LUYEN THI DH TICH PHAN CO LOI GIAI CHI TIET

1 hoctoancapba.com TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Tính tích phân định nghĩa ,tính chất bảng nguyên hàm 2.Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] thì: b b b u ( x)v ' ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ' ( x)dx a a a ∫ ∫ b b b hay udv = uv − vdu a a a ∫ ∫ Áp dụng công thức ta có qui tắc công thức tích phân phần sau: • Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv = uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv = v ( x)dx ' • Bước 2: Tính du = u ' dx v = b • Bước 3: Tính ∫ ∫ dv = v ' ( x)dx b b vdu = vu ' dx uv a a a ∫ ∫ • Bước 5: Áp dụng công thức 3 + ln x dx (ĐH-KB-2009) (x + 1) Ví dụ 5: a)Tính tích phân I = ∫ 3 3 + ln x dx ln x I=∫ dx = 3∫ +∫ dx 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 1 dx −3 I1 = 3∫ = (x + 1) (x + 1) = ln x dx (x + 1) I2 = ∫ Đặt u = lnx ⇒ du = dv = dx x dx −1 Chọn v = (x + 1) x +1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 = − +∫ =− +∫ −∫ =− + ln x + 1 x(x + 1) x x +1 2 hoctoancapba.com Vậy : I = (1 + ln 3) − ln e b) Tính ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x ⇒ Giải: Đặt   dv = xdx v = x  e e e x2 e2 x e e2 + x ln xdx = ln x − xdx = − = 1 2 4 1 ∫ ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân sau: ∫ a) π ln x dx x b) ∫ π x cos xdx ∫ x c) xe dx d) 0 ∫ e x cos xdx dx  du = u = ln x   x ⇒ Giải: a) Đặt  Do đó: 1 dv = dx  v = − x5  x4 2 2 ln x ln x dx ln   15 − ln dx = − + = − + − =  ÷ ∫1 x5 x 4 ∫1 x5 64  x  256 u = x  du = dx ⇒ b) Đặt  Do đó:  dv = cos xdx v = sin x π ∫ π π π π π x cos xdx = ( x sin x ) − sin xdx = + cos x = − 2 0 ∫ u = x du = dx ⇒ Do đó:  x x dv = e dx v = e   c)Đặt  ∫ 1 xe x dx = xe x − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 0 ∫ hoctoancapba.com u = e x  du = e x dx ⇒ d) Đặt  dv = cos xdx v = sin x π π π x x ⇒ e cos xdx = e sin x − e x sin xdx 0 ∫ ∫ u1 = e x  du1 = e x dx ⇒ Đặt  dv = sin xdx  v1 = − cos x π π π π ⇒ e x cos xdx = e + e x cos x − e x cos xdx 0 ∫ ∫ π π ∫ π ∫ ⇔ e x cos xdx = e − ⇔ e x cos xdx = 0 π e −1 *Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b ∫ b P( x)e x dx a u dv ∫ b P( x)ln xdx a P(x) e x dx ∫ b P( x)cos xdx a lnx P(x)dx ∫ e x cos xdx a P(x) cosxdx ex cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng công thức tích phân phần làm để chọn u dv = v ' dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần: hoctoancapba.com β • Nếu tính tích phân ∫ P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x Q(x) α ax hàm số: e , cos ax, sin ax ta thường đặt  du = P ' ( x)dx u = P ( x )   ⇒  dv = Q( x)dx v = Q( x)dx  ∫ β • Nếu tính tích phân ∫ P( x)Q( x)dx mà P(x) đa thức x Q(x) hàm số α du = Q ' ( x ) dx  u = Q( x)  ⇒ ln(ax) ta đặt  dv = P( x)dx v = P ( x)dx  ∫ β • Nếu tính tích phân I = ∫ β ax e cos bxdx α ∫ J = e ax sin bxdx α du = ae ax dx u = e  ⇒ ta đặt  dv = cos bxdx v = sin bx   b ax  du = ae ax dx u = e  ⇒ đặt  dv = sin bxdx v = − cos bx  b ax Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính hoctoancapba.com Phương pháp đổi biến số b Bài toán: Tính I = ∫ f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] , hoctoancapba.com 