BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (Tuần 2 + 3)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (Tuần + 3) Tính chất tơpơ khơng gian metric Giả sử A tập không gian metric (X, ρ), r số dương Đặt B(A, r) = {x ∈ X : ρ(x, A) < r} Chứng minh (a) B(A, r) mở B(A, r) = B(A, r); (b) Nếu B tập khác rỗng X tập hợp {x ∈ X : ρ(x, A) < ρ(x, B)} tập mở Từ suy A, B hai tập đóng rời khác rỗng X tồn tập mở U, V X cho U chứa A, V chứa B U ∩ V = U ∩ V = ∅ Cho A không gian không gian metric X với metric d ε > số thực Ký hiệu Oε (A) = {x ∈ A : tồn a ∈ A : d(x, a) < ε}, Cε (A) = {x ∈ A : tồn a ∈ A : d(x, a) ≤ ε}, (a) Chứng minh Oε (A) tập mở (b) Nếu A compact Cε (A) tập đóng Kết luận khơng bỏ giả thiết compact? Cho ϕ ∈ C[a, b], ký hiệu A = {f ∈ C[a, b] : f (x) < ϕ(x), ∀x ∈ [a, b]}; B = {f ∈ C[a, b] : f (x) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ [a, b]}; C = {f ∈ C[a, b] : < f (x) < 1, ∀x ∈ [a, b]}; Chứng minh A, C tập mở B tập đóng C[a, b] với metric sup Chứng minh A = {f ∈ C[0, 1] : f ( ) = 0} tập đóng, B = {f ∈ C[0, 1] : f (t)dt = 0} khơng tập đóng khơng gian metric C[0, 1] với metric sup Ánh xạ liên tục Hãy xác định tính liên tục liên tục ánh xạ sau t (a) T : C[0, 1] → C[0, 1] xác định T (x)(t) = x(s)ds (b) T : C[0, 1] → R xác định T (x) = x(t0 ) với t0 ∈ [0, 1] điểm cố định (c) T : C[0, 1] → R xác định T (x) = sup x(t) t∈[0,1] Cho (X, ρ) không gian metric y điểm cố định X Chứng minh (a) Hàm số x → ρ(x, y) hàm liên tục (b) Nếu xn hội tụ tới x yn hội tụ tới y X ρ(xn , yn ) hội tụ tới ρ(x, y) Xét d(x, y) = |x − y| ρ(x, y) = x = y x = y metric thông thường, metric rời rạc tập số thực R Chứng minh ánh xạ f từ không gian metric (R, ρ) vào (R, d) liên tục Những ánh xạ từ (R, d) vào (R, ρ) liên tục? Cho fn : X → Y dãy ánh xạ từ tập X không gian metric Y , d metric Y Dãy ánh xạ {fn } gọi hội tụ đến ánh xạ f : X → Y với > tồn số tự nhiên N cho d(fn (x), f (x)) < với n N x ∈ X Giả sử X không gian metric fn : X → Y dãy ánh xạ liên tục hội tụ đến ánh xạ f : X → Y Chứng minh rằng: (a) f ánh xạ liên tục (b) Nếu {xn } dãy điểm X hội tụ đến x dãy điểm {fn (xn )} hội tụ đến f (x) Y Cho A B hai tập đóng khơng rỗng rời không gian metric X Chứng minh tồn ánh xạ liên tục f : X → [0, 1] cho f (x) = với x ∈ A f (x) = với x ∈ B Hãy lấy ví dụ ánh xạ mở liên tục không phép đồng phôi, ánh xạ đóng liên tục khơng phải phép đồng phôi, ánh xạ mở liên tục khơng ánh xạ đóng, ánh xạ đóng liên tục khơng phải ánh xạ mở  ... ánh xạ từ tập X không gian metric Y , d metric Y Dãy ánh xạ {fn } gọi hội tụ đến ánh xạ f : X → Y với > tồn số tự nhiên N cho d(fn (x), f (x)) < với n N x ∈ X Giả sử X không gian metric fn :... tới ρ(x, y) Xét d(x, y) = |x − y| ρ(x, y) = x = y x = y metric thông thường, metric rời rạc tập số thực R Chứng minh ánh xạ f từ không gian metric (R, ρ) vào (R, d) liên tục Những ánh xạ từ (R,... Y Cho A B hai tập đóng khơng rỗng rời không gian metric X Chứng minh tồn ánh xạ liên tục f : X → [0, 1] cho f (x) = với x ∈ A f (x) = với x ∈ B Hãy lấy ví dụ ánh xạ mở liên tục không phép đồng