Tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các phương pháp giải hình không gian lớp 11. Mỗi phần tương ứng với từng chương trong sách giáo khoa hiện hành. Qua tài liệu này, các em sẽ định hướng được phương pháp giải chương trình không gian của lớp 11.
TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP G IẢI BÀI TẬP KHÔNG GIAN LỚP 11 I Đường thẳng mặt phẳng: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: - Phương pháp giải: + Tìm điểm chung mặt phẳng + Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến mặt phẳng * Chú ý: Để tìm điểm chung mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng nằm mặt phẳng Giao điểm, có đường thẳng điểm chung mặt phẳng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng: - Phương pháp giải: Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P), ta tìm mặt phẳng (P) đường thẳng c cắt đường thẳng a A A giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) * Chú ý: Nếu c chưa có sẵn ta chọn mặt phẳng (Q) qua đường thẳng a lấy c giao tuyến mặt phẳng ( P) (Q) Chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy: - Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm điểm chung hai mặt phẳng phân biệt Khi đó, chúng thẳng hàng giao tuyến hai mặt phẳng - Muốn chứng minh đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm đường điểm chung mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba Tìm tập hợp giao điểm đường thẳng di động: - Phương pháp giải: M giao điểm đường thẳng di động d d’ Tìm tập hợp điểm M + Phần thuận: Tìm mặt phẳng cố định chứa d d’ M di động giao tuyến cố định mặt phẳng + Giới hạn (nếu có) + Phần đảo: + Chú ý: Nếu d di động qua điểm cố định A cắt đường thẳng cố định a khơng qua A d ln nằm mặt phẳng cố định (A, a) Thiết diện: - Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) đa giác giới hạn giao tuyến (P) với mặt hình chóp + Phương pháp: Xác định giao tuyến (P) với mặt hình chóp theo bước sau: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến mp ( P) với mặt hình chóp ( mặt trung gian) Giao tuyến cắt cạnh mặt hình chóp Khi đó, tìm thêm điểm chung mp (P) với mặt khác hình chóp Từ đó, ta xác định giao tuyến mp (P) với mặt Tiếp tục giao tuyến khép kín ta thiết diện II Đường thẳng song song: Chứng minh đường thẳng song song: Phương pháp: Có thể dùng cách sau: + Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng ( tính chất đường trung bình, định lí ta-lét đảo) + Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ + Áp dụng định lí giao tuyến: hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng phân biệt song song với giao tuyến hai mặt phẳng song song với Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm chung hai mặt phẳng Bước 2: Áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương giao tuyến ( chứng minh giao tuyến song song với môt đường thẳng có) Giao tuyến d đường thẳng qua giao tuyến song song với đường thẳng Tính góc đường thẳng a b chéo nhau: Phương pháp: - Lấy điểm O Qua O dựng đường thẳng a’ song song với đường thẳng a đường thẳng b’ song song với b - Khi đó, góc nhọn tạo đường thẳng a’ đường thẳng b’ góc đường thẳng a b - Cách tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác góc tam giác vng dùng định lí hàm số cơsin tam giác thường * Như vậy, qua phần I phần II ta có cách để tìm giao tuyến: - Cách 1: Tìm điểm chung mặt phẳng cần tìm giao tuyến - Cách 2: Tìm điểm chung tìm phương giao tuyến - Khi cần tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng phối hợp cách III Đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Phương pháp: Ta chứng minh đường thẳng d không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a chứa mặt phẳng (P) Chú ý: Nếu đường thẳng a sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d đường thẳng a giao tuyến (P) (Q) Tìm giao tuyến mặt phẳng: Phương pháp: Sử dụng hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d mà cắt mặt phẳng (P) cắt theo giao tuyến song song với đường thẳng d Thiết diện: Phương pháp: Để xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước sử dụng hệ phần IV Mặt phẳng song song: Chứng minh hai mặt phẳng (mp)song song: Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Chú ý: Nếu mp (P) // mp(Q) đường thẳng a nằm mp(Q) đường thẳng a // mp (P) (đây cách để chứng minh đường thẳng a // mp (P) Tìm giao tuyến mặt phẳng: Phương pháp: Tìm phương giao tuyến mp định lí giao tuyến: “ Nếu mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ giao tuyến song song với nhau” - Như vậy, để xác định thiết diện chóp cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước ta sử dụng định lí - Chú ý: Nếu mp (P) // mp (Q) đường thẳng a chứa mp (Q) mp (P) // đường thẳng a V Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a ⊥ với mp (P) ta sử dụng cách sau: - Cách 1: Chứng minh đth a ⊥ với đường thẳng cắt chứa mp (P) - Cách 2: Chứng minh đth a // đth b đth b ⊥ mp (P) Chứng minh đường thẳng vuông góc với nhau: Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a b vng góc với ta sử dụng hai cách sau ( tùy vào giả thuyết đề cho): - Cách 1: Chứng minh đường thẳng a ⊥ mp (P) mp (P) chứa đường thẳng b - Cách 2: Nếu đường thẳng cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc học hình học phẳng Thiết diện qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước - Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện (S) với mặt phẳng (P), mp (P) qua điểm M cho trước mp (P) ⊥ với đường thẳng d cho trước - Cách dựng mp (P) sau:Dựng đường thẳng cắt vng góc với đường thẳng d, phải có đường thẳng qua M Mặt phẳng xác định đường thẳng mp (P) - Sau đó, xác định thiết diện theo phương pháp học VI Đường vng góc đường xiên: Dựng đường thẳng qua điểm A cho trước vng góc với mp(P) cho trước - Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Phương pháp: Thực bước sau: * Chọn mp (P) đường thẳng d, dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với đường thẳng d (nên chọn d cho mp (Q) dễ dựng) * Xác định đường thẳng c = mp (P) ∩ mp (Q) * Dựng AH ⊥ đth c H - Đường thẳng AH đường thẳng qua A ⊥ mp (P) - Độ dài đoạn thẳng AH khoảng cách từ A đến mp (P) * Chú ý: Trước dựng (Q) chọn đth d nên xét đth d mp (Q) cho hình vẽ chưa - Nếu có sẵn đth m ⊥ mp (P), cần dựng đth Ax // đth m đth Ax ⊥ mp(P) - Nếu đth AB // mp (P) d (A,(P)) = d (B, (P)) - Nếu đth AB cắt mp (P) I d (A, (P)) : d(B, (P)) = IA : IB Góc đường thẳng mặt phẳng: Phương pháp: Cách xác định góc đth a mp (P) - Tìm giao điểm O đth a với mp (P) - Chọn điểm A ∈ đth a dựng AH ⊥ mp (P) (H∈ mp (P)) - Khi góc AOH góc đth a mp (P) VII Mặt phẳng vng góc: Nhị diện góc mặt phẳng: giải toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc mặt phẳng ta thường xác định góc phẳng nhị diện Nếu chưa có sẵn dựng góc theo phương pháp sau: - Bước 1: Tìm cạnh c nhị diện ( giao tuyến mp (P) (Q) chứa mặt nhị diện) - Bước 2: Dựng đoạn thẳng AB có đầu mút A B nằm mặt nhị diện AB ⊥ với mặt nhị diện - Bước 3: Chiếu vng góc A (hay B) cạnh c, chân đường vng góc H Khi đó, ta góc AHB góc phẳng nhị diện * Chú ý: - Nếu có đường thẳng d cắt mặt nhị diện A, B vng góc với cạnh c nhị diện ta dựng góc phẳng nhị diện sau: Chiếu vng góc A (hay B) c ạnh c, chân đường vuông góc H Khi đó, góc AHB góc phẳng nhị diện - Nếu đường thẳng a b vng góc với hai mp (P) (Q) góc [(P), (Q)] = góc (a, b) - Nếu mp nhị diện chứa ∆ cân MAB ∆ cân NAB có chung đáy AB góc MIN (I trung điểm AB) góc phẳng nhị diện Mặt phẳng vng góc: Để chứng minh mp vng góc s dụng phương pháp sau - Cách 1: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Cách 2: Chứng minh góc mp có số đo 90 Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng ⊥ với mặt phẳng: Cho trước mặt phẳng (P) đường thẳng a khơng vng góc với mp (P) Xác định mp (Q) chứa đth a ⊥ với mp (P) Phương pháp: Từ điểm A đth a dựng đth b vng góc với mp (P) mp (Q) mặt phẳng (a, b) ... ta có cách để tìm giao tuyến: - Cách 1: Tìm điểm chung mặt phẳng cần tìm giao tuyến - Cách 2: Tìm điểm chung tìm phương giao tuyến - Khi cần tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng phối hợp cách III... thẳng song song: Chứng minh đường thẳng song song: Phương pháp: Có thể dùng cách sau: + Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng ( tính chất... thẳng vng góc với mặt phẳng: Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a ⊥ với mp (P) ta sử dụng cách sau: - Cách 1: Chứng minh đth a ⊥ với đường thẳng cắt chứa mp (P) - Cách 2: Chứng minh đth a //