1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

200 câu TÍCH PHÂN có lời GIẢI CHI TIẾT

43 81 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 43
Dung lượng 474,46 KB

Nội dung

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w( w t a i )l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i ∫ e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I= x2 x − x + 12   • I = 1 + Câu I= 16  − dx = x + 16 ln x − − ln x − x −4 x −3 • Ta có: x + x3  Câu I= =− x ( x + 1) = + 25ln − 16 ln 1 x + + x x3 x2 + 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x 1 3x + x − x − 5x + dx  I= ⇒ I =  − ln x − Câu dx dx 13 14 • I = − ln + ln + ln 3 15 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 • Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = 3 ( x + 1) ( x + 1) 1 0 ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = Dạng 2: Đổi biến số Câu Câu ( x − 1)2 I= I= (2 x + 1)4 dx ( x − 1)99 101 ( x + 1)  7x −  • I=    2x +  99  x −1  • Ta có: f ( x ) =    2x +  I= Câu I= (x 5x 2 + 4) x7 (1 + x )5 99  7x −  1  7x −  = d    ( x + 1)2  x +   x +  dx 100 Câu  x − ′  x −1    ⇒I =   +C  2x +   2x +  dx 1  7x −  = ⋅   100  x +   100  = 2 − 1 900 dx • Đặt t = x + ⇒ I = dx • Đặt t = + x ⇒ dt = xdx ⇒ I = (t − 1)3 1 dt = t5 25 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com Câu I = x (1 − x )6 dx • Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = Câu 10 I = Câu 12 I = − x7 x (1 + x ) 11  t t8  t (1 − t )dt =  −  = 30   168 1 t   − dt = ln  t t +1 32 dt • I = 10 Đặt t = x ⇒ I = 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) x.( x10 + 1)2 Câu 13 I = dx 3x ⇒I = • Đặt t = x ⇒ I = dx x ( x + 1) Câu 11 I = −dt •I= dx x dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) (1 − x ).x dx x (1 + x ) • Đặt : x = ⇒ I =− t 3 t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   3 Câu 14 I = •I= x 2001 (1 + x )1002 x 2004 1002 x (1 + x ) Cách 2: Ta có: I = dx dx = 1 1002   x  + 1 x  1000 • Ta có: 2 + x2 11+ x 1+ x 1+ x4 x2 + ⇒ dt = − x3 dx 11 x 2000 xdx Đặt t = + x ⇒ dt = xdx 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) (t − 1)1000 2 1 ⇒I= dt = 1 −  t1000t 2 1 t  Câu 15 I = dx Đặt t =  1 d 1 −  =  t  2002.21001 dx 1+ = x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx  2 x x   x + x 2  −1  t− ⇒I= = − dt = ln = ln     2 1t − t +  2 t + 2  +  t −2 dt 1 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e∫u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫: / / w ww.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w∫ w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i ∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w ∫t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 16 I = − x2 11+ x4 1− x Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − 2 x 1+ x x t +   x + x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u • Ta có: u2 ⇒I= 2 Câu 17 I = u1 1− x Câu 18 I = x4 + • Ta có: x6 + 1 dx dx x6 + x4 + 1 −1 x dx Đặt t = x + ⇒ I = ln • Ta có: I = x +x x 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   du = = ( x − x + 1) + x x6 + = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π ⇒ I = dx + dx = + = 3 (x ) + 4 x +1 Câu 19 3 I= x2 x4 − •I= 3 Câu 20 I = x ( x − 1)( x + 1) xdx x + x +1 1+ • Ta có: 0t dx = x2 + x +1 x − x +1 π 1  +   dx = ln(2 − 3) + 12  x −1 x +1 1 dt 11 = t2 + t + dt  1  3  t +  +   2   dx 1+ = 3  • Đặt t = x ⇒ I = x − x2 + 1 ⇒ I= 2 Câu 21 I = dx x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = du = π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) = π Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ h t t p :∫ / / w w w t a∫ i l∫ i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w ∫w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p∫ : / / ∫w w w tailieupro.co ∫ h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ( ) h t t p ∫: / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w w w t a i l i e u p r o c ) http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei( ul i)peruop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w∫ w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I = dx 3x + x − x dx = x (3x − x − 1)dx = 3x 2dx − x x − 1dx •I= 3x + x − + I1 = 3x dx = x + C1 + I = x x − 1dx = 18 x − d (9 x − 1) = (9 x − 1) + C2 27 2 ⇒I= (9 x − 1) + x + C 27 x2 + x Câu 23 I = • 1+ x x x + x 1+ x x ⇒ x2 dx = x2 + I1 = dx 1+ x x 1+ x x x dx + 1+ x x dx Đặt t= + x x ⇔ t − = x x ⇔ x = (t − 1)2 ⇔ x 2dx = 4 4 (t − 1)dt = t − t + C = 9 x + I2 = 1+ x x Vậy: I = Câu 24 I = Câu 25 I = dx = 1+ x x 2x + 01+ 2x + − + x x + C1 • Đặt t = x + I = dx + + 4x + 1 t2 dt =2 + ln + t 12 • Đặt t = x + I = ln − • Đặt: t = − x ⇒ I = Câu 27 I = +C Câu 26 I = x − x dx 1+ x x d (1 + x x ) = + x x + C2 3 1+ x x dx 2x dx t − t dt = 1+ x 01+ x 15 dx  t +t  11 • Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt I = dt =  t − t + − − ln dt = t +1 1+ t   0 Câu 28 I = x −3 dx x + + x + Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) t(t − 1)dt Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t∫ at ial ∫ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / / w w w ∫ t a i l i ∫e u p ro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫ : / / w w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw(: /w/ ) w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải • Đặt t = x + ⇒ 2tdu = dx ⇒ I = Câu 29 I = 2t − 8t 1t + 3t + 2 dt = (2t − 6)dt + dt = −3 + ln t +1 x.3 x + 1dx −1 1  t7 t4  • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = 3(t − 1)dt =  −  = − 28  0 3 Câu 30 I = x2 + 1 x 3x + dx  t2 −    +1 4  2tdt 2tdt • Đặt t = 3x + ⇒ dx = ⇒ I=   3 t −1 t 4 21  t −1 100 =  t − t  + ln = + ln 93 t + 27 2 Câu 31 I = 2x2 + x − x +1 = 24 dt (t − 1)dt + 2 92 t −1 dx x + = t ⇔ x = t − ⇒ dx = 2tdt • Đặt 2(t − 1)2 + (t − 1) − ⇒I= 2tdt t Câu 32 I = 2  4t  54 = (2t − 3t )dt =  − 2t  =  1 x 2dx ( x + 1) x +1 • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx ⇒I = (t − 1)2 t3 Câu 33 I = 2tdt =2 x +1 + + 2x 2 2  t3  1 1 16 − 11 t − dt =  − 2t −  =   t 1  t 3 dx t − 2t • Đặt t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt x = + 2x dx Ta có: I = (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 4 2 dt = dt =  t − + − dt 22 22 2 t t2  t2 t2 = Câu 34 I =  t2 2  − 3t + ln t +  = ln −  t  x −1 x +1 dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u( rp)or( oc) oc m o thttpt :p/:/∫ /w/ w ww ww t.at ia( l ii le)i u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a ∫i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w w w∫ t a i l∫ i e u∫ p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u pro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p (: / ) / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ t ph :t /t /pw w w t a i : / / w w lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / ∫/ w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com  x    − dx =  x + − ln x + x +  •I=     x2 +   x +1 = + ln + − ln 8+3 Câu 35 I = ( x − 1)3 x − x dx • I = ( x − 1) 2 x − x dx = ( x − x + 1) x − x ( x − 1)dx Đặt t = x − x ⇒ I = − 0 Câu 36 I = 2 x3 − 3x + x x2 − x + •I= 15 dx ( x − x )(2 x − 1) dx Đặt t = x − x + ⇒ I = (t − 1)dt = x2 − x + 1 Câu 37 I = x 3dx + x2 • Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ xdx = 3t 2dt ⇒ I =  38 (t − 4t )dt = −  +  23 25  Câu 38 I = dx x + + x2 −1 + 1 + x − + x2 11  + x2 • Ta có: I = dx = dx = dx  + 1 dx − 2 2x −1  x  2x −1 (1 + x ) − (1 + x ) −1 −1 + I1 = + I2 = 1 + x − + x2 11  1  + 1 dx =  ln x + x  |−1 = −1  x  −1 + x2 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = xdx ⇒ I2= 2x Vậy: €I = t 2dt 2 2(t − 1) =0 Cách 2: Đặt t = x + x + Câu 39 I = x x4 Câu 40 I = 1 3 −x dx − x2 dx x − x2 ⇒I=  3 1 • Ta có: I =  − 1 dx Đặt t = − ⇒ I = x  x 1 x • Ta có: I = t(−tdt ) − t2 x xdx Đặt t = t2 − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx  t−2  = dt = (1 + )dt =  t + ln  2 t+2  − − t t  3  2−   = −  + ln   + 3   Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w∫ t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a ∫ i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln   2  5π 2t  − dt =  − + ln  − 1 − t +   12  t + t2 + 1  1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + 1 x2 + x )2 (2 + + x )2 (1 + 3t dt dx • Đặt t = x + x + x + ⇒ I = 3 Câu 44 I = dx • Đặt t = x ⇒ I = • Đặt t = x + ⇒ I = dx = ln 3+ 3 dx 42  36  • Đặt + + x = t ⇒ I =  2t − 16 + −  dt = −12 + 42 ln t t  3 Câu 45 I = x2 2( x + 1) + x + + x x + • Đặt t = x + ⇒ I = 2t (t − 1)2 dt t(t + 1)2 Câu 46 I = 2 x − x + 2011x x4 • Ta có: I = 2 M= 2 2 2011 x3 ⇒ I= x x3 N= 1 x2 x3 dx + 2 dx = 2 = (t − 1)2 dt = (t − 1)3 = 3 2011 x3 −1 2 dx −1 dx Đặt t = dx x2 dx = M + N −1 ⇒ M = − − t 3dt = − 2  2011  2011x dx =  −   x2  −3 = 213 128 14077 16 14077 21 − 16 128 Câu 47 I = dx (1 + x ) + x 3 3 • Đặt t = + x ⇒ I = t2 t (t − 1) 3 dt = dt t (t − 1) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p∫: / / w w w ∫t a i l i e u p r o c o ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p ∫: / / w∫ w w∫ t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w( w) w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw www tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫: / / h t t p∫ : / / w w w t∫ a i l i e u p r o c ∫ h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải = dt =     t t  −     t  Đặt u = − Câu 48 I = 2 t3 ⇒ du = 3dt t4  1 1 −  =  t  t4 dt 3  t 1 −   t  ⇒I= 2 − u www.mathvn.com du = − dt −2 u du 30  1  u3 2  =   3     0 1 = u3 = x4 dx  1  x − x  x +1   • Đặt t = x + ⇒I= (t − 1)2 t2 − t − 2t + dt = t2 − 2 3 2t dt = t dt + −2 dt = 19 4+  + ln    −  Dạng 2: Đổi biến số dạng 1  1− x Câu 49 I =  − x ln + x  dx  1+ x   0 • Tính H = 1− x 1+ x dx Đặt  π π x = cos t; t ∈  0;  ⇒ H = −  2 u = ln(1 + x ) • Tính K = x ln(1 + x )dx Đặt   dv = xdx Câu 50 I = ⇒ K= ( x + x ) − x dx −2 •I= 2 ( x + x ) − x dx = −2 x −2 + Tính A = −2 + Tính B = − x dx + x − x dx = A + B −2 x − x dx Đặt t = − x Tính được: A = x − x dx Đặt x = 2sin t Tính được: B = 2π −2 Vậy: I = 2π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w w)w ww t.at ial ii lei u (/ w http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w∫ w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w ∫w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w∫ w w t ∫a i l i e u p r o c o h t t p : /( / w) w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www tailieupro.c http://www.ta ilieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ) ∫ ∫( http://www.tailieupro.c h t t ∫p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 51 I = Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải − − x dx 2x4 • Ta có: I = 2x + Tính I1 = 3 2x + Tính I = π dx − 2x4 − x2 2x4 dx −4 x dx = 21 16 dx = dx Đặt x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt 2 − x2 π π 6   cos tdt 12 = cot t  dt = − cot t.d (cot t ) =  π sin t 8π 8π  sin t  ⇒ I2 = Vậy: I = Câu 52 I = 7−2 16 x 2dx − x6 • Đặt t = x ⇒ dt = x dx ⇒ I = 1 dt − t2 π  π π 16 Đặt t = 2sin u, u ∈  0;  ⇒ dt = cos udu ⇒ I = dt =  2 30 18 Câu 53 I = Câu 54 I = π ⇒ I =− 2π Câu 55 0 + 2x − x2 t • Đặt x = cos t ⇒ dx = −2sin tdt ⇒ I = sin2 dt = π − x 2dx • Ta có: I = π 2− x dx x+2 x 2dx 22 − ( x − 1)2 Đặt x − = cos t 2π (1 + cos t ) 2sin t − (2 cos t )2 dt = + cos t + cos2t dt = π π + 3 −4 2 π − x − x dx • Đặt x = sin t ⇒ I = (cos t − sin t )cos tdt = Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π 12 + − 8 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w∫ w w t∫ a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p : / /( w) w w t a i l i e u p r o c o ] h t t p : / / w w w t a i l[i e upro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ) u p r o c ∫ ( t a i l i e h t t p∫ : / / w w w h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : /∫/ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I = x − 1dx  x u = x − du = dx ⇒ • Đặt  x − dv = dx v = x  ⇒ I = x x2 − =5 2− ⇒ I= − ln − x x − 1dx − x x2 − dx = − dx x2 −   x −1 +  2   dx x −  = − I − ln x + x − 1 + + ln Chú ý: Không dùng phép đổi biến x =  2;3 ∉ −1;1 cos t TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I = 8cos2 x − sin x − dx sin x − cos x (sin x − cos x )2 + cos x •I= dx =  sin x − cos x − 4(sin x + cos x dx sin x − cos x = 3cos x − 5sin x + C cot x − tan x − tan x Câu 58 I = dx sin x cot x − tan x cot x cos x • Ta có: I = dx = dx = dx = − +C sin x sin x 2sin x sin x  π cos2  x +  8  Câu 59 I = dx sin x + cos x +  π + cos  x +    dx • Ta có: I = 2 + sin  x + π     4    cos  x + π      dx    = dx +  2 2  + sin  x + π        π π    sin  x +  + cos  x +     4  8       Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w at ial ii lei u ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww w t ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o ∫ ∫ http://www t a∫ i l i e u∫ p r o c o h t t p : /∫ / ∫w w w∫ ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o ( ) h t t p : / / w w w t a i∫ l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i ∫ l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ : /w / ww http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải e3 e dx − ln xdx = −3ln − 4e3 + 2e2 • I =3 x (1 − ln x ) e2 e2 Câu 145 I = e2 ln x − ln x + x2 dx dx • Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒I= x t − 2t + t e dt dt = t −1 t e dt = − t −1 t −1 e t dt + et dt = I1 + I  dt  = −  −te−t + − =  t t t 0 e e  e et  e  2 tdt dt dt dt + I2 = − = −te−t + − = −te−t = − t t t t 1 e e2 e e e e 2(e − 1) Vậy : I = e2 ln( x − + 1) Câu 146 I = dx x −1 x −1+  + I1 = −   tdt dt  x − + ⇒ 2dt = • Đặt t = ln e3 − dx x −1+ x −1 ln dt = ln2 − ln2 ln ln x dx x + ln x Câu 147 I = • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = ⇒I= t e Câu 148 I = ⇒ I =2 − ln x x + ln x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 dx e Câu 150 I = e • Đặt t = + ln x ⇒ I = (2 − t )dt = ln x + ln2 x Câu 149 I = dx x e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x xe x + dx x(e x + ln x) −5 3 • Đặt t = + ln2 x ⇒ I =  34 − 24  • Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln ee + e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 29 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w∫ w tw a i∫ lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w( t a) i∫ l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w∫ t a ∫i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com Dạng 2: Tích phân phần π Câu 151 I = es inx sin xdx π u = sin x du = cos xdx ⇒ sin x cos xdx v = esin x dv = e • I = es inx sin x cos xdx Đặt  π π ⇒I = 2sin xesin x 02 − e sin x π cos xdx = 2e − 2esin x 02 =2 Câu 152 I = x ln( x + x + 1)dx  2x + du = dx u = ln( x + x + 1)  x + x +1 ⇒ • Đặt  dv = xdx v = x  x2 1 2x3 + x2 I= ln( x + x + 1) − dx 2 x + x +1 3π 11 1 2x + 31 dx = ln − (2 x − 1)dx + dx − = ln − 2 20 x + x +1 x + x +1 12 Câu 153 I = ln x x +1 dx u = ln x  dx  du = dx ⇒  ⇒ I = x + 1.ln x x  x + v = x + • Đặt  dv = + Tính J = 8 −2 x +1 dx = ln − ln − J x 3  x +1 t t2 1  dx Đặt t = x + ⇒ J = dt =  + − 2tdt =  dt 2 x t − t + 1 t − t − 1   2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 30 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / /∫ w w∫ w t a∫ i l i e∫ u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t ∫a i l i e u p r o c o ∫ h t t p : / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c h t t p : /∫ / w w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải  t −1  =  2t + ln  t +1   = + ln − ln Từ I = 20 ln − ln − Câu 154 I = x + x ln x + x e dx x e e e • I = xe x dx + ln xe x dx + 1 e e x e dx x e +Tính I = e x ln xdx = e x ln x − 1 Vậy: I = I1 + I + e e x e e e + Tính I1 = xe x dx = xe x − e x dx = ee (e − 1) 1 e x e e dx = ee − dx x x 1 e x e dx = ee +1 x ln x   + ln2 x  dx   x + ln x Câu 155 I =  • Tính I1 = e ln x 1x e + ln x dx Đặt t = + ln x ⇒ I1 = 2 − 3 + Tính I = ln2 xdx Lấy tích phân phần lần I = e − 2 − 3 ln( x + 1) Câu 156 I = dx x Vậy I = e −  2x u = ln( x + 1) du = ln( x + 1) 2 dx   x + • Đặt  ⇒ Do đ ó I = − + dx  2 dv = x  v = − x ( x + 1) x  2x2  = ln ln  x  ln ln dx d ( x + 1) − +  − dx = − + −   x x2 +  x x2 + = 2 ln ln  − +  ln | x | − ln | x + 1|  = ln − ln  1 Câu 157 I = ln( x + 1) x2 dx  dx u = ln( x + 1) du = x + 1 dx  dx ⇔ ⇒ I = − ln( x + 1) + = 3ln − ln • Đặt  dv = 1 ( x + 1) x x  v = − x2 x  1+ x   dx  1− x  Câu 158 I = x ln  Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 31 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : /∫ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ ∫w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải www.mathvn.com    du = dx  1+ x     1+ x    2  (1 − x )2  − x dx • Đặt u = ln − x ⇒  ⇒ I =  x ln  2  2 2 − x   − x x     dv = xdx v = 0     = 2  ln x ln ln 1 + dx = + 1 + dx = + + ln  x −1  ( x − 1)( x + 1)  2   1 10 u = ln  x +  • Đặt  x  ⇒ I = ln − ln +  dv = x 2dx   1 Câu 159 I = x ln  x +  dx x  2  π • Đặt u = ln(12 + x ) ⇒ I = ln + + Câu 160 I = ∫ x ln(1 + x )dx Câu 161 I = ln x ( x + 1)  dv = x dx u = ln x  dx • Đặt  ⇒ dv =  ( x + 1)  dx I = − ln + ln ln x + e x (e x + ln x) dx + ex e Câu 162 I = e • Ta có: I = ln x.dx + e e2 x 1e x +1 dx = H + K e e  + H = ln2 x.dx Đặt: u = ln x ⇒ H = e − ln x.dx = e − dv = dx 1 + K= e2 x e 1e x dx Đặt t = e + ⇒ ⇒ I = x +1 Vậy: I = ee – + ln x e +1 • Ta có: I = e x+ x t −1 e +1 dt = ee − e + ln t ee + e +1 ee + Câu 163 I = ( x + − )e ee +1 x+ x dx 1  x+  dx +  x −  e x dx = H + K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H = xe x+ x ⇒I= 1  x+ x 52  −  x −  e dx = e − K x 1 e Câu 164 I = ln( x + − x)dx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 32 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w.tailieupro.co thttpt :p/://w/( w ww w ) t( a i l) i∫ e u p r o c o m http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / ∫w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / (/ w w) w t a i l i e u p r o c ∫ t ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc : /w/ w w h t t p∫ : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải  • Đặt u = ln x + − x ⇒ I = x ln dv = dx x +9 −x + x x2 + dx = TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I =  x 2e x + 0 x   dx 1+ x  • I = x 2e x dx + x 1+ x dx 11 t 1 1 + Tính I1 = x e dx Đặt t = x ⇒ I1 = e dt = et = e − 30 3 + Tính I = x3 x 1+ dx Đặt t = x ⇒ I = x Vậy: I = e + π − 3  − x2 Câu 166 I = x  e x −  x3  2 x • I = xe dx + x2 + Tính I = ⇒ I2 = π cos2 t sin t π dt = (− cot t − t ) π2 = Câu 167 I = x • I = x e2 x dx − + Tính I = 1 − x2 x2  π dx Đặt x = 2sin t , t ∈  0;   2 π x3 4−x + Tính I1 = x e ⇒ I= π e2 x − x − x dx − x2 3− Vậy: I = e2 + −  π dt =  − +   4 1+ t dx + Tính I1 = xe x dx = e2 π t4   dx   − x2 1 2x dx = I1 + I e2 + dx = x3 − x2 dx Đặt t = − x ⇒ I = −3 + 16 e2 61 +3 3− 12 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 33 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w∫ t a∫ i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ∫ w w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c h t t p : (/ / w) w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫:( / / w w w t a i l i e u p r o c ) ( ) ∫ ∫ h t t p : / / w w w t a∫ i l i e u p r o c h t t p :∫ /( / w )w w( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw:∫ /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :( / / w ) w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải Câu 168 I = x2 + ( x + 1) e x dx 2 t − 2t + • Đặt t = x + ⇒ dx = dt I = t2 Câu 169 I = x +1 x e www.mathvn.com    e2 2 et −1dt =  + −  et −1dt = e − +  − + e  =  e  t2 t  1  dx + x2 2 • Đặt t = + x ⇒ dx = tdt ⇒ I = (t − 1)e dt = t 2et dt − et t 1 = J − ( e − e)  2  + J = t e dt = t e − 2te dt = 4e − e −  tet − et dt  = 4e2 − e − 2(tet − et )  1  1 1   2 t t 2 t Vậy: I = e2 x ln( x + 1) + x Câu 170 I = x2 + • Ta có: f ( x ) = dx x ln( x + 1) + x ( x + 1) − x = x ln( x + 1) +x− x x +1 x +1 x +1 x +1 1 ⇒ F ( x ) = f ( x )dx = ln( x + 1)d ( x + 1) + xdx − d ln( x + 1) 2 2 = ln ( x + 1) + x − ln( x + 1) + C 2 Câu 171 I = ln x + x + − x x2 + •I= ln x + x + − x x +9 + Tính I1 = ⇒ I1 = ln x +9 udu = ln + Tính I = Vậy I = Câu 172 I = ln x + x + x +9 dx − x3 x +9 dx Đặt ln x + x + = u ⇒ du = dx = I1 − 3I 2 x +9 dx u2 ln ln2 − ln2 = ln x3 x +9 x + = v ⇒ dv = dx Đặt ⇒ I = (u2 − 9)du = ( dx = ln x + x + dx x x +9 dx , x = v −9 u 44 − 9u) = 3 ln x + x + − x x2 + ln − ln dx = I1 − 3I = − 44 ( x + 1) ln x + x + dx + x ln x e Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 34 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫ /w/∫ w ww ww ∫t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co ∫ h t t p∫ : / / w ww.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w∫ w w ∫t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a∫ i l i e∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / /∫ w w w t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com e Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải e x3 e3 − + x dx = = 3 e e + ln x dx • I = x 2dx + + x ln x 1 e + e + ln x d (2 + x ln x ) dx = = ln + x ln x + x ln x + x ln x 1 Câu 173 I = e3 ln3 x x + ln x = ln e+2 Vậy: I = e3 − e+2 + ln dx • Đặt t = + ln x ⇒ + ln x = t ⇒ (t − 1)3 dt = t ⇒I= e dx = 2tdt ln3 x = (t − 1)3 x t − 3t + 3t − 1 15 dt = (t − 3t + 3t − )dt = − ln t t 1 π Câu 174 I = x sin x dx cos x u= x  ⇒ • Đặt  sin x dv = dx  cos2 x  π + I1 =  du = dx x   ⇒ I= cos x v = cos x  − π π π dx cos xdx = Đặt t = sin x ⇒ I1 = cos x − sin x 2 π π dx dx = − cos x cos x dt 1− t = 2+ ln 2− π 2+ − ln 2− Vậy: = ln(5 − x) + x3 − x Câu 175 I = dx x2 ln(5 − x) • Ta có: I = dx + x − x dx = K + H x2 1 + K= u = ln(5 − x ) ln(5 − x )  dx ⇒ K = ln dx Đặt  dv = x  x2 4 + H= x − x dx Đặt t = − x ⇒ H = 164 15 164 Vậy: I = ln + 15 Câu 176 I =  x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx • Ta có: I = + I1 = 2 x (2 − x )dx + ln(4 + x )dx = I1 + I x (2 − x )dx = − ( x − 1)2 dx = π (sử dụng đổi biến: x = + sin t ) Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 35 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/∫/w/ w ww ww t.∫at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l∫ i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t∫ a i∫ l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w ∫w w t a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫/ / w w∫ w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải 2 2 + I = ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − x2 dx (sử dụng tích phân phần) + x2 = ln + π − (đổi biến x = tan t ) Vậy: I = I1 + I = www.mathvn.com 3π − + ln 2 ln x dx x +1 Câu 177 I = ∫ u = ln x  dx 8 x +1  du = dx ⇒  • Đặt  ⇒ I = x + ln x − dx x dv = x   x + v = x + 3  x +1 2t dt  + Tính J = dx Đặt t = x + ⇒ J = = 1 + dt = + ln − ln 2 x t −1 t −1 2 ⇒ I = ln − ln − 2(2 + ln − ln 2) = 20 ln − ln − + x2 ln xdx x Câu 178 I = u = ln x  1  1 • Ta có: I =  +  ln xdx Đặt  dv = ( + )dx x x    x3 x 2  −1   −1  63 ⇒ I =  + ln x  ln x −  + ln x  dx = − ln + + ln2 x 64  4x    4x Câu 179 I = x + x ln x + x e dx x e e e 1 • Ta có: I = xe x dx + e x ln xdx + e e e e x e dx = H + K + J x + H = xe x dx = xe x 1e − e x dx = ee (e − 1) e x e e e + K = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx = ee − J x x 1 x x e e x Vậy: I = H + K + J = ee +1 − ee + ee − J + J = ee +1 π Câu 180 I = π x cos x sin3 x dx  ′ cos x • Ta   = − Đặt sin x  sin x  1 ⇒ I = − x 2 sin x π π π u = x du = dx   dv = cos x dx ⇒ v = −   sin3 x 2sin x π 2 dx π π 1 + = − ( − ) − cot x π = 2 π sin x 2 2 4 Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 36 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫ / w w∫ w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w∫ w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : ∫ / / w w w ∫ t a i∫ l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w ∫w w ∫ t a i l i e u p r o c ∫ h t t p∫ : / / w w w t ∫a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải π Câu 181 I = x sin x cos3 x dx u = x du = dx x   sin x • Đặt:  ⇒ ⇒I = dv = dx v= cos2 x   cos3 x 2.cos2 x π π − dx cos2 x = π π 1 − tan x = − 4 π π ( x + sin x) dx + sin x Câu 182 I = π π x sin2 x dx + dx = H + K + sin x + sin x 0 • Ta có: I = u = x du = dx  dx x x  dv =  π + H= dx = dx Đặt:  ⇒ π  v = tan  x −  + sin x   2  0 cos2 x − π cos  x −  4    4     π π 2 π π   π  1 π2 π x tan  x −  +  ln cos  x −   =       ⇒H= π π 2 sin x cos2 x π dx Đặt t = − x ⇒ K = dx + sin x + sin x 0 + K= π π  π2 dx 1 = tan  x −  = ⇒ K =   0  cos2 x − π    4 π Vậy, I = H + K = + ⇒ 2K = π Câu 183 I = x (cos3 x + cos x + sin x ) + cos2 x dx π π π  cos x (1 + cos2 x ) + sin x  x.sin x dx = J + K • Ta có: I = x   dx = x.cos x.dx + 2   + cos x  0 + cos x  π π π π u = x + Tính J = x.cos x.dx Đặt  ⇒ J = ( x.sin x ) − sin x.dx = + cos x = −2 0 dv = cos xdx 0 + Tính K = ⇒K= π x.sin x + cos x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt (π − t ).sin(π − t ) ⇒ 2K = π π + cos (π − t ) ( x + π − x ).sin x + cos2 x dt = π (π − t ).sin t dx = π + cos t π sin x.dx + cos dt = π x (π − x ).sin x + cos2 x ⇒K= dx π π sin x.dx + cos2 x Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 37 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.a∫ t ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w ∫w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p :∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w∫ w w ∫ t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c ∫ h t t p : ∫/ / w w w ∫t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /p∫w: /w/ w∫ w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w ( t a) i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / ∫w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = π ⇒K= π Vậy I = − + tan u 2π Câu 184 I = π • Ta có: I = x + ( x + sin x )sin x (1 + sin x )sin x 2π π + K= 2π π Vậy I = − du = π −1 + t π 2 π u − π = , đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan2 u)du π2 4 π x sin x (1 + sin x )sin x 2π π dx = 2π x π sin x dx + 2π π dx =H+K + sin x u = x π  du = dx ⇒H= dv = dx ⇒  v = − cot x  sin x dx Đặt dx = + sin x π dx x (1 + sin x ) + sin x + H= dt −2 2π = π π (1 + tan u)du π π π www.mathvn.com dx = π  + cos  − x  2  2π π dx = −2 x 2π cos  −   2 + 3−2 π x + sin2 x Câu 185 I = dx + cos2 x π x + sin x dx = • Ta có: I = 03 + cos2 x π x π sin x dx = H + K cos2 x π π u = x x x  du = dx dx ⇒  + H= dx = dx Đặt  2 dv = cos x v = tan x cos x  cos2 x π π   π π π 1 1 ⇒ H = x tan x − tan xdx  = + ln cos x = − ln 0  2 π sin x + K= dx = 2 cos x Vậy: I = H + K = Câu 186 I = π cos2 x dx + π π 1 tan2 xdx = [ tan x − x ] =  −  2 3 1 π π − ln +  −  = 2 3 π −1 + ( − ln 2) x + 1sin x + 1.dx 2 1 • Đặt t = x + ⇒ I = t.sin t.2tdt = 2t sin tdt = x sin xdx Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 38 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii∫lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :∫ / / w ww.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : /∫ / w w∫ w t a∫ i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / ∫/ w w w t a i l i e ∫u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://ww w∫ t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c ∫ t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iae i ul ipe∫ruop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ∫ http://w ww.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải 2 u = x du = xdx ⇒ I = −2 x cos x + x cos xdx Đặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x u = x du = 4dx Đặt  Từ suy kết ⇒ dv = cos xdx v = sin x π + sin x x e dx + cos x Câu 187 I = π •I= π 2 e dx sin x x + e dx + cos x x cos x π π π x x 2sin cos sin x x 2 e x dx = tan x e x dx + Tính I1 = e dx = x + cos x 0 cos2  u = ex π π du = e x dx π  x 2 e dx   − tan x e x dx + Tính I = Đặt dv = dx ⇒  I = e ⇒ x x 20   v = tan x cos2 cos   2 2 π Do đó: I = I1 + I = e π Câu 188 I = π •I= ⇒I = cos x e x (1 + sin x ) dx  cos x  −(sin x + cos x )dx u= du =   x cos x   e ex dx Đặt  ⇒ x dx sin x e (sin x + cos x ) dv = v =  (sin x + cos x ) sin x + cos x  cos x e x sin x sin x + cos x π π + π sin xdx e x = sin xdx ex π u1 = sin x du1 = cos xdx −1   ⇒ I = sin x x + Đặt  dx ⇒  −1 e  dv1 = x v1 = x e e   u2 = cos x du2 = − sin xdx   Đặt  dx ⇒  −1  dv1 = x v1 = x e e   ⇒I = −1 π e2 π π + cos x −1 ex − sin xdx ex = −1 π + − I ⇒ 2I = π π cos xdx −π −e e x = −1 π e2 +1 ⇒ I = e2 + cos xdx ex −π −e 2 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 39 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) + Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co h t t p : ∫/ / w w w ∫ t a i l i∫ e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w w w t∫ a i l i∫ e u∫ p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w ∫ w t∫ a i l i e u p r o c h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p∫ : / / w w w t a i l i e u p r o c http://w w w t a i l i e u p r o c ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân lời giải π Câu 189 I = sin x + cos6 x π 6x + − dx π • Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ I = − π ⇒ 2I = − ⇒I = (6 x + 1) 6 6x + 6t 6 sin t + cos t 6t + π π dt = − 6x dx = − sin x + cos6 x 6x + π dx π sin x + cos x π π (sin x + cos6 x )dx = π − 5  5π  + cos x dx = 16  π 8 5π 32 π Câu 190 I = sin xdx π 2− x + − π • Ta có: I = + Tính I1 = sin xdx π 2x + x x sin xdx π 2x + = − − π − ⇒I = www.mathvn.com x sin xdx 2x + π π + x sin xdx 2x + Đặt x = −t ⇒ I1 = − sin xdx 2x + 2−t sin (−t ) π 2− t + dt = π = I1 + I + sin xdx 2x + x π = sin xdx = 0 π sin t π 16 (1 − cos2 x )2 dx 40 4π − 16 (3 − cos x + cos x )dx = 80 64 eπ Câu 191 I = cos(ln x )dx • Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt π ⇒ I = et cos tdt = − (eπ + 1) (dùng pp tích phân phần) π 2 Câu 192 I = esin x sin x.cos3 xdx • Đặt t = sin x ⇒ I = sin x dt = dx x 2t + π +1 π = 11 t e (1 − t )dt = e (dùng tích phân phần) 20 Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 40 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : /∫ / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w ∫w w t a∫ i l i e u∫ p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ ∫ http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ ∫ http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : ∫/ / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : /∫ / w∫ w w ∫ t a∫ i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải π Câu 193 I = ln(1 + tan x )dx π • Đặt t =  π  − x ⇒ I = ln  + tan  − t  dt =    π π = π π π  − tan t  ln  + dt = + tan t   ln dt + tan t π ln 2dt − ln(1 + tan t )dt = t.ln 04 − I ⇒ 2I = π ln ⇒ I = π ln π Câu 194 I = sin x ln(1 + sin x )dx u = ln(1 + sin x ) • Đặt  dv = sin xdx  + cos x  ⇒ du = + sin x dx v = − cos x π π π ⇒ I = − cos x.ln(1 + sin x ) + cos x 0 2 π cos x − sin x π dx = + dx = (1 − sin x )dx = − 1 + sin x + sin x 0 π Câu 195 I = tan x.ln(cos x ) dx cos x • Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − ln t t dt = 1 ln t t2 dt  u = ln t du = t dt  Đặt  ln ⇒ ⇒ I = −1− dv = dt 2   v=− t t  TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với x∈ R π Tính: I= f ( x )dx −π π • Đặt x = –t ⇒ −π − f ( x )dx = π π π f (−t )(− dt ) = − π π f (−t )dt = − f (− x )dx π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 41 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u ∫ h t t p :∫ / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ h t t p : / ∫/ w w w ∫ t a i l i e u p r o c o h t t p : / ∫/ w w w t a i ∫l i e ∫ u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w ∫w w t ∫a( i l i) e∫ u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / /∫ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c ∫ http://www.tailieupro.c h t t p∫ : / / w∫ w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải π π ⇒2 www.mathvn.com π f ( x )dx = −π − π  f ( x ) + f (− x ) dx = 2 cos4 xdx ⇒ I = −π 3π 16 1 + cos2 x + cos x 8 Chú ý: cos4 x = Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = + cos2 x , với x∈ R 3π I= Tính: f ( x )dx −3π • Ta : I = π −3 f ( x )dx = π −3 −3 π f ( x )dx (1) π π f (−t )dt = f (− x )dx Thay vào (1) ta được: I = π 2 =  cos xdx − 0  π f ( x )dx Đặt x = −t ⇒ dx = − dt ⇒ I1 = π f ( x )dx + π + Tính : I1 = 3 π π  f (− x ) + f ( x ) dx =   π   cos xdx  = sin x 02 − sin x     π + cos x = π cos x dx 3π   =6 π   π Câu 198 I = − π sin x + x2 + x dx π •I= − π + x sin xdx − π − π x sin xdx = I1 − I π + Tính I1 = − + x sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I1 = π π + Tính I = − π x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I = − Suy ra: I = π − Bieân soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 42 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) π+ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://∫ w/( w w) w ww t.at ial ii lei u ) h t t p : /( /( w w w( ) t a i( l i) e u p( r )o c o ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) h t t p : / / (w ) w w t( a) i l i e u p r o c o ∫ ∫ h t t p : / / w w( w) t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ∫ http://www.tailieupro.co h t t p :∫ / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p ∫: / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w∫w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 199 I = • I= e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 e x 3x − + x − ex x −1 + x −1 ex 2x −1  cos x + x sin x dx du = cos x  −1 v = x sin x + cos x  x − 1(e ⇒ I = 3+ π dx = + e5 +1 x dx 2e + 2e + dt ⇒ I = + ln t = + ln t e +1 e +1 x2 ( x sin x + cos x ) dx π ⇒ I =− e 2x − x x − + 1) x − 1(e x x − + 1) ex 2x −1 x − + ⇒ dt = dx x −1 e2 +1 Câu 200 I = ex x −1 + x −1 dx = dx +  x u=  x x cos x  cos x dx Đặt  ⇒ x cos x cos x ( x sin x + cos x ) dx dv = ( x sin x + cos x )2  e 2x −1 Đặt t = e x ex x −1 + x − + ex 2x −1 x =x + 2 •I= dx = dx x x −1 + x −1 e π Bài tập Nguyên hàm - Tích phân lời giải x + cos x ( x sin x + cos x ) π dx cos2 x dx = −π 4+π Biên soạn: Thầy Trần Só Tùng - Trang 43 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) dx ... http://www.tailieupro.c Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải www.mathvn.com Dạng 4: Tích phân phần π Câu 118 I = −π x sin x cos2 x dx • Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có: π I= − π   x xd  = ... hàm - Tích phân có lời giải π Câu 106 I = sin x dx cos x tan x + π • Ta có: I = sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 dt = − π Câu 107 I = sin x + cos x dx π • Ta có: I... http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c www.MATHVN.com Câu 41 I = x ( x + 1) x + Câu 42 I = Bài tập Ngun hàm - Tích phân có lời giải 27 x −2 x+ x t3 − t(t + 1) Câu 43 I = x2 + x + dt = 1+ −4 = 15 ln  

Ngày đăng: 17/04/2019, 00:39

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w