BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) V

Bài tập chương Cho V = {( x1 , x ) x1 , x ∈ ℝ } Xét xem V có phải khơng gian véctơ ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng sau không? 1) (+ ): ( x1 , x ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , x + y2 ) (i ): λ ( x1 , x ) = (λx1 , x ); ∀λ ∈ ℝ 2) (+ ): ( x1 , x ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , x + y2 ) (i ): λ ( x1 , x ) = (λ x1 , λ x ); ∀λ ∈ ℝ Hãy biểu diễn véctơ x thành tổ hợp tuyến tính véctơ u, v, w 1) x = (7, −2,15); u = (2, 3, 5); v = (3, 7,8); w = (1, − 6,1) 2) x = + 9t + 5t2 ; u = + t + 4t2 ; v = − t − 3t2 ; w = + 2t + 5t2 Hãy xác định λ cho x tổ hợp tuyến tính u, v, w 1) x = (7, − 2, λ ); u = (2, 3, 5); v = (3, 7,8); w = (1, − 6,1) 2) x = λ + 9t + 5t2 ; u = + 2t + 4t2 ; v = − t − 3t2 ; w = + 3t + 6t2 Cho x, y, z ba véctơ độc lập tuyến tính khơng gian véctơ V Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau: 1) S = {u = x + y − 2z; v = x − y; w = 3y + z } 2) S = {u = x + y − 3z; v = x + 3y − z; w = y + mz } Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau: 1) S = {x2 + x + 1;2x2 + x + 2;3x2 + mx + 3} P2 [ x ]  1 1  3 1 0  m    ;B =   ;C =  ;D =   2) S = A =   M2 ( ℝ)           3 −1 1 1 1 2    Xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau khơng gian véctơ tương ứng Tìm hạng hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại hệ véctơ 1) {u1 =(1,2,3,4);u2 =(2,3,4,1);u3 =(3,4,5,6);u4 =(4,5,6,7)} ℝ4 2) {u1 =(1,0,0,0);u2 =(0,1,0,0);u3 =(0,0,a,0)} ℝ4 Hệ sau sở ℝ3 1) S = {u1 = (3, 2, 2);u2 = (4,8,1)} 2) S = {u1 = (4,1, 2);u2 = (2,0,1);u3 = (1,3, 2);u4 = (1,1,3)} 3) S = {u1 = (1,0,0);u2 = (2, 2,0);u3 = (3,3,3)} Hệ véctơ sau có sinh ℝ3 không? 1) 2) 3) 4) {u1 = (1,1,1);u2 = (2, 2,0);u3 = (3,0,0)} {u1 = (2, −1,3);u2 = (4,1, 2);u3 = (8, −1,8)} {u1 = (3,1, 4);u2 = (2, −3,5);u3 = (5, −2,9);u4 = (1, 4, −1)} {u1 = (1,3,3);u2 = (1,3, 4);u3 = (1, 4,3);u4 = (6, 2,1)} 2 Chứng minh hệ E = {1+ x + x ,1+ 2x,1+ 3x + 2x } sở P2 [ x ] tìm tọa độ véctơ u = 3x − x + sở E 3 10 Trong ℝ cho hai hệ véctơ B = {u1 = (1, 2,3);u2 = (1,1, 2);u3 = (1,1,1)} E = {v1 = (2,1, −1); v2 = (3, 2, −5); v3 = (1, −1, m)} 1) Chứng minh B sở ℝ Xác định m để E sở ℝ 2) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang E 2       3) Cho [ x ]E = 2;[ y]E =   Tìm véctơ x;[3x + 2y]E ;[ x ]B     1 −1 11 Cho B = {u1 , u2 , u3 } sở ℝ3 véctơ v1 , v2 , v3 có tọa độ sở B 1       1 2 [ v1 ]B = 1; [ v2 ]B = 2; [ v3 ]B = 2       1 3 1 1) Chứng minh E = {v1 , v2 , v3 } sở ℝ3 Tìm v1 , v2 , v3 theo u1 , u2 , u3 2) Tìm ma trận chuyển từ sở E sang B 12 Trong trường hợp sau, xét xem W có khơng gian ℝn không? 1) W = {( x1 , … , x n ) ∈ ℝ n x1 ≥ 0} 2) W = {( x1 , … , x n ) ∈ ℝ n x1 + 2x = x3 } 3) W = {( x1 , … , x n ) ∈ ℝ n x1 + … + x n = 0} 4) W = {( x1 , … , x n ) ∈ ℝ n x1 + … + x n = 1} 5) W = {( x1 , … , x n ) ∈ ℝ n x1 = x = 0} 13 Trong không gian ℝ cho tập W1 = {( x1 , x , x3 , x ) ∈ ℝ x1 + x = 2x3 ; x1 − x = 2x } W2 = {( x1 , x , x3 , x ) ∈ ℝ x1 = x = x3 } 1) Chứng minh W1 ,W2 không gian ℝ 2) Tìm sở W1 , sở W2 4 14 Trong ℝ cho véctơ u1 = (1,−1,−4,0) ;u2 = (1,1,2,4) ;u3 = (2,1,1,6) ;u4 = (2,−1,−5,2) Đặt W = u1,u2 ,u3 ,u4 1) Tìm hạng hệ véctơ {u1,u2 ,u3 ,u4 } 2) Hệ {u1,u2 ,u3 ,u4 } độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 3) Tìm sở số chiều W 4) Véctơ u = (6,2,0,16) có thuộc W khơng? Nếu u ∈ W tìm tọa độ u sở vừa tìm câu 3) 5) Hãy bổ sung vào sở câu 3) để sở ℝ4 15 Trong trường hợp sau, tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình:  x1 − 3x + x3 =  1)  4x1 + 2x − 3x3 =   5x1 − x − 2x3 =  x1 + 2x + 3x3 =    2)  2x1 + 3x + 4x3 =      4x1 + 5x + 6x3 =  x1 −3x2 + 4x3 − x4 =     2x1 + x2 − 2x3 + 2x4 =  3)   3x1 − 2x2 + 2x3 + x4 =     x1 + 4x2 −6x3 + 3x4 =  −2  2 4) AX = với A =  −2 −5   −1  −3  −6   −9 16 Trong khơng gian ℝ3 xét tích vơ hướng Euclide Hãy áp dụng q trình trực giao hóa Gram – Schmidt để biến sở {e1,e2 ,e3 } thành sở trực chuẩn 1) e1 = (1,1,1);e2 = (1, −1,0);e3 = (1,2,1) 2) e1 = (1,0,0);e2 = (3,1, −2);e3 = (0,1,1) 17 Hãy tìm sở trực chuẩn khơng gian ℝ3 sau W = {(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ ℝ3 2x1 + 3x2 = 5x3 } Bài tập tự làm: Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau: 1) S = {(1,2,3);(3,6,7)} ℝ3 2) S = {(4, −2,6);(6, −3,9)} ℝ3 3) S = {(2, −3, m);(3, −1,5);(1, −4,3)} ℝ3 4) S = {(4, −5, 2,6);(2, −2,1,3);(6, −3,3,9);(4, −1,5,6)} ℝ4 5) S = {(1,0,1,1);(0,1,1,1);(1,1,0,1);(1,1,1, m)} ℝ4 Xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau khơng gian véctơ tương ứng Tìm hạng hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại hệ véctơ   −5  1  −4  −7        ;u2 = ;u3 = ;u4 =  M2 ( ℝ) 1) u1 = −4  −1 5 −5  −5          2) {u1 = x2 −2x + 2;u2 = x2 −1;u3 = x3 + 2x2 −2x;u4 = x3 +1} P3 [ x] Trong ℝ cho hệ véctơ E = {(1, 2, −1, −2);(2,3,0, −1);(1, 2,1, 4);(1,3, −1,0)} Chứng minh E sở ℝ tìm tọa độ véctơ x = (7,14, −1, 2) sở E 4 Xác định m để: 1) S = {(0,1,1);(1, 2,1);(1,3, m)} sinh ℝ3 2) S = {(1, 2, −1);(0,3,1);(1,5,0);(3,9, m)} không sinh ℝ3 3) S = {(m,3,1);(0, m −1, 2);(0,0, m +1)} sở ℝ Cho E = {u1 , u2 , u3 } sở không gian véctơ V ℝ , đặt F = {v1 = mu1 + u2 + 3u3 , v2 = mu1 − 2u2 + u3 , v3 = u1 − u2 + u3 } 1) Xác định m để F sở V 2) Tìm ma trận chuyển từ sở E sang F Trong không gian ℝ3 cho B = {v1 = (1,0,1); v2 = (1, 2, 2); v3 = (0, −1, −1)} E = {u1 = (1,0, −1);u2 = (1,1,1);u3 = (−1, 2, 2)} 1) Chứng minh B, E sở ℝ3 2) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang E Cho u = (1, 2, 3) Tìm [ u ]B ;[ u ]E     3) Tìm ma trận chuyển từ E sang B Cho [ v]B = −2 Tìm     v;[ v]E Trong không gian P2 [ x ] đa thức thực bậc bé 2, cho B sở tắc P2 [ x ] E = {v1 = 1+ 3x; v2 = x + 2x2 ; v3 = 1+ x + x2 } 1) Chứng minh E sở P2 [ x ] 2) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang E     3) Cho [ v]E = −2 Tìm v;[ v]B     ... −2);e3 = (0,1,1) 17 Hãy tìm sở trực chuẩn không gian ℝ3 sau W = {(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ ℝ3 2x1 + 3x2 = 5x3 } Bài tập tự làm: Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau: 1) S = {(1,2,3);(3,6,7)}... x1 = x = 0} 13 Trong không gian ℝ cho tập W1 = {( x1 , x , x3 , x ) ∈ ℝ x1 + x = 2x3 ; x1 − x = 2x } W2 = {( x1 , x , x3 , x ) ∈ ℝ x1 = x = x3 } 1) Chứng minh W1 ,W2 không gian ℝ 2) Tìm sở W1...    3 −1 1 1 1 2    Xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau không gian véctơ tương ứng Tìm hạng hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại hệ véctơ 1) {u1 =(1,2,3,4);u2