BAI TAP KHONG GIAN VECTOR

là không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô số

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR

TRẦN NGỌC DIỄM

Một họ vector quan trọng

n

n R e

e

M  { 1, , } 

)0, ,0

,1,0, ,0

e

M  { 1, , } 

Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

1 M pttt  có 1 vector là tổ hợp tt của các vector còn lại

2 Tập M có vector 0 là tập pttt

3 Mọi tập con của tập đltt là đltt

4 Thêm 1 vector vào tập pttt được tập pttt

5 Bớt 1 vector từ tập đltt được tập đltt

Cho m vector y1, …, ym là tổ hợp tt của k vector x1,

…, xk Nếu m > k thì y1, …, ym phụ thuộc tuyến tính

Bổ đề cơ bản

Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

1 M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) }

2 M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)}

Xét sự đltt của các tập hợp sau:

Hạng của hệ vector

r(M) = r  * M có 1 tập con r phần tử đltt

* Các tập con có hơn r ptử đều pttt

1 A là ma trận m×n: r(A) bằng hạng của hệ vector dòng

Tập sinh – Cơ sở

V là kgv trên K, M  V, V = <M> , là tập sinh của V nếu mọi vector trong V là thtt của các vector trong M

S là cơ sở của V nếu S sinh ra V và S đltt

dimV = Số phần tử của cơ sở

a M có nhiều hơn n vector thì M phụ thuộc tt.

b M có ít hơn n vector thì M không sinh ra V

c r(M) = n  <M> = V

dimV = n, M có n phần tử

Tập sinh – Cơ sở

Bổ sung cơ sở: cho dimV = n, M là tập con đltt của V

có k< n vector Có thể bổ sung (n-k) vector vào M để

tạo thành cở sở của V

Cách làm:

* Thành lập ma trận hàng cho M

* Đưa về ma trận bậc thang và chọn vector bổ sung:

vector bổ sung tương ứng với các phần tử cơ sở còn thiếu

Tập sinh – Cơ sở

Kiểm tra sự đltt của các hệ vector sau, bổ sung vào các

hệ này để có một cơ sở của R3 hay R4

Tọa độ vector

n

n u u

Cho V là kg n chiều, E là 1 cơ sở được sắp thứ tự của V,

E = {u1, u2, …, un}

Khi đó mỗi u V được biểu diễn duy nhất dạng

Được gọi là tọa độ của u trong E

 u E

Tọa độ vector

Hạng của hệ vector trong không gian hữu hạn chiều

bằng hạng của ma trận tọa độ (trong 1 cơ sở bất kỳ)

Các vấn đề trên không gian hữu hạn chiều được đưa về khảo sát trên Rn

cơ sở được sắp thứ tự của V.

gọi là trận chuyển cơ sở từ E sang E’

Tọa độ vector

1 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang

cơ sở E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}

2 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở

E’ = {(1,1.-1), (1,-1,1), (-1,1,1)} sang cơ sở chính

tắc E trong R3

3 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E {(1,1.-1), (1,-1,1),

(-1,1,1)} sang E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)} trong R3

Khơng gian con

Cho V là kgv trên K, U là tập con khơng rỗng của V, U là

kg con củaV nếu U đúng với các phép tốn trên V

K trên kgv

là cũng

U thì V

U 

*

dimV dimU 

*

Hai khơng gian con đặc biệt:

V V (khơng gian con lớn nhất của V)

{0}  V (khơng gian con nhỏ nhất của V, dim{0} = 0)

Không gian con

Bao tuyến tính của hệ vector: M = {x1, x2, …, xn}

<M> = {1x1 + …+ nxn/ i  K}

dim<M> = hạng của M

Một cơ sở là một tập con đltt tối đại của M

* Viết ma trận với các hàng là các vector trong M

* Đưa ma trận về bậc thang:

 Hạng của ma trận = dim<M>

 Các dòng khác 0 tương ứng với cơ sở của <M>

Không gian con

Không gian nghiệm hệ pt thuần nhất:

A  Mm×n, X  Rn, U = { X/ AX =0}

dim U = n – r(A) = số ẩn tự do

Một cơ sở là hệ nghiệm cơ bản của hệ pt AX = 0

Hệ nghiệm cơ bản là hệ nghiệm có được khi lần lượt cho

một ẩn tự do bằng 1 và các ẩn tự do còn lại bằng 0.

Không gian con

1 Tìm cơ sở và chiều của các không gian sau:

Không gian con

Không gian con

Không gian con

Không gian con

9 Cho W là không gian nghiệm của hệ pt AX  0, với

Không gian con

Tổng, giao không gian con

Tổng, giao không gian con

A Không gian bao tuyến tính: U1 = <M1>, U2=<M2>

* Tổng: hợp các tập sinh để tìm cơ sở: U1+U2=<M1M2>

* Giao: biểu diễn vector chung theo 2 tập sinh

B Không gian nghiệm:

U1= {X/ A1X = 0), U2 = {X/ A2X = 0}

* Tổng: tìm cơ sở của U1, U2 rồi trở về trường hợp A

* Giao: giải hệ AX = 0, gồm tất cả các pt có trong U1, U2 Một cơ sở là hệ nghiệm cơ bản của hệ pt này

Tổng, giao không gian con

Tổng, giao không gian con

3 Trên R4

U1 = <(1,2,1,1), (-2,0,1,-1)>, U2= <(0,1,1,0), (1,-2,1,-3)>Tìm cơ sở và chiều của U1  U2, U1  U2

4 Trên R4

U = {(x1,x2,x3,x4)/ x1+2x2+x3+x4 = 0, -2x1+x3-x4 = 0},

V={(x1,x2,x3,x4)/ x2+x3 = 0, x1-2x2+x3-3x4 = 0}

Tìm 1 cơ sở của U + V, U  V

Tổng, giao không gian con

Tổng, giao không gian con