Đang tải... (xem toàn văn)
là không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô sốlà không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là các vector trong V. y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có duy nhất nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình Có vô số
BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR TRẦN NGỌC DIỄM Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt V không gian vector K(R, C); x1, x2, …, xn y vector V y tổ hợp tt x1, x2, …, xn x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình α1 x1 + α x2 + L + α n xn = ( ∗) x1 = x2 = L = xn = Có nghiệm x1, x2, …, xn độc lập tt ⇔ hệ phương trình ⇔ y = α1 x1 + α x2 + L + α n xn ( ∗) Có vơ số nghiệm Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt Trên R3 cho u1 = (-1,1,1), u2 = (1,-1,1), u3 = (1,1,-1) a u = (2, -1, 0) có tổ hợp tuyến tính u 1, u2, u3? b u1, u2, u3 đltt hay pttt Xét đltt M = {(1,1,1), (3,2,2), (2,1,1)} treân R 3 Trên C2, xét đltt M = {(1+ i, -i), (1+3i, 1-2i)} nếu: * C2 kg vector R * C2 kg vector C Tìm để u tổ hợp tuyến tính u1, u2 : / u1 = ( 2, −1,3) , u2 = ( 1,1,2 ) , u = ( 1, −2, m + ) / u1 = ( 1, 2,3,4 ) , u2 = ( 0,3, −2, ) , u3 = ( 1,0, −3,5 ) u = ( 0,5, m − 5,1) Một họ vector quan trọng M = {e1, , en } ⊂ Rn M = {e1, , en } ⊂ C n ei = (0, ,0,1,0, ,0) Vị trí thứ i * M độc lập tt Rn, Cn(C) * Mọi vector (x1, …, xn) Rn Cn(C) thtt ei Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt M pttt ⇔ có vector tổ hợp tt vector cịn lại Tập M có vector tập pttt Mọi tập tập đltt đltt Thêm vector vào tập pttt tập pttt Bớt vector từ tập đltt tập đltt Bổ đề Cho m vector y1, …, ym tổ hợp tt k vector thuộc tuyến tính x1, …, xk Nếu m > k y1, …, ym phụ Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt Xét đltt tập hợp sau: M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) } M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)} Hạng hệ vector r(M) = r ⇔ * M có tập r phần tử đltt * Các tập có r ptử pttt A ma trận m×n: r(A) hạng hệ vector dịng hệ vector cột r(M) = r, M có r phần tử ⇔ M đltt M = {x1, x2, …, xp}, r(M) = r , M’ = {x1, x2, …, xp, xp+1, …, xp+q }, với xp+1, …, xp+q thtt x1, x2, …, xp ⇒ r(M’) = r Hạng hệ vector Tìm hạng hệ vector Trên R3, cho M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (-1, 4, 5)} Trên R3, M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (2, 4, 1), (-1, 4, 5)} Trên R3 M = { ( a + b − c, 2a + 4c, −a + 2b + c ) : a, b, c ∈ R} Tập sinh – Cơ sở V kgv K, M ⊂ V, V = , tập sinh V vector V thtt vector M S sở V S sinh V S đltt dimV = Số phần tử sở Không gian Cho V kgv K, U tập không rỗng V, U kg củaV U với phép toán V * U ≤ V thìU kgvtrên K * dimU≤ dimV Hai không gian đặc biệt: V ≤ V (không gian lớn V) {0} ≤ V (không gian nhỏ V, dim{0} = 0) Không gian Bao tuyến tính hệ vector: M = {x1, x2, …, xn} = {α1x1 + …+ αnxn/ αi ∈ K} dim = hạng M Một sở tập đltt tối đại M * Viết ma trận với hàng vector M * Đưa ma trận bậc thang: Hạng ma trận = dim Các dòng khác tương ứng với sở Không gian Không gian nghiệm hệ pt nhất: A ∈ Mm×n, X ∈ Rn, U = { X/ AX =0} dim U = n – r(A) = số ẩn tự Một sở hệ nghiệm hệ pt AX = Hệ nghiệm hệ nghiệm có cho ẩn tự ẩn tự cịn lại Khơng gian Tìm sở chiều không gian sau: a)U = < { ( 1,2,1,1) , ( −2,0,1, −1) , ( 0,1,1,0 ) , ( 1, −2,1, −3 ) } > ( x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 − x3 + x4 = 0 b)U = x1 + x4 − 3x3 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 Khơng gian Tìm sở của: W = ( 1,1,2,2 ) , ( −2,0, −3, −5 ) , ( 4,6,9,7 ) , ( 1, −5, −1,5 ) Với giá trị m Cho u = ( 5,1,8, m ) ∈W ( x1, x2 , x3 ) : mx1 + x2 + x3 = 0; W = mx1 − x2 + x3 = 0; x − x + x = Tìm m để dimW nhỏ Không gian Không gian Không gian Không gian Tổng, giao không gian U1 + U2 = {u1 + u2: u1 ∈U1, u2 ∈U2} U1, U2 ≤ V: U1 ∩ U2 = {u: u ∈U1 u ∈U2} Nếu U1 ∩ U2 = {0} U1 + U2 = U1 ⊕ U2 : tổng trực tiếp U1 ∩ U2 ≤ U1 U1 + U2 ∩U2 U1 , U ≤ U + U dim(U1 + U2 ) = dimU1 + dimU2 – dim(U1 ∩ U2) Nếu = U1, = U2 = U1+U2 Tổng, giao không gian A Không gian bao tuyến tính: U1 = , U2= * Tổng: hợp tập sinh để tìm sở: U1+U2= * Giao: biểu diễn vector chung theo tập sinh B Không gian nghiệm: U1= {X/ A1X = 0), U2 = {X/ A2X = 0} * Tổng: tìm sở U1, U2 trở trường hợp A * Giao: giải hệ AX = 0, gồm tất pt có U 1, U2 Một sở hệ nghiệm hệ pt Tổng, giao không gian Trên R3, cho U1 = ( 1, 2,1) , ( 2,1, −1) , U = ( 1,1,1) , ( −1,1, ) Tìm sở chiều U1 + U , U1 ∩ U Trên R3 cho U1 = { ( x1 , x2 , x3 ) : x1 + x2 + x3 = 0,2 x1 + x2 − x3 = 0} , U1 = { ( x1 , x2 , x3 ) : x1 + x2 + x3 = 0, − x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở chiều U1 + U , U1 ∩ U Tổng, giao không gian Trên R4 U1 = , U2= Tìm sở chiều U1 + U , U1 ∩ U Trên R4 U = {(x1,x2,x3,x4)/ x1+2x2+x3+x4 = 0, -2x1+x3-x4 = 0}, V={(x1,x2,x3,x4)/ x2+x3 = 0, x1-2x2+x3-3x4 = 0} Tìm sở U + V, U ∩ V Tổng, giao không gian Cho U = , V = a Tìm m để dim(U+V) lớn b.Tìm m để U ∩ V nhỏ c Tìm m để U + V = U ⊕ V Tổng, giao không gian Cho U = {(x1,x2,x3,x4)/ x1+x2+2x3+2x4 = 0, x1-3x3-5x4 = 0} V={(x1,x2,x3,x4)/ 4x1+6x2+9x3+7x4 = 0, x1-5x2+mx3+5x4= 0} a Tìm m để dim(U+V) lớn b.Tìm m để U ∩ V nhỏ c Tìm m để U + V = U ⊕ V ... ⇔ có vector tổ hợp tt vector lại Tập M có vector tập pttt Mọi tập tập đltt đltt Thêm vector vào tập pttt tập pttt Bớt vector từ tập đltt tập đltt Bổ đề Cho m vector y1, …, ym tổ hợp tt k vector. .. gọi tọa độ u E Tọa độ vector Hạng hệ vector không gian hữu hạn chiều hạng ma trận tọa độ (trong sở bất kỳ) Các vấn đề không gian hữu hạn chiều đưa khảo sát R n Tọa độ vector E = {e1, e2, …,... = mx1 − x2 + x3 = 0; x − x + x = Tìm m để dimW nhỏ Khơng gian Không gian Không gian Không gian Tổng, giao không gian U1 + U2 = {u1 + u2: u1 ∈U1, u2 ∈U2} U1, U2 ≤ V: U1 ∩ U2 = {u: u