Bài tập toán cao cấp

Bài tập toán cao cấp

B ` AI T ˆ A P

Tˆ a.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v` a H`ınh ho.c gia’i t´ıch

NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA I HO C QU O ˆ ´C GIA H ` A N ˆ O I

H` a Nˆ o.i – 2006

L` o.i n´ oi dˆ ` u a 4

1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 6

1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 8

1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c Mˆodun v`a acgumen 13

1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac 23

2 D - a th´ u.c v` a h` am h˜ u.u ty ’ 44 2.1 D- a th´u.c 44

2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C 45

2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 46

2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ 55

3 Ma trˆ a.n D - i.nh th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n 67

3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 67

3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n 69

3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 71

3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n 72

3.2 D- i.nh th´u.c 85

3.2.1 Nghi.ch thˆe´ 85

3.2.2 D- i.nh th´u.c 85

3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c 88

3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c 89

3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n 109

3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa 109

3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n 109

3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 118

3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa 118

3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o 119

4 Hˆ e phu o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 132 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´u.c kh´ac 0 132

4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 133

4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 134

4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 134

4.2 Hˆe t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 143

4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa` n nhˆa´t 165

5 Khˆ ong gian Euclide Rn 177 5.1 D- i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆ` vecto 177e 5.2 Co so.’ D- ˆo’i co so.’ 188

5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so.’ tru c chuˆa’n 201

5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh 213

5.4.1 D- i.nh ngh˜ıa 213

5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 213

5.4.3 C´ac ph´ep to´an 215

5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 216

6 Da.ng to`an phu o.ng v`a ´u.ng du.ng d ˆe’ nhˆa.n da.ng du.`o.ng v` a m˘ a.t bˆa.c hai 236 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 236

6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 237

6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 241

6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244

6.2 D- u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t

bˆa.c hai vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c 263

Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa p to´an cao cˆa´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’aDa.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆongqua v`a ban h`anh.

Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen n˘a´m v˜u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao

cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong

mˆo˜i mu.c, dˆa` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜u.ng co so.’ l´y thuyˆe´tv`a liˆe.t kˆe nh˜u.ng cˆong th´u.c cˆa` n thiˆe´t Tiˆe´p d´o, trong phˆa` n C´ac v´ı du.ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜u b˘a`ng c´ach

vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´u.c l´y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c`ung, l`a phˆa` n B`ai

tˆa p O’ dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du.o c gˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’ dˆe`.v`a du.o c s˘a´p xˆe´p theo th´u tu t˘ang dˆa` n vˆe` dˆo kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`uc´o nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.cl`am quen v´o.i l`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆ` n C´a ac v´ı du s˜e gi´up ngu.`o.i ho.cn˘a´m du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n

Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa p n`ay c´o thˆe’ su.’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n cu’agi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆe`u c´o d´ap sˆo´, mˆo.t

sˆo´ c´o chı’ dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆa` n C´ac v´ı du.tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an

T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ` y gi´ao: TS Lˆe D`ınhaPh`ung v`a PGS TS Nguyˆ˜n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜y ba’n tha’o v`a d´onge

g´op nhiˆ`u ´e y kiˆe´n qu´y b´au vˆ` cˆa´u tr´e uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac

gia’ vˆ` nh˜e u.ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh

M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ` n dˆaa ` u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ung

tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜u.ng

thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n

H`a Nˆo i, M`ua thu 2004

T´ ac gia ’

Sˆ o ´ ph´ u.c

1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 6 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c 8 1.3 Biˆ e’u diˆ ˜n h`ınh ho.c Mˆodun v`a acgumen 13 e 1.4 Biˆ e’u diˆ ˜n sˆ e o ´ ph´ u.c du.´ o.i da ng lu o ng gi´ac 23

1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c

Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´

ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`aph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay:

(I) Quan hˆe b˘a`ng nhau

(a1, b1) + (a2, b2)def = (a1+ a2, b1+ b2).1

(III) Ph´ep nhˆan

(a1, b1)(a2, b2)def = (a1a2− b1b2, a1b2+ a2b1)

Tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c du.o c k´y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan

(III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i nhau bo.’i

luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆa` n tu.’ 6= (0, 0) dˆe`u c´o phˆa` n tu.’ nghi.ch da’o

Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c) v´o.i phˆa`n

tu.’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa` n tu.’ do.n vi l`a c˘a.p (1; 0) ´Ap du.ng quy

t˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı

i2 = −1

Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta

c´o

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

T`u d´o vˆ` m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.te

v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜u.ng sˆo´ thu c Do

vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆo` ng nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a:

(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.

D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.

Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z = (a, b):

1+ Sˆo´ thu..c a du.o c go.i l`a phˆa`n thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆa`n

a’o v`a k´y hiˆe.u l`a b = Im z.

2+ Sˆo´ ph´u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´u.c z

1 def l` a c´ ach viˆ e´t t˘ a ´t cu’a t` u tiˆ e´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)

1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c

Mo.i sˆo´ ph´u.c z = (a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib

Biˆe’u th´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c z = (a, b) T`u (1.1)

v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib.

Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c du.o c thu chiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau

Gia’ su.’ z1 = a1+ ib1, z2 = a2+ ib2 Khi d´o

(I) Ph´ep cˆo.ng: z1± z2 = (a1± a2) + i(b1± b2)

(II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2− b1b2) + i(a1b2+ a2b1)

+ i a1b2− a2b1

a2

1+ b2 1

·

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 1+ T´ınh i n T`u d´o ch´u.ng minh r˘a`ng

a) i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 = 0;

b) i · i2· · · i99· i100 = −1.

2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u:

a) (1 + i) n = (1 − i) n;b)1 + i

n = 4k + r, r ∈ Z, 0 6 r 6 3 Khi d´o

i n = i 4k+r = i 4k · i r = (i4)k i r = i r

(v`ı i4 = i) T`u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o

m

+−1 − 3i √ 3 + 9 + 3i

√

38

m

= 1m+ 1m = 2.

Tu.o.ng tu. nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ung c´o S = −1 N

V´ ı du 3 T´ınh biˆe’u th´u.c

σ =

1 +1 + i2

V´ ı du 4 Biˆe’u diˆ˜n sˆo´ ph´e u.c √ 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´

Gia’i Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆa` n t`ım sˆo´ ph´u.c w sao cho w2 = 4 − 3i.

Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı

4 − 3i = (a + bi)2 = a2− b2+ 2abi.

V´ ı du 5 Biˆe’u diˆ˜n sˆo´ ph´e u.c

v´o.i diˆ`u kiˆe.n l`a c´ac phˆae ` n thu c cu’a√ 5 + 12i v`a √ 5 − 12i dˆ`u ˆam.e

Gia’i ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap gia’i trong v´ı du 4 ta c´o

Hˆe n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2) Theo diˆe`u kiˆe.n, phˆa` nthu c cu’a √ 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o

a2 + b2− 1 (a + 1)2+ b2 + i 2b

(a + 1)2+ b2 ·

T`u d´o suy r˘a`ng w thuˆa` n a’o khi v`a chı’ khi

a2+ b2− 1 (a + 1)2+ b2 = 0 ⇐⇒ a2+ b2 = 1. N

B ` AI T ˆ A P

T´ınh

1. (1 + i)

8− 1 (1 − i)8+ 1· (DS.

Chı’ dˆa˜n ´Ap du.ng c´ach gia’i v´ı du 3

d) z n = (z) n ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.

6 V´o.i gi´a tri thu c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p

sˆo´ ph´u.c liˆen ho p:

1) y2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` a −y2+ 2y + 11 − 4i;

2) x + y2+ 1 + 4i v` a ixy2+ iy2− 3 ?

(DS 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x 1,2 = −5, y 1,2 = ±5)

7 Ch´u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c liˆen ho p khi v`a chı’

khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ thu c

Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng ´u.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a

m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo v`a ngu.o c la.i mˆo˜i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆe`u

tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib Ph´ep tu.o.ng ´u.ng du.o c x´ac lˆa.p l`a

do.n tri mˆo.t - mˆo.t Ph´ep tu.o.ng ´u.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´u.c

nhu l`a c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o c go.i l`a

m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o c go.i l`a Tru.c thu c, tru.c tung

du.o..c go.i l`a Tru.c a’o Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem

nhu vecto

−→

OM Mˆo˜i vecto cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆa` u O(0, 0) v`a

diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M(a; b) dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib v`angu.o c la.i

Su tu.o.ng ´u.ng du.o c x´ac lˆa.p gi˜u.a tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c C v´o.i tˆa.p ho pc´ac diˆe’m hay c´ac vecto m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´u.c l`a diˆe’mhay vecto

V´o.i ph´ep biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c sˆo´ ph´u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr`u.c´ac sˆo´ ph´u.c du.o c thu c hiˆe.n theo quy t˘a´c cˆo.ng v`a tr`u c´ac vecto Gia’ su.’ z ∈ C Khi d´o dˆo d`ai cu’a vecto tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z

du.o c go.i l`a mˆodun cu’a n´o

G´oc gi˜u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c v`a vecto z (du.o c xem l`a g´oc

du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo`ng hˆo`) du.o c go.i l`aacgumen cu’a sˆo´ z 6= 0 Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh.Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´ox´ac di.nh v´o.i su sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z,

trong d´o arg z l`a gi´a tri ch´ınh cu’a acgumen du.o c x´ac di.nh bo.’i diˆe`ukiˆe.n −π < arg z 6 π ho˘a.c 0 6 arg z < 2π.

Phˆ` n thu c v`a phˆaa ` n a’o cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + ib du.o c biˆe’u diˆe˜n qua

mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu sau

Nhu vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´u.c c´o thˆe’ t`ım t`u hˆe phu.o.ng tr`ınh

a2+ b2 ·

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T`ım mˆodun cu’a sˆo´ z = x

2 − y2+ 2xyi xy

(iv) |z1− z2| = |z1+ (−z2)| ≥ |z1| − | − z2| = |z1| − |z2| N

Nhˆa n x´et C´ac bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.ida.ng

(iii)∗ |z1+ z2| > |z1| − |z2| ; (iv)∗ |z1− z2| > |z1| − |z2| Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1+ z2| > |z1| − |z2| v` a |z1+ z2| > |z2| − |z1| C´ac

vˆe´ pha’i kh´ac nhau vˆ` dˆa´u do d´o nˆe´u lˆa´y vˆe´ pha’i du.o.ng th`ı thu du.o ce(iii)∗ Bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iv)∗

thu du.o c t`u (iii)∗ b˘a`ng c´ach thay z2 bo.’ i

−z2

V´ ı du 3 Ch´u.ng minh dˆ` ng nhˆa´t th´o u.c

|z1+ z2|2+ |z1− z2|2 = 2(|z1|2+ |z2|2).

Gia’i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe th´u.c d˜a ch´u.ng minh

Gia’i Gia’ su.’ z1 = x1+ iy1, z2 = x2+ iy2 Khi d´o

dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh cu’a n´o N

V´ ı du 4 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| th`ı

B˘a`ng nh˜u.ng nguyˆen do h`ınh ho.c, dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng

argz3− z2

z3− z1

= arg(z3− z2) − arg(z3 − z1)v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo´i diˆe’m z1 v`a z2 v`a g´oc o.’ tˆam

V´ ı du 5 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| = 1 v` a z1+z2+z3 = 0

th`ı c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 l`a c´ac dı’nh cu’a tam gi´ac dˆ`u nˆo.i tiˆe´p tronge

du.`o.ng tr`on do.n vi

Gia’i Theo gia’ thiˆe´t, ba diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on

do.n vi Ta t`ım dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac

V´ ı du 6 V´o.i diˆ`u kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`u.ng dˆoi mˆo.t ze 1,

z2, z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng

Gia’i 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.cth`ı vecto di t`u z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu cu’a vecto di t`u diˆe’m z3 dˆe´n

z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o c la.i Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’ac´ac vecto n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu c ho˘a.c nhu nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π.

l`a sˆo´ thu c Diˆe`u kiˆe.n thu du.o c l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa` n

2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d´o c˜ung l`a diˆ`u kiˆe.n du’ Gia’ su.’e

T`u (1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe’m (x3, y3) n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o N

V´ ı du 7 X´ac di.nh tˆa.p ho p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c tho’a m˜an c´acdiˆ`u kiˆe.n:e

1) |z − 2| + |z + 2| = 5;

2) |z − 2| − |z + 2| > 3;

3) Re z > c;

4) Im z < 0.

Gia’i 1) D˘a’ng th´u.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´ac di.nh qu˜y t´ıch nh˜u.ng

diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng m`a tˆo’ng khoa’ng c´ach t`u d´o dˆe´n hai diˆe’m cho

tru.´o.c F1 = −2 v` a F2 = +2 l`a h˘a`ng sˆo´ b˘a`ng 5 Theo di.nh ngh˜ıa trong

h`ınh ho.c gia’i t´ıch d´o l`a du.`o.ng ellip v´o.i b´an tru.c l´o.n b˘a`ng 5

2 v`a tiˆeudiˆe’m ±2.

2) Qu˜y t´ıch c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng C tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n

|z − 2| − |z + 2|