KINH TẾ LƯỢNG - Chương 4: Tự tương quan

Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quan Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan Ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất khi có tự tương quan Hậu quả của việc sử dụng phương pháp OLS khi có tự tương quan Phát hiện tự tương quan Các biện pháp khắc phụ

Chương 4: Tự tương quan (Autocorrelation)       Bản chất nguyên nhân tượng tự tương quan Ước lượng bình phương nhỏ có tự tương quan Ước lượng tuyến tính khơng chệch tốt có tự tương quan Hậu việc sử dụng phương pháp OLS có tự tương quan Phát tự tương quan Các biện pháp khắc phục Bản chất nguyên nhân tượng tự tương quan Tự tương quan ? Trong mơ hình hồi qui tuyến tính cổ điển, ta giả định khơng có tương quan sai số ngẫu nhiên ui, nghĩa là: cov(ui, uj) = (i ≠ j) Nói cách khác, mơ hình cổ điển giả định sai số ứng với quan sát khơng bị ảnh hưởng sai số ứng với quan sát khác Bản chất nguyên nhân tượng tự tương quan    Tuy nhiên thực tế xảy tượng mà sai số quan sát lại phụ thuộc nhau, nghĩa là: cov(ui, uj) ≠ (i ≠ j) Khi xảy tượng tự tương quan Sự tương quan xảy quan sát “cắt ngang” đgl “tự tương quan không gian” Sự tương quan xảy quan sát “chuổi thời gian” đgl “tự tương quan thời gian” ui, ei ui, ei • • • • • • • • • • • • (a) ui, ei • • • • • • • • • • t • • • • •• • • t (b) ui, ei • • • • • • • • • • • (c) • • • • • • • • t • • (d) ui, ei • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (e) • • • • • • • t t •    Nguyên nhân tự tương quan Quán tính: mang tính chu kỳ, VD: chuổi số liệu thời gian về: GDP, số giá, sản lượng, thất nghiệp, … Sai lệch lập mơ hình: bỏ sót biến, dạng hàm sai Hiện tượng mạng nhện: phản ứng cung nông sản giá thường có khoảng trễ thời gian: QSt = β1 + β2Pt-1 + ut  Độ trễ: hộ chi tiêu nhiều khoảng thời gian t chi tiêu giai đoạn t-1 Ct = β1 + β2It + β3Ct-1 + ut  Hiệu chỉnh số liệu: việc “làm trơn” số liệu → loại bỏ quan sát “gai góc” …  Bản chất (tt) MC                                Dạng mơ hình sai q Ước lượng OLS có tự tương quan   Giả sử tất giả định mơ hình hồi qui tuyến tính cổ điển thoả mãn trừ giả định không tương quan sai số ngẫu nhiên ut ^ β ˆ β khơng cịn ước lượng hiệu nữa, khơng cịn ước lượng khơng chệch tốt Ước lượng bình phương nhỏ có tự tương quan   Xét mơ hình với số liệu chuổi thời gian: Yt = β1 + β2Xt + ut Ta giả thuyết: ut tạo theo cách sau: ut = ρut-1 + et (-1 < ρ < 1) (*) ρ: hệ số tự tương quan; et: sai số ngẫu nhiên, thỏa mãn giả định OLS (et đgl sai số trắng): E(et) = 0; Var(et) = σε2; Cov(et, et+s) = (*): phương trình tự hồi quy bậc Markov, ký hiệu: AR(1)  Nếu u = ρ u + ρ u + e : tự hồi quy bậc hai: AR(2) t t-1 t-2 t Ước lượng bình phương nhỏ có tự tương quan     Với mơ hình AR(1), ta chứng minh được: Nếu ρ=0, phương sai sai số AR(1) phương sai sai số OLS Nếu tương quan ut ut-1 nhỏ, phương sai sai số AR(1) phương sai sai số OLS Vậy ρ tương đối lớn, ước lượng β không chệch khơng cịn hiệu nên chúng khơng “BLUE” Ước lượng tuyến tính khơng chệch tốt có tự tương quan  Ước lượng bình phương tổng quát (GLS) β1 phối hợp tham số tự tương quan ρ vào cơng thức ước lượng Đó lý ước lượng bình phương nhỏ tổng qt ước lượng tuyến tính khơng chệch tốt ta xét mơ hình hai biến: yt = α1 + β1xt + ut (4.23) Nếu (4.23) với t với t – nên: yt-1 = α1 + β1xt - + ut - (4.24) Nhân hai vế (4.24) với ρ ta được: ρyt-1 = ρα1 + ρβ1xt - + ρut - (4.25) Trừ (4.23) cho (4.25) ta được: yt - ρyt-1 = α1(1 - ρ) + β1 (xt - ρxt – 1) + (ut - ρut – 1) = α1(1 - ρ) + β1 (xt - ρxt – 1) + et (4.26) Đặt: α1* = α1 (1 - ρ); β1* = β1 yt* = yt - ρyt – 1; xt* = xt - ρxt – Khi (4.26) viết lại dạng: yt* = α1* + β1*xt* + et (**) Vì et thoả mãn giả định phương pháp OLS biến y* x* nên ước lượng tìm ước lượng tuyến tính khơng chệch tốt Phương trình hồi qui (**) gọi phương trình sai phân tổng quát (Generalized Least Square – GLS)  Để tránh mát quan sát này, quan sát đầu y x biến đổi sau:  y = y1 − ρ * x = x1 − ρ * Trường hợp ρ chưa biết: Thông thường cấu trúc tự tương quan khơng biết nên GLS khó thực Phương pháp sai phân cấp  Nếu ρ = phương trình sai phân tổng quát (4.27) quy phương trình sai phân cấp 1: yt – yt – = β1(xt – xt – 1) + (ut – ut – 1) = β1(xt – xt – 1) + et Hay: ∆yt = β1 ∆ xt + et (4.28) Trong đó: ∆ tốn tử sai phân cấp Để ước lượng hồi qui (4.28) ta sử dụng mơ hình hồi qui qua gốc toạ độ Giả sử mơ hình ban đầu là: yt = α1 + β1xt + β2t + ut (4.29) Trong t biến xu cịn ut theo sơ đồ tự hồi qui bậc Thực phép biến đổi sai phân cấp (4.29) ta được: ∆yt = β1∆xt + β2 + e (4.30) đó: ∆yt = yt – yt – ∆xt = xt – xt – * Phương pháp thường áp dụng hệ số tương quan cao, chẳng hạn, ρ=0,8 d nhỏ, chẳng hạn d < R2 Nếu ρ = -1 nghĩa có tương quan âm hồn tồn Phương trình sai phân tổng qt có dạng: (suy từ 4.27) yt + yt – = 2α1 + β1(xt + xt – 1) + et Hay: yt + yt −1 α1 + β1 xt + xt −1 + et  = 2 Mơ hình gọi mơ hình hồi qui trung bình trượt (2 thời kỳ) hồi qui giá trị trung bình trượt trung bình trượt khác 2 Ước lượng ρ dựa thống kê d-DurbinWatson ˆ d ≈ 2(1 - ρ) hay d ˆ ρ ≈1 − => xấp xỉ khơng với mẫu nhỏ Đối với mẫu nhỏ sử dụng thống kê d cải biên Theil – Nagar n2 (1 − d / ) + k ^ ρ= n2 − k Một có giá trị đổi nêu ˆ ρ , ta dùng chuyển Thủ tục lặp Cochrance – Orcutt để ước lượng ρ Phương pháp sử dụng phần dư et ước lượng để thu thông tin ρ chưa biết Ta xét phương pháp dựa mơ hình hai biến sau: yt = α1 + β1xt + ut (4.34) Giả sử ut sinh từ phương trình AR(1): ut = ρut – + et (4.35) Các bước ước lượng ρ tiến hành sau: Các bước ước lượng ρ tiến hành sau: Bước 1: Ước lượng mơ hình (4.34) phương pháp OLS thu phần dư et Bước 2: Sử dụng phần dư để ước lượng hồi qui: ∧ et = ρet – + vt (4.36) Lưu ý hồi quy qua gốc Do et ước lượng vững ut thực nên ước lượng ρ thay cho ρ thực ˆ ρ Bước 3: sử dụng thu từ (4.36) để ước lượng phương trình sai phân tổng quát (4.26) Tức phương trình: ˆ ρ ˆ ρ yt - yt – = α1 (1 - ) + β1(xt - Hay yt* = α1* + β1* xt* + vt ˆ ρ xt –1) + (ut – ut –1) ˆ ρ ˆ Bước 4: Vì chưa biết trước rằngρ thu từ (4.36) có phải ước lượng tốt ρ hay không Ta giá trị ước lượng α1* β1* thu từ (4.37) vào hồi qui gốc (4.34) thu phần dư et*: et* = yt – (α1* + β1* xt) (4.38) Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (4.36) et* = ρ e*t – + wt (4.39) ˆ ρ ước lượng vòng ρ Thủ tục tiếρ tục ước lượng ρ khác lượng nhỏ, chẳng hạn nhỏ 0,05 0, 005 Phương pháp Durbin – Watson bước để ước lượng ρ Để minh hoạ phương pháp này, viết lại phương trình sai phân tổng quát dạng sau: yt = α1(1 - ρ) + β1 xt – ρβ1xt – + ρyt – + et (4.40) Durbin đề xuất thủ tục bước sau để ước lượng ρ: Bước 1: Coi (4.40) mơ hình hồi qui bội, hồi qui yt theo xt, xt – yt – coi giá trị ước ˆ ρ lượng hệ số hồi qui yt – (= ) ước lượng ρ Mặc dầu ước lượng chệch ta có ước lượng vững ρ Phương pháp Durbin – Watson bước để ước lượng ρ ˆ Bước 2: Sau thu ρ , biến đổi ˆy ρ yt* = yt - ρ t – xt* = xt - xtˆ–1 ước lượng hồi qui (4.27) với biến biến đổi Như vậy, theo phương pháp bước để ước lượng ρ bước để thu tham số Ví dụ: Cho số liệu thu nhập (Y) tiêu dùng (C) khoảng thời gian từ 1975-2005 cho bảng (4.5) Hồi qui C theo Y ta kết quả: ˆ C = -161,5117 + 0,6841864Yt Durbin – Watson d – statistic (2,31) = 0,6838804 Tra bảng với n = 31; k = 1; Ta dL = 1,363; dU = 1,496 Vì d < dL có tự tương quan dương Ví dụ: (tt) Áp dụng phương pháp Durbin –Watson ˆ bước: ρ ˆ CƯớc lượng : t = -2,1583 + 0,361183 Yt – 0,33515 Yt - + 0,97472 Ct – ρ Durbin – Watson d-statistic (4,30) = 1,724628 ρ Từ kết trên, ta thấy = 0,97472 Dùng * để ước lượng phương trình sai phân ˆ Ct ta kết quả: tổng quát, = 31,53429 + 0,41511Yt* Durbin – Watson d-statistic (2,30) = 1,38332 Phương pháp Newey-West để điều chỉnh sai số chuẩn ước lượng OLS     Các phương pháp trước chủ yếu tiến hành qua bước: 1) ước lượng giá trị ρ, 2) dùng giá trị ρ vừa ước lượng để chuyển đổi mô hình hồi quy Phương pháp Newey-West dựa ước lượng OLS điều chỉnh sai số chuẩn để khắc phục tự tương quan Thuật toán để điều chỉnh s.e khơng trình bày phức tạp, phần mềm máy tính tính s.e điều chỉnh Sai số chuẩn điều chỉnh đgl “sai số chuẩn HAC” hay “sai số chuẩn Newey West” ... ≠ (i ≠ j) Khi xảy tượng tự tương quan Sự tương quan xảy quan sát “cắt ngang” đgl ? ?tự tương quan không gian” Sự tương quan xảy quan sát “chuổi thời gian” đgl ? ?tự tương quan thời gian” ui, ei... Watson Giả thuyết H0 Quyết định Khơng có tự tương quan dương Khơng có tự tương quan dương Khơng có tự tương quan âm Khơng có tự tương quan âm Khơng có tự tương quan âm dương Bác bỏ Không qđ Bác bỏ... nên: yt-1 = α1 + β1xt - + ut - (4.24) Nhân hai vế (4.24) với ρ ta được: ρyt-1 = ρα1 + ρβ1xt - + ρut - (4.25) Trừ (4.23) cho (4.25) ta được: yt - ρyt-1 = α1(1 - ρ) + β1 (xt - ρxt – 1) + (ut - ρut