200 câu TÍCH PHÂN có lời GIẢI CHI TIẾT

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w( w t a i )l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i ∫ e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I= x2 x − x + 12   • I = 1 + Câu I= 16  − dx = x + 16 ln x − − ln x − x −4 x −3 • Ta có: x + x3  Câu I= =− x ( x + 1) = + 25ln − 16 ln 1 x + + x x3 x2 + 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x 1 3x + x − x − 5x + dx  I= ⇒ I =  − ln x − Câu dx dx 13 14 • I = − ln + ln + ln 3 15 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 • Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = 3 ( x + 1) ( x + 1) 1 0 ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = Dạng 2: Đổi biến số Câu Câu ( x − 1)2 I= I= (2 x + 1)4 dx ( x − 1)99 101 ( x + 1)  7x −  • I=    2x +  99  x −1  • Ta có: f ( x ) =    2x +  I= Câu I= (x 5x 2 + 4) x7 (1 + x )5 99  7x −  1  7x −  = d    ( x + 1)2  x +   x +  dx 100 Câu  x − ′  x −1    ⇒I =   +C  2x +   2x +  dx 1  7x −  = ⋅   100  x +   100  = 2 − 1 900 dx • Đặt t = x + ⇒ I = dx • Đặt t = + x ⇒ dt = xdx ⇒ I = (t − 1)3 1 dt = t5 25 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Câu I = x (1 − x )6 dx • Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = Câu 10 I = Câu 12 I = − x7 x (1 + x ) 11  t t8  t (1 − t )dt =  −  = 30   168 1 t   − dt = ln  t t +1 32 dt • I = 10 Đặt t = x ⇒ I = 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) x.( x10 + 1)2 Câu 13 I = dx 3x ⇒I = • Đặt t = x ⇒ I = dx x ( x + 1) Câu 11 I = −dt •I= dx x dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) (1 − x ).x dx x (1 + x ) • Đặt : x = ⇒ I =− t 3 t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   3 Câu 14 I = •I= x 2001 (1 + x )1002 x 2004 1002 x (1 + x ) Cách 2: Ta có: I = dx dx = 1 1002   x  + 1 x  1000 • Ta có: 2 + x2 11+ x 1+ x 1+ x4 x2 + ⇒ dt = − x3 dx 11 x 2000 xdx Đặt t = + x ⇒ dt = xdx 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) (t − 1)1000 2 1 ⇒I= dt = 1 −  t1000t 2 1 t  Câu 15 I = dx Đặt t =  1 d 1 −  =  t  2002.21001 dx 1+ = x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx  2 x x   x + x 2  −1  t− ⇒I= = − dt = ln = ln     2 1t − t +  2 t + 2  +  t −2 dt 1 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e∫u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫: / / w ww.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w∫ w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i ∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w ∫t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 16 I = − x2 11+ x4 1− x Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − 2 x 1+ x x t +   x + x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u • Ta có: u2 ⇒I= 2 Câu 17 I = u1 1− x Câu 18 I = x4 + • Ta có: x6 + 1 dx dx x6 + x4 + 1 −1 x dx Đặt t = x + ⇒ I = ln • Ta có: I = x +x x 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   du = = ( x − x + 1) + x x6 + = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π ⇒ I = dx + dx = + = 3 (x ) + 4 x +1 Câu 19 3 I= x2 x4 − •I= 3 Câu 20 I = x ( x − 1)( x + 1) xdx x + x +1 1+ • Ta có: 0t dx = x2 + x +1 x − x +1 π 1  +   dx = ln(2 − 3) + 12  x −1 x +1 1 dt 11 = t2 + t + dt  1  3  t +  +   2   dx 1+ = 3  • Đặt t = x ⇒ I = x − x2 + 1 ⇒ I= 2 Câu 21 I = dx x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = du = π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) = π Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ h t t p :∫ / / w w w t a∫ i l∫ i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w ∫w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p∫ : / / ∫w w w tailieupro.co ∫ h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ( ) h t t p ∫: / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w w w t a i l i e u p r o c ) http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei( ul i)peruop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w∫ w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I = dx 3x + x − x dx = x (3x − x − 1)dx = 3x 2dx − x x − 1dx •I= 3x + x − + I1 = 3x dx = x + C1 + I = x x − 1dx = 18 x − d (9 x − 1) = (9 x − 1) + C2 27 2 ⇒I= (9 x − 1) + x + C 27 x2 + x Câu 23 I = • 1+ x x x + x 1+ x x ⇒ x2 dx = x2 + I1 = dx 1+ x x 1+ x x x dx + 1+ x x dx Đặt t= + x x ⇔ t − = x x ⇔ x = (t − 1)2 ⇔ x 2dx = 4 4 (t − 1)dt = t − t + C = 9 x + I2 = 1+ x x Vậy: I = Câu 24 I = Câu 25 I = dx = 1+ x x 2x + 01+ 2x + − + x x + C1 • Đặt t = x + I = dx + + 4x + 1 t2 dt =2 + ln + t 12 • Đặt t = x + I = ln − • Đặt: t = − x ⇒ I = Câu 27 I = +C Câu 26 I = x − x dx 1+ x x d (1 + x x ) = + x x + C2 3 1+ x x dx 2x dx t − t dt = 1+ x 01+ x 15 dx  t +t  11 • Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt I = dt =  t − t + − − ln dt = t +1 1+ t   0 Câu 28 I = x −3 dx x + + x + Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) t(t − 1)dt Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t∫ at ial ∫ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / / w w w ∫ t a i l i ∫e u p ro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫ : / / w w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw(: /w/ ) w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải • Đặt t = x + ⇒ 2tdu = dx ⇒ I = Câu 29 I = 2t − 8t 1t + 3t + 2 dt = (2t − 6)dt + dt = −3 + ln t +1 x.3 x + 1dx −1 1  t7 t4  • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = 3(t − 1)dt =  −  = − 28  0 3 Câu 30 I = x2 + 1 x 3x + dx  t2 −    +1 4  2tdt 2tdt • Đặt t = 3x + ⇒ dx = ⇒ I=   3 t −1 t 4 21  t −1 100 =  t − t  + ln = + ln 93 t + 27 2 Câu 31 I = 2x2 + x − x +1 = 24 dt (t − 1)dt + 2 92 t −1 dx x + = t ⇔ x = t − ⇒ dx = 2tdt • Đặt 2(t − 1)2 + (t − 1) − ⇒I= 2tdt t Câu 32 I = 2  4t  54 = (2t − 3t )dt =  − 2t  =  1 x 2dx ( x + 1) x +1 • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx ⇒I = (t − 1)2 t3 Câu 33 I = 2tdt =2 x +1 + + 2x 2 2  t3  1 1 16 − 11 t − dt =  − 2t −  =   t 1  t 3 dx t − 2t • Đặt t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt x = + 2x dx Ta có: I = (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 4 2 dt = dt =  t − + − dt 22 22 2 t t2  t2 t2 = Câu 34 I =  t2 2  − 3t + ln t +  = ln −  t  x −1 x +1 dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u( rp)or( oc) oc m o thttpt :p/:/∫ /w/ w ww ww t.at ia( l ii le)i u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a ∫i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w w w∫ t a i l∫ i e u∫ p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u pro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p (: / ) / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ t ph :t /t /pw w w t a i : / / w w lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / ∫/ w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com  x    − dx =  x + − ln x + x +  •I=     x2 +   x +1 = + ln + − ln 8+3 Câu 35 I = ( x − 1)3 x − x dx • I = ( x − 1) 2 x − x dx = ( x − x + 1) x − x ( x − 1)dx Đặt t = x − x ⇒ I = − 0 Câu 36 I = 2 x3 − 3x + x x2 − x + •I= 15 dx ( x − x )(2 x − 1) dx Đặt t = x − x + ⇒ I = (t − 1)dt = x2 − x + 1 Câu 37 I = x 3dx + x2 • Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ xdx = 3t 2dt ⇒ I =  38 (t − 4t )dt = −  +  23 25  Câu 38 I = dx x + + x2 −1 + 1 + x − + x2 11  + x2 • Ta có: I = dx = dx = dx  + 1 dx − 2 2x −1  x  2x −1 (1 + x ) − (1 + x ) −1 −1 + I1 = + I2 = 1 + x − + x2 11  1  + 1 dx =  ln x + x  |−1 = −1  x  −1 + x2 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = xdx ⇒ I2= 2x Vậy: €I = t 2dt 2 2(t − 1) =0 Cách 2: Đặt t = x + x + Câu 39 I = x x4 Câu 40 I = 1 3 −x dx − x2 dx x − x2 ⇒I=  3 1 • Ta có: I =  − 1 dx Đặt t = − ⇒ I = x  x 1 x • Ta có: I = t(−tdt ) − t2 x xdx Đặt t = t2 − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx  t−2  = dt = (1 + )dt =  t + ln  2 t+2  − − t t  3  2−   = −  + ln   + 3   Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a ∫ i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln   2  5π 2t  − dt =  − + ln  − 1 − t +   12  t + t2 + 1  1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + 1 x2 + x )2 (2 + + x )2 (1 + 3t dt dx • Đặt t = x + x + x + ⇒ I = 3 Câu 44 I = dx • Đặt t = x ⇒ I = • Đặt t = x + ⇒ I = dx = ln 3+ 3 dx 42  36  • Đặt + + x = t ⇒ I =  2t − 16 + −  dt = −12 + 42 ln t t  3 Câu 45 I = x2 2( x + 1) + x + + x x + • Đặt t = x + ⇒ I = 2t (t − 1)2 dt t(t + 1)2 Câu 46 I = 2 x − x + 2011x x4 • Ta có: I = 2 M= 2 2 2011 x3 ⇒ I= x x3 N= 1 x2 x3 dx + 2 dx = 2 = (t − 1)2 dt = (t − 1)3 = 3 2011 x3 −1 2 dx −1 dx Đặt t = dx x2 dx = M + N −1 ⇒ M = − − t 3dt = − 2  2011  2011x dx =  −   x2  −3 = 213 128 14077 16 14077 21 − 16 128 Câu 47 I = dx (1 + x ) + x 3 3 • Đặt t = + x ⇒ I = t2 t (t − 1) 3 dt = dt t (t − 1) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p∫: / / w w w ∫t a i l i e u p r o c o ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p ∫: / / w∫ w w∫ t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w( w) w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw www tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫: / / h t t p∫ : / / w w w t∫ a i l i e u p r o c ∫ h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải = dt =     t t  −     t  Đặt u = − Câu 48 I = 2 t3 ⇒ du = 3dt t4  1 1 −  =  t  t4 dt 3  t 1 −   t  ⇒I= 2 − u www.mathvn.com du = − dt −2 u du 30  1  u3 2  =   3     0 1 = u3 = x4 dx  1  x − x  x +1   • Đặt t = x + ⇒I= (t − 1)2 t2 − t − 2t + dt = t2 − 2 3 2t dt = t dt + −2 dt = 19 4+  + ln    −  Dạng 2: Đổi biến số dạng 1  1− x Câu 49 I =  − x ln + x  dx  1+ x   0 • Tính H = 1− x 1+ x dx Đặt  π π x = cos t; t ∈  0;  ⇒ H = −  2 u = ln(1 + x ) • Tính K = x ln(1 + x )dx Đặt   dv = xdx Câu 50 I = ⇒ K= ( x + x ) − x dx −2 •I= 2 ( x + x ) − x dx = −2 x −2 + Tính A = −2 + Tính B = − x dx + x − x dx = A + B −2 x − x dx Đặt t = − x Tính được: A = x − x dx Đặt x = 2sin t Tính được: B = 2π −2 Vậy: I = 2π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w w)w ww t.at ial ii lei u (/ w http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w∫ w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w ∫w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w∫ w w t ∫a i l i e u p r o c o h t t p : /( / w) w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www tailieupro.c http://www.ta ilieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ) ∫ ∫( http://www.tailieupro.c h t t ∫p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 51 I = Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải − − x dx 2x4 • Ta có: I = 2x + Tính I1 = 3 2x + Tính I = π dx − 2x4 − x2 2x4 dx −4 x dx = 21 16 dx = dx Đặt x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt 2 − x2 π π 6   cos tdt 12 = cot t  dt = − cot t.d (cot t ) =  π sin t 8π 8π  sin t  ⇒ I2 = Vậy: I = Câu 52 I = 7−2 16 x 2dx − x6 • Đặt t = x ⇒ dt = x dx ⇒ I = 1 dt − t2 π  π π 16 Đặt t = 2sin u, u ∈  0;  ⇒ dt = cos udu ⇒ I = dt =  2 30 18 Câu 53 I = Câu 54 I = π ⇒ I =− 2π Câu 55 0 + 2x − x2 t • Đặt x = cos t ⇒ dx = −2sin tdt ⇒ I = sin2 dt = π − x 2dx • Ta có: I = π 2− x dx x+2 x 2dx 22 − ( x − 1)2 Đặt x − = cos t 2π (1 + cos t ) 2sin t − (2 cos t )2 dt = + cos t + cos2t dt = π π + 3 −4 2 π − x − x dx • Đặt x = sin t ⇒ I = (cos t − sin t )cos tdt = Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π 12 + − 8 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w∫ w w t∫ a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p : / /( w) w w t a i l i e u p r o c o ] h t t p : / / w w w t a i l[i e upro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ) u p r o c ∫ ( t a i l i e h t t p∫ : / / w w w h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I = x − 1dx  x u = x − du = dx ⇒ • Đặt  x − dv = dx v = x  ⇒ I = x x2 − =5 2− ⇒ I= − ln − x x − 1dx − x x2 − dx = − dx x2 −   x −1 +  2   dx x −  = − I − ln x + x − 1 + + ln Chú ý: Không dùng phép đổi biến x =  2;3 ∉ −1;1 cos t TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I = 8cos2 x − sin x − dx sin x − cos x (sin x − cos x )2 + cos x •I= dx =  sin x − cos x − 4(sin x + cos x dx sin x − cos x = 3cos x − 5sin x + C cot x − tan x − tan x Câu 58 I = dx sin x cot x − tan x cot x cos x • Ta có: I = dx = dx = dx = − +C sin x sin x 2sin x sin x  π cos2  x +  8  Câu 59 I = dx sin x + cos x +  π + cos  x +    dx • Ta có: I = 2 + sin  x + π     4    cos  x + π      dx    = dx +  2 2  + sin  x + π        π π    sin  x +  + cos  x +     4  8       Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w at ial ii lei u ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww w t ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ ∫ http://www t a∫ i l i e u∫ p r o c o h t t p : /∫ / ∫w w w∫ ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o ( ) h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i ∫ l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ : /w / ww http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải e3 e dx − ln xdx = −3ln − 4e3 + 2e2 • I =3 x (1 − ln x ) e2 e2 Câu 145 I = e2 ln x − ln x + x2 dx dx • Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒I= x t − 2t + t e dt dt = t −1 t e dt = − t −1 t −1 e t dt + et dt = I1 + I  dt  = −  −te−t + − =  t t t 0 e e  e et  e  2 tdt dt dt dt + I2 = − = −te−t + − = −te−t = − t t t t 1 e e2 e e e e 2(e − 1) Vậy : I = e2 ln( x − + 1) Câu 146 I = dx x −1 x −1+  + I1 = −   tdt dt  x − + ⇒ 2dt = • Đặt t = ln e3 − dx x −1+ x −1 ln dt = ln2 − ln2 ln ln x dx x + ln x Câu 147 I = • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = ⇒I= t e Câu 148 I = ⇒ I =2 − ln x x + ln x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 dx e Câu 150 I = e • Đặt t = + ln x ⇒ I = (2 − t )dt = ln x + ln2 x Câu 149 I = dx x e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x xe x + dx x(e x + ln x) −5 3 • Đặt t = + ln2 x ⇒ I =  34 − 24  • Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln ee + e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 29 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w∫ w tw a i∫ lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w( t a) i∫ l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w∫ t a ∫i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Dạng 2: Tích phân phần π Câu 151 I = es inx sin xdx π u = sin x du = cos xdx ⇒ sin x cos xdx v = esin x dv = e • I = es inx sin x cos xdx Đặt  π π ⇒I = 2sin xesin x 02 − e sin x π cos xdx = 2e − 2esin x 02 =2 Câu 152 I = x ln( x + x + 1)dx  2x + du = dx u = ln( x + x + 1)  x + x +1 ⇒ • Đặt  dv = xdx v = x  x2 1 2x3 + x2 I= ln( x + x + 1) − dx 2 x + x +1 3π 11 1 2x + 31 dx = ln − (2 x − 1)dx + dx − = ln − 2 20 x + x +1 x + x +1 12 Câu 153 I = ln x x +1 dx u = ln x  dx  du = dx ⇒  ⇒ I = x + 1.ln x x  x + v = x + • Đặt  dv = + Tính J = 8 −2 x +1 dx = ln − ln − J x 3  x +1 t t2 1  dx Đặt t = x + ⇒ J = dt =  + − 2tdt =  dt 2 x t − t + 1 t − t − 1   2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 30 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w t a∫ i l i e∫ u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t ∫a i l i e u p r o c o ∫ h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c h t t p : /∫ / w w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải  t −1  =  2t + ln  t +1   = + ln − ln Từ I = 20 ln − ln − Câu 154 I = x + x ln x + x e dx x e e e • I = xe x dx + ln xe x dx + 1 e e x e dx x e +Tính I = e x ln xdx = e x ln x − 1 Vậy: I = I1 + I + e e x e e e + Tính I1 = xe x dx = xe x − e x dx = ee (e − 1) 1 e x e e dx = ee − dx x x 1 e x e dx = ee +1 x ln x   + ln2 x  dx   x + ln x Câu 155 I =  • Tính I1 = e ln x 1x e + ln x dx Đặt t = + ln x ⇒ I1 = 2 − 3 + Tính I = ln2 xdx Lấy tích phân phần lần I = e − 2 − 3 ln( x + 1) Câu 156 I = dx x Vậy I = e −  2x u = ln( x + 1) du = ln( x + 1) 2 dx   x + • Đặt  ⇒ Do đ ó I = − + dx  2 dv = x  v = − x ( x + 1) x  2x2  = ln ln  x  ln ln dx d ( x + 1) − +  − dx = − + −   x x2 +  x x2 + = 2 ln ln  − +  ln | x | − ln | x + 1|  = ln − ln  1 Câu 157 I = ln( x + 1) x2 dx  dx u = ln( x + 1) du = x + 1 dx  dx ⇔ ⇒ I = − ln( x + 1) + = 3ln − ln • Đặt  dv = 1 ( x + 1) x x  v = − x2 x  1+ x   dx  1− x  Câu 158 I = x ln  Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 31 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ ∫w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com    du = dx  1+ x     1+ x    2  (1 − x )2  − x dx • Đặt u = ln − x ⇒  ⇒ I =  x ln  2  2 2 − x   − x x     dv = xdx v = 0     = 2  ln x ln ln 1 + dx = + 1 + dx = + + ln  x −1  ( x − 1)( x + 1)  2   1 10 u = ln  x +  • Đặt  x  ⇒ I = ln − ln +  dv = x 2dx   1 Câu 159 I = x ln  x +  dx x  2  π • Đặt u = ln(12 + x ) ⇒ I = ln + + Câu 160 I = ∫ x ln(1 + x )dx Câu 161 I = ln x ( x + 1)  dv = x dx u = ln x  dx • Đặt  ⇒ dv =  ( x + 1)  dx I = − ln + ln ln x + e x (e x + ln x) dx + ex e Câu 162 I = e • Ta có: I = ln x.dx + e e2 x 1e x +1 dx = H + K e e  + H = ln2 x.dx Đặt: u = ln x ⇒ H = e − ln x.dx = e − dv = dx 1 + K= e2 x e 1e x dx Đặt t = e + ⇒ ⇒ I = x +1 Vậy: I = ee – + ln x e +1 • Ta có: I = e x+ x t −1 e +1 dt = ee − e + ln t ee + e +1 ee + Câu 163 I = ( x + − )e ee +1 x+ x dx 1  x+  dx +  x −  e x dx = H + K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H = xe x+ x ⇒I= 1  x+ x 52  −  x −  e dx = e − K x 1 e Câu 164 I = ln( x + − x)dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 32 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w.tailieupro.co thttpt :p/://w/( w ww w ) t( a i l) i∫ e u p r o c o m http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / (/ w w) w t a i l i e u p r o c ∫ t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc : /w/ w w h t t p∫ : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải  • Đặt u = ln x + − x ⇒ I = x ln dv = dx x +9 −x + x x2 + dx = TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I =  x 2e x + 0 x   dx 1+ x  • I = x 2e x dx + x 1+ x dx 11 t 1 1 + Tính I1 = x e dx Đặt t = x ⇒ I1 = e dt = et = e − 30 3 + Tính I = x3 x 1+ dx Đặt t = x ⇒ I = x Vậy: I = e + π − 3  − x2 Câu 166 I = x  e x −  x3  2 x • I = xe dx + x2 + Tính I = ⇒ I2 = π cos2 t sin t π dt = (− cot t − t ) π2 = Câu 167 I = x • I = x e2 x dx − + Tính I = 1 − x2 x2  π dx Đặt x = 2sin t , t ∈  0;   2 π x3 4−x + Tính I1 = x e ⇒ I= π e2 x − x − x dx − x2 3− Vậy: I = e2 + −  π dt =  − +   4 1+ t dx + Tính I1 = xe x dx = e2 π t4   dx   − x2 1 2x dx = I1 + I e2 + dx = x3 − x2 dx Đặt t = − x ⇒ I = −3 + 16 e2 61 +3 3− 12 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 33 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w∫ t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ∫ w w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c h t t p : (/ / w) w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫:( / / w w w t a i l i e u p r o c ) ( ) ∫ ∫ h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p :∫ /( / w )w w( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w ) w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải Câu 168 I = x2 + ( x + 1) e x dx 2 t − 2t + • Đặt t = x + ⇒ dx = dt I = t2 Câu 169 I = x +1 x e www.mathvn.com    e2 2 et −1dt =  + −  et −1dt = e − +  − + e  =  e  t2 t  1  dx + x2 2 • Đặt t = + x ⇒ dx = tdt ⇒ I = (t − 1)e dt = t 2et dt − et t 1 = J − ( e − e)  2  + J = t e dt = t e − 2te dt = 4e − e −  tet − et dt  = 4e2 − e − 2(tet − et )  1  1 1   2 t t 2 t Vậy: I = e2 x ln( x + 1) + x Câu 170 I = x2 + • Ta có: f ( x ) = dx x ln( x + 1) + x ( x + 1) − x = x ln( x + 1) +x− x x +1 x +1 x +1 x +1 1 ⇒ F ( x ) = f ( x )dx = ln( x + 1)d ( x + 1) + xdx − d ln( x + 1) 2 2 = ln ( x + 1) + x − ln( x + 1) + C 2 Câu 171 I = ln x + x + − x x2 + •I= ln x + x + − x x +9 + Tính I1 = ⇒ I1 = ln x +9 udu = ln + Tính I = Vậy I = Câu 172 I = ln x + x + x +9 dx − x3 x +9 dx Đặt ln x + x + = u ⇒ du = dx = I1 − 3I 2 x +9 dx u2 ln ln2 − ln2 = ln x3 x +9 x + = v ⇒ dv = dx Đặt ⇒ I = (u2 − 9)du = ( dx = ln x + x + dx x x +9 dx , x = v −9 u 44 − 9u) = 3 ln x + x + − x x2 + ln − ln dx = I1 − 3I = − 44 ( x + 1) ln x + x + dx + x ln x e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 34 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫ /w/∫ w ww ww ∫t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co ∫ h t t p∫ : / / w ww.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w∫ w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / /∫ w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com e Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải e x3 e3 − + x dx = = 3 e e + ln x dx • I = x 2dx + + x ln x 1 e + e + ln x d (2 + x ln x ) dx = = ln + x ln x + x ln x + x ln x 1 Câu 173 I = e3 ln3 x x + ln x = ln e+2 Vậy: I = e3 − e+2 + ln dx • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = t ⇒I= e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 π Câu 174 I = x sin x dx cos x u= x  ⇒ • Đặt  sin x dv = dx  cos2 x  π + I1 =  du = dx x   ⇒ I= cos x v = cos x  − π π π dx cos xdx = Đặt t = sin x ⇒ I1 = cos x − sin x 2 π π dx dx = − cos x cos x dt 1− t = 2+ ln 2− π 2+ − ln 2− Vậy: = ln(5 − x) + x3 − x Câu 175 I = dx x2 ln(5 − x) • Ta có: I = dx + x − x dx = K + H x2 1 + K= u = ln(5 − x ) ln(5 − x )  dx ⇒ K = ln dx Đặt  dv = x  x2 4 + H= x − x dx Đặt t = − x ⇒ H = 164 15 164 Vậy: I = ln + 15 Câu 176 I =  x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx • Ta có: I = + I1 = 2 x (2 − x )dx + ln(4 + x )dx = I1 + I x (2 − x )dx = − ( x − 1)2 dx = π (sử dụng đổi biến: x = + sin t ) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 35 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww ww t.∫at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l∫ i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải 2 2 + I = ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − x2 dx (sử dụng tích phân phần) + x2 = ln + π − (đổi biến x = tan t ) Vậy: I = I1 + I = www.mathvn.com 3π − + ln 2 ln x dx x +1 Câu 177 I = ∫ u = ln x  dx 8 x +1  du = dx ⇒  • Đặt  ⇒ I = x + ln x − dx x dv = x   x + v = x + 3  x +1 2t dt  + Tính J = dx Đặt t = x + ⇒ J = = 1 + dt = + ln − ln 2 x t −1 t −1 2 ⇒ I = ln − ln − 2(2 + ln − ln 2) = 20 ln − ln − + x2 ln xdx x Câu 178 I = u = ln x  1  1 • Ta có: I =  +  ln xdx Đặt  dv = ( + )dx x x    x3 x 2  −1   −1  63 ⇒ I =  + ln x  ln x −  + ln x  dx = − ln + + ln2 x 64  4x    4x Câu 179 I = x + x ln x + x e dx x e e e 1 • Ta có: I = xe x dx + e x ln xdx + e e e e x e dx = H + K + J x + H = xe x dx = xe x 1e − e x dx = ee (e − 1) e x e e e + K = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx = ee − J x x 1 x x e e x Vậy: I = H + K + J = ee +1 − ee + ee − J + J = ee +1 π Câu 180 I = π x cos x sin3 x dx  ′ cos x • Ta có   = − Đặt sin x  sin x  1 ⇒ I = − x 2 sin x π π π u = x du = dx   dv = cos x dx ⇒ v = −   sin3 x 2sin x π 2 dx π π 1 + = − ( − ) − cot x π = 2 π sin x 2 2 4 Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 36 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w∫ w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫ / / w w w ∫ t a i∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w ∫w w ∫ t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w w w t ∫a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải π Câu 181 I = x sin x cos3 x dx u = x du = dx x   sin x • Đặt:  ⇒ ⇒I = dv = dx v= cos2 x   cos3 x 2.cos2 x π π − dx cos2 x = π π 1 − tan x = − 4 π π ( x + sin x) dx + sin x Câu 182 I = π π x sin2 x dx + dx = H + K + sin x + sin x 0 • Ta có: I = u = x du = dx  dx x x  dv =  π + H= dx = dx Đặt:  ⇒ π  v = tan  x −  + sin x   2  0 cos2 x − π cos  x −  4    4     π π 2 π π   π  1 π2 π x tan  x −  +  ln cos  x −   =       ⇒H= π π 2 sin x cos2 x π dx Đặt t = − x ⇒ K = dx + sin x + sin x 0 + K= π π  π2 dx 1 = tan  x −  = ⇒ K =   0  cos2 x − π    4 π Vậy, I = H + K = + ⇒ 2K = π Câu 183 I = x (cos3 x + cos x + sin x ) + cos2 x dx π π π  cos x (1 + cos2 x ) + sin x  x.sin x dx = J + K • Ta có: I = x   dx = x.cos x.dx + 2   + cos x  0 + cos x  π π π π u = x + Tính J = x.cos x.dx Đặt  ⇒ J = ( x.sin x ) − sin x.dx = + cos x = −2 0 dv = cos xdx 0 + Tính K = ⇒K= π x.sin x + cos x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt (π − t ).sin(π − t ) ⇒ 2K = π π + cos (π − t ) ( x + π − x ).sin x + cos2 x dt = π (π − t ).sin t dx = π + cos t π sin x.dx + cos dt = π x (π − x ).sin x + cos2 x ⇒K= dx π π sin x.dx + cos2 x Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 37 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.a∫ t ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w ∫w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /p∫w: /w/ w∫ w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w ( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = π ⇒K= π Vậy I = − + tan u 2π Câu 184 I = π • Ta có: I = x + ( x + sin x )sin x (1 + sin x )sin x 2π π + K= 2π π Vậy I = − du = π −1 + t π 2 π u − π = , đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan2 u)du π2 4 π x sin x (1 + sin x )sin x 2π π dx = 2π x π sin x dx + 2π π dx =H+K + sin x u = x π  du = dx ⇒H= dv = dx ⇒  v = − cot x  sin x dx Đặt dx = + sin x π dx x (1 + sin x ) + sin x + H= dt −2 2π = π π (1 + tan u)du π π π www.mathvn.com dx = π  + cos  − x  2  2π π dx = −2 x 2π cos  −   2 + 3−2 π x + sin2 x Câu 185 I = dx + cos2 x π x + sin x dx = • Ta có: I = 03 + cos2 x π x π sin x dx = H + K cos2 x π π u = x x x  du = dx dx ⇒  + H= dx = dx Đặt  2 dv = cos x v = tan x cos x  cos2 x π π   π π π 1 1 ⇒ H = x tan x − tan xdx  = + ln cos x = − ln 0  2 π sin x + K= dx = 2 cos x Vậy: I = H + K = Câu 186 I = π cos2 x dx + π π 1 tan2 xdx = [ tan x − x ] =  −  2 3 1 π π − ln +  −  = 2 3 π −1 + ( − ln 2) x + 1sin x + 1.dx 2 1 • Đặt t = x + ⇒ I = t.sin t.2tdt = 2t sin tdt = x sin xdx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 38 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii∫lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ww.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w w w t a i l i e ∫u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://ww w∫ t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iae i ul ipe∫ruop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://w ww.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải 2 u = x du = xdx ⇒ I = −2 x cos x + x cos xdx Đặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x u = x du = 4dx Đặt  Từ suy kết ⇒ dv = cos xdx v = sin x π + sin x x e dx + cos x Câu 187 I = π •I= π 2 e dx sin x x + e dx + cos x x cos x π π π x x 2sin cos sin x x 2 e x dx = tan x e x dx + Tính I1 = e dx = x + cos x 0 cos2  u = ex π π du = e x dx π  x 2 e dx   − tan x e x dx + Tính I = Đặt dv = dx ⇒  I = e ⇒ x x 20   v = tan x cos2 cos   2 2 π Do đó: I = I1 + I = e π Câu 188 I = π •I= ⇒I = cos x e x (1 + sin x ) dx  cos x  −(sin x + cos x )dx u= du =   x cos x   e ex dx Đặt  ⇒ x dx sin x e (sin x + cos x ) dv = v =  (sin x + cos x ) sin x + cos x  cos x e x sin x sin x + cos x π π + π sin xdx e x = sin xdx ex π u1 = sin x du1 = cos xdx −1   ⇒ I = sin x x + Đặt  dx ⇒  −1 e  dv1 = x v1 = x e e   u2 = cos x du2 = − sin xdx   Đặt  dx ⇒  −1  dv1 = x v1 = x e e   ⇒I = −1 π e2 π π + cos x −1 ex − sin xdx ex = −1 π + − I ⇒ 2I = π π cos xdx −π −e e x = −1 π e2 +1 ⇒ I = e2 + cos xdx ex −π −e 2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 39 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) + Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i∫ e u∫ p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải π Câu 189 I = sin x + cos6 x π 6x + − dx π • Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ I = − π ⇒ 2I = − ⇒I = (6 x + 1) 6 6x + 6t 6 sin t + cos t 6t + π π dt = − 6x dx = − sin x + cos6 x 6x + π dx π sin x + cos x π π (sin x + cos6 x )dx = π − 5  5π  + cos x dx = 16  π 8 5π 32 π Câu 190 I = sin xdx π 2− x + − π • Ta có: I = + Tính I1 = sin xdx π 2x + x x sin xdx π 2x + = − − π − ⇒I = www.mathvn.com x sin xdx 2x + π π + x sin xdx 2x + Đặt x = −t ⇒ I1 = − sin xdx 2x + 2−t sin (−t ) π 2− t + dt = π = I1 + I + sin xdx 2x + x π = sin xdx = 0 π sin t π 16 (1 − cos2 x )2 dx 40 4π − 16 (3 − cos x + cos x )dx = 80 64 eπ Câu 191 I = cos(ln x )dx • Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt π ⇒ I = et cos tdt = − (eπ + 1) (dùng pp tích phân phần) π 2 Câu 192 I = esin x sin x.cos3 xdx • Đặt t = sin x ⇒ I = sin x dt = dx x 2t + π +1 π = 11 t e (1 − t )dt = e (dùng tích phân phần) 20 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 40 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a∫ i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải π Câu 193 I = ln(1 + tan x )dx π • Đặt t =  π  − x ⇒ I = ln  + tan  − t  dt =    π π = π π π  − tan t  ln  + dt = + tan t   ln dt + tan t π ln 2dt − ln(1 + tan t )dt = t.ln 04 − I ⇒ 2I = π ln ⇒ I = π ln π Câu 194 I = sin x ln(1 + sin x )dx u = ln(1 + sin x ) • Đặt  dv = sin xdx  + cos x  ⇒ du = + sin x dx v = − cos x π π π ⇒ I = − cos x.ln(1 + sin x ) + cos x 0 2 π cos x − sin x π dx = + dx = (1 − sin x )dx = − 1 + sin x + sin x 0 π Câu 195 I = tan x.ln(cos x ) dx cos x • Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − ln t t dt = 1 ln t t2 dt  u = ln t du = t dt  Đặt  ln ⇒ ⇒ I = −1− dv = dt 2   v=− t t  TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với x∈ R π Tính: I= f ( x )dx −π π • Đặt x = –t ⇒ −π − f ( x )dx = π π π f (−t )(− dt ) = − π π f (−t )dt = − f (− x )dx π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 41 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ h t t p :∫ / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / ∫/ w w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w w t a i ∫l i e ∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w ∫w w t ∫a( i l i) e∫ u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải π π ⇒2 www.mathvn.com π f ( x )dx = −π − π  f ( x ) + f (− x ) dx = 2 cos4 xdx ⇒ I = −π 3π 16 1 + cos2 x + cos x 8 Chú ý: cos4 x = Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = + cos2 x , với x∈ R 3π I= Tính: f ( x )dx −3π • Ta có : I = π −3 f ( x )dx = π −3 −3 π f ( x )dx (1) π π f (−t )dt = f (− x )dx Thay vào (1) ta được: I = π 2 =  cos xdx − 0  π f ( x )dx Đặt x = −t ⇒ dx = − dt ⇒ I1 = π f ( x )dx + π + Tính : I1 = 3 π π  f (− x ) + f ( x ) dx =   π   cos xdx  = sin x 02 − sin x     π + cos x = π cos x dx 3π   =6 π   π Câu 198 I = − π sin x + x2 + x dx π •I= − π + x sin xdx − π − π x sin xdx = I1 − I π + Tính I1 = − + x sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I1 = π π + Tính I = − π x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I = − Suy ra: I = π − Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 42 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π+ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/( w w) w ww t.at ial ii lei u ) h t t p : /( /( w w w( ) t a i( l i) e u p( r )o c o ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) h t t p : / / (w ) w w t( a) i l i e u p r o c o ∫ ∫ h t t p : / / w w( w) t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w∫w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 199 I = • I= e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 ex 2x −1  cos x + x sin x dx du = cos x  −1 v = x sin x + cos x  x − 1(e ⇒ I = 3+ π dx = + e5 +1 x dx 2e + 2e + dt ⇒ I = + ln t = + ln t e +1 e +1 x2 ( x sin x + cos x ) dx π ⇒ I =− e 2x − x x − + 1) x − 1(e x x − + 1) ex 2x −1 x − + ⇒ dt = dx x −1 e2 +1 Câu 200 I = ex x −1 + x −1 dx = dx +  x u=  x x cos x  cos x dx Đặt  ⇒ x cos x cos x ( x sin x + cos x ) dx dv = ( x sin x + cos x )2  e 2x −1 Đặt t = e x ex x −1 + x − + ex 2x −1 x =x + 2 •I= dx = dx x x −1 + x −1 e π Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải x + cos x ( x sin x + cos x ) π dx cos2 x dx = −π 4+π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 43 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) dx ... http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Dạng 4: Tích phân phần π Câu 118 I = −π x sin x cos2 x dx • Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có: π I= − π   x xd  = ... hàm - Tích phân có lời giải π Câu 106 I = sin x dx cos x tan x + π • Ta có: I = sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 dt = − π Câu 107 I = sin x + cos x dx π • Ta có: I... http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln  