Vì vậy, trong công thức 1, một định thức cấp n được tính thông qua các định thức cấp n − 1 .• Aij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij.. Khi nhân các phần tử của một dòng hoặc một
Trang 1Bài giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
GIẢI TÍCH
VÀ ỨNG DỤNG
Trần Minh Nguyệt
Tháng 9 năm 2011
Trang 2I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8
1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
1 MA TRẬN 9
2 ĐỊNH THỨC 17
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 21
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 23
2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33 1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 33
2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 35
3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 43
3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47 1 Giá trị riêng của ma trận 47
2 Dạng toàn phương 48
3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương 51
4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54 1 Các khái niệm 54
2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế 55
3 Một số mô hình toán kinh tế 55
II GIẢI TÍCH 58 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN 59
2 VI PHÂN 69
3 ĐẠO HÀM CẤP CAO 74
4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN 75
5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT 80
Trang 3Noi dung 3
1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG 88
2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN 93
3 HÀM ẨN 97
4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 104
5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 114
7 TÍCH PHÂN 123 1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân 123
2 Tìm nguyên hàm của một hàm số 124
3 Tính tích phân 125
4 Tích phân suy rộng loại 1 126
5 Áp dụng tích phân trong kinh tế 127
Trần Minh Nguyệt
Trang 4I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8
1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
1 MA TRẬN 9
1.1 Khái niệm ma trận 9
1.2 Các phép toán ma trận 10
1.3 Một số khái niệm liên quan đến ma trận vuông 13
1.4 Hạng của ma trận 15
2 ĐỊNH THỨC 17
2.1 Khái niệm định thức 17
2.2 Tính chất của định thức 18
2.3 Một số phương pháp tính định thức 19
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 21
3.1 Định nghĩa 21
3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 22
3.3 Một số tính chất của ma trận nghịch đảo 22
3.4 Tìm ma trận nghịch đảo 22
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 23
4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 23
4.2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 25
4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính 25
4.4 Một số hệ phương trình đặc biệt 30
2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33 1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 33
1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian véc tơ 33
1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ 35
2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 35
2.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 35
2.2 Cơ sở của không gian véc tơ 38
2.3 Số chiều của không gian véc tơ hữu hạn sinh 40
2.4 Cơ sở trong không gian véc tơ n chiều 41
2.5 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở 42
Trang 5MỤC LỤC 5
2.6 Hạng của hệ véc tơ trong không gian véc tơ R n 43
3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 43
3.1 Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tuyến tính 43
3.2 Tính chất của ánh xạ tuyến tính 44
3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 45
3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47 1 Giá trị riêng của ma trận 47
1.1 Định nghĩa 47
1.2 Ví dụ 47
2 Dạng toàn phương 48
2.1 Khái niệm dạng toàn phương 48
2.2 Tính xác định của dạng toàn phương và ma trận 49
2.3 Một số tính chất của ma trận xác định 50
3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương 51
3.1 Dấu hiệu định thức 51
3.2 Dấu hiệu giá trị riêng 53
4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54 1 Các khái niệm 54
2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế 55
3 Một số mô hình toán kinh tế 55
3.1 Mô hình thị trường đơn (thị trường một hàng hóa) 55
3.2 Mô hình thị trường hai hàng hóa 56
3.3 Mô hình thu nhập quốc dân 57
II GIẢI TÍCH 58 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN 59
1.1 Tốc độ thay đổi và khái niệm đạo hàm 59
1.2 Tính liên tục của hàm số khả vi 60
1.3 Đạo hàm và phân tích so sánh tĩnh 61
1.4 Đạo hàm và độ dốc của một đường cong 61
1.5 Các quy tắc tính đạo hàm 61
1.6 Áp dụng trong kinh tế 65
2 VI PHÂN 69
2.1 Khái niệm vi phân 69
2.2 Các quy tắc tính vi phân 70
2.3 Vi phân và hệ số co giãn 70
2.4 Hàm có hệ số co giãn không đổi 73
Trần Minh Nguyệt
Trang 62.5 Hệ số co giãn của hàm ngược 73
3 ĐẠO HÀM CẤP CAO 74
3.1 Đạo hàm cấp cao 74
3.2 Đạo hàm cấp 2 và khái niệm cận biên giảm dần trong kinh tế 74
4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN 75
4.1 Khái niệm về giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số một biến 75
4.2 Tìm giá trị cực trị của hàm một biến 76
4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến 77
4.4 Một số áp dụng trong kinh tế 78
5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT 80
5.1 Nhắc lại một số tính chất của hàm mũ và hàm logarit 80
5.2 Hàm số mũ và bài toán lãi suất kép 82
5.3 Bài toán quyết định thời điểm tối ưu 85
5.4 Tốc độ tăng của một hàm số 86
6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 88 1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG 88
1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 88
1.2 Đạo hàm riêng 88
2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN 93
2.1 Vi phân toàn phần 93
2.2 Đạo hàm toàn phần 95
2.3 Đạo hàm riêng toàn phần 96
3 HÀM ẨN 97
3.1 Định lý hàm ẩn cho một phương trình 97
3.2 Định lý hàm ẩn cho hệ phương trình 100
3.3 So sánh tĩnh trong một số mô hình hàm tổng quát 103
4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 104
4.1 Đạo hàm riêng cấp hai 104
4.2 Ma trận Hess 106
4.3 Bài toán cực trị hàm nhiều biến 106
5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 114
5.1 Định nghĩa hàm Lagrange 115
5.2 Điều kiện cần tìm cực trị có điều kiện 115
5.3 Điều kiện đủ tìm cực trị có điều kiện 115
5.4 Ý nghĩa của nhân tử Lagrange 118
5.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có điều kiện 120
7 TÍCH PHÂN 123 1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân 123
Trang 7MỤC LỤC 7
1.1 Định nghĩa nguyên hàm 123
1.2 Định nghĩa tích phân 123
2 Tìm nguyên hàm của một hàm số 124
2.1 Các nguyên hàm cơ bản 124
2.2 Các quy tắc tìm nguyên hàm 124
3 Tính tích phân 125
4 Tích phân suy rộng loại 1 126
5 Áp dụng tích phân trong kinh tế 127
5.1 Tìm hàm tổng từ hàm cận biên 127
5.2 Tìm dòng vốn tạo thành từ tỉ lệ đầu tư 128
5.3 Tìm giá trị hiện tại của dòng tiền 129
5.4 Tính giá trị thặng dư 130
Trần Minh Nguyệt
Trang 8ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Trang 9am1 am2 amn
được gọi là một ma trận cỡ m × n
Đối với ma trậnAở trên thì:
1 aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của dòng i và cột j Ma trận A
thường được viết thu gọn làA = (aij)m×n
2 Dòngicủa ma trận gồm các phần tử: ai1, ai2, , ain
3 Cộtj của ma trận gồm các phần tử: a1j, a2j, , amj
4 Khi m = n thì ma trậnA có số dòng bằng số cột và được gọi là ma trận vuôngcấpn Ma trận vuôngAđược viết thu gọn làA = (aij)n
5 Khim = 1thì ma trận Achỉ gồm một dòng và được gọi là ma trận dòng
6 Khin = 1thì ma trậnAchỉ gồm một cột và được gọi là ma trận cột
7 Khi tất cả các phần tử của ma trậnAđều bằng0thì ma trậnAđược gọi là ma trậnkhông và kí hiệu là0
Ta kí hiệu:
• Mm,n là tập tất cả các ma trận cỡm × n
• Mn là tập tất cả các ma trận vuông cấpn
9
Trang 11Định nghĩa 1.8 Cho ma trận cỡ m × n A = (aij)m×n Tích của số thực k với ma trận
A là một ma trận cỡ m × n , ký hiệu là kA , được xác định bởi:
Trang 12Chú ý 1.12. • Muốn nhân ma trận A với ma trận B phải có điều kiện số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B.
• Khi ma trận tích AB tồn tại thì chưa chắc ma trận tích BA đã tồn tại.
• Khi A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì tích AB, BA đều tồn tại nhưng nói chung
Trang 131.3 Một số khái niệm liên quan đến ma trận vuông
Đường chéo chính, đường chéo phụ
Định nghĩa 1.15 Cho ma trận vuông cấp n.
A =
a a11 21 a a12 22 a a1n 2n
an1 an2 ann
• Các phần tử a11, a22, , annđược gọi là các phần tử chéo chính (hoặc các phần
tử chéo) của ma trận A Đường thẳng chứa các phần tử chéo chính gọi là đường chéo chính.
• Các phần tử a1n, a2n −1, , an1được gọi là các phần tử chéo phụ của ma trận
A Đường thẳng chứa các phần tử chéo phụ gọi là đường chéo phụ.
Ma trận đơn vị
Định nghĩa 1.16 Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên
đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0 Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In.
Trang 14Ma trận chéo
Định nghĩa 1.17 Một ma trận vuông được gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần tử
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
Như vậy, nếu A là một ma trận chéo cấp n thì A phải có dạng:
là ma trận tam giác trên cấp 4.
Cả A và B đều là ma trận tam giác.
Trang 15Phép biến đổi sơ cấp
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận:
1 Đổi chỗ hai dòng
2 Nhân một dòng với một số khác 0
3 Nhân một dòng với một số rồi cộng vào một dòng khác
Tương tự cũng có ba phép biến đổi sơ cấp trên cột của một ma trận
1 Những dòng không (nếu có) phải nằm dưới những dòng khác không.
2 Phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi dòng khác không nằm về bên phải phần tử khác
0 đầu tiên của dòng phía trên.
Ví dụ 1.25 Ma trận nào sau đây là ma trận hình thang?
Trang 16Định nghĩa 1.26 Cho A là một ma trận bất kì Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
ta luôn biến đổi được A về ma trận hình thang Từ một ma trận A có thể biến đổi thành nhiều ma trận hình thang khác nhau nhưng số dòng khác không của các ma trận hình thang đó đều bằng nhau Ta gọi số dòng khác không đó là hạng của ma trận A Hạng của ma trận A kí hiệu là rank(A).
Trang 172 ĐỊNH THỨC 17
Chú ý 1.28 Khi đưa một ma trận về dạng hình thang để tìm hạng, ngoài các phép biến
đổi sơ cấp trên dòng ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột hoặc kết hợp cả hai loại phép biến đổi.
2 ĐỊNH THỨC
2.1 Khái niệm định thức
Định nghĩa 1.29 Cho ma trận vuông A = (aij)n Kí hiệu Mij là ma trận nhận được
từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j Mij được gọi là ma trận con ứng với phần tử aij.
Trang 18• Ma trận Mij trong công thức (2) có cấp n − 1 Vì vậy, trong công thức (1), một định thức cấp n được tính thông qua các định thức cấp n − 1
• Aij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij.
2.2 Tính chất của định thức
1 det(A) = det(At)
2 Những định thức thỏa mãn một trong các điều kiện sau thì bằng 0:
• Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) như nhau
• Định thức có một dòng (hoặc một cột) gồm toàn các số 0
• Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) tỉ lệ
3 Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của một định thức thì định thức đổi dấu
4 Khi nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với một số k thì được một địnhthức mới bằng k lần định thức cũ
Trang 19... trình tuyến tính sau:
1 Viết ma trận bổ sung hệ
2 Dùng phép biến đổi sơ cấp dịng để đưa ma trận bổ sung dạng hình
thang
3 So sánhrank(A), rank(Abs)để... trình sau có phải hệ tuyến tính khơng? Nếu có, hãy
viết ma trận hệ số ma trận bổ sung hệ.
Trang 25