Bài tập không gian vector

Bài tập không gian vector

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. 123(1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =− b. 12 3(1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − = c. 1234(1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== = d. 123415 11 24 17,, ,42 15 57 51AAAA−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ e. 223212223, 1, 2 410px x p x p xx x=−+ =+ = +−+trong 3[]x. f. 32 2123 41, 1, 2 , 2 4px p x p xxp x=+ =+ =− + =−− trong 3[]x. 2. Cho hệ vectơ 12,,,nx xx… độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ 11212 12,,,nnyxy xx y xx x= =+ =+++…… cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 12,,,nx xx… không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 12,,,nx xx… độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. 12 34(47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==−5(155,86,52)x =. b. 123(24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx=== 45(72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72)xx==−−−−. c. 12 3(17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19, 29),xx x==−−−=45(11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68)xx=−−−= −−−. 5. Cho hệ vectơ 12,,,nx xx… biểu thị tuyến tính được qua hệ 12,,,myy y…. Chứng minh: a. 12 12{, , , } {, , , }nmrank x x x rank y y y≤……. b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12{, , , }= {, , , , }nnrank x x x rank u x x x ⇔…… u biểu thị tuyến tính được qua 12,,,nx xx…. 7. Trong 3, cho hệ vectơ 12 3(1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− =. a. Chứng minh 123,,uu ulà một cơ sở của 3. b. Tìm tọa độ của (,,)uabc= trong cơ sở 123,,uu u. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8. Trong 3, cho 2 hệ vectơ 12 3(1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)uu u= == và 12 3(2,1, 3), (3, 2, 5), (1, 1,1)vv v=− =− =−. a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3. b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ 12323x uuu= −+ − trong cơ sở (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { }3(, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+= là không gian con của 3. b. { }4(, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4. c. /,abCabba⎧⎫−⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ là không gian con của 2()M . 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. 1234(1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1, 2,3, 4),aaaa=−= = = 5(0,1,2,3)a =. Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt=thuộc về không gian con này. b. 123(1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)aaa=− = =. Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt=thuộc về không gian con này. c. 1234(1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0, 2, 1,1, 2)aaaa=− − = = − = − Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ (, ,,,)axyztu=thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ,UVU V+ ∩ với: a. (1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =− và (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −−. b. (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U = và (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V = c. { }(, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+= và { }(, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − = 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: a. 12 4512 34123451234523 02042 63 4 024 24 7 0xx xxxx xxxx xx xxx xx x+ −− =⎧⎪− +− =⎪⎨−++−=⎪⎪+−+−=⎩ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 13241252463546000000xxxxxx xxxxxxxx− =⎧⎪−=⎪⎪− +=⎪⎨−+ − =⎪⎪−+ =⎪−=⎪⎩ c. 135245125623614500000xx xxxxxx x xxxxxx x−+ =⎧⎪−+ =⎪⎪− +−=⎨⎪−− =⎪⎪−+ =⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là: a. (1,1, 0), (1, 0, 2)U =− b. (2, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3)U =− − −− −− 15. Trong 3 cho 3 cơ sở ,,α βγ. Biết 211 101110, 111111 110TTαβ γβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=− − = −⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦ và 12 3(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)γ γγ===. Hãy tìm cơ sở α. . ,,,)axyztu=thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con. (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { }3(, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+= là không gian con của 3. b. { }4(, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4. c.