Bài tập toán cao cấp III

Bài tập toán cao cấp III

NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p3Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan. L´y thuyˆe´t chuˆo˜i.Phu.o.ng tr`ınh vi phˆanNH`AXUˆA´TBA’NDA.IHO.CQUˆO´C GIA H`ANˆO.I Mu.clu.c10 T´ıch phˆan bˆa´tdi.nh 410.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . 410.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh . 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’ibiˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆa`n . 2110.2 C´ac l´o.p h`am kha’t´ıch trong l´o.p c´ac h`am so.cˆa´p 3010.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.uty’ 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.tsˆo´h`am vˆo ty’do.n gia’n . 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac . . . . . . . . . . 4811 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 5711.1 H`am kha’t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . 5811.1.1 D-i.nhngh˜ıa 5811.1.2 D-iˆe`ukiˆe.ndˆe’h`am kha’t´ıch 5911.1.3 C´ac t´ınh chˆa´tco.ba’ncu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . 5911.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac di.nh . 6111.3 Mˆo.tsˆo´´u.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 7811.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’t´ıch vˆa.tthˆe’ 7811.3.2 T´ınh dˆo.d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay . . 8911.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 9811.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n . 9811.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi.ch˘a.n . . 107 2MU.CLU.C12 T´ıch phˆan h`am nhiˆe`ubiˆe´n 11712.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 11812.1.1 Tru.`o.ng ho pmiˆe`nch˜u.nhˆa.t .11812.1.2 Tru.`o.ng ho pmiˆe`ncong 11812.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c 12112.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p 13312.2.1 Tru.`o.ng ho pmiˆe`n h`ınh hˆo.p .13312.2.2 Tru.`o.ng ho pmiˆe`ncong 13412.2.3 13612.2.4 Nhˆa.nx´etchung 13612.3 T´ıch phˆan du.`o.ng . 14412.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 14412.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 14612.4 T´ıch phˆan m˘a.t 15812.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 15812.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 16012.4.3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 16212.4.4 Cˆong th´u.cStokes .16213 L´y thuyˆe´t chuˆo˜i 17713.1 Chuˆo˜isˆo´du.o.ng 17813.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 17813.1.2 Chuˆo˜isˆo´du.o.ng 17913.2 Chuˆo˜ihˆo.itu.tuyˆe.tdˆo´iv`ahˆo.itu.khˆong tuyˆe.tdˆo´i . . . 19113.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 19113.2.2 Chuˆo˜idan dˆa´u v`a dˆa´uhiˆe.u Leibnitz . . . . . . 19213.3 Chuˆo˜il˜uy th`u.a 19913.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 19913.3.2 D-iˆe`ukiˆe.n khai triˆe’nv`aphu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 20113.4 Chuˆo˜iFourier . 21113.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n 211 MU.CLU.C313.4.2 Dˆa´uhiˆe.udu’vˆe`su hˆo.itu.cu’a chuˆo˜i Fourier . . . 21214 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan 22414.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p1 . 22514.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 22614.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d˘a’ng cˆa´p . 23114.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh . 23714.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 24414.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa`n 24714.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut25514.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´pcao 25914.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha.thˆa´pcˆa´p 26014.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p2v´o.ihˆe.sˆo´h˘a`ng 26414.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´tcˆa´p nnn (ptvptn cˆa´p nnn)v´o.ihˆe.sˆo´h˘a`ng . . . . . . 27314.3 Hˆe.phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p1v´o.ihˆe.sˆo´h˘a`ng29015 Kh´ai niˆe.mvˆe`phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.o h`am riˆeng 30415.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 tuyˆe´n t´ınh dˆo´iv´o.i c´ac da.oh`amriˆeng . 30615.2 Gia’iphu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng cˆa´p2do.n gia’n nhˆa´t 31015.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.tl´y to´an co.ba’n 31315.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆe`n s´ong . . . . . . . . . . . . 31415.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆe`n nhiˆe.t 31715.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . . . 320T`ai liˆe.u tham kha’o . 327 Chu.o.ng 10T´ıch phˆan bˆa´tdi.nh10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . 410.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh . 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’ibiˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆa`n . 2110.2 C´ac l´o.p h`am kha’t´ıch trong l´o.p c´ac h`amso.cˆa´p 3010.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.uty’ . 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.tsˆo´h`am vˆo ty’do.n gia’n . 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac . . . . . . . 4810.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´tdi.nhD-i.nh ngh˜ıa 10.1.1. H`am F (x)du.o cgo.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`amf(x) trˆen khoa’ng n`ao d´onˆe´u F (x)liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’vi 10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 5ta.imˆo˜idiˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F(x)=f(x).D-i.nh l´y 10.1.1. (vˆe`su tˆo`nta.i nguyˆen h`am) Mo.i h`am liˆen tu.ctrˆendoa.n [a, b] dˆe`u c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng (a, b).D-i.nh l´y 10.1.2. C´ac nguyˆen h`am bˆa´tk`ycu’a c`ung mˆo.t h`am l`a chı’kh´ac nhau bo.’imˆo.th˘a`ng sˆo´cˆo.ng.Kh´ac v´o.ida.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so.cˆa´p khˆong pha’i baogi`o.c˜ung l`a h`am so.cˆa´p. Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x2,cos(x2), sin(x2),1lnx,cos xx,sin xx, . l`a nh˜u.ng h`am khˆong so.cˆa´p.D-i.nh ngh˜ıa 10.1.2. Tˆa.pho pmo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆenkhoa’ng (a, b)du.o cgo.i l`a t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng(a, b)v`adu.o ck´yhiˆe.ul`af(x)dx.Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng(a, b) th`ı theo di.nh l´y 10.1.2f(x)dx = F (x)+C, C ∈ Rtrong d´o C l`a h˘a`ng sˆo´t`uy ´y v`a d˘a’ng th´u.ccˆa`nhiˆe’ul`ad˘a’ng th´u.cgi˜u.ahai tˆa.pho p.C´ac t´ınh chˆa´tco.ba’ncu’a t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh:1) df(x)dx= f(x)dx.2)f(x)dx= f(x).3)df (x)=f(x)dx = f(x)+C.T`u.di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh r´ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co.ba’n (thu.`o.ng du.o cgo.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: 6Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´tdi.nhI.0.dx = C.II.1dx = x + C.III.xαdx =xα+1α +1+ C, α = −1IV.dxx=ln|x| + C, x =0.V.axdx =axlna+ C (0 <a= 1);exdx = ex+ C.VI.sin xdx = − cos x + C.VII.cos xdx = sin x + C.VIII.dxcos2x=tgx + C, x =π2+ nπ, n ∈ Z.IX.dxsin2x= −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z.X.dx√1 − x2=arc sin x + C,−arc cos x + C−1 <x<1.XI.dx1+x2=arctgx + C,−arccotgx + C.XII.dx√x2± 1=ln|x +√x2± 1| + C(trong tru.`o.ng ho pdˆa´utr`u.th`ı x<−1 ho˘a.c x>1).XIII.dx1 − x2=12ln1+x1 − x+ C, |x|=1.C´ac quy t˘a´c t´ınh t´ıch phˆan bˆa´tdi.nh: 10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 71)kf(x)dx = kf(x)dx, k =0.2)[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx.3) Nˆe´uf(x)dx = F (x)+C v`a u = ϕ(x) kha’vi liˆen tu.cth`ıf(u)du = F (u)+C.C´AC V´IDU.V´ı d u.1. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆenkhoa’ng bˆa´tk`y khˆong ch´u.adiˆe’m x = 0 v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆenmo.i khoa’ng ch´u.adiˆe’m x =0.Gia’i. 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k`y khˆong ch´u.adiˆe’m x = 0 h`am y = signxl`a h˘a`ng sˆo´. Ch˘a’ng ha.nv´o.imo.i khoa’ng (a, b), 0 <a<bta c´o signx =1v`a do d´omo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ngF (x)=x + C, C ∈ R.2) Ta x´et khoa’ng (a, b)m`aa<0 <b. Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.inguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x)=−x+C1c`on trˆen khoa’ng (0,b)nguyˆen h`am c´o da.ng F (x)=x + C2.V´o.imo.i c´ach cho.nh˘a`ng sˆo´C1v`a C2ta thu du.o c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.idiˆe’m x =0.Nˆe´u ta cho.n C = C1= C2th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + Cnhu.ng khˆong kha’vi ta.idiˆe’m x =0. T`u.d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`amsignx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a<0 <b. V´ı d u.2. T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f(x)=e|x|trˆen to`an tru.csˆo´.Gia’i. V´o.i x  0 ta c´o e|x|= exv`a do d´o trong miˆe`n x>0mˆo.ttrong c´ac nguyˆen h`am l`a ex. Khi x<0 ta c´o e|x|= e−xv`a do vˆa.ytrong miˆe`n x<0mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x+ C v´o.ih˘a`ngsˆo´C bˆa´tk`y.Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x|pha’i liˆen tu.cnˆenn´o 8Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´tdi.nhpha’i tho’am˜andiˆe`ukiˆe.nlimx→0+0ex= limx→0−0(−e−x+ C)t´u.cl`a1=−1+C ⇒ C =2.Nhu.vˆa.yF (x)=exnˆe´u x>0,1nˆe´u x =0,−e−x+2 nˆe´u x<0l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.csˆo´.Tach´u.ng minh r˘a`ng F (x) l`a nguyˆenh`am cu’a h`am e|x|trˆen to`an tru.csˆo´. Thˆa.tvˆa.y, v´o.i x>0 ta c´oF(x)=ex= e|x|,v´o.i x<0th`ıF(x)=e−x= e|x|. Ta c`on cˆa`n pha’ich´u.ng minh r˘a`ng F(0) = e0= 1. Ta c´oF+(0) = limx→0+0F (x)− F (0)x= limx→0+0ex− 1x=1,F−(0) = limx→0−0F (x)− F (0)x= limx→0−0−e−x+2− 1x=1.Nhu.vˆa.y F+(0) = F−(0) = F(0) = 1 = e|x|.T`u.d´o c ´o t h ˆe’viˆe´t:e|x|dx = F (x)+C =ex+ C, x < 0−e−x+2+C, x < 0. V´ı d u.3. T`ım nguyˆen h`am c´o dˆo`thi.qua diˆe’m(−2, 2) dˆo´iv´o.i h`amf(x)=1x, x ∈ (−∞, 0).Gia’i. V`ı (ln|x|)=1xnˆen ln|x| l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’ah`am f(x)=1x. Do vˆa.y, nguyˆen h`am cu’a f l`a h`am F (x)=ln|x| + C,C ∈ R.H˘a`ng sˆo´C du.o cx´acdi.nh t`u.diˆe`ukiˆe.n F (−2) = 2, t´u.cl`aln2 + C =2⇒ C =2− ln2. Nhu.vˆa.yF (x)=ln|x| +2− ln2 = lnx2+2.  10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 9V´ı d u.4. T´ınh c´ac t´ıch phˆan sau dˆay:1)2x+1− 5x−110xdx, 2)2x +33x +2dx.Gia’i. 1) Ta c´oI =22x10x−5x5 · 10xdx =215x−1512xdx=215xdx −1512xdx=215xln15−1512xln12+ C= −25xln5+15 · 2xln2+ C.2)I =2x +323x +23dx =23x +23+56x +23dx=23x +59lnx +23+ C. V´ı d u.5. T´ınh c´ac t´ıch phˆan sau dˆay:1)tg2xdx, 2)1 + cos2x1 + cos 2xdx, 3)√1 − sin 2xdx.Gia’i. 1)tg2xdx =sin2xcos2xdx =1 − cos2xcos2xdx=dxcos2x−dx =tgx − x + C. [...]