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f (u (t ))u ' (t )dt α a Ví dụ Hãy tính tích phân sau: π ( ) I =∫ cos3 x −1 cos x.dx (ĐH-KA-2009) a ) Tính tích phân π ∫ b) I = x x + 5dx c) J = ∫ ( sin π π 0 Giải: a) I = ∫ cos5 x.dx − ∫ cos x.dx π 1 π  Ta có: I2 = ∫ cos x.dx = ∫ (1 + cos2x).dx =  x + sin 2x ÷ = 2 0 20 π π 2 π π 0 Mặt khác xét I1 = ∫ cos5 x.dx = ∫ cos x.cosx.dx π π 1  2sin x + sin x ÷ = = ∫ (1 − sin x) d(sin x) =  sin x − 5  15 2 Vậy I = I1 – I2 = ( π − 15 ) b) Ta có d x + = x dx ⇒ d ( x3 + 5) = x dx x + 1) cos xdx hoctoancapba.com ⇒I= ∫ x +5 d ( x3 + 5) = 1 ( x + 5) x + ) d ( x + 5) = ( 30 +1 ∫ = +1 2 = ( x + 5) x + 10 6− π   c) Ta có J = (sin x + 1)d (sin x) =  sin x + sin x ÷ = 5 0 π ∫ Ví dụ Hãy tính tích sau: a) ∫ − x dx b) dx + x ∫ π  π π ;  Khi x = t = Khi x = t =  2 Từ x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt Giải: a) Đặt x = 2sin t , t ∈  − π ∫ − x dx = π ∫ ∫ − 4sin t 2cos tdt = cos tdt = π 0 π  π π ; ÷ Khi x = t = , x = t =  2 dt Ta có: x = tan t ⇒ dx = cos t π π π 4 dx dt π b) Đặt x = tan t , t ∈  − ⇒ ∫1 + x = ∫1 + tan 0 ∫ = dt = t = t cos t 0 Chú ý: Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát như: hoctoancapba.com Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a + x , a − x x − a (trong a số dương) mà cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là: • Với  π π ;  2  a − x , đặt x = a sin t , t ∈  − 2 x = a cos t , t ∈ [ 0; π ] • Với  π π ; ÷  2 a + x , đặt x = a tan t , t ∈  − 2 x = acott , t ∈ ( 0; π ) • Với x − a , đặt x = x = a  π π , t ∈  − ;  \ { 0} sin t  2 a π  ; t ∈ [ 0;π ] \   cos t 2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] cho f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du I = b u (b ) a u(a) ∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du Ví dụ 3: Tính I = ∫ x x + 5dx Giải: Đặt u ( x) = x + Tacó u (0) = 5, u (1) = 6 2 10 udu = u u = 6 − 5 = 6− Từ được: I = 35 9 ( ∫ ) Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phương pháp đổi biến dạng II: e2 a) ∫ ( x + 1) dx b) ∫ e dx x ln x c) ∫ 4x + dx x2 + x + hoctoancapba.com d) ∫ 2π dx (2 x − 1) e) ∫ cos(3 x − π 2π )dx Giải: a) Đặt u = x + x = u = Khi x = u = Ta có du = 2dx ⇒ dx = du Do đó: u6 = (3 − 1) = 60 ( x + 1) dx = u du = 21 12 12 ∫ ∫ b)Đặt u = ln x Khi x = e u = Khi x = e u = dx ⇒ Ta có du = x e2 ∫ e 2 dx du = = ln u = ln − ln1 = ln x ln x u ∫ c)Đặt u = x + x + Khi x = u = Khi x = u = Ta có du = (2 x + 1) dx Do đó: ∫ 3 4x + 2du dx = = 2ln u = 2(ln − ln1) = 2ln x2 + x + u ∫ d)Đặt u = x − Khi x = u = Khi x = u = Ta có du = 2dx ⇒ dx = ∫ e)Đặt u = x − du Do đó: dx du 1 = = − = − ( − 1) = (2 x − 1) 2 u 2u 3 ∫ 2π π π 2π 4π Khi x = u = , x = u = 3 3 Ta có du = 3dx ⇒ dx = 2π ∫ π du Do đó: 4π 2π 1 π  4π cos(3 x − ) dx = cos udu = sin u =  sin − sin ÷ π 3π 3 3 3 4π ∫ hoctoancapba.com 1 3 = − − = − ÷ 3 2  3.Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] thì: b b b u ( x)v ' ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ' ( x)dx a a a ∫ ∫ b b b udv = uv − vdu hay a a a ∫ ∫ Áp dụng công thức ta có qui tắc công thức tích phân phần sau: hoctoancapba.com • Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv = uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv = v ( x)dx ' • Bước 2: Tính du = u ' dx v = b • Bước 3: Tính ∫ ∫ dv = v ' ( x)dx b b vdu = vu ' dx uv a a a ∫ ∫ • Bước 5: Áp dụng công thức 3 + ln x dx (ĐH-KB-2009) (x + 1) Ví dụ 5: a)Tính tích phân I = ∫ 3 3 + ln x dx ln x dx = 3∫ +∫ dx 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 1 I=∫ dx −3 I1 = 3∫ = (x + 1) (x + 1) = ln x dx (x + 1) I2 = ∫ Đặt u = lnx ⇒ du = dv = dx x dx −1 Chọn v = (x + 1) x +1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 = − +∫ =− +∫ −∫ =− + ln x + 1 x(x + 1) x x +1 10 hoctoancapba.com Vậy : I = (1 + ln 3) − ln e b) Tính ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x ⇒ Giải: Đặt   dv = xdx v = x  e e e x2 e2 x e e2 + x ln xdx = ln x − xdx = − = 1 2 4 1 ∫ ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân sau: ∫ a) π ln x dx x b) ∫ π x cos xdx ∫ x c) xe dx d) 0 ∫ e x cos xdx dx  du = u = ln x   x ⇒ Giải: a) Đặt  Do đó: 1 dv = dx  v = − x5  x4 2 2 ln x ln x dx ln   15 − ln dx = − + = − + − =  ÷ ∫1 x5 x 4 ∫1 x5 64  x  256 u = x  du = dx ⇒ b) Đặt  Do đó:  dv = cos xdx v = sin x π ∫ π π π π π x cos xdx = ( x sin x ) − sin xdx = + cos x = − 2 0 ∫ u = x du = dx ⇒ Do đó:  x x dv = e dx v = e   c)Đặt  ∫ 1 xe x dx = xe x − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 0 ∫ 13 hoctoancapba.com (trong ax + bx + c ≠ với x ∈ [ α ; β ] ) Xét ∆ = b − 4ac β I= +)Nếu ∆ = dx ∫ a x − b    α ÷ 2a  tính β dx +)Nếu ∆ > I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∫ (trong x1 = ⇒I= −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a x − x1 β ln a ( x1 − x2 ) x − x2 α β dx I= = ax + bx + c +) Nếu ∆ < α ∫ Đặt x + β ∫ α dx 2    b  −∆  a  x + ÷ +   ÷ a a      b −∆ −∆ = tgt ⇒ dx = + tg 2t ) dt , ta tính I 2 ( 2a 4a a β b) Tính tích phân: I = ∫ α (trong f ( x) = mx + n dx, ax + bx + c ( a ≠ 0) mx + n liên tục đoạn [ α ; β ] ) ax + bx + c +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx + n A(2ax + b) B = + ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c β +)Ta có I= ∫ α β β Tích phân β mx + n A(2ax + b) B dx = dx + ∫α ax + bx + c α∫ ax + bx + c dx ax + bx + c ∫ α A(2ax + b) dx = Aln ax + bx + c ax + bx + c β ε 14 hoctoancapba.com β Tích phân ∫ α dx tính ax + bx + c b c) Tính tích phân I = ∫ a P ( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q( x) • Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn α1 ,α , ,α n đặt An P( x) A1 A2 = + + + Q ( x ) x − α1 x − α x − αn ( ) + Khi Q ( x ) = ( x − α ) x + px + q , ∆ = p − 4q < đặt 2 P ( x) A Bx + C = + Q( x) x − α x + px + q + Khi Q( x) = ( x − α ) ( x − β ) với α ≠ β đặt P( x) A B C = + + Q( x) x − α x − β ( x − β ) Ví dụ Tính tích phân: ∫ x + 11 dx x2 + 5x + Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho: A ( x + 5) x + 11 B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} 2 x + x + x + x + x + 5x + ⇔ Ax + ( A + B ) x + 11 = , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + 5x + x2 + 5x + 2 A = A = ⇒ ⇔ 5 A + B = 11  B = 15 hoctoancapba.com Vậy ( x + 5) x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x2 + 5x + x2 + 5x + Do ∫ x + 11 2x + dx = dx + x2 + 5x + x + x + ∫ = 2ln x + x + + ln ∫ dx x2 + 5x + x+2 = ln x+3 Cách Vì x + x + = ( x + ) ( x + ) nên ta tính tích phân cách: Tìm A, B cho: x + 11 A B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x + x + ⇔ ( A + B ) x + A + B , ∀x ∈ ¡ \ −3; −2 x + 11 = { } x2 + 5x + x2 + 5x + A + B = A = ⇒ ⇔ 3 A + B = 11  B = Vậy x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + 5x + x + x + Do ∫ 1 x + 11 dx dx dx = + x2 + 5x + x+2 x+3 ∫ = 3ln x + Ví dụ 8:Tính tích phân: ∫ ∫ + ln x + = ln dx x2 + x + Giải: Do ∫ dx dx = 2 x + x +1  1 x+ ÷ + 2  Đặt x + ∫ 3 π π  = tan t , t ∈  ;  ⇒ dx = + tan t ) dt ( 2 6 3 16 hoctoancapba.com Vậy ∫ dx = x + x +1 π ∫ π π 3 + tan t dt ( ) 3 = dt = t 3 π (1 + tan t ) ∫ Ví dụ Tính tích phân: ∫ π π = π x3 dx x −1 Giải: ∫ 2 x x   dx = x +  ÷dx = xdx + x2 − x −   ∫ ∫ ∫ xdx x2 − 1 x2 1 = + ln x − = + ln 2 0 Tích phân hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân Ví dụ 10: Hãy tính tích phân sau: π a) J = ∫ sin 2x sin xdx ; − π π b) K = ∫ cos x(sin x + cos x)dx ; π 4sin x c) M = dx + cos x ∫ Giải π π 1 1 cos5 xdx − cos9 xdx = sin x − sin x = a) J = π 18 π 45 π π 10 − − − − 2 2 π ∫ π ∫ 17 hoctoancapba.com ( b) Ta có cos x(sin x + cos x) = cos x  sin x + cos x 4 2 ) − 2sin x cos x       = cos x 1 − sin 2 x ÷ = cos x 1 − ( − cos x )  = cos x + cos x cos x     = cos x + ( cos5 x + cos3 x ) π π ∫ K = cos x(sin x + cos x )dx = π π 1 cos xdx + cos5 xdx + co3xdx 40 80 80 ∫ ∫ ∫ π π π 1 1 11 = sin x + sin x + sin x = + − = 40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1 − cos x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x + cos x + cos x + cos x ⇒ M = 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính I = ∫ dx asinx + b cos x + c Phương pháp: Đặt t = tan x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 2t 1− t2 Ta có: sin x = cos x = 1+ t2 1+ t2 I= ∫ dx = asinx + b cos x + c ∫ 2dt biết cách tính ( c − b ) t + 2at + b + c dx 4cos x + 3sin x + Ví dụ 11 Tính ∫ Giải: Đặt t = tg x 1 x 2dt ⇒ dt =  + tan ÷dx ⇔ = dx 2 2 1+ t2 18 hoctoancapba.com ∫ 2dt dx dt 1+ t2 = = 2 1− t 2t cos x + 3sin x + t + 3t + + + 1+ t2 1+ t2 ∫ ∫ x tan + t +1 = ln + C = ln +C x t+2 tan + 2 2.2.2 Tính I = ∫ dx a sin x + b sin x cos x + c cos x + d Phương pháp: I = ∫ dx ( a + d ) sin x + b sin x cos x + ( c + d ) cos x dx cos x = ( a + d ) tan x + b tan x + ( c + d ) ∫ Đặt t = tgx ⇒ dt = Ví dụ 12 Tính: I = dx ⇒ I = cos x ∫ ∫ dt tính ( a + d ) t + bt + ( c + d ) dx sin x + 2sin x cos x − 3cos x dx dx Giải:Ta có cos x I= = sin x + 2sin x cos x − 3cos x tg x + 2tgx − ∫ ∫ Đặt t = tgx ⇒ dt = ⇒I= ∫ Tính I = dt = t + 2t − ∫ ∫ dx cos x dt t −1 tgx − = ln + C = ln + C 2.2.3 t − t + t + tgx + ( )( ) m sin x + n cos x + p dx a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C cho: 19 hoctoancapba.com m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x +) Vậy I = ∫ ∫ m sin x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c = A dx + B a cos x − b sin x dx dx + C ∫ a sin x + b cos x + c ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân ∫ dx Tích phân a cos x − b sin x ∫ a sin x + b cos x + c dx = ln a sin x + b cos x + c + C Tích phân tính dx ∫ a sin x + b cos x + c tính Ví dụ 13 Tính: I = ∫ cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( A + 3B ) cos x + ( A − B ) sin x, ∀x  A =   A + 3B = ⇒ ⇔ 3 A − B = B = −   −4sin x + 3cos x  I=  − ÷dx = x − ln 4cos x + 3sin x + C 5  5 4cos x + 3sin x  ∫ 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa tích phân hàm lượng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng ∫ R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân 20 hoctoancapba.com x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 • Trường hợp chung: Đặt t = tan 2t 1− t2 Ta có sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 • Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) đặt t = tgx t = cot gx , sau đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = cos x +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = sin x 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vô tỉ Ví dụ 14 Tính tích phân: I = ∫ dx x +1 + x Giải I= dx = x +1 + x ∫ 3 2 1 2 x + − x dx = ( x + 1) − x  = 2 − 3 0 ∫( ) Ví dụ 15:Tính tích phân ∫ x+ Giải: ∫ x+ x3dx + x2 x 3dx 1+ x ( = ∫ ( x3 + x − x )dx = 2 −1 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t toàn thức ) 21 hoctoancapba.com Viết biểu thức dạng bình phương I = ∫ x − x dx Ví dụ 15:Tính Giải: 1 0 I = ∫ x − x dx = ∫ x − x xdx Đặt t= − x ⇔ t = − x ⇔ x = − t Ta có: xdx=-tdt, Khi x= t =1,khi x = t =0  t3 t5  2 I = −∫ (1 − t )t dt =  −  =   15 Vậy 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 16: Tính J = ∫ x − dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu x − đoạn [ −2;2] x -2 x −1 + 2 Do I = ∫ −2 x − dx = −1 ∫( x − 1) dx + −2 -1 - 1 + ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x −1 − 1) dx x3   x3  x3  −1  2 =  − x÷ +  x − ÷ +  − x÷ =  −1  3  −2  1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục lẻ đoạn [ − a; a ] Khi a I= ∫ f ( x)dx = −a 22 hoctoancapba.com π Ví dụ 17: Chứng minh I = xdx = − sin x π ∫ − π π Giải: Đặt x = −t ⇒ dx = − dt Khi x= π2 t = - π2 , x = − t = − Do : I= π ∫ π tdt = −I − sin t π Suy : 2I = Ta I = xdx = − sin x π ∫ − 2.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục chẵn đoạn [ − a; a ] Khi I= a a −a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx a Chứng minh : Ta có I = a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −a −a 0 Ta tính J = ∫ f ( x)dx cách đặt x = −t ( ≤ t ≤ a ) ⇒ dx = −dt −a ⇒J= (1) 0 a a −a a 0 ∫ f ( x)dx = −∫ f (−t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx (2) Thay (2) vào (1) ta I = a a −a ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx π Ví dụ 18: Tính tích phân: I = x + cos x dx − sin x π ∫ − 2 23 hoctoancapba.com π Giải: Ta có I = f ( x ) = x dx + − sin x π ∫ − x hàm số lẻ − sin x  π π  − ;  nên π π ∫ − π cos x dx − sin x π x dx = − sin x π ∫ −  π π  − ;  nên ta có: cos x hàm số chẵn − sin x π π cos x cos x d (sin x) dx = dx = − 2 − sin x − sin x (sin x + 2) ( sin x + ) π π ∫ − x + cos x dx = − sin x π ∫ − Do f1 ( x) = π ∫ ∫ − 2 π sin x − Vậy I = − ln = ln sin x + 2 3.