TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. Cho ma trËn vu«ng A cÊp n. Sè ®ưîc gäi lµ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i vÐct¬ sao cho Khi đó vÐct¬ ®ưîc gäi lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng Chó ý. NÕu x lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng th× víi mäi sè vÐct¬ còng lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng λ n x,x ∈≠θ ℝAxx =λ ≠θ xλ λ 0 α≠x αλ
Chương Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương §1 TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 1.1 Định nghĩa Cho ma trËn vu«ng A cÊp n Sè đợc gọi trị riêng A tồn véctơ x n , x cho Ax = λ x Khi vÐct¬ x đợc gọi véctơ riêng A ứng với trị riêng Chú ý Nếu x véctơ riêng A ứng với trị riêng với số véctơ x véctơ riêng A ứng với trị riêng Để tìm trị riêng ma trận vuông A cấp n, ta viÕt Ax = λ x thµnh Ax = Ix ; I ma trận đơn vị cấp n ⇒ ( A − λ I ) x = O : hệ phơng trình tuyến tính Để trị riêng A hệ ph¶i cã nghiƯm x ≠ θ ⇔ A − λ I = : phơng trình để xác định trị riêng A đợc gọi phơng trình đặc trng A Đa thức PA ( ) = A I : đợc gọi đa thức đặc trng A Cách tìm trị riêng véctơ riêng ma trận vuông A: B1 Giải phơng trình đặc trng A I = (với ẩn ) để tìm trị riêng A B2 Giải hệ phơng trình tuyến tÝnh thuÇn nhÊt( A − λ I ) x = O Nghiệm không tầm thờng hệ véctơ riêng cần tìm { } Định nghĩa Đặt E (λ ) = x ∈ ℝ n ( A I ) x = O : không gian nghiƯm cđa hƯ ( A − λ I ) x = O đợc gọi không gian riêng A ứng với trị riêng Định nghĩa Bội đại số (BĐS) trị riêng bội trị riêng phơng trình đặc trng Bội hình học (BHH) trị riêng số chiều không gian riêng ứng với trị riêng (tức dim E( ) ) Định lý BHH trị riêng hn hoc bng BĐS Chú ý BHH trị riêng lớn Định lý Các véctơ riêng ứng với trị riêng khác đltt VD Hãy tìm sở không gian riªng cđa ma trËn A = − −2 0 1.2 Ma trận đồng dạng Định nghĩa Cho A, B hai ma trận vuông cấp n Ma trận B đợc gọi đồng dạng với ma trËn A, ký hiÖu B ∼ A , nÕu tồn ma trận vuông P cấp n không suy biÕn cho B = P-1AP Chó ý NÕu B A A B Định lý Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trng (tức có chung tập trị riêng) Đ2 CHẫO HểA MA TRN 2.1 Định nghĩa Ma trận vuông A cấp n gọi chéo hóa đợc A đồng dạng với ma trận chéo, tức tồn ma trận khả nghịch P cÊp n cho P-1AP = D lµ ma trận chéo Khi ta nói ma trận P làm chÐo hãa ma trËn A (Như vËy chÐo hãa ma trận A tìm ma trận khả nghịch P ma trận chéo D) Định lý (Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa đợc) Điều kiện cần đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa đợc A có n véctơ riêng đltt Chứng minh Xem [1] Việc chứng minh Định lý ®· chøng tá r»ng: Ma trËn P cã c¸c cét véctơ riêng đltt A Ma trận D có phần tử nằm đờng chéo lần lợt trị riêng tơng ứng với véctơ riêng tạo nên P Hệ Nếu ma trận vuông A cấp n có n trị riêng phân biệt A chéo hóa đợc Hệ Ma trận vuông A cấp n chéo hóa đợc BHH trị riêng BĐS chúng 2.2 Các bớc chéo hóa ma trận vuông A cấp n B1 Giải phơng trình đặc trng A I = để tìm trị riêng A Xác định BĐS trị riêng B2 Giải hệ phơng trình tơng ứng với trị riêng Tìm sở không gian riêng để từ xác định BHH trị riêng B3 Nếu BHH trị riêng bé BĐS A không chéo hóa đợc Nếu Hệ thỏa mãn A chéo hóa đợc Ma trận P có cột véctơ riêng sở không gian riêng Các phần tử đờng chéo D lần lợt trị riêng ứng với véctơ riêng tạo nên P (Có thể thay đổi thứ tự cột P trị riêng ma trận D ứng với véctơ riêng tạo nên P) VD Xét xem ma trận A có chéo hóa đợc không? Nếu đợc tìm ma trận P làm chéo hóa A, viết dạng chéo A tính An 1) A = − −2 − 3) A = − − 6 ; 5 − 1 − 1 ; − 2) A = − 4) A = − − 2 3 3 3 §3 CHÉO HĨA TRC GIAO 3.1 Định nghĩa Ma trận vuông A cấp n đợc gọi ma trận trực giao nếu: ATA = I ( hay A-1 = AT ) ▪ Ma trận vuông A cấp n đợc gọi chéo hóa trực giao đợc tồn ma trận trực giao P cÊp n cho P-1AP = D lµ ma trËn chÐo Khi ®ã ta nãi ma trËn P làm chéo hóa trực giao ma trận A Định lý (Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa trực giao đợc) Điều kiện cần đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa trực giao đợc A có hệ trực chuẩn gồm n véctơ riêng 3.2 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Định lý Điều kiện cần đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hóa trực giao đợc A đối xứng 5.3 Dng chớnh tc ca dạng toàn phương 5.3.1 Định nghĩa Giả sử ω dạng tồn phương khơng gian véctơ n chiều V Nếu sở E = {e i } ; i = 1, n V, dạng toàn 2 ω x , , x = λ x + + λ x phương ω có dạng ( n) 1 n n (∗) (*) gọi dạng tắc ω Ma trận dạng tắc sở E ma trận chéo λ1 … 0 λ2 … A = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … λ n 2 ω x , x , x = 2x + x − 5x ( ) VD 3 5.3.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange Giả sử E = {e i } ; i = 1, n sở V dạng tồn phương ω V có dạng n ω ( x ) = ω ( x , , x n ) = n ∑∑ i=1 a ij x i x j j= TH1 Tồn hệ số a ii ≠ a) Nếu a 1 ≠ ta nhóm số hạng chứa x1 ω ( x1 , , x n ) = (a11 x12 + 2a12 x1 x + + 2a1n x1 x n ) + + ω ′ ( x , , x n ) = (a11 x1 + a12 x + + a1n xn ) + ω ′′ ( x2 , , xn ) a11 Trong đó: ω ′′ khơng chứa x1 Đặt y1 = a11 x1 + a12 x + + a1n x n yk = x k ; k = 2, n y1 + ω1 ( y2 , , yn ) Ta có: ω ( x1 , , x n ) = ω ( y1 , , yn ) = a11 đó: ω1 ( y2 , , yn ) dạng toàn phương n – biến y2, , yn Lặp lại trình với dạng toàn phương ω Sau số hữu hạn bước ta thu dạng tắc ω VD Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange tìm sở ứng với dạng tắc 1) ω ( x1 , x , x3 ) = x12 + 5x 22 − 4x32 + 2x1 x − 4x1 x3 2) ω ( x1 , x , x3 ) = 5x12 + 8x22 − 7x32 + 6x1x3 − 14x2 x3 3) ω ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 − 12x1x2 − 6x1x3 + 9x22 + 6x x3 + 5x32 b) Nếu ∃ a ii ≠ với i > a 1 = ta làm tương tự với ý xi đóng vai trò x1 Tức ta đặt yi = ai1 x1 + x + + ain x n yk = x k ; k ≠ i Khi đó:ω ( x1 , , xn ) = ω ( y1 , , yn ) = yi + ω2 ( y1 , , yi−1 , yi+1 , , yn ) ai1 Trong đó: ω dạng toàn phương n – biến y1 , , yi−1 , yi +1 , , yn Lặp lại q trình với dạng tồn phương ω Sau số hữu hạn bước ta thu dạng tắc ω VD Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange ω ( x , x , x ) = 2x x + 4x x − x − 8x 2 3 TH2 Mọi hệ số a ii = tồn hệ số a ij ≠ 0; (i ≠ j) Ta đặt: xi = yi + y j x j = yi − y j x k = yk ; k ≠ i, j Khi ta có: 2aij xi x j = 2aij ( yi2 − y2j ) Nghĩa biểu thức dạng toàn phương xuất số hạng bình phương với hệ số khác Ta tiếp tục thực trường hợp VD Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange ω ( x1 , x , x3 ) = x1 x + x1 x3 + x x3 5.3.3 Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Trong không gian véctơ n chiều V, cho dạng toàn phương ω ( x ) = xT Ax Vì A ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa ma trận trực giao P dạng chéo hóa A là: D = P−1AP −1 T ⇒ A = PDP−1 = PDPT (do P trực giao nên P = P ) Khi T ω ( x ) = x PDP x = (P x ) D (PT x ) T T T Đặt y = PT x ⇔ x = Py (∗) Ta dạng tắc: T ω ( y ) = y Dy = ( y1 y2 λ1 … yn ) ⋮ 0 λ2 ⋮ 0 y1 ⋯ y2 = ⋱ ⋮ ⋮ yn … λ n … = λ1 y12 + λ y22 + + λ n yn2 ; với λi ;i = 1, n trị riêng A Như vậy, dạng toàn phương ω ( x ) = xT Ax ln ln đưa dạng tắc ω ( y ) = yT Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn phương Phép đổi biến (*) có ma trận chuyển sở ma trận trực giao P nên phương pháp gọi phép biến đổi trực giao Phương pháp dựa vào quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng A nên gọi phương pháp chéo hóa trực giao ma trận B1 Viết ma trận A dạng tồn phương sở tắc B2 Chéo hóa trực giao A ma trận trực giao P có dạng chéo A ma trận D B3 Kết luận: Dạng tắc cần tìm T ω ( y ) = y Dy = ( y1 y2 λ1 … yn ) ⋮ 0 λ2 ⋮ 0 y1 ⋯ y2 = ⋱ ⋮ ⋮ yn … λ n … = λ1 y12 + λ y22 + + λ n yn2 ; với D ma trận dạng toàn phương ω sở trực chuẩn tạo nên từ cột ma trận trực giao P; λ1 , λ , , λ n phần tử đường chéo D Phép biến đổi cần tìm là: x = Py VD Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi ω ( x1 , x , x3 ) = 2x12 + 2x 22 + 2x32 − 2x1 x − 2x1 x3 − 2x x3 5.4 Luật quán tính Tồn nhiều phương pháp để đưa dạng tồn phương dạng tắc Các dạng tắc thường khác hệ số dạng tắc tuân theo luật mà gọi Định luật quán tính Định lý (Định luật quán tính) Số hệ số dương, hệ số âm hệ số dạng tắc dạng tồn phương khơng gian véctơ không phụ thuộc vào sở không gian véctơ (tức khơng phụ thuộc vào cách đưa dạng tồn phương dạng tắc) Định nghĩa Số hệ số dương, hệ số âm hệ số dạng tắc dạng toàn phương ω gọi số qn tính ω §6 DẠNG TỒN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH 6.1 Định nghĩa Giả sử ω dạng tồn phương khơng gian véctơ V Dạng tồn phương ω gọi xác định ω ( x ) = ⇔ x = θ 6.2 Định nghĩa Giả sử ω dạng toàn phương xác định • Nếu ω ( x ) > 0; ∀ x ≠ θ ω gọi xác định dương • Nếu ω ( x ) < 0; ∀ x ≠ θ ω gọi xác định âm 6.3 Định lý • Điều kiện cần đủ để dạng toàn phương ω xác định dương tất hệ số dạng tắc dương • Điều kiện cần đủ để dạng tồn phương ω xác định âm tất hệ số dạng tắc âm Hệ • Dạng tồn phương ω xác định dương ma trận có tất trị riêng dương • Dạng tồn phương ω xác định âm ma trận có tất trị riêng âm 6.4 Định nghĩa Cho ma trận A = aij n Các định thức: ∆1 = a11 a11 ∆2 = a 21 a12 a 22 ∆n = a11 a 21 a12 a 22 … a1n … a2 n ⋮ a n1 ⋮ ⋱ ⋮ … a nn an gọi định thức A 6.5 Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester) n • Dạng toàn phương ω ( x , , x n ) = ∑ a ij x i x j xác định i , j= dương tất định thức ma trận A = aij dương Tức ∆i > 0; i = 1, n n • Dạng toàn phương ω xác định âm A có định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm Tức là: i (− 1) ∆i > 0;i = 1, n VD Tìm m để dạng tồn phương sau xác định dương ω ( x ) = 2x12 + x 22 + 3x32 + 2mx1 x + 2x1 x3 ... giao Phương pháp dựa vào quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng A nên gọi phương pháp chéo hóa trực giao ma trận B1 Viết ma trận A dạng tồn phương sở tắc B2 Chéo hóa trực giao A ma trận. .. vậy, dạng toàn phương ω ( x ) = xT Ax ln ln đưa dạng tắc ω ( y ) = yT Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn phương Phép đổi biến (*) có ma trận chuyển sở ma trận trực giao P nên phương. .. P-1AP = D lµ ma trËn chÐo Khi ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trËn A (Như vËy chÐo hãa ma trËn A tìm ma trận khả nghịch P ma trận chéo D) Định lý (Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa đợc) Điều