BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (Tuần 4)

BÀI TẬP KHƠNG GIAN METRIC (Tuần 4) Khơng gian metric đầy đủ, định lý phạm trù Baire C[a, b] đầy đủ với metric hội tụ không đầy đủ với metric tích phân lp đầy đủ Kí hiệu X tập dãy số thực bị chặn (a) Chứng minh ρ(x, y) = sup{|xn − yn ||n = 1, 2, }, x = {xn }, y = (yn ) ∈ X metric X với metric X khơng gian metric đầy (b) Kí hiệu c tập hợp dãy số thực hội tụ Chứng minh c khơng gian đóng khơng gian metric X, c khơng gian metric đầy (c) Kí hiệu s0 khơng gian X gồm tất dãy số thực {xn } cho xn = tất ngoại trừ số hữu hạn n Chứng minh s0 không gian metric không đầy Chứng minh tập số vô tỷ tập khoảng mở khác rỗng R thuộc phạm trù (Thác triển liên tục) Giả sử X, Y không gian metric Y đầy đủ A tập X Chứng minh ánh xạ f : A → Y liên tục tồn tai ánh xạ liên tục g : A → Y cho g|A = f , g liên tục (Định lý Osgood) Cho F tập hàm thực liên tục R có tính chất: với x ∈ R, tồn số thực Mx > cho |f (x)| ≤ Mx với f ∈ F Chứng minh tồn số thực M > tập mở U ⊂ R cho |f (x)| ≤ M ∀x ∈ U, ∀f ∈ F Giả sử X tập hợp, (Y, ρ) khơng gian metric Kí hiệu B(X, Y ) tập tất ánh xạ f : X → Y bị chặn X (nghĩa tập f (X) bị chặn Y ) Với cặp phần tử f, g ∈ B(X, Y ), đặt d(f, g) = sup ρ(f (x), g(x)) x∈X (a) Chứng minh d metric B(X, Y ) (b) Chứng minh Y không gian metric đầy B(X, Y ) khơng gian metric đầy (c) Xét trường hợp Y = R ký hiệu B(X) = B(X, R) (i) Cho x ∈ X phần tử cố định Mỗi x ∈ X ta xác định hàm số fx : X → R theo công thức fx (y) = d(x, y) − d(y, a), y ∈ X Chứng minh fx ∈ B(X) (ii) Xét ánh xạ θ : X → B(X), x → fx Chứng minh θ phép đẳng cự từ X lên không gian B(X) Từ suy tồn không gian đầy đủ X cho X đẳng cự với không gian U X mà U trù mật X (nói cách khác, X đầy đủ hóa X)