... th`anh ba nh´om sau d ˆa y . 6Chu . o . ng 10. T´ıch phˆan bˆa ´ td i . nh I.  0.dx = C. II.  1dx = x + C. III.  x α dx = x α+1 α +1 + C, α = −1 IV.  dx x =ln|x| + C, x =0. V.  a x dx = a x lna + C (0 <a= 1);  e x dx = e x + C. VI.  sin xdx = − cos x + C. VII.  cos xdx = sin x + C. VIII.  dx cos 2 x =tgx + C, x = π 2 + nπ, n ∈ Z. IX.  dx sin 2 x = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z. X.  dx √ 1... t ∈  − π 2 , π 2  . ii) Nˆe ´ ubiˆe ’ uth´u . cdu . ´o . idˆa ´ u t´ıch phˆan c´o ch´u . a c˘an √ x 2 − a 2 , a>0 th`ı d`ung ph´ep d ˆo ’ ibiˆe ´ n x = a cos t ,0<t< π 2 ho˘a . c x = acht. iii) Nˆe ´ u h`am du . ´o . idˆa ´ u t´ıch phˆan ch´u . a c˘an th´u . c √ a 2 + x 2 , a>0 th`ı c´o thˆe ’ d ˘a . t x = atgt, t ∈  − π 2 , π 2  ho˘a . c x = asht. iv) Nˆe ´ u h`am du . ´o . idˆa ´ u... − 1) I n−1 hay l`a I n = x 2a 2 (n − 1)(x 2 + a 2 ) n−1 + 2n − 3 2a 2 (n − 1) I n−1 . (*) 10.2. C´ac l´o . p h`am kha ’ t´ıch trong l´o . p c´ac h`am so . cˆa ´ p 49 v`a l´uc d´o dx = − dt √ 1 − t 2 III. Nˆe ´ u R(sin x,− cos x)=−R(sin x, cos x) th`ı su . ’ du . ng ph´ep d ˆo ’ i biˆe ´ n t = sin x, dx = dt √ 1 − t 2 ,x∈  − π 2 , π 2  . IV. Nˆe ´ u R(− sin x,− cos x)=R(sin x, cos x) th`ı ph´ep h˜u . uty ’ h´oa s˜e... t. (ii) Nˆe ´ u m v`a n l`a nh˜u . ng sˆo ´ ch˘a ˜ n khˆong ˆam th`ı tˆo ´ tho . nhˆe ´ t l`a thay sin 2 x v`a cos 2 x theo c´ac cˆong th´u . c sin 2 x = 1 2 (1 − cos 2x), cos 2 x = 1 2 (1 + cos 2x). (iii) Nˆe ´ u m v`a n ch˘a ˜ n, trong d ´o c´o mˆo . tsˆo ´ ˆam th`ı ph´ep dˆo ’ ibiˆe ´ ns˜e l`a tgx = t hay cotgx = t. (iv) Nˆe ´ u m + n = −2k, k ∈ N th`ı viˆe ´ tbiˆe ’ uth´u . cdu . ´o . idˆa ´ ut´ıch phˆan... . . . . . . . . . . . . . . 244 14.1.5 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa ` n 247 14.1.6 Phu . o . ng tr`ınh Lagrange v`a phu . o . ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ pcao 259 14.2.1 C´ac phu . o . ng tr`ınh cho ph´ep ha . thˆa ´ pcˆa ´ p 260 14.2.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p2v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng 264 14.2.3 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan... lˆa ` n t´ıch phˆan t`u . ng phˆa ` nth´u . nhˆa ´ t khˆong d u . ad ˆe ´ n t´ıch phˆan do . n gia ’ nho . n. V´ı d u . 4. T´ınh I =  e ax cos bx; a, b =0. Gia ’ i. D ˆay l`a t´ıch phˆan thuˆo . c nh´om III. Ta d˘a . t u = e ax , dv = cos bxdx. Khi d ´o du = ae ax dx, v = 1 b sin bx v`a I = 1 b e ax sin bx − a b  e ax sin bxdx = 1 b e ax sin bx − a b I 1 . D ˆe ’ t´ınh I 1 ta d˘a . t u = e ax , dv =... C, −arc cos x + C −1 <x<1. XI.  dx 1+x 2 =    arctgx + C, −arccotgx + C. XII.  dx √ x 2 ± 1 =ln|x + √ x 2 ± 1| + C (trong tru . `o . ng ho . . pdˆa ´ utr`u . th`ı x<−1 ho˘a . c x>1). XIII.  dx 1 − x 2 = 1 2 ln    1+x 1 − x    + C, |x|=1. C´ac quy t˘a ´ c t´ınh t´ıch phˆan bˆa ´ td i . nh: 10.1. C´ac phu . o . ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 11 7.  2 2x − 1 √ 2 x dx.(DS. 2 ln2  2 3x 2 3 +2 − x 2  ) 8.  dx x(2 . NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p3Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan. L´y thuyˆe´t chuˆo˜i.Phu.o.ng tr`ınh. Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut25514.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´pcao.............. 25914.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha.thˆa´pcˆa´p ....