải π Câu 193 I = ln(1 + tan x )dx π • Đặt t = π − x ⇒ I = ln + tan − t dt = π π = π π π − tan t ln + dt = + tan t ln dt + tan t π ln 2dt − ln(1 + tan t )dt = t.ln 04 − I ⇒ 2I = π ln ⇒ I = π ln π Câu 194 I = sin x ln(1 + sin x )dx u = ln(1 + sin x ) • Đặt dv = sin xdx + cos x ⇒ du = + sin x dx v = − cos x π π π ⇒ I = − cos x.ln(1 + sin x ) + cos x 0 2 π cos x − sin x π dx = + dx = (1 − sin x )dx = − 1 + sin x + sin x 0 π Câu 195 I = tan x.ln(cos x ) dx cos x • Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − ln t t dt = 1 ln t t2 dt u = ln t du = t dt Đặt ln ⇒ ⇒ I = −1− dv = dt 2 v=− t t TP6: TÍCHPHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với x∈ R π Tính: I= f ( x )dx −π π • Đặt x = –t ⇒ −π − f ( x )dx = π π π f (−t )(− dt ) = − π π f (−t )dt = − f (− x )dx π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 41 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ h t t p :∫ / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / ∫/ w w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w w t a i ∫l i e ∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w ∫w w t ∫a( i l i) e∫ u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải π π ⇒2 www.mathvn.com π f ( x )dx = −π − π f ( x ) + f (− x ) dx = 2 cos4 xdx ⇒ I = −π 3π 16 1 + cos2 x + cos x 8 Chú ý: cos4 x = Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = + cos2 x , với x∈ R 3π I= Tính: f ( x )dx −3π • Ta có : I = π −3 f ( x )dx = π −3 −3 π f ( x )dx (1) π π f (−t )dt = f (− x )dx Thay vào (1) ta được: I = π 2 = cos xdx − 0 π f ( x )dx Đặt x = −t ⇒ dx = − dt ⇒ I1 = π f ( x )dx + π + Tính : I1 = 3 π π f (− x ) + f ( x ) dx = π cos xdx = sin x 02 − sin x π + cos x = π cos x dx 3π =6 π π Câu 198 I = − π sin x + x2 + x dx π •I= − π + x sin xdx − π − π x sin xdx = I1 − I π + Tính I1 = − + x sin xdx Sử dụng cách tính tíchphân hàm số lẻ, ta tính I1 = π π + Tính I = − π x sin xdx Dùng pp tíchphân phần, ta tính được: I = − Suy ra: I = π − Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 42 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π+ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/( w w) w ww t.at ial ii lei u ) h t t p : /( /( w w w( ) t a i( l i) e u p( r )o c o ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) h t t p : / / (w ) w w t( a) i l i e u p r o c o ∫ ∫ h t t p : / / w w( w) t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w∫w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 199 I = • I= e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 ex 2x −1 cos x + x sin x dx du = cos x −1 v = x sin x + cos x x − 1(e ⇒ I = 3+ π dx = + e5 +1 x dx 2e + 2e + dt ⇒ I = + ln t = + ln t e +1 e +1 x2 ( x sin x + cos x ) dx π ⇒ I =− e 2x − x x − + 1) x − 1(e x x − + 1) ex 2x −1 x − + ⇒ dt = dx x −1 e2 +1 Câu200 I = ex x −1 + x −1 dx = dx + x u= x x cos x cos x dx Đặt ⇒ x cos x cos x ( x sin x + cos x ) dx dv = ( x sin x + cos x )2 e 2x −1 Đặt t = e x ex x −1 + x − + ex 2x −1 x =x + 2 •I= dx = dx x x −1 + x −1 e π Bài tập Nguyên hàm - Tíchphâncólờigiải x + cos x ( x sin x + cos x ) π dx cos2 x dx = −π 4+π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 43 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) dx ... http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Dạng 4: Tích phân phần π Câu 118 I = −π x sin x cos2 x dx • Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có: π I= − π x xd = ... hàm - Tích phân có lời giải π Câu 106 I = sin x dx cos x tan x + π • Ta có: I = sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 dt = − π Câu 107 I = sin x + cos x dx π • Ta có: I... http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln