bai giang dai so tuyen tinh giai tich va ung dung

Bài giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Trần Minh Nguyệt Tháng 9 năm 2011 Noi dung I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33 1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . 35 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47 1 Giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54 1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Một số mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II GIẢI TÍCH 58 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 88 2 Noi dung 3 1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3 HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7 TÍCH PHÂN 123 1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2 Tìm nguyên hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5 Áp dụng tích phân trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Trần Minh Nguyệt MỤC LỤC I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Khái niệm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Một số khái niệm liên quan đến ma trận vuông . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ĐỊNH THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 Khái niệm định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Một số phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Một số tính chất của ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 25 4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Một số hệ phương trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 33 1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ . . . . . . . . . . . . 35 2.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Cơ sở của không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Số chiều của không gian véc tơ hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Cơ sở trong không gian véc tơ n chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 MỤC LỤC 5 2.6 Hạng của hệ véc tơ trong không gian véc tơ R n . . . . . . . . . . . . 43 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 47 1 Giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Khái niệm dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Tính xác định của dạng toàn phương và ma trận . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Một số tính chất của ma trận xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Kiểm tra tính xác định của dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1 Dấu hiệu định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Dấu hiệu giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 54 1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Trạng thái cân bằng của mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Một số mô hình toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Mô hình thị trường đơn (thị trường một hàng hóa) . . . . . . . . . . . 55 3.2 Mô hình thị trường hai hàng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Mô hình thu nhập quốc dân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II GIẢI TÍCH 58 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 59 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.1 Tốc độ thay đổi và khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.2 Tính liên tục của hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.3 Đạo hàm và phân tích so sánh tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4 Đạo hàm và độ dốc của một đường cong . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.6 Áp dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1 Khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Các quy tắc tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Vi phân và hệ số co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 Hàm có hệ số co giãn không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Trần Minh Nguyệt 6 MỤC LỤC 2.5 Hệ số co giãn của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Đạo hàm cấp 2 và khái niệm cận biên giảm dần trong kinh tế . . . . . 74 4 BÀI TOÁN TỐI ƯU CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 Khái niệm về giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Tìm giá trị cực trị của hàm một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến . . . . . . . . . . . . 77 4.4 Một số áp dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 HÀM MŨ VÀ LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1 Nhắc lại một số tính chất của hàm mũ và hàm logarit. . . . . . . . . . 80 5.2 Hàm số mũ và bài toán lãi suất kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 Bài toán quyết định thời điểm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Tốc độ tăng của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 88 1 HÀM NHIỀU BIẾN - ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.1 Khái niệm hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.2 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TOÀN PHẦN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2 Đạo hàm toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.3 Đạo hàm riêng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3 HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Định lý hàm ẩn cho một phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Định lý hàm ẩn cho hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 So sánh tĩnh trong một số mô hình hàm tổng quát . . . . . . . . . . . 103 4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1 Đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 Ma trận Hess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 Bài toán cực trị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.1 Định nghĩa hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Điều kiện cần tìm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3 Điều kiện đủ tìm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4 Ý nghĩa của nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 120 7 TÍCH PHÂN 123 1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng MỤC LỤC 7 1.1 Định nghĩa nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2 Tìm nguyên hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.1 Các nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.2 Các quy tắc tìm nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5 Áp dụng tích phân trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1 Tìm hàm tổng từ hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 Tìm dòng vốn tạo thành từ tỉ lệ đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3 Tìm giá trị hiện tại của dòng tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4 Tính giá trị thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Trần Minh Nguyệt Phần I ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8 Chương 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 1.1. Một bảng chữ nhật gồm m.n số được sắp xếp thành m dòng, n cột như sau: A =   a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn   được gọi là một ma trận cỡ m × n. Đối với ma trận A ở trên thì: 1. a ij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của dòng i và cột j. Ma trận A thường được viết thu gọn là A = (a ij ) m×n . 2. Dòng i của ma trận gồm các phần tử: a i1 , a i2 , . . . , a in . 3. Cột j của ma trận gồm các phần tử: a 1j , a 2j , . . . , a mj . 4. Khi m = n thì ma trận A có số dòng bằng số cột và được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông A được viết thu gọn là A = (a ij ) n . 5. Khi m = 1 thì ma trận A chỉ gồm một dòng và được gọi là ma trận dòng. 6. Khi n = 1 thì ma trận A chỉ gồm một cột và được gọi là ma trận cột. 7. Khi tất cả các phần tử của ma trận A đều bằng 0 thì ma trận A được gọi là ma trận không và kí hiệu là 0. Ta kí hiệu: • M m,n là tập tất cả các ma trận cỡ m × n. • M n là tập tất cả các ma trận vuông cấp n. 9 10 Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ:  2 0 3 -1 1 2  là một ma trận cỡ 2 × 3  0 0 0 0 0 0 0 0 0  là ma trận không cấp 3. ( 2 0 -3 ) là một ma trận dòng.   1 -1 0 4   là một ma trận cột. 1.2 Các phép toán ma trận Hai ma trận bằng nhau Định nghĩa 1.2. Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí tương ứng bằng nhau. Khi A, B là hai ma trận bằng nhau ta viết A = B. Phép cộng hai ma trận Định nghĩa 1.3. Cho hai ma trận cùng cỡ m × n A = (a ij ) m×n , B = (b ij ) m×n Tổng của A và B, kí hiệu A + B, là một ma trận có cùng cỡ m ×n được xác định như sau: A + B = (a ij + b ij ) m×n Nhận xét 1.4. Khi cộng hai ma trận ta thực hiện các phép cộng của hai phần tử ở cùng vị trí tương ứng. Định nghĩa 1.5. • Cho ma trận A = (a ij ) m×n . Ma trận đối của ma trận A, kí hiệu −A, là một ma trận có cùng cỡ m × n và được xác định như sau: −A = (−a ij ) m×n • Cho hai ma trận cùng cỡ: A = (a ij ) m×n , B = (b ij ) m×n Hiệu của A và B, kí hiệu A − B, là một ma trận có cùng cỡ m × