BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (TUẦN 1)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (TUẦN 1) Một số bất đẳng thức quan trọng (Phần tự chứng minh) (Bất đẳng thức AM - GM) Cho số thực dương a, b < λ < Chứng minh aλ b1−λ ≤ λa + (1 − )b (Bt ng thc Hă older) Cho hai b số không âm {xi } {yi } hai số thực p, q thỏa 1 mãn + = Chứng minh p q n p n q n xpi xi y i ≤ i=1 yiq i=1 i=1 Khi p = q = ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt n n yi2 x2i xi yi ≤ i=1 n i=1 i=1 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho hai số không âm {xi } {yi } Chứng minh p n (xpi + yip ) p n xpi ≤ i=1 i=1 p n yip + i=1 Với số không âm a, b số thực p > Chứng minh (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ) Tìm dạng tích phân cho bất đẳng thức dạng chuỗi cho bất đẳng thức Minkowski Metric tính chất Ký hiệu C[a, b] tập hợp tất hàm số liên tục [a, b] Với x, y ∈ C[a, b], ta xác định d(x, y) = max |x(t) − y(t)|; t∈[a,b] b |x(t) − y(t)|dt; ρ(x, y) = a (a) Chứng minh d ρ xác định metric C[a, b] metric không tương đương nhau, ρ gọi metric tích phân d gọi metric hội tụ (b) Hãy mô tả hội tụ metric (c) Hãy dãy hàm liên tục hội tụ metric tích phân không hội tụ điểm (d) Hãy xây dựng dãy Cauchy metric tích phân khơng hội tụ 2 Với số thực ≤ p < +∞, ký hiệu lp = {x = {xn }n≥1 : |xn |p < +∞} Với x, y ∈ lp ta đặt n≥1 p |xn − yn |p d(x, y) = n≥1 (a) Chứng minh d xác định metric lp không gian metric đầy đủ (b) Chứng minh hội tụ lp kéo theo hội tụ theo tọa độ ngược lại khơng 1 1 (c) Chứng minh dãy {xn = (1, , , , 0, )} hội tụ tới x = (1, , , , ) l2 n n (Khoảng cách) (a) Giả sử (X, d) không gian metric, A ⊂ X, x ∈ X Khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A định nghĩa d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Chứng minh (i) d(x, A) = d(x, A); (ii) d(x, A) = ⇔ x ∈ A; (iii) |d(x, A) − d(y, A)| d(x, y), ∀x, y ∈ X (b) Với hai tập A, B không gian metric X ta định nghĩa d(A, B) = sup{d(x, B), x ∈ A}; dH (A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} dH (A, B) gọi khoảng cách Hausdorff hai tập A, B Chứng minh dH (A, B) = inf{ε > : A ⊂ Nε (B), B ⊂ Nε (A)}, {z ∈ X : d(x, z) ≤ ε} Nε (A) = x∈A ... ∀x, y ∈ X (b) Với hai tập A, B không gian metric X ta định nghĩa d(A, B) = sup{d(x, B), x ∈ A}; dH (A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} dH (A, B) gọi khoảng cách Hausdorff hai tập A, B Chứng minh dH... hội tụ tới x = (1, , , , ) l2 n n (Khoảng cách) (a) Giả sử (X, d) không gian metric, A ⊂ X, x ∈ X Khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A định nghĩa d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Chứng minh (i)... < +∞} Với x, y ∈ lp ta đặt n≥1 p |xn − yn |p d(x, y) = n≥1 (a) Chứng minh d xác định metric lp không gian metric đầy đủ (b) Chứng minh hội tụ lp kéo theo hội tụ theo tọa độ ngược lại khơng 1