HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) CÁC DẠNG BÀI TẬP
Chương Hệ phương trình tuyến tính §1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính tổng qt hệ gồm m phương trình, n ẩn (m, n ∈ ℕ∗ ) a11x1 + a12 x + + a1n x n = b1 a 21x1 + a 22 x + + a n x n = b2 (I) a m1 x1 + a m x + + a mn x n = b m ®ã: x j ( j = 1, n) : đợc gọi Èn cđa hƯ a ij (i = 1, m; j = 1, n) : đợc gọi hệ số ẩn bi (i = 1, m ) : đợc gọi hệ số tự Ký hiệu: a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n a21 a22 … a2n b2 = (a ) ; A = A = ij m×n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a a a … a a … a b m1 m2 m1 m2 mn mn m Ma trËn hƯ sè Ma trËn bỉ sung cđa hÖ b1 x1 b x T T 2 B = =(b1 b2 … bm ) ; X = =(x1 x2 … xn ) ⋮ ⋮ bm xn Ma trËn hÖ sè tù Ma trËn Èn Khi hệ (I) viết dạng AX = B; (II): gọi dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính n Bộ số ( α , α , , α n ) ∈ ℝ gọi nghiệm hệ (I) A α = B, với α = (α α2 T α n ) Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình gọi tập hợp nghiệm hệ phương trình Hai hệ phương trình tuyến tính có ẩn số gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm §2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Định lý Kronecker – Capeli Hệ phương trình tuyến tính tổng ( ) quát (I) có nghiệm r ( A) = r A 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Cramer Định nghĩa hệ Cramer Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát (I) gọi hệ Cramer m = n A ≠0 a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 Nh− vËy: an1x1 + an x2 + + ann xn = bn (III): HƯ Cramer Định lý Cramer Hệ Cramer có nghiệm tính theo cơng thức xj = Aj A ( ; j = 1, n ) Trong đó: A: ma trận hệ số Aj: ma trận thu từ ma trận A cách thay cột thứ j cột hệ số tự VD Giải hệ phương trình x1 + x − x = x + 3x = x1 + x + x = − VD Giải biện luận hệ phương trình a x1 + x + x = x1 + a x + x = x1 + x + a x = Chú ý Khi giải biện luận hệ phương trình tuyến tính, xảy trường hợp A = A1 = A2 = A3 = , ta khơng có kết luận “ Hệ vơ số nghiệm”, để có kết luận xác ta phải giải hệ phương pháp Gauss (sẽ trình bày sau) Còn xảy trường hợp A = có A j ≠ hệ cho vơ nghiệm VD Giải hệ phương trình x + 2y − z = − x − y + z = x + y − z = 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp ma trận nghịch đảo Xét hpt tuyến tính AX = B với A ma trận khả nghịch (suy hpt hệ Cramer) Khi hệ có nghiệm là: X = A-1B VD Giải hệ phương trình: − 3x + y + z = − y + z=3 2x − 3y − z = 2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B Bước Đưa ma trận bổ sung A dạng bậc thang PBĐSC hàng Ta hệ phương trình tương đương với hệ cho Bước Giải hệ phương trình với quy tắc: Các ẩn mà hệ số phần tử khác hàng ma trận bậc thang gọi ẩn ràng buộc Các ẩn lại ẩn tự VD Giải hệ phương trình x + z − 2y = + 5x = x1 − x2 3x + y − z = − − 14x4 − 3x1 − x3 + 5x2 = − 22 a) ; b) − 4y + 9x + 2z = 2x1 − 4x2 + x3 + 11x = 17 5x − 3y + 2z = x1 + 6x − x3 + x2 = ▪ Các bước giải biện luận hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt: AX = B; (m phương trình, n ẩn) Bước Đưa ma trận bổ sung A dạng bậc thang PBĐSC hàng Bước Xét hạng ma trận bậc thang ( ) N Õ u r (A ) = N Õ u r (A ) = i N Õ u r A ≠ r ( A ) th ì h ệ v ô n g h iƯ m i i víi r ( A ) = n th × h Ư c ã n g h iÖ m d u y n h Ê t r ( A ) = r < n th × h Ö c ã v « s è n g h iÖ m (n − r ) È n tù d o v µ r È n rµ n g b u é c VD Giải biện luận hệ phương trình a x + y + z = x + a y + z = x + y + a z = §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính tổng qt tất hệ số tự gọi hệ phương trình tuyến tính Như a11x1 + a12 x + + a1n x n = a 21x1 + a 22 x + + a n x n = a m1 x1 + a m x + + a mn x n = (1) hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn Dạng ma trận hệ: AX = O; với A = (aij)m×n Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính (1) ln có nghiệm (0,0, ,0), nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ 3.2 Định lý Hệ phương trình tuyến tính (1) với n ẩn có nghiệm khơng tầm thường (tức nghiệm khác nghiệm tầm thường (0,0, ,0)) r(A) < n; (A ma trận hệ số) Nhận xét Trường hợp r(A) = n hệ (1) có nghiệm tầm thường Hệ Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn hệ có nghiệm khơng tầm thường ▪ Khi m = n, hệ (1) trở thành a x + a x + + a x = 11 12 1n n a21x1 + a22 x2 + + a n x n = a n1x1 + a n x2 + + a nn x n = (2) Hệ Hệ phương trình tuyến tính dạng (2) có nghiệm khơng tầm thường |A| = 0; (A ma trận hệ số) Nhận xét Trường hợp A ≠ hệ (2) có nghiệm tầm thường 3.3 Mối liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt nghiệm hpt tuyến tính tương ứng Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt: AX = B; (a) hệ phương trình tuyến tính nhất: AX = O; (b) Khi đó: ▪ Hiệu hai nghiệm (a) nghiệm (b) ▪ Tổng nghiệm (a) nghiệm (b) nghiệm (a) VD Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm tầm thường mx + y + z = x + my + z = x + y + mz = VD Giải hệ phương trình 9x + x1 + 7x2 − 8x3 + = x1 + 3x3 − 3x2 − 2x = 5x1 + x2 − x3 + 5x = 3x1 − 13x + 14 x3 − 13x = ... nghiệm hệ phương trình gọi tập hợp nghiệm hệ phương trình Hai hệ phương trình tuyến tính có ẩn số gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm §2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1... Kronecker – Capeli Hệ phương trình tuyến tính tổng ( ) qt (I) có nghiệm r ( A) = r A 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Cramer Định nghĩa hệ Cramer Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát... luận hệ phương trình a x + y + z = x + a y + z = x + y + a z = §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát tất hệ số tự gọi hệ