1 Tích phân I.Các phơng pháp tính tích phân Tính tích phân định nghĩa ,tính chất bảng nguyên hàm 2.Phơng pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] th×: b b b u ( x)v ' ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ' ( x)dx a a a ∫ ∫ b b b udv = uv − vdu hay a a a áp dụng công thức ta có qui tắc công thức tích phân phần sau: • Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng udv = uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv = v ' ( x)dx • Bíc 2: TÝnh du = u ' dx v = b ã Bớc 3: Tính ∫ ∫ dv = v ' ( x)dx b b vdu = vu ' dx vµ uv a a a ã Bớc 5: áp dụng công thức 3 + ln x dx (ĐH-KB-2009) (x + 1) VÝ dơ 5: a)Tính tích phân I = ∫ 3 3 + ln x dx ln x I=∫ dx = 3∫ +∫ dx 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 1 dx −3 I1 = 3∫ = (x + 1) (x + 1) = ln x dx (x + 1) I2 = ∫ Đặt u = lnx ⇒ du = dv = dx x dx −1 Chọn v = (x + 1) x +1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 = − +∫ =− +∫ −∫ =− + ln x + 1 x(x + 1) x x +1 2 Vậy : I = (1 + ln 3) − ln e b) TÝnh ∫ x ln xdx dx du = u = ln x x Giải: Đặt dv = xdx v = x e e e x2 e2 x e e2 + x ln xdx = ln x − xdx = − = 21 2 4 ∫ ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân sau: a) π ln x dx x5 b) ∫ π x cos xdx ∫ x c) xe dx d) 0 ∫ e x cos xdx dx du = u = ln x x Giải: a) Đặt Do đó: 1 dv = dx v=− x 4x 2 2 ln x ln x dx ln 15 − ln dx = − + ∫ = − + − ÷ = ∫ x5 4x x 64 x 256 u = x du = dx ⇒ Do ®ã: dv = cos xdx v = sin x b) Đặt π ∫ π π π π π x cos xdx = ( x sin x ) − sin xdx = + cos x = − 2 0 ∫ u = x du = dx ⇒ Do ®ã: dv = e x dx v = e x c)Đặt ∫ 1 xe x dx = xe x − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 0 ∫ u = e x du = e x dx d) Đặt dv = cos xdx v = sin x π π π x x ⇒ e cos xdx = e sin x − e x sin xdx 0 ∫ ∫ u1 = e x du1 = e x dx Đặt dv1 = sin xdx v1 = − cos x π π π π ⇒ e x cos xdx = e + e x cos x − e x cos xdx 0 ∫ ∫ π π ∫ π ∫ ⇔ e x cos xdx = e − ⇔ e x cos xdx = 0 π e −1 *Cách đặt u dv phơng pháp tích phân phần b b x P( x)e dx a u dv ∫ b P( x)ln xdx a P(x) e x dx ∫ b P( x)cos xdx a lnx P(x)dx ∫ e x cos xdx a P(x) cosxdx ex cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng công thức tích phân phần làm để chọn u dv = v ' dx thích hợp biĨu thøc díi dÊu tÝch ph©n f(x)dx Nãi chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số đà biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân phần: ã Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x Q(x) hàm số: e ax , cos ax, sin ax ta thờng đặt du = P ' ( x)dx u = P ( x) ⇒ dv = Q( x)dx v = Q( x)dx ã Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) đa thức x vµ Q(x) lµ hµm sè α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) ln(ax) ta đặt dv = P( x)dx v = P ( x)dx ∫ β • NÕu tÝnh tÝch ph©n I = ∫ β e ax cos bxdx hc α ∫ J = e ax sin bxdx th× α du = ae ax dx u = e ta đặt dv = cos bxdx v = sin bx b ax du = ae ax dx u = e đặt dv = sin bxdx v = − cos bx b ax Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính Phơng pháp đổi biến số b Bài toán: Tính I = f ( x)dx , a *Phơng pháp đổi biến dạng I 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ] , Định lí Nếu 2) Hàm hợp f (u (t )) đợc xác định [ ; ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , β b th× I = ∫ f ( x)dx = ∫ f (u (t ))u ' (t )dt α a VÝ dô H·y tÝnh tích phân sau: ( ) I = cos x − cos x.dx (§H-KA-2009) a ) Tính tích phân π ∫ b) I = x x + 5dx c) J = ∫ ( sin π π 0 Gi¶i: a) I = ∫ cos5 x.dx − ∫ cos x.dx π 1 π x + sin 2x ÷ = Ta có: I2 = ∫ cos x.dx = ∫ (1 + cos2x).dx = 2 0 20 π π 2 π π 0 Mặt khác xét I1 = ∫ cos5 x.dx = ∫ cos x.cosx.dx π π 1 2sin x + sin x ÷ = = ∫ (1 − sin x) d(sin x) = sin x − 5 15 2 Vậy I = I1 – I2 = ( π − 15 ) b) Ta cã d x + = x dx ⇒ d ( x3 + 5) = x dx x + 1) cos xdx ⇒I= ∫ x +5 d ( x3 + 5) = 1 ( x + 5) ( x3 + 5) d ( x3 + 5) = 30 +1 ∫ = +1 2 = ( x + 5) x + 10 6− π 1 c) Ta cã J = (sin x + 1)d (sin x) = sin x + sin x ÷ = 5 0 π ∫ VÝ dơ H·y tÝnh c¸c tÝch sau: a) ∫ − x dx b) dx + x2 ∫ π π π ; Khi x = th× t = Khi x = th× t = 2 Tõ x = 2sin t dx = 2cos tdt Giải: a) Đặt x = 2sin t , t ∈ − π ∫ − x dx = π ∫ ∫ − 4sin t 2cos tdt = cos tdt = π 0 π ; ữ Khi x = t = , x = th× t = 2 dt Ta cã: x = tan t ⇒ dx = cos t π π π 4 dx dt π b) Đặt x = tan t , t − ⇒ ∫1 + x = ∫1 + tan 0 ∫ = dt = t = t cos t 0 Chó ý: Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát nh: Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa dạng a + x , a − x x2 a2 (trong a số dơng) mà cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là: ã Với a x , đặt x = a sin t , t ∈ − ; 2 hc x = a cos t , t ∈ [ 0; π ] • Víi π π a + x , ®Ỉt x = a tan t , t ∈ ; ữ 2 x = acott , t ∈ ( 0; π ) • Víi x a , đặt x = x = a π π , t ∈ − ; \ { 0} sin t 2 a π ; t ∈ [ 0;π ] \ cos t *Phơng pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] cho b a f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du th× I = u (b ) u(a) ∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du VÝ dô 3: TÝnh I = ∫ x x + 5dx Gi¶i: §Ỉt u ( x) = x + Tacã u (0) = 5, u (1) = 6 2 10 I= udu = u u = 6 − 5 = 6− Từ đợc: 35 9 ( ) Ví dụ 4: HÃy tính tích phân sau phơng pháp đổi biến dạng II: e2 a) ∫ ( x + 1) dx dx b) x ln x e ∫ c) ∫ 4x + dx x + x +1 d) ∫ 2π dx (2 x − 1) e) ∫ cos(3 x − π )dx Giải: a) Đặt u = x + x = th× u = Khi x = th× u = Ta cã du = 2dx ⇒ dx = du Do ®ã: u6 = (3 − 1) = 60 ( x + 1) dx = u du = 21 12 12 b)Đặt u = ln x Khi x = e th× u = Khi x = e th× u = dx ⇒ Ta cã du = x e2 ∫ e 2 dx du = = ln u = ln − ln1 = ln x ln x u c)Đặt u = x + x + Khi x = th× u = Khi x = th× u = Ta cã du = (2 x + 1) dx Do ®ã: ∫ 3 4x + 2du dx = = 2ln u = 2(ln − ln1) = 2ln x2 + x + u d)Đặt u = x − Khi x = th× u = Khi x = th× u = Ta cã du = 2dx ⇒ dx = e)Đặt u = x − du Do ®ã: dx du 1 = =− = − ( − 1) = (2 x − 1) 2 u 2u 3 ∫ 2π π π 2π 4π Khi x = th× u = , x = th× u = 3 3 Ta cã du = 3dx ⇒ dx = du Do ®ã: 2π ∫ π 4π 2π 1 π 4π cos(3 x − ) dx = cos udu = sin u = sin − sin ÷ π 3π 3 3 3 4π ∫ 1 3 = − − ÷= 2 3.Phơng pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] th×: b ∫ u ( x)v ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) ' a b b a b ∫ − v( x)u ' ( x)dx a b b hay udv = uv − vdu a a a áp dụng công thức ta có qui tắc công thức tích phân phần sau: ã Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng udv = uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv = v ' ( x)dx • Bíc 2: TÝnh du = u ' dx v = b ã Bớc 3: TÝnh ∫ ∫ dv = v ' ( x)dx b b vdu = vu ' dx vµ uv a a a ã Bớc 5: áp dụng công thức 3 + ln x dx (§H-KB-2009) (x + 1) VÝ dơ 5: a)Tính tích phân I = ∫ 3 3 + ln x dx ln x I=∫ dx = 3∫ +∫ dx 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 1 dx −3 I1 = 3∫ = (x + 1) (x + 1) ln x dx (x + 1) I2 = ∫ = 10 dx Đặt u = lnx ⇒ du = x dx −1 dv = Chọn v = (x + 1) x +1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 = − +∫ =− +∫ −∫ =− + ln x + 1 x(x + 1) x x +1 4 Vậy : I = (1 + ln 3) − ln e b) TÝnh ∫ x ln xdx dx du = u = ln x x Giải: Đặt dv = xdx v = x e e e x2 e2 x e e2 + x ln xdx = ln x − xdx = − = 21 2 4 Ví dụ 6: Tính tích phân sau: ∫ a) ln x dx x5 π b) ∫ π x cos xdx ∫ x c) xe dx d) 0 ∫ e x cos xdx dx du = u = ln x x Giải: a) Đặt Do ®ã: 1 dv = dx v=− x 4x 2 2 ln x ln x dx ln 15 − ln ∫ x5 dx = − x + ∫ x5 = − 64 + − x ÷ = 256 1 1 u = x du = dx ⇒ Do ®ã: dv = cos xdx v = sin x b) Đặt π ∫ π π π π π x cos xdx = ( x sin x ) − sin xdx = + cos x = − 2 0 ∫ 12 β ã Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x Q(x) hàm số: e ax , cos ax, sin ax ta thờng đặt du = P ' ( x)dx u = P ( x) ⇒ dv = Q( x)dx v = Q( x)dx ∫ ã Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) đa thức x Q(x) hµm sè α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) ⇒ ln(ax) th× ta ®Ỉt dv = P( x)dx v = P ( x)dx ã Nếu tính tích phân I = ∫ β e ax cos bxdx hc α ∫ J = e ax sin bxdx th× α du = ae ax dx u = e ta đặt dv = cos bxdx v = sin bx b ax du = ae ax dx u = e đặt dv = sin bxdx v = − cos bx b ax Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.Tích phân số hàm số thờng gặp Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tỉng qu¸t sau: 13 β I= ∫ α dx ax + bx + c ( a ≠ 0) (trong ®ã ax + bx + c ≠ víi mäi x ∈ [ α ; β ] ) XÐt ∆ = b − 4ac β +)NÕu ∆ = th× I= dx ∫ a x − b α ÷ 2a tÝnh đợc dx +)Nếu > I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∫ (trong ®ã x1 = ⇒I= −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a x − x1 β ln a ( x1 − x2 ) x − x2 α β dx I= = ax + bx + c +) Nếu < Đặt x + β ∫ α dx 2 b −∆ a x + ÷ + ÷ 2a 4a b −∆ −∆ = tgt ⇒ dx = + tg 2t ) dt , ta tÝnh ®ỵc I 2 ( 2a 4a a β b) Tính tích phân: I = (trong f ( x) = mx + n dx, ax + bx + c ( a ≠ 0) mx + n liên tục đoạn [ ; ] ) ax + bx + c +) B»ng phơng pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx + n A(2ax + b) B = + ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c 14 β +)Ta cã I= β ∫ α β TÝch ph©n ∫ α β TÝch ph©n β mx + n A(2ax + b) B dx = ∫ dx + ∫ dx ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c α α ∫ α A(2ax + b) dx = Aln ax + bx + c ax + bx + c dx tính đợc ax + bx + c b c) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ a P ( x) dx víi P(x) vµ Q(x) đa thức x Q( x) ã Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức ã Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trờng hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn , , , n đặt An P( x) A1 A2 = + + + Q ( x ) x − α1 x − α x − αn ( ) + Khi Q ( x ) = ( x − α ) x + px + q , ∆ = p − 4q < đặt 2 P ( x) A Bx + C = + Q( x) x − α x + px + q + Khi Q( x) = ( x − α ) ( x − β ) với đặt P( x) A B C = + + Q( x) x − α x − β ( x − β ) VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n: ∫ x + 11 dx x2 + 5x + Giải: Cách 1.Bằng phơng pháp đồng hệ số ta cã thĨ t×m A, B cho: A ( x + 5) x + 11 B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + x + x + x + x + 5x + 15 ⇔ Ax + ( A + B ) x + 11 = , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + 5x + x2 + 5x + 2 A = A = ⇒ ⇔ 5 A + B = 11 B = VËy ( x + 5) x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + 5x + x + 5x + x + 5x + Do ®ã ∫ x + 11 2x + dx = 2 dx + x2 + 5x + x + 5x + ∫ = 2ln x + x + + ln ∫ dx x2 + 5x + x+2 = ln x+3 Cách Vì x + x + = ( x + ) ( x + ) nªn ta cã thĨ tÝnh tích phân cách: Tìm A, B cho: x + 11 A B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x + x + ⇔ ( A + B ) x + A + B , ∀x ∈ ¡ \ −3; −2 x + 11 = { } x2 + 5x + x2 + 5x + A + B = A = ⇒ ⇔ 3 A + B = 11 B = VËy x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x + x + Do ®ã ∫ ∫ = 3ln x + VÝ dô 8:TÝnh tích phân: Giải: x + 11 dx dx dx = + x2 + 5x + x+2 x+3 ∫ dx x2 + x + + ln x + = ln 16 Do ∫ dx dx = 2 x + x +1 1 x+ ÷ + 2 Đặt x + Vậy 3 π π = tan t , t ∈ ; ⇒ dx = ( + tan t ) dt 2 6 3 dx = x + x +1 π ∫ π π ( + tan t ) dt 3 = dt = t 3 π (1 + tan t ) ∫ VÝ dô TÝnh tÝch ph©n: ∫ x3 dx x −1 Gi¶i: ∫ 2 x x dx = x + ÷dx = xdx + x2 − x −1 ∫ ∫ ∫ xdx x2 − 1 x2 1 = + ln x − = + ln 2 0 Tích phân hàm lợng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân Ví dụ 10: HÃy tính tích phân sau: a) J = ∫ sin 2x sin xdx ; − π π b) K = ∫ cos x(sin x + cos x)dx ; π π = π 17 π c) M = 4sin x dx + cos x ∫ Gi¶i π π 1 1 cos5 xdx − cos9 xdx = sin x − sin x = a) J = π 18 π 45 π π 10 − − − − 2 2 π π ∫ ∫ ( b) Ta cã cos x(sin x + cos x) = cos x sin x + cos x 4 2 ) − 2sin x cos x = cos x − sin 2 x ÷ = cos x 1 − ( − cos x ) = cos x + cos x cos x = cos x + ( cos5 x + cos3 x ) π π ∫ K = cos x(sin x + cos x )dx = π π 1 cos xdx + cos5 xdx + co3xdx 40 80 80 ∫ ∫ ∫ π π π 1 1 11 = sin x + sin x + sin x = + − = 40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1 − cos x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x + cos x + cos x + cos x ⇒ M = 2.2.D¹ng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác 2.2.1.Tính I = dx asinx + b cos x + c Phơng pháp: Đặt t = tan x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 18 2t 1− t2 Ta cã: sin x = vµ cos x = 1+ t2 1+ t2 I= ∫ dx = asinx + b cos x + c ∫ 2dt ®· biÕt c¸ch tÝnh ( c − b ) t + 2at + b + c dx 4cos x + 3sin x + VÝ dơ 11 TÝnh ∫ Gi¶i: §Ỉt t = tg x 1 x 2dt ⇒ dt = + tan ÷dx ⇔ = dx 2 2 2 1+ t ∫ 2dt dx dt 1+ t2 = = 1− t2 2t cos x + 3sin x + t + 3t + +3 +3 2 1+ t 1+ t ∫ ∫ x tan + t +1 = ln + C = ln +C x t+2 tan + 2 2.2.2 TÝnh I = ∫ dx a sin x + b sin x cos x + c cos x + d Phơng pháp: I = dx ( a + d ) sin x + b sin x cos x + ( c + d ) cos x dx cos x = ( a + d ) tan x + b tan x + ( c + d ) Đặt t = tgx ⇒ dt = VÝ dô 12 TÝnh: I = dx ⇒ I = cos x ∫ ∫ dt ®· tính đợc ( a + d ) t + bt + ( c + d ) dx sin x + 2sin x cos x − 3cos x dx dx Gi¶i:Ta cã cos x I= = sin x + 2sin x cos x − 3cos x tg x + 2tgx − ∫ 19 Đặt t = tgx dt = I= ∫ TÝnh I = dt = t + 2t − ∫ ∫ dx cos x dt t −1 tgx − = ln + C = ln + C 2.2.3 