LỜI GIẢI CHI TIẾT THÁNG 5

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN MÁY TÍNH CẦM TAY VIETNAM CALCULATOR THÁNG 05 NĂM 2010 Trưởng ban tổ chức: Trần Minh Thế Chuyên viên Toán học sinh giỏi máy tính cầm tay công ty VietnamCalculator Câu 1: Cách 1: Đặt 1235679 4A x y= = 24k ( k ∈Ν ) , khi đó ta có : 1235679040 1235679 4 24 1235679949A x y k≤ = = ≤ 51486626,67 51486664,54k⇔ ≤ ≤ Do k ∈Ν nên 51486627 51486664k≤ ≤ . Thực hiện phép lặp sau để thử tìm : Gán A = 51486626 (biến chạy), ghi vào màn hình : Dùng máy 570 RS : A= A + 1 : 24A – 1235679040 , nhấn = = lần lượt, và kiểm tra và nhận các kết quả có dạng 0x y , đến khi A= 51486664, nhấn = và dừng lại việc kiểm tra Dùng máy 500 RS : A + 1 SHIFT STO A , 24 ALPHA A – 1235679040 = , nhấn nút  (REPLAY), thực hiện COPY thành : A + 1  A : 24A – 1235679040 , nhấn = = để kiểm tra tương tự như trên, ta được các kết quả cần tìm là : 1235679048, 1235679144, 1235679240, 1235679648, 1235679744, 1235679840. Cách 2 : Dễ thấy 24 = 8*3 nên A M 24 thì A M 3 và A M 4 . * A chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của A chia cho 3, tức là 1+2+3+5+6+7+9+4+x+y M 3 hay là x+y +1 M 3. Do x, y là các số tự nhiên có 1 chữ số nên x+y { 2;5;8;11;14;17}∈ . * A chia hết cho 4 nên 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4. Từ đó ta có {0;4;8}y ∈ . - Nếu y = 0 ⇒ x {2;5;8}∈ , do A chia hết 8 nên có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8, vậy nên ta chỉ chọn x {2;8}∈ . Thử lại, ta nhận nghiệm (x,y) = (2;0) ; (8;0). - Nếu y=4 ⇒ x {1;4;7}∈ , tương tự ta chỉ nhận x {1;7}∈ . Thử lại, ta nhận nghiệm (x,y) = (1;4) ; (7;4). - Nếu y=8 ⇒ x {0;3;6;9}∈ , do 4 8x y M nên chỉ chọn x {0;6}∈ . Thử lại thoả nên ta có nghiệm là (x,y) = (0;8) ; (6;8). Vậy kết quả cần tìm là : 1235679048, 1235679144, 1235679240, 1235679648, 1235679744, 1235679840 Cách 3: Ta phân tích A thành A = 1235679040 + 0x y = 24 51486626 16 0x y× + + , từ đây ta có 0 24 8x y k= + . 000 0 24 8 909x y k⇒ ≤ = + ≤ 1 37,54 0 37 ( ) 3 k k k⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ∈Ν Thực hiện vòng lặp sau : Gán A = -1, ghi vào màn hình : A = A + 1: 24A +8 , ấn = = và lần lượt kiểm tra và nhận các nghiệm có dạng trên. Ta cũng được kết quả như trên. Câu 2: Giải phương trình : 3 3 3 3 3 [ 1] + [ 2] + [ 3] + + [ x 1] = 855− Trước hết ta có nhận xét sau : 3 3 3 [ 1]=[ 2]= =[ 7]=1 3 3 3 [ 8]=[ 9]= =[ 26]=2 3 3 3 [ 27]=[ 28]= =[ 63]=3 3 3 3 [ 64]=[ 65]= =[ 124]=4 3 3 3 3 3 3 [ k ]=[ k 1]= =[ (k+1) 1]=k (k )+ − ∈Ν . Và từ đó ta có : 3 3 3 3 [ 1] +[ 2] + [ 3] + +[ 215] = (8 - 1) 1+(27-8) 2+(64-27) 3+(125-64) 4+(216-125) 5=855× × × × × Từ phương trình trên ta suy ra 3 3 1 215 216 6x x x− = ⇔ = ⇔ = . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=6. Câu 3: Tính diện tích phấn bị tô đen: Nối các tâm A, B, C của 3 đường tròn trên . Dễ thấy AB = BC = CA = 2R = 4 Nên ∆ ABC là tam giác đều. Nhìn vào hình vẽ ta có diện tích phần bị tô đen bằng hiệu diện tích giữa ∆ ABC và 3 cung tròn bằng nhau có góc ở tâm là 3 π v à bán kính R = 2. Vậy nến 2 2 2 4 3 3 3 3 4 2 4 3 2 0, 645017923 ( ) to den ABC quat S S S dvdt π π π π × × × = − = − = − ≈ V Câu 4: Gọi a, b, nam a , nam b , nữ a , nữ b lần lượt là số người mang quốc tịch A, B, số nam mang quốc tịch A, B, số nữ mang quốc tịch A, B. Theo đề bài ta có: nam a + nam b = 3 2 (a+b) => nam b = 3 2 8 3 × (a+b) = 4 1 (a+b) mà a = 5 3 (a+b) nên nam a = 12 5 (a+b) => nữ a = 60 11 (a+b) => nữ b = ( ) ba + 20 3 Vậy 20 3 số người trong tổ là nữ mang quốc tịch B. Câu 5: Ta có: b 2 + c 2 =1 => c 2 = 1- b 2 A B C Lại có: a+b+c=0 => c= -a-b => c 2 = a 2 + b 2 + 2ab mà ab= -2 => c 2 = a 2 + b 2 -4 => 1- b 2 = a 2 +b 2 -4 ⇔ a 2 = 5 -2b 2 . Ta lại có: ab=-2 ⇔ (ab) 2 = 4 => 2b 4 -5b 2 +4 =0 => b 2 = 4 75 i+ hoặc b 2 = 4 75 i− Chuyển mày tính sang chế độ CMPLX.  Với b 2 = 4 75 i+ , lần lượt nhập vào máy như sau: + Gán A = 4 75 i+ : ( 5 + ( 7 ) i ) ÷ 4 SHIFT STO A + Gán B = A 2 : ALPHA A x 2 SHIFT STO B + Gán C= (5-2A) 2 : ( 5 - 2 ALPHA A ) x 2 SHIFT STO C. + Gán A= (1-A) 2 : ( 1 - ALPHA A ) x 2 SHIFT STO A + Tính tổng a 4 +b 4 +c 4 : ALPHA B + ALPHA C + ALPHA A = Trên màn hình lúc này xuất hiện: 5.25 nhấn tiếp SHIFT = thì được -4.630064794i  Với b 2 = 4 75 i− , tương tự trên ta được kết quả trên màn hình là: 5.25 nhấn tiếp SHIFT = thì được +4.630064794i. Vậy M= 5.25 - 4.630064794i hoặc M= 5.25 +4.63 . 1: Cách 1: Đặt 12 356 79 4A x y= = 24k ( k ∈Ν ) , khi đó ta có : 12 356 79040 12 356 79 4 24 12 356 79949A x y k≤ = = ≤ 51 486626,67 51 486664 ,54 k⇔ ≤ ≤ Do k ∈Ν nên 51 486627 51 486664k≤ ≤ . Thực. : 12 356 79048, 12 356 79144, 12 356 79240, 12 356 79648, 12 356 79744, 12 356 79840. Cách 2 : Dễ thấy 24 = 8*3 nên A M 24 thì A M 3 và A M 4 . * A chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của A chia cho. (6;8). Vậy kết quả cần tìm là : 12 356 79048, 12 356 79144, 12 356 79240, 12 356 79648, 12 356 79744, 12 356 79840 Cách 3: Ta phân tích A thành A = 12 356 79040 + 0x y = 24 51 486626 16 0x y× + + , từ đây