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục chẵn đoạn [ − α : α ] Khi α α f ( x) I =∫ x dx = ∫ f ( x )dx a +1 −α −α Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx a t +1 Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at x -t Khi x= - α t = α ; x = α t =- α α Vậy α α f ( x) a t f (t ) a t +1 −1 I =∫ x dx = ∫ t dt = ∫ f (t ) dt t a + a + a + −α −α −α α α α f (t ) = ∫ f (t )dt + ∫ t dt = ∫ f ( x)dx + I −α −α a + −α α Suy α f ( x) I = ∫ x dx = ∫ f ( x)dx a +1 −α −α 24 hoctoancapba.com x4 dx Ví dụ 19 : Tính tích phân: I = x + −1 ∫ Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - t = ; x =1 t =-1 1 x4 t4 2t I =∫ x dx = ∫ −t dt = ∫ t t dt +1 +1 +1 −1 −1 −1` Vậy 1 t4 = ∫ t dt − ∫ t dt = ∫ x dx − I +1 −1 −1 −1 1 x5 I = = ∫ x dx = −1 Suy = −1  π Khi   4.Cho f(x) liên tục đoạn  0; π π 0 ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx Chứng minh: Đặt t = π − x ⇒ dx = −dt Khi x = t = π Do ∫ π π , x = t = 2 π f (sin x)dx = − f (sin( − t )dt = π ∫ π π 0 ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x)dx Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có công thức *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] π −α ∫ α π xf (sin x)dx = π −α ∫ f (sin x)dx α 25 hoctoancapba.com *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] 2π −α 2π −α ∫ xf (cos x)dx = π ∫ α π Ví dụ 20:Chứng minh: I= ∫ f (cos x )dx α sin n x π dx = sin n x + cos n x Giải : Tương tự ta có: π I= ∫ π sin n x cos n x dx = dx =J n n n n sin x + cos x sin x + cos x ∫ π +) Vậy I+J= ∫ π Vậy I= ∫ π sin n x cos n x π dx + dx = n n n n sin x + cos x sin x + cos x ∫ sin n x π dx = n n sin x + cos x π Ví dụ 21: Tính tích phân: x sin x dx + cos x ∫ Giải: Đặt x = π − t ( ≤ t ≤ π ) ⇒ dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) dt x sin x dx = − Khi 2 + cos x + cos (π −t) π π ∫ ∫ π π π sin t t sin t = dt − dt 2 + cos t + cos t 0 ∫ ∫ π π π sin x x sin x = dx − dx 2 + cos x + cos x 0 ∫ π ∫ π x sin x π sin x ⇔2 dx = dx 2 + cos x + cos x 0 ∫ ∫ 26 hoctoancapba.com π π x sin x π sin x π2 dx = dx = Vậy 2 + cos x + cos x 0 ∫ ∫ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính tích phân sau a) I = π sin x ∫ cos x + sin x ( ĐH-KA-2006) dx b) I = c) I = sin x + sin x ∫ + cos x (ĐH-KA-2005) dx π sin x cos x e) I = ∫ dx + cos x (ĐH-KB-2005) g)I = π ∫ sin x − cos x + sin x π dx cos x i) I = ∫ dx (sin x − cos x + 3) Bài 2.Tính tích phân sau x + 2x3 ∫ π d ) I = ∫ (2 x − 1) cos x.dx f )I = h) I = π x ∫0 + cos x dx π ∫ cos x π tan x + cos x dx x2 + 2x + c) I = ∫ dx + 2x + b) I = dx ∫1 x ( x + 1) d )I =  1 ∫1 x  + x  dx e) I = ∫ x x − 1dx 2 ∫ dx ∫ x+ x f )I = dx x x2 + h) I = ∫ ( x + − x − ) dx −3 Bài Tính tích phân sau a) I = ∫ ( x + 1)e dx dx k ) I = ∫ x tan x.dx g)I = x sin x dx π π a) I = ∫ 0 π π2 x b) I = ln( + x) ∫1 x dx 27 hoctoancapba.com dx c) I = ∫ x 1+ e x e x e) I = ∫ dx ( x + ) 0 g ) I = ∫ x(e x + x + 1)dx −1 e x3 + d )I = ∫ ln x.dx x f ) I = ∫ ln( x − x).dx π h) I = ∫ (e sin x + cos x) cos x.dx ... x + cos x) = cos x  sin x + cos x 4 2 ) − 2sin x cos x       = cos x 1 − sin 2 x ÷ = cos x 1 − ( − cos x )  = cos x + cos x cos x     = cos x + ( cos5 x + cos3 x ) π π ∫ K = cos... ( sin x,cos x ) hàm số lẻ sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = cos x +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x )... x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c = A dx + B a cos x − b sin x dx dx + C ∫ a sin x + b cos x + c ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân ∫ dx Tích phân a cos x − b sin x ∫ a sin x + b cos x