Tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các phương pháp giải hình không gian lớp 11. Mỗi phần tương ứng với từng chương trong sách giáo khoa hiện hành. Qua tài liệu này, các em sẽ định hướng được phương pháp giải chương trình không gian của lớp 11.
Trang 1TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP G IẢI B ÀI TẬP KHÔNG GIAN LỚP 11
I Đường thẳng và mặt phẳng:
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
- Phương pháp gi ải:
+ Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
+ Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng
* Chú ý: Để tìm điểm chung của 2 mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đó Giao điểm, nếu có của 2 đường thẳng này chính là điểm chung của 2 mặt phẳng
2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
- Phương pháp gi ải: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm trong mặt phẳng (P) một đường thẳng c cắt đường thẳng a tại A nào đó thì A là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)
* Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua đường thẳng a và lấy c là giao tuyến của mặt phẳng ( P) và (Q)
3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung c ủa hai mặt phẳng phân biệt Khi đó, chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng
đó
- Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của 2 đường này
là điểm chung của 2 mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
4 Tìm tập hợp giao điểm của 2 đường thẳng di động:
- Phương pháp gi ải: M là giao điểm của 2 đường thẳng di động d và d’ Tìm tập hợp các điểm M
+ Phần thuận: Tìm 2 mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d’ M di động trên giao tuyến
cố định của 2 mặt phẳng đó
+ Giới hạn (nếu có)
+ Phần đ ảo:
+ Chú ý: Nếu d di động nhưng luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, a)
Trang 25 Thiết diện:
- Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt hình chóp
+ Phương pháp: Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau:
Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mp ( P) với một mặt của hình chóp ( có thể là mặt trung gian)
Giao tuyến sẽ cắt 2 cạnh của mặt hình chóp này Khi đó, chúng ta sẽ tìm thêm được điểm chung của mp (P) với các mặt khác của hình chóp
Từ đó, ta sẽ xác định được giao tuyến mới của mp (P) với các mặt này
Tiếp tục cho đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện
II Đường thẳng song song:
1 Chứng minh 2 đường thẳng song song:
Phương pháp: Có thể dùng một trong các cách sau:
+ Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng ( tính chất đường trung bình, định lí ta-lét đảo)
+ Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3
+ Áp dụng định lí về giao tuyến: hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng này thì song song với nhau
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Phương pháp:
Bước 1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
Bước 2: Áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương của giao tuyến ( chứng minh giao tuyến song song với môt đường thẳng đã có) Giao tuyến d là đường thẳng đi qua giao tuyến và song song với đường thẳng ấy
3 Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau: Phương pháp:
- Lấy điểm O bất kì Qua O dựng đường thẳng a’ song song với đường thẳng a và đường thẳng b’ song song với b
- Khi đó, góc nhọn tạo bởi đường thẳng a’ và đường thẳng b’ là góc giữa 2 đường thẳng a
và b
- Cách tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm số côsin trong tam giác thường
Trang 3* Như vậy, qua phần I và phần II ta có 2 cách để tìm giao tuyến:
- Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng cần tìm giao tuyến
- Cách 2: Tìm một điểm chung và tìm phương của giao tuyến
- Khi cần tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng thì có thể phối hợp 2 cách này
III Đường thẳng song song với mặt phẳng:
1 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp: Ta chứng minh đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng a chứa trong mặt phẳng (P)
Chú ý: Nếu đường thẳng a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và đường thẳng a là giao tuyến của (P) và (Q)
2 Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng:
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì bất cứ mặt phẳng (Q) nào chứa đường thẳng d mà cắt mặt phẳng (P) thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với đường thẳng d
3 Thiết diện:
Phương pháp: Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước thì sử dụng hệ quả như phần 2
IV Mặt phẳng song song:
1 Chứng minh hai mặt phẳng (mp)song song:
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia
Chú ý: Nếu mp (P) // mp(Q) và đường thẳng a nằm trong mp(Q) thì đường thẳng a // mp (P) (đây là cách 2 để chứng minh đường thẳng a // mp (P)
2 Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng:
Phương pháp: Tìm phương giao tuyến của 2 mp bằng định lí về giao tuyến: “ Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ 3 thì 2 giao tuyến sẽ song song với nhau”
- Như vậy, để xác định thiết diện của chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước ta cũng sử dụng định lí trên
- Chú ý: Nếu mp (P) // mp (Q) và đường thẳng a chứa trong mp (Q) thì mp (P) // đường thẳng a
Trang 4V Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a ⊥ với mp (P) ta có thể sử dụng một trong 2 cách sau:
- Cách 1: Chứng minh đth a ⊥ với 2 đường thẳng cắt nhau chứa trong mp (P)
- Cách 2: Chứng minh đth a // đth b và đth b ⊥ mp (P)
2 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau:
Phương pháp: Để chứng minh 2 đường thẳng a và b vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong hai cách sau ( tùy vào giả thuyết đề cho):
- Cách 1: Chứng minh đường thẳng a ⊥ mp (P) và mp (P) chứa đường thẳng b
- Cách 2: Nếu 2 đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng
3 Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước
- Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng (P), mp (P) qua điểm M cho trước và mp (P) ⊥ với một đường thẳng d cho trước
- Cách dựng mp (P) như sau:Dựng 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng d, trong đó phải có ít nhất một đường thẳng đi qua M Mặt phẳng được xác định bởi 2 đường thẳng này chính là mp (P)
- Sau đó, xác định thiết diện theo phương pháp đã học
VI Đường vuông góc và đường xiên:
1 Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mp(P) cho trước
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Phương pháp: Thực hiện các bước sau:
* Chọn trong mp (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với đường thẳng d (nên chọn d sao cho mp (Q) dễ dựng)
* Xác định đường thẳng c = mp (P) ∩ mp (Q)
* Dựng AH ⊥ đth c tại H
- Đường thẳng AH là đường thẳng qua A ⊥ mp (P)
- Độ dài của đoạn thẳng AH là khoảng cách từ A đến mp (P)
* Chú ý: Trước khi dựng (Q) và chọn đth d nên xét đth d và mp (Q) đã cho trên hình vẽ chưa
- Nếu đã có sẵn đth m ⊥ mp (P), khi đó chỉ cần dựng đth Ax // đth m thì đth Ax ⊥ mp(P)
- Nếu đth AB // mp (P) thì d (A,(P)) = d (B, (P))
Trang 5- Nếu đth AB c ắt mp (P) tại I thì d (A, (P)) : d(B, (P)) = IA : IB
2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Phương pháp: Cách xác định góc giữa đth a và mp (P)
- Tìm giao điểm O của đth a với mp (P)
- Chọn điểm A ∈ đth a và dựng AH ⊥ mp (P) (H∈ mp (P))
- Khi đó góc AOH là góc gi ữa đth a và mp (P)
VII Mặt phẳng vuông góc:
1 Nhị diện góc giữa 2 mặt phẳng: khi giải những bài toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc giữa 2 mặt phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện Nếu chưa có sẵn thì có thể dựng góc theo phương pháp sau:
- Bước 1: Tìm c ạnh c của nhị diện ( chính là giao tuyến của 2 mp (P) và (Q) chứa 2 mặt của nhị diện)
- Bước 2: Dựng một đoạn thẳng AB có 2 đầu mút A và B nằm trên 2 mặt của nhị diện và
AB ⊥ với một mặt của nhị diện
- Bước 3: Chiếu vuông góc A (hay B) trên cạnh c, chân đường vuông góc là H Khi đó, ta được góc AHB là góc phẳng nhị diện
* Chú ý: - Nếu đã có 1 đường thẳng d cắt 2 mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau: Chiếu vuông góc A (hay B) trên c ạnh c, chân đường vuông góc là H Khi đó, góc AHB là góc phẳng của nhị diện
- Nếu 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mp (P) và (Q) thì góc [(P), (Q)] = góc (a, b)
- Nếu 2 mp của nhị diện lần lượt chứa 2 ∆ cân MAB và ∆ cân NAB có chung đáy AB thì góc MIN (I là trung điểm AB) là góc phẳng của nhị diện đó
2 Mặt phẳng vuông góc: Để chứng minh 2 mp vuông góc thì s ử dụng phương pháp sau
- Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
- Cách 2: Chứng minh góc giữa 2 mp có số đo bằng 900
3 Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và ⊥ với mặt phẳng: Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với mp (P) Xác định mp (Q) chứa đth a và ⊥ với
mp (P)
Phương pháp: Từ một điểm A trên đth a dựng đth b vuông góc với mp (P) thì mp (Q) là mặt phẳng (a, b)