KHÔNG GIAN VETOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)

Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ (không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu: Có 2 phép toán: • Phép cộng 2 véctơ: • Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): ∅ _ℝ ℝ VVV (PhÐp céng khÐp kÝn) (x,y)xy ×→ + ֏ VV (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) (,x)x ×→ αα ℝ ֏ Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: x,y,zV;, ∀∈∀αβ∈ℝ () ++=++ +=+ θ∈θ+= θ ∀∈∃−∈+−=θ − 1) Céng kÕt hîp: (xy)zx(yz) 2) Céng giao ho¸n: xyyx 3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: xx. PhÇn tö ®−îc gäi lµ phÇn tö trung hßa. 4) Víi xV,xV sao cho: x(x). PhÇn tö x ®−îc gäi lµ α+=α+α α+β=α+β αβ=αβ = phÇn tö ®èi cña x. 5) (xy)xy 6) ()xxx 7) ()x(x) 8) Tiªn ®Ò Unita: 1.xx Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc gäi lµ v« hưíng.

Chương 3 Không gian véctơ

§1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ

1.1 Định nghĩa Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ

(không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu:

V V V (PhÐp céng khÐp kÝn) (x, y) x y

+

֏

V V (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) ( , x) x

ℝ

֏

Hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀ x, y, z ∈ V; ∀α β ∈ ℝ ,

3) T ồn tại phần tử V sao cho : x x

Phần tử đ−ợc gọi là phần tử trung hòa

g: x ( x , x , , x ) (0,0, ,0); x ( x , x , , x )

VD2 Ký hiệu: R2 là tập hợp tất cả các véctơ tự do trong mặt phẳng với phép cộng véctơ và phép nhân 1 số thực với véctơ được định nghĩa như ở phổ thông Khi đó R2 là không gian véctơ trên ℝ

0; véctơ đối của x là x

Tương tự: R3 là tất cả các véctơ tự do trong không gian với phép cộng

và nhân vô hướng như trên cũng là không gian véctơ trên ℝ

VD3 Ký hiệu: Pn[x] là tập tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc

không quá n (n ), tức:

với phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 số với đa thức thông thường Khi đó Pn[x] là không gian véctơ trên

VD4 Ký hiệu: là tập tất cả các ma trận cỡ mìn trên với

phép toán cộng 2 ma trận và nhân 1 số với ma trận Khi đó

Ta có: z 2x 3y ( 2, 4, 6) (12,15,18) (10,11,12) Khi đó z (10,11,12) là thtt của các véctơ x và y

= − ∈ ℝ3

z (7, 3,0)

2) Vộctơ cú phải là thtt của hệ hai vộctơ khụng ? x (1,1,0); y (1, 1,0) = = −

1 3 nghiÖm tÇm th−êng).

VD 2

2.2 §Þnh lý. HÖ vÐct¬ a1, a2, , an trong kh«ng gian vÐct¬ V lµ pttt khi

vµ chØ khi cã mét trong c¸c vÐct¬ cña hÖ lµ thtt cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i

VD 3

2.3 Hệ quả Mọi hệ chứa véctơ không đều pttt

Nếu có một hệ con của hệ pttt thì hệ đã cho cũng pttt Như vậy, nếu hệ đltt thì mọi hệ con của hệ cũng đltt

Đ3 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHễNG GIAN VẫCTƠ

Khi đó ta cũng nói E sinh ra V

Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x đối với cơ sở E và

Bổ đề Với mỗi véctơ V thì tọa độ đối với một cơ sở E là duy nhất

1 2

3) Hoµn toµn t−¬ng tù, trong : XÐt hÖ vÐct¬ e (1,0, ,0)

e (0,1, ,0)

=

= ℝ

n n

NhËn xÐt Mét kh«ng gian vÐct¬ cã thÓ cã nhiÒu c¬ së

3.2 H¹ng cña hÖ vÐct¬

Trong kh«ng gian vÐct¬ V cho hÖ vÐct¬ S = {a1,a2, ,am} Gi¶ sö kh«ng gian vÐct¬ V cã c¬ së E = {e1,e2, ,en} BiÓu diÔn mçi vÐct¬ cña hÖ S theo c¬ së E ta cã

Nhận xét

Hạng của hệ véctơ S là số r khi và chỉ khi tồn tại r véctơ của hệ S đltt

và mọi hệ gồm (r + 1) véctơ của S đều pttt

Hạng của hệ véctơ S là số tối đa các véctơ đltt của hệ

Có thể xét sự đltt hay pttt của hệ S gồm m véctơ thông qua xét hạng của hệ, nếu r(S) = m thì hệ S đltt, nếu r(S) < m thì hệ S pttt

Định lý 1 Nếu V là không gian véctơ có một cơ sở hữu hạn thì hạng

của một hệ véctơ trong V bằng hạng của ma trận tọa độ của hệ đó đối với một cơ sở bất kỳ của V

Nhận xét Xột hệ S cú m vộctơ Khi đú:

• Nếu r(A) = m thì hệ S đltt

• Nếu r(A) < m thì hệ S pttt

VD Tìm hạng của hệ véctơ S = {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1,3,0),

a2 = (0,2,4), a3 = (1,5,4), a4 = (1,1,-4)

Định lý 2 Nếu trong không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ

thì mọi hệ gồm (n+1) véctơ trong V đều pttt

Hệ quả Nếu không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ thì số

véctơ của một cơ sở bất kỳ của V cũng bằng n

3

⊂ ℝ

3.3 Định nghĩa Một không gian véctơ V được gọi là không gian véctơ hữu hạn chiều nếu tồn tại một cơ sở trong V gồm một số hữu hạn véctơ Số véctơ trong cơ sở của V gọi là số chiều của V và ký hiệu là: dimV

VD 1) lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu, dim = n

2) Trong Pn[x]: HÖ vÐct¬ {1, x, x2, , xn} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Pn[x],

do đó Pn[x] là không gian véctơ hữu hạn chiều, dimPn[x] = n + 1

3) Trong kh«ng gian vÐct¬ :

XÐt hÖ vÐct¬ {eij} mµ eij, lµ ma trËn cì m×n mµ phÇn tö ë vÞ trÝ (i,j) bằng 1 vµ c¸c phÇn tö ë vÞ trÝ kh¸c b»ng 0, tøc

Định lý Nếu V là không gian véctơ n chiều thì mọi hệ gồm n véctơ

đltt trong V đều là cơ sở của V

3.4 Không gian véctơ con

3.4.1 §Þnh nghÜa

Cho kh«ng gian vÐct¬ V TËp con ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con (hay kh«ng gian con) cña V nÕu A còng lµ kh«ng gian vÐct¬ víi hai phÐp to¸n trªn V

3.4.2 §Þnh lý (Tiªu chuÈn kh«ng gian con)

Cho kh«ng gian vÐct¬ V TËp con lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña V khi vµ chØ khi:

VD1

Cho V là một không gian véctơ Khi đó

V là không gian con của V

Tập là không gian con của V

Hai không gian con và V là hai không gian con tầm thường của V

M ( ) ℝ

3.4.3 Kh«ng gian con sinh bëi hÖ vÐct¬

§Þnh nghÜa 1 Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ S = {a1, a2, , an} lµ mét

hÖ vÐct¬ cña V Ta gäi tËp tÊt c¶ c¸c thtt cña hÖ S lµ bao tuyÕn tÝnh

cña S, ký hiÖu lµ spanS Như vËy

§Þnh lý 1 SpanS lµ mét kh«ng gian con cña V

§Þnh nghÜa 2 SpanS ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con sinh bëi hÖ vÐct¬ S vµ ký hiÖu lµ < S > = < a1, a2, , an > = SpanS

SpanS = λ a + λ a + + λ a λ ∈ ℝ ;a ∈ V

VD1 Xét A là không gian con của như trong VD2 trong mục 4.2

Ta có:

Do đó:

Suy ra A = < S > với S = {(1,0,-2); (0,1,-1)} Vậy S là hệ sinh của A Kiểm tra thấy S đltt Do đó S là cơ sở của A Vậy dimA = 2

Định lý 2 Nếu S là không gian véctơ con của không gian véctơ hữu

hạn chiều V thì S là không gian véctơ hữu hạn chiều và dimS ≤ dimV Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi S = V

Mệnh đề Nếu {e1, , ek} là cơ sở của không gian véctơ con S của

không gian véctơ n chiều V thì tồn tại các véctơ ek+1, , en thuộc V sao cho {e1, , ek, ek+1, , en } là cơ sở của V

3ℝ

3.5 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn:

AX = O (1)

Ký hiệu: Tập hợp nghiệm của hệ (1) là N

Định lý 1 N là một không gian con của , nó được gọi là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) và dimN = n – r; với r = r(A)

Định nghĩa Mỗi cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất (1) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ

phương trình đó

nℝ

Nếu là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (1) thì

được gọi là một nghiệm tổng quát của (1) Do đó

c β + β + + c c − β − ; với c ∈ ℝ ; i = 1, n r −

Nhận xét Nếu (1) là hệ phương tình Cramer thì hệ chỉ có duy nhất

nghiệm tầm thường Tức N = {(0,0, ,0)}, do đó dimN = 0

{ β β1, , ,2 βn r− }

N = c β + β + + c c − β − ; với c ∈ ℝ ; i = 1,n r −

VD1 T×m mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ phư¬ng tr×nh sau vµ gi¶i

Dựa vào mối liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

tương ứng ta suy ra: Nếu biết một nghiệm nào đó của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và tập hợp N các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng thì ta suy ra tập tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là:

3.6 Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ

Cho V là không gian véctơ n chiều có các cơ sở là

Giả sử biểu diễn các phần tử của cơ sở E’ qua cơ sở E ta được:

được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ

sở E sang cơ sở E’ và ký hiệu là AE E'→

Khi đó A-1 được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E’ sang cơ sở E

Vì ma trận chuyển từ cơ sở E’ sang cơ sở E là A-1 nên công thức

chuyển từ tọa độ sang tọa độ là

( x , x , , x1 2 n ) ( x , x , , x1′ 2′ n′ )

[ ] x E′ = A−1[ ] x E

NhËn xÐt Cho lµ c¸c c¬ së

cña kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V

NÕu A lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’

B lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E’’

th× AB lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’’

Đ4 KHễNG GIAN EUCLIDE

4.1 Định nghĩa Cho không gian véctơ V trên , lấy bất kỳ x, y V

Tích vô hướng của x và y là một số thực, ký hiệu là <x,y> thỏa mãn các tính chất sau:

▪ Không gian véctơ V hữu hạn chiều trên cùng với một tích vô

hướng đã cho trên V đợc gọi là một không gian Euclide

VD Không gian véctơ là không gian Euclide với tích vô hướng

thông thường (tích vô hướng Euclide) tương tự như trong và

4.2 Độ dài của véctơ

Định nghĩa Cho không gian Euclide V và x V Độ dài (hay chuẩn) của véctơ x, ký hiệu là số thực được xác định bởi

Nếu = 1 thì x được gọi là véctơ đơn vị

d(x,y) = được gọi là khoảng cách giữa x và y

Việc chia một véctơ khác cho độ dài của nó được gọi là chuẩn

hóa véctơ đó Khi đó ta sẽ được véctơ đơn vị Tức

∈

x = x,x x

VD Trong không gian Euclide , cho ta có

gọi là độ dài Euclide của x x = x, x = x12 + + x2n

n

ℝ x = ( x , , x1 n )

n

∈ ℝ

4.3 VÐct¬ trực giao

§Þnh nghÜa Trong mét kh«ng gian Euclide V, hai vÐct¬ x, y

®ưîc gäi lµ trùc giao (hay vu«ng gãc) nÕu vµ ký hiÖu

VD. Trong với tích vô hướng Euclide cho

Khi đó:

Vậy x, y là hai véctơ trực giao

NhËn xÐt VÐct¬ ®ưîc coi lµ trùc giao víi mäi vÐct¬ cña V

4.4 Hệ véctơ trực giao, trực chuẩn

Định nghĩa 1

Một hệ véctơ trong không gian Euclide được gọi là hệ trực giao

nếu các véctơ của hệ trực giao từng đôi một

Một hệ véctơ trong không gian Euclide được gọi là hệ trực chuẩn

nếu hệ này trực giao và mọi véctơ của hệ đều có chuẩn bằng 1

VD1 Trong với tích vô hướng thông thường ℝ3

Định lý Trong không gian Euclide nếu u1, u2, ,uk là một hệ véctơ

trực giao và các véctơ ui thì hệ véctơ này đltt

Nhận xét Trong một không gian Euclide n chiều, mọi hệ gồm n véctơ

khác trực giao đều là một cơ sở của không gian đó

Định nghĩa 2 Cơ sở trong Nhận xét trên được gọi là cơ sở trực giao

của không gian Euclide Nếu độ dài của mỗi véctơ trong cơ sở trực giao bằng 1 thì ta gọi nó là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide

VD2 Hệ các véctơ trong VD1 cho ta một cơ sở trực giao và một cơ sở

trực chuẩn trong

4.5 Quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt

Dùng để xây dựng cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide từ một cơ sở cho trước

B3 X©y dùng c¬ së trùc chuÈn {v1, ,vn} cña V b»ng viÖc chuÈn hãa c¸c vÐct¬ ë B2 Tøc:

VD1 Trong kh«ng gian Euclide , h·y trùc chuÈn hãa c¬ së

Định lý 1 Mọi không gian Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn

Định lý 2 Nếu E = {e1, ,en} là cơ sở trực chuẩn của không gian

Euclide n chiều V thì mọi x , x có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

VD 3 Xét cơ sở trực chuẩn {v1, v2, v3} của ở VD1 Hãy biểu

diễn x = (1,2,3) thành một thtt của các véctơ của cơ sở trực chuẩn đó