Bài tập toán cao cấp II

Bài tập toán cao cấp II

B ` AI T ˆ A P

Tˆ a.p 2 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an c´ ac h` am

NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA I HO C QU O ˆ ´C GIA H ` A N ˆ O I

Mu c lu c

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 4

7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 11

7.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) 17

7.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n cˆa` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25

7.2 Gi´o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27

7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27

7.3 H`am liˆen tu.c 41

7.4 Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 51

8 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am mˆ o t biˆ e´n 60 8.1 D- a.o h`am 61

8.1.1 D- a.o h`am cˆa´p 1 61

8.1.2 D- a.o h`am cˆa´p cao 62

8.2 Vi phˆan 75

8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 75

8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao 77

8.3 C´ac di.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi Quy t˘a´c l’Hospital Cˆong th´u.c Taylor 84

8.3.1 C´ac d i.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi 84

8.3.2 Khu.’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) 88

8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor 96

9 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 109 9.1 D- a.o h`am riˆeng 110

9.1.1 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 110

9.1.2 D- a.o h`am cu’a h`am ho p 111

9.1.3 H`am kha’ vi 111

9.1.4 D- a.o h`am theo hu.´o.ng 112

9.1.5 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 113

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´n 125e 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 126

9.2.2 Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa´ ` n d´ung 126

9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 127

9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 127

9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor 129

9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n 130

9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 145

9.3.1 Cu c tri 145

9.3.2 Cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n 146

9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 147

Chu.o.ng 7

7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 4

7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i

ha.n 57.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 117.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a

trˆen diˆ`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ye

Bolzano-Weierstrass) 177.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆenl´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25

7.2 Gi´ o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27

7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27

7.3 H` am liˆ en tu c 41 7.4 Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu c cu ’ a h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 51

7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng:

a1, a2, , a n , (7.1)

ho˘a.c {a n}, trong d´o a n = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at

cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay

Ta cˆ` n lu.u ´a y c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:

i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |a n| 6

M ; v` a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |a n | > M

ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:

v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim

n→∞ a n = 0 v`a go.i l`a d˜ay

vˆo c`ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |a n | > A v`a viˆe´t

lim a n = ∞

vi) Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n

Ch´u ´y: i) Hˆe th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:

−ε < a − a < ε ⇔ a − ε < a < a + ε. (7.4)

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 5

Hˆe th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay

hˆo.i tu dˆe`u n˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan

cˆa.n cu’a diˆe’m a.

Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`u.

ra mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`y b´e bao

nhiˆeu t`uy ´y cu’a diˆe’m a.

ii) Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´y hiˆe.u

lim a n = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a nl`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe.u d´o

ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n

7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´o i

ha.n

Dˆe’ ch´u.ng minh lim a n = a b˘a`ng c´ach su.’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa` n tiˆe´n

h`anh theo c´ac bu.´o.c sau dˆay:

i) Lˆa.p biˆe’u th´u.c |a n − a|

ii) Cho.n d˜ay b n (nˆe´u diˆ`u d´o c´o lo i) sao cho |ae n − a| 6 b n ∀ n v`a

v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n:

b n < ε (7.5)c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang Gia’ su.’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),

f (ε) > 0 Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l` a [f (ε)], trong d´ o [f (ε)] l`a phˆ` na

nguyˆen cu’a f (ε).

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Gia’ su’ a. n = n(−1) n

Ch´u.ng minh r˘a`ng:

i) D˜ay a n khˆong bi ch˘a.n

ii) D˜ay a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n

Gia’i i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong

bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng

n v`a l´o.n ho.n M Diˆ `u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay ae n khˆong bi ch˘a.n

ii) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n Thˆa.t vˆa.y,

ta x´et khoa’ng (−2, 2) Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’

dˆ`u thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:e

n(−1)n= n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).

Nhu vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay T`u d´o,

theo di.nh ngh˜ıa suy ra a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n N

V´ ı du 2 D`ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng:

n−1

n

= n1·Gia’ su.’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t`uy ´y Khi d´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7

Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa l`a lime

n + 1 n − 1

Gia’i 1) Gia’ su.’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y ε = 1.

Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆo` n ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı

ta c´o |a n − a| < 1 ngh˜ıa l` a |n − a| < 1 ∀ n > N T`u d´o −1 < n − a < 1

∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N

Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´y v`ı tˆa.p ho p c´ac

sˆo´ tu nhiˆen khˆong bi ch˘a.n

2) C´ach 1 Gia’ su.’ d˜ay a n hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y lˆan

cu’a diˆe’m a Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng:

V`ı dˆo d`ai cu’a khoa’ng 

a − 1

2, a +

12

l`a b˘a`ng 1 nˆen hai diˆe’m −1v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ` ng th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.no a −1

2, a +

12

cu’a diˆe’m a,

v`ı khoa’ng c´ach gi˜u.a −1 v`a +1 b˘a`ng 2 Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a o.’ ngo`ai

c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´u

´

y o.’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay

C´ach 2 Gia’ su.’ a n → a Khi d´ o ∀ ε > 0 (lˆ a´y ε = 1

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 9

9 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a n= (−1)n + 1/n phˆan k`y

10 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay; a n = sin n0 phˆan k`y

11 T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2| {z }

2

+ · · · + 2

10n (DS lim a n = 2/9)

12. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´:

ii) Tu.o.ng tu nhu i) Su.’ du.ng hˆe th´u.c:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 11

ii) C´o thˆe’ g˘a.p ca’ hai tru.`o.ng ho p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n,

7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

c´ ac di.nh l´ y vˆ ` gi´ e o.i ha.n

Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng c´ac di.nh l´y v`a

kh´ai niˆe.m sau dˆay:

Gia’ su.’ lim a n = a, lim b n = b.

i) lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b.

ii) lim a n b n = lim a n · lim b n = a · b.

iii) Nˆe´u b 6= 0 th`ı b˘a´t dˆa` u t`u mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay a n /b n x´ac

di.nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n > N ⇒ b n6= 0) v`a:

iv) Nˆe´u lim a n = a, lim b n = a v`a b˘a´t dˆa` u t`u mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o

a n 6 z n 6 b n th`ı lim z n = a (Nguyˆen l´y bi ch˘a.n hai phi´a)

v) T´ıch cu’a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o.i d˜ay bi ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e

vi) Nˆe´u (a n) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a a n6= 0 th`ı d˜ay 1

a n

l`a d˜ay vˆoc`ung b´e; ngu.o c la.i, nˆe´u α nl`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α n6= 0 th`ı d˜ay 1

α n



l`a vˆo c`ung l´o.n

Nhˆa n x´et Dˆe’ ´ap du.ng d´ung d˘a´n c´ac di.nh l´y trˆen ta cˆa` n lu.u ´y mˆo.t

sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay:

i) Di.nh l´y (iii) vˆe` gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o c nˆe´u

tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n

b˘a`ng 0 Trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so bˆo d˜ay thu.o.ng,ch˘a’ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a.c nhˆan tu’ sˆ. o´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo.t

biˆe’u th´u.c

ii) Dˆo´i v´o.i di.nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa` n pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng.Trong tru.`o.ng ho p n`ay ta cˆa` n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´u.c a n ± b n v`a

a n · b n tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du 1, iii)

iii) Nˆe´u a n = a ≡ const ∀ n th`ı lim

n→∞ a n = a.

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T`ım lim a n nˆe´u:

1) a n= (1 + 7n+2 )/(3 − 7 n)

2) a n = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]

3) a n = n3/(12+ 22+ · · · + n2)

Gia’i Dˆe’ gia’i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe´t cˆa´p sˆo´

1) Nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ phˆan th´u.c v´o.i 7−n ta c´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 13

2) Biˆe´n dˆo’i a n tu.o.ng tu nhu 1) ta c´o:

3) Ta c´o thˆe’ viˆe´t n =√3

n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c:

a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2)suy ra

1 + 1/n = 1.

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 15

Tu.o.ng tu. lim b n= 1

Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n cu’a c n ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi ch˘a.n hai ph´ıa

Mˆo.t m˘a.t ta c´o:

n→∞ c n= 1 N

V´ ı du 5 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay (q n) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u

|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.

Gia’i 1) Gia’ su.’ |q| > 1 Ta lˆa´y sˆo´ A > 0 bˆa´t k`y T`u d˘a’ng th´u.c

|q| n > A ta thu du.o c n > log |q| A Nˆe´u ta lˆa´y N = [log |q| A] th`ı ∀ n > N

n + 11 −

cos n 10n . (DS 1)

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 17

2n + 2.

7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ `u kiˆ e e.n du’ dˆe’ d˜ay hˆ o i tu (nguyˆ en l´ y

Bolzano-Weierstrass)

D˜ay sˆo´ a n du.o c go.i l`a:

i) D˜ay t˘ang nˆe´u a n+1 > a n ∀ n

ii) D˜ay gia’m nˆe´u a n+1 < a n ∀ n

C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u Ta lu.u ´y

r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o c˜ung bi ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa Nˆe´u d˜ay

do.n diˆe.u t˘ang th`ı n´o bi ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´ ha.ng dˆa`u tiˆen cu’a n´o, d˜aydo.n diˆe.u gia’m th`ı bi ch˘a.n trˆen bo’ i sˆ. o´ ha.ng dˆa` u Ta c´o di.nh l´y sau dˆaythu.`o.ng du.o c su.’ du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u.

D - i.nh l´y Bolzano-Weierstrass D˜ay do.n diˆe.u v`a bi ch˘a.n th`ı hˆo.i tu

Di.nh l´y n`ay kh˘a’ng di.nh vˆe` su tˆo` n ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’

ra du.o c phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha.n d´o Tuy vˆa.y, trong nhiˆe`u tru.`o.ng

ho p khi biˆe´t gi´o.i ha.n cu’a d˜ay tˆo`n ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınhn´o Viˆe.c t´ınh to´an thu.`o.ng du a trˆen d˘a’ng th´u.c d´ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.itu.:

= 14

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 19

V´ ı du 2 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n = 2

Do d´o a n+1 < a n v`a d˜ay bi ch˘a.n trˆen bo.’i phˆa` n tu.’ a1 Ngo`ai ra

a n > 0, ∀ n nˆen d˜ay bi ch˘a.n du.´o.i Do d´o d˜ay do.n diˆe.u gia’m v`a bi

ch˘a.n N´o hˆo.i tu theo di.nh l´y Weierstrass Gia’ su’ a l`. a gi´o.i ha.n cu’a n´o

2, a n+1=√2a n Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay hˆo.i

tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o

Gia’i Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng: a1 < a2 < a3 < · · · < D´o l`a d˜ay do.n diˆe.u

t˘ang v`a bi ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´

Vˆa.y theo tiˆen dˆe` quy na.p ta c´o a n 6 2 ∀ n.

Nhu thˆe´ d˜ay a n do.n diˆe.u t˘ang v`a bi ch˘a.n nˆen n´o c´o gi´o.i ha.n d´ol`a a.

Ta c´o:

a n+1=√2a n ⇒ a2n+1 = 2a n

Do d´o:

lim a2n+1 = 2 lim a n

hay a2− 2a = 0 v` a thu du.o c a1 = 0, a2 = 2

V`ı d˜ay do.n diˆe.u t˘ang ∀ n nˆen gi´o.i ha.n a = 2 N

V´ ı du 4 Ch´u.ng minh t´ınh hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay

Gia’ su.’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng: x n <√a + 1.

Ta cˆ` n ch´a u.ng minh x n+1 <√a + 1 Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 21

iii) Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n ta x´et hˆe th´u.c x n=√a + x n−1 hay

x2n = a + x n−1

T`u d´o:

lim x2n = lim(a + x n−1 ) = a + lim x n−1

hay nˆe´u gia’ thiˆe´t lim x n = A th`ı: A2 = a + A → A2− A − a = 0 v`a

ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´u.ng minh r˘a`ng

Ta c´o 0 < a1 < 1 Gia’ su.’ (7.11) d˜a du.o..c ch´u.ng minh v´o.i n v`a ta

s˜e ch´u.ng minh (7.11) d´ung v´o.i n + 1

T`u (7.10) ta c´o; a n+1 = 1 − (1 − a n)2

T`u hˆe th´u.c n`ay suy ra 0 < (1 − a n)2 < 1, v`ı 0 < a n < 1.

T`u d´o suy ra: 0 < a n+1 < 1 ∀ n.

ii) Bˆay gi`o ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n l`a d˜ay t˘ang

Thˆa.t vˆa.y, v`ı a n < 1 nˆ en 2 − a n > 1 Chia (7.10) cho a n ta thu

du.o c:

a n+1

a = 2 − a n > 1.

T`u d´o a n+1 > a n ∀ n Nhu vˆ a.y d˜ay a n do.n diˆe.u t˘ang v`a bi ch˘a.n.

Do d´o theo di.nh l´y Weierstrass, lim A n tˆ` n ta.i v`a ta k´y hiˆe.u n´o l`a a.oiii) T`u (7.10) ta c´o:

lim a n+1 = lim a n · lim(2 − a n)

hay a = a(2 − a).

T`u d´o a = 0 v` a a = 1 V`ı x1 > 0 v`a d˜ay a n t˘ang nˆen

a = 1 = lim a n N

V´ ı du 6 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n= n!

n n hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’an´o

Gia’i i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n do.n diˆe.u gia’m, thˆa.t vˆa.y:

V`ı a n > 0 nˆen n´o bi ch˘a.n du.´o.i v`a do d´o lim a n tˆ` n ta.i, k´y hiˆe.uo

lim a n = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a n> 0

ii) Ta ch´u.ng minh a = 0 Thˆa.t vˆa.y ta c´o:

2 ⇒ a = 0 N

B ` AI T ˆ A P

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 23

H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi ch˘a.n v`a d˜ay n`ao khˆong bi ch˘a.n

(DS 1) v`a 2) bi ch˘a.n; 3) khˆong bi ch˘a.n)

2 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay:

n trong d´o E(nx) l`a phˆ` n nguyˆen cu’a nx.a

Chı’ dˆa˜n Su.’ du.ng hˆe th´u.c: nx − 1 < E(nx) 6 nx (DS a = x)

5 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a n = a 1/2n hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o

(a > 1).

(DS a = 1 Chı’ dˆa˜n Ch´u.ng minh r˘a`ng a n l`a d˜ay do.n diˆe.u gia’mv`ı

c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n

Chı’ dˆa˜n T´ınh bi ch˘a.n cu’a a n du.o c x´ac lˆa.p b˘a`ng c´ach so s´anh a n

v´o.i tˆo’ng mˆo.t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o

8 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay 

1 + 1

n

n+1do.n diˆe.u gia’m v`a

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 25

7.1.4 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ `u kiˆ e e.n cˆa ` n v` a du ’ dˆ e’ d˜ ay hˆ o i tu (nguyˆ en

l´ y hˆ o i tu Bolzano-Cauchy)

Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay

Hai phu.o.ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du.ng du.o c dˆo´i v´o.i c´ac d˜ay khˆong do.n

diˆe.u du.o c cho khˆong b˘a`ng phu.o.ng ph´ap gia’i t´ıch m`a du.o c cho b˘a`ng

phu.o.ng ph´ap kh´ac (ch˘a’ng ha.n b˘a`ng phu.o.ng ph´ap truy hˆo`i) M˘a.t

kh´ac, trong nhiˆ`u tru.`o.ng ho p ngu.`o.i ta chı’ quan tˆam dˆe´n su hˆo.i tu.e

hay phˆan k`y cu’a d˜ay m`a thˆoi Sau dˆay ta ph´at biˆe’u mˆo.t tiˆeu chuˆa’n

c´o t´ınh chˆa´t “nˆo.i ta.i” cho ph´ep kˆe´t luˆa.n su hˆo.i tu cu’a d˜ay chı’ du a

trˆen gi´a tri cu’a c´ac sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay:

Nguyˆ en l´ y hˆ o i tu D˜ay (a n) c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n khi v`a chı’ khi n´o

tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.n:e

∀ ε > 0, ∃ N0 = N0(ε) ∈ N : ∀ n > N0 v`a ∀ p ∈ N

⇒ |a n − a n+p | < ε.

T`u nguyˆen l´y hˆo.i tu r´ut ra: D˜ay (a n) khˆong c´o gi´o.i ha n khi v`a chı’

khi n´o tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.n:e

∃ ε > 0, ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ m > N → |a n − a m | > ε.

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay

Gia’i Ta u.´o.c lu.o ng hiˆe.u

|a n+p − a n| =

cos(n + 1)3n+1 + · · · + cos(n + p)

3n+p

... v`a

a n · b n tru.´o.c t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du 1, iii)

iii) Nˆe´u a n = a ≡ const ∀ n th`ı lim

n→∞... n = a ± b.

ii) lim a n b n = lim a n · lim b n = a · b.

iii) Nˆe´u b 6= th`ı b˘a´t dˆa`... di.nh l´y trˆen ta cˆa` n lu.u ´y mˆo.t

sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay:

i) Di.nh l´y (iii) vˆe` gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o c nˆe´u

tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u