tgx + ( t − 1) ( t + 3) t + m sin x + n cos x + p dx a sin x + b cos x + c Phơng pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x +) VËy I = ∫ ∫ m sin x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c = A dx + B a cos x − b sin x dx dx + C ∫ ∫ a sin x + b cos x + c a sin x + b cos x + c TÝch ph©n ∫ dx TÝch ph©n a cos x − b sin x ∫ a sin x + b cos x + c dx = ln a sin x + b cos x + c + C Tích phân tính đợc dx ∫ a sin x + b cos x + c tính đợc Ví dụ 13 Tính: I = cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( A + 3B ) cos x + ( A − B ) sin x, ∀x 20 A= A + 3B = ⇒ ⇔ 3 A − B = B = − −4sin x + 3cos x I= − dx ÷ = x − ln 4cos x + 3sin x + C 5 5 4cos x + 3sin x 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đa tích phân hàm lợng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R ( sin x,cos x ) dx , víi R ( sin x,cos x ) hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đà biết cách tính tích phân ã Trờng hợp chung: Đặt t = tan x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 2t 1− t2 Ta cã sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 ã Những trờng hợp đặc biƯt: +) NÕu R ( sin x,cos x ) lµ hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) đặt t = tgx t = cot gx , sau đa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) NÕu R ( sin x,cos x ) lµ hµm sè lẻ sinx nghĩa là: R ( sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = cos x +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ ®èi víi cosx nghÜa lµ: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = sin x 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vô tỉ 21 Ví dụ 14 TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ dx x +1 + x Gi¶i I= dx = x +1 + x ∫ 3 2 1 2 − x2 x + − x dx = ( x + 1) 0= 2−2 3 ∫( ) VÝ dơ 15:TÝnh tÝch ph©n ∫ x+ Gi¶i: ∫ x+ x3dx 1+ x ( x3dx + x2 = ∫ ( x3 + x − x )dx = 2 −1 15 3.2.D¹ng 2: Biến đổi tích phân hàm lợng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t toàn thức Viết biểu thức dới dạng bình phơng I = ∫ x − x dx VÝ dơ 15:TÝnh Gi¶i: I =∫x − x dx = ∫ x x xdx Đặt t= x ⇔ t = − x ⇔ x = − t Ta cã: xdx=-tdt, Khi x= th× t =1,khi x = th× t =0 VËy t t I = −∫ (1 − t )t dt = − = 3 5 15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt ®èi ) 22 VÝ dô 16: TÝnh J = ∫ x − dx −2 Gi¶i: LËp bảng xét dấu x đoạn [ −2;2] x -2 x −1 + 2 Do ®ã I = ∫ x − dx = −2 −1 ∫( x − 1) dx + −2 -1 - 1 + ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x −1 − 1) dx x3 x3 x3 −1 2 = − x÷ + x − ÷ + − x÷ = −1 3 III.Tích phân số hàm đặc biệt 1.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục lẻ đoạn [ a; a ] Khi ®ã a I= ∫ f ( x)dx = −a π xdx = − sin x π ∫ VÝ dô 17: Chøng minh I = Giải: Đặt x = −t ⇒ dx = − dt Khi x= π2 th× t = - π2 , x = − t = Do : I= tdt ∫ − sin π 2 t = −I π Suy : 2I = Ta đợc I = xdx = sin x π ∫ − 2 23 2.Cho hµm số y = f ( x ) liên tục chẵn đoạn [ a; a ] Khi ®ã a −a I= a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx a Chøng minh : Ta cã I = a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −a −a (1) 0 Ta tÝnh J = ∫ f ( x)dx cách đặt x = t ( ≤ t ≤ a ) ⇒ dx = −dt −a a a −a ⇒J= a 0 ∫ f ( x)dx = −∫ f (−t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx (2) a a Thay (2) vào (1) ta đợc I = a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx π VÝ dơ 18: TÝnh tÝch ph©n: I = x + cos x dx − sin x π ∫ − π Gi¶i: Ta cã I = ∫ − Do f1 ( x) = vµ f ( x ) = π 2 x hàm số lẻ sin x x dx + − sin x π ∫ − π π − ; nªn ∫ − π cos x dx − sin x π ∫ − x dx = − sin x π π − ; nªn ta có: cos x hàm số chẵn − sin x π π π π cos x cos x d (sin x) dx = dx = −2 − sin x − sin x (sin x + 2) ( sin x + ) π π ∫ − x + cos x dx = − sin x π π 2 ∫ ∫ − 24 π sin x − VËy I = − ln = ln sin x + 2 3.Cho hµm sè y = f ( x ) liên tục chẵn đoạn [ − α : α ] Khi ®ã α α f ( x) I =∫ x dx = ∫ f ( x )dx a +1 −α −α §Ỉt t= -x ⇒ dt= - dx Chøng minh: a t +1 Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at x -t Khi x= - α th× t = α ; x = α th× t =- α α VËy α α f ( x) a t f (t ) a t +1 −1 I =∫ x dx = ∫ t dt = ∫ f (t ) dt a +1 a +1 a t +1 −α −α −α α α α f (t ) = ∫ f (t )dt + ∫ t dt = ∫ f ( x)dx + I a +1 −α −α −α α α f ( x) I = ∫ x dx = ∫ f ( x)dx a +1 −α −α Suy x4 dx VÝ dô 19 : TÝnh tích phân: I = 2x + 1 Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - th× t = ; x =1 th× t =-1 VËy 1 x4 t4 2t I =∫ x dx = ∫ −t dt = ∫ t t dt +1 +1 +1 −1 −1 −1` 1 t4 = ∫ t dt − ∫ t dt = ∫ x dx − I +1 −1 −1 −1 25 1 x5 I == ∫ x dx = −1 Suy = −1 π Khi 4.Cho f(x) liên tục ®o¹n 0; π ∫ π ∫ f (sin x)dx = f (cos x) dx Chứng minh: Đặt t = x dx = −dt Khi x = th× t = π Do ®ã ∫ π π , x = th× t = 2 π f (sin x)dx = − f (sin( − t )dt = π ∫ π π 0 ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x)dx Nhận xét : Bằng cách làm tơng tự ta có công thức *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] xf (sin x)dx = 2π −α VÝ dô 20:Chøng minh: I= ∫ ∫ f (sin x)dx α 2π −α ∫ xf (cos x)dx = π ∫ α π π −α α sin n x π dx = sin n x + cos n x Giải : Tơng tự nh trªn ta cã: π I= ∫ n π sin x cos n x dx = dx =J n n n n sin x + cos x sin x + cos x ∫ f (cos x )dx 26 π +) VËy I+J= ∫ π VËy I= ∫ π sin x cos n x π dx + dx = sin n x + cos n x sin n x + cos n x n ∫ sin n x π dx = sin n x + cos n x π VÝ dơ 21: TÝnh tÝch ph©n: x sin x dx + cos x Giải: Đặt x = π − t ( ≤ t ≤ π ) ⇒ dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) x sin x dx = − dt Khi ®ã + cos x + cos ( π − t ) π π ∫ ∫ π π π sin t t sin t = dt − dt + cos t + cos t 0 ∫ ∫ π π π sin x x sin x = dx − dx + cos x + cos x 0 ∫ π ∫ π x sin x π sin x ⇔2 dx = dx + cos x + cos x 0 ∫ ∫ π π x sin x π sin x π2 dx = dx = VËy + cos x + cos x Bài tập đề nghị Bài 1.Tính tích phân sau a) I = ∫ sin x cos x + sin x ( §H-KA-2006) c) I = π ∫ sin x + sin x + cos x (§H-KA-2005) dx dx b) I = π2 ∫ x sin x dx π d ) I = ∫ (2 x − 1) cos x.dx ... này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II .Tích phân số hàm số thờng gặp Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát... giản, chọn dv = v '' dx phần f(x)dx vi phân hàm số đà biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân phần: 12 ã Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa... tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v '' dx phần f(x)dx vi phân hàm số đà biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân