Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ (không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu: Có 2 phép toán: • Phép cộng 2 véctơ: • Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): ∅ _ℝ ℝ VVV (PhÐp céng khÐp kÝn) (x,y)xy ×→ + ֏ VV (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) (,x)x ×→ αα ℝ ֏ Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: x,y,zV;, ∀∈∀αβ∈ℝ () ++=++ +=+ θ∈θ+= θ ∀∈∃−∈+−=θ − 1) Céng kÕt hîp: (xy)zx(yz) 2) Céng giao ho¸n: xyyx 3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: xx. PhÇn tö ®−îc gäi lµ phÇn tö trung hßa. 4) Víi xV,xV sao cho: x(x). PhÇn tö x ®−îc gäi lµ α+=α+α α+β=α+β αβ=αβ = phÇn tö ®èi cña x. 5) (xy)xy 6) ()xxx 7) ()x(x) 8) Tiªn ®Ò Unita: 1.xx Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc gäi lµ v« hưíng.
Chương Khơng gian véctơ §1 KHÁI NIỆM KHƠNG GIAN VÉCTƠ 1.1 Định nghĩa Một tập V ≠ ∅ gọi khơng gian véctơ (khơng gian tuyến tính) ℝ (hay ℝ _ khơng gian véctơ) nếu: Có phộp toỏn: Phộp cng vộct: VìV V (PhÐp céng khÐp kÝn) (x, y) ֏ x + y • Phép nhân số với véctơ ( phép nhân vơ hướng): ℝ ×V → V (α , x) ֏ x (Phép nhân vô hớng khép kín) Hai phép toán thỏa mãn tiên đề sau: x, y, z ∈ V; ∀α , β ∈ ℝ 1) C én g k Õt hỵ p: (x + y ) + z = x + (y + z ) ) C én g g iao h o ¸n : x + y = y + x 3) T n ph ần tử V cho : θ + x = x P h Çn tử đ ợc g ọ i phần tư tru n g h ßa ) V í i ∀ x ∈ V , ∃ (− x ) ∈ V cho : x + (− x ) = P h ần tử x đ ợ c g ọ i ph ần tử ® è i cñ a x ) α (x + y ) = α x + α y ) ( α + β )x = α x + β x ) ( α β )x = α ( x ) 8) T iên đ ề U nita: x = x Mỗi phÇn tư cđa V đợc gọi véctơ Mi phần tử đợc gọi vô hớng VD1 { } Tập gồm tất n số thực: n = (x1,x2 , ,xn ) xi ∈ ℝ;i = 1,n lµ không gian véctơ với i Phép cộng vÐct¬ : x + y = (x1 + y1,x2 + y2 , ,xn + yn ) víi x = (x1,x2 , ,xn ); y = (y1,y2 , ,yn ) i Phép nhân vô hớng: x = (x1, x2 , , αxn ) ⇒ θ = (0,0, ,0); − x = (−x1,−x2 , ,−xn ) VD2 Ký hiƯu: R2 lµ tËp hợp tất véctơ tự mặt phẳng với phép cộng véctơ phép nhân số thực với véctơ đợc định nghĩa nh phổ thông Khi R2 không gian véctơ = 0; véctơ đối x x Tơng tự: R3 tất véctơ tự không gian với phép cộng nhân vô hớng nh không gian véctơ VD3 Ký hiệu: Pn[x] tập tất đa thức với hệ số thực có bậc không n (n ), tøc: { Pn [ x ] = a o + a1x + a x2 + + a n x n a i ∈ ℝ ; i = 0, n } với phép cộng đa thức phép nhân số với đa thức thông thờng Khi Pn[x] không gian véctơ = + x + x + + x n − p (x ) = − a o − a x − a x − − a n x n VD4 Ký hiệu: Mmìn ( ) tập tất ma trận cỡ mìn với phép toán cộng ma trận nhân số với ma trận Khi Mmìn ( ) không gian véctơ ℝ 1.2 Các tính chất Định lý Trong khơng gian véctơ V ta có: Véctơ θ Véctơ đối véctơ x ∈ V ∀ x ∈ V ta có 0.x = θ ∀ x ∈ V ta có (− 1).x = − x ∀ k ∈ ℝ ta có k.θ = θ k = Với x ∈ V , k ∈ ℝ ta có k x = θ ⇔ x = θ Định nghĩa ∀ x , y ∈ V : x − y = x + (− y ) §2 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa Cho không gian véctơ V hệ véctơ a1, a2, , an V i Một tổ hợp tuyến tính (thtt) hệ véctơ cho tỉng cã d¹ng: n x = ∑ λ i a i = λ1a1 + λ a + + λ n a n ∈ V, ®ã: λ1 , λ , , λ n ∈ ℝ i =1 Khi ta nói x biểu thị tuyến tính qua véctơ , i = 1, n Nh vậy, véctơ thtt hệ véctơ i HƯ vÐct¬ {a1 , a2 , , a n } đợc gọi phụ thuộc t uyến tính (pttt) tồn số , , , n không đồng thời cho thtt cđa hƯ b»ng θ (tøc λ1a1 + λ a + + λ n a n = θ ) i HƯ vÐct¬ {a1 , a2 , , a n } đợc gọi độc lập tuyến tính (đltt) không pttt, tức từ 1a1 + λ a + + λ n a n = θ suy λ i = 0; ∀ i = 1, n VD 1) Trong ℝ3 : x = (1,2,3); y = (4,5,6) Ta cã: z =−2x +3y = (−2,−4,−6) +(12,15,18) = (10,11,12) Khi ®ã z = (10,11,12) thtt véctơ x y 2) Véctơ z = (7,−3,0) ∈ ℝ có phải thtt hệ hai véctơ x = (1,1,0); y = (1,−1,0) không ? VD Trong ℝ2 : x = (1,1); y = (2,3) Hệ {x,y} đltt vì: λ1 +2λ2 = XÐt λ1x +λ2y =θ ⇔ (λ1,−λ1) +(2λ2 ,3λ2 ) = (0,0) ⇔ −λ1 +3λ2 = Gi¶i hƯ suy λ1 =2 = (hoặc hệ phơng trình tuyến tính = nên hệ cã nghiƯm tÇm th−êng) nhÊt cã −1 VD Trong ℝ3 : x = (−1,3,2); y = (2,0,1); z = (0,6,5) −λ1 + 2λ2 = HÖ {x,y,z} pttt v×: XÐt λ1x +λ2 y +λ3z = θ;(∗) ⇔ 3λ1 + 6λ3 = 2λ1 +λ2 + 5λ3 = Đây hệ phơng trình tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã = nên hệ có nghiệm không tầm thờng, tức tồn số 1, , không ®ång thêi b»ng ®Ĩ (∗) ®óng VËy hƯ pttt 2.2 Định lý Hệ véctơ a1, a2, , an không gian véctơ V pttt có véctơ hệ thtt véctơ lại 2.3 Hệ Mọi hệ chứa véctơ không pttt Nếu có hệ hệ pttt hệ cho pttt Nh vậy, hệ đltt hệ hệ đltt VD Xét VD.1) hệ {x,y,z} pttt v× z = -2x +3y Nhưng hƯ {x,y} ®ltt v×: λ1 + 4λ2 = XÐt λ1x +λ2 y = θ ⇔ 2λ1 + 5λ2 = ⇒ λ1 = λ2 = 3λ1 + 62 = VD1 Tìm hệ nghiệm hệ phơng trình sau giải hệ phơng trình ®ã x1 + 7x2 − 8x3 + 9x4 = 2x1 − 3x2 + 3x3 − 2x4 = 5x1 + x2 − 2x3 + 5x4 = 3x1 −13x2 + 14x3 −13x4 = Dùa vào mối liên hệ nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tổng quát nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tơng ứng ta suy ra: Nếu biết nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tổng quát tập hợp N nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tơng ứng ta suy tập tất nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tổng quát là: + N = {λ + u u ∈ N } VD2 Giải hệ phơng trình sau: x1 + 7x2 8x3 + 9x4 = 2x1 − 3x2 + 3x3 − 2x4 = 5x1 + x2 − 2x3 + 5x4 = 13 3x1 −13x2 + 14x3 13x4 = 3.6 Đổi sở phép biến đổi tọa độ Cho V không gian véctơ n chiều có sở E = {e , e , , e n } ; E ′ = {e 1′ , e 2′ , , e n } Giả sử biểu diễn phần tử sở E qua sở E ta đợc: e 1′ = a 1 e + a e + + a n e n e 2′ = a e + a 2 e + + a n e n e n′ = a n e + a n e + + a n n e n Ma trËn a11 a12 a1n a a22 a2n đợc gọi ma trận chuyển c s từ c¬ 21 A = ⋮ ⋮ ⋱ sở E sang sở E ký hiƯu lµ A E→E' an1 an2 ann Khi A-1 đợc gọi ma trận chuyển tõ c¬ së E’ sang c¬ së E Cho x ∈ V Gi¶ sư x E = (x1 , x , , x n ) vµ x E ′ = (x1′, x 2′ , , x n′ ) Khi ta có công thức chuyển từ tọa độ (x1′, x 2′ , , x n′ ) sang täa ®é (x1 , x , , x n ) lµ [ x ]E = A [ x ]E ′ Trong đó:[ x ]E [ x ]E ma trận cột tọa độ x1 x2 [ x ]E = = [ x1 ⋮ x n x2 T xn ] ;[ x ]E ′ x1′ x′ = = x1′ x2′ ⋮ x ′ n xn Vì ma trận chuyển từ sở E sang sở E A-1 nên công thức chun tõ täa ®é (x1 , x , , x n ) sang täa ®é(x1′, x 2′ , , x n′ ) lµ [ x ]E ′ = A−1 [ x ]E T NhËn xÐt Cho E = {ei } , E ′ = {ei′} , E ′′ = {ei} sở không gian véctơ n chiều V Nếu A ma trận chuyển từ sở E sang sở E B ma trận chuyển từ sở E sang sở E AB ma trận chuyển từ sở E sang sở E VD1 Trong , cho c¬ së E = {e1 = (1, 0); e2 = (0,1)} E ′ = {e1′ = (1,1); e2′ = (2,1) } a) Tìm ma trận chuyển sở b) Tìm [ x ]E ′ nÕu AE → E ' xE = (7,2) VD2 Trong , cho sở E = {e1 = (1, 0); e2 = (0, − 1)} E ′ = {e1′ = (2, − 1); e2′ = (1,1) } T×m [ x ]E biÕt xE ′ = (1,2) §4 KHƠNG GIAN EUCLIDE 4.1 Định nghĩa Cho không gian véctơ V , lấy x, y V Tích vô hớng x y lµ mét sè thùc, ký hiƯu lµ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: 1) x, x ≥ vµ 2) x, y = y, x 3) x + y, z = x, z + y, z ; ∀ z ∈ V 4) λ x, y = λ x, y ; ∀ λ ∈ ℝ x, x = x = Không gian véctơ V hữu hạn chiều với tích vô hớng cho V đợc gọi không gian Euclide n VD Không gian véctơ không gian Euclide víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng (tÝch vô hớng Euclide) tơng tự nh x, y = (x1 , , x n ) , (y1 , , y n ) = x1 y1 + + x n y n 4.2 Độ dài véctơ Định nghĩa Cho không gian Euclide V x V Độ dài (hay chuẩn) véctơ x, ký hiệu x số thực đợc xác định x = x,x Nếu x = x đợc gọi véctơ đơn vị d(x,y) = x y đợc gọi khoảng cách x y Việc chia véctơ khác cho độ dài đợc gọi chuẩn x hóa véctơ Khi ta đợc véctơ đơn vị Tức = y y =1 x n VD Trong kh«ng gian Euclide ℝ , cho x = (x1 , , x n ) ta cã x = x, x = 2 n x + + x gọi độ dài Euclide cña x ∈ ℝ n TÝnh chÊt i x ≥ vµ x = ⇔ x = θ i λ x = λ x ; ∀λ ∈ ℝ i x + y x + y ; (bất đẳng thức tam giác) i Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: x, y ≤ x y VD n Trong kh«ng gian Euclide ℝ với tích vô hớng thông thờng, bất đẳng thức C-S lµ: n ∑ i =1 n x i yi ≤ ∑ i =1 x 2i n ∑ i =1 y 2i 4.3 Véctơ trc giao Định nghĩa Trong không gian Euclide V, hai véctơ x, y đợc gọi trực giao (hay vuông góc) x,y = vµ ký hiƯu x ⊥ y ℝ VD Trong với tích vơ hướng Euclide cho x = (2, −1) , y = (2, 4) Khi đó: x,y = 2.2 +(−1).4 = Vậy x, y hai véctơ trực giao Nhận xét Véctơ đợc coi trực giao víi mäi vÐct¬ cđa V 4.4 HƯ vÐct¬ trùc giao, trực chuẩn Định nghĩa Một hệ véctơ không gian Euclide đợc gọi hệ trực giao véctơ hệ trực giao đôi Một hệ véctơ không gian Euclide đợc gọi hệ trực chuẩn hệ trực giao véctơ hƯ ®Ịu cã chn b»ng VD1 Trong ℝ với tích vô hớng thông thờng i {(1,1,0);(1,1,2);(1,1,1)}: hệ véctơ trùc giao 1 1 1 i , ,0;− , , ; ,− , : hƯ vÐct¬ trùc chn 3 2 6 Định lý Trong không gian Euclide u1, u2, ,uk hệ véctơ trực giao véctơ ui,i =1,k hệ véctơ đltt Nhận xét Trong không gian Euclide n chiều, hệ gồm n véctơ khác trực giao sở không gian Định nghĩa Cơ sở Nhận xét đợc gọi sở trực giao không gian Euclide Nếu độ dài véctơ sở trực giao ta gọi sở trực chuẩn không gian Euclide VD2 Hệ vÐct¬ VD1 cho ta mét c¬ së trùc giao sở trực chuẩn 4.5 Quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt Dùng để xây dựng sở trực giao sở trực chuẩn không gian Euclide từ sở cho trớc Thuật toán B1 Chọn {e1, ,en} sở không gian Euclide n chiều V B2 Xây dựng sở trực giao {u1, ,un} V nh sau: Đặt u1 = e1 u2 = e2 − u3 = e3 − e2 ,u1 u1 e3 ,u1 u1 u1 2 u1 − n−1 un = en −∑ i=1 en ,ui ui ui e3,u2 u2 u2 B3 Xây dựng sở trùc chn {v1, ,vn} cđa V b»ng viƯc chn hãa u1 u2 un ,v2 = , ,vn = ⇒ vi = 1; i = 1,n véctơ B2 Tức: v1 = u1 u2 un VD1 Trong kh«ng gian Euclide ℝ , h·y trùc chuÈn hãa c¬ së E = {e1 = (1,-1,0); e2 = (0,1,-1); e3 = (1,1,-1)} VD2 Hãy tìm sở trực chuẩn không gian ℝ sau W = {(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ ℝ x1 = x2 + 2x3 } Định lý Mọi không gian Euclide n chiều tồn sở trực chuẩn Định lý Nếu E = {e1, ,en} sở trực chuẩn không gian Euclide n chiều V x V, x cã thĨ biĨu diƠn nhÊt dưíi d¹ng n x = ∑ x,ei ei i=1 VD XÐt c¬ së trùc chn {v1, v2, v3} cđa ℝ ë VD1 H·y biĨu diƠn x = (1,2,3) thµnh mét thtt véctơ sở trực chuẩn ... Khơng gian vộct 3.4.1 Định nghĩa Cho không gian véctơ V Tập A V đợc gọi không gian véctơ (hay không gian con) V A không gian véctơ với hai phép toán V 3.4.2 Định lý (Tiêu chuẩn không gian con)... Cho không gian véctơ V Tập A V không gian véctơ V vµ chØ khi: i ∀a, b ∈ A th× a + b ∈ A i ∀α ∈ ℝ,∀a ∈ A th× αa ∈ A VD1 Cho V không gian véctơ Khi V không gian V Tập {V } không gian. .. Định lý Nếu S không gian véctơ không gian véctơ hữu hạn chiều V S không gian véctơ hữu hạn chiều dimS dimV Dấu = xảy S = V Mệnh đề Nếu {e1, , ek} sở không gian véctơ S không gian véctơ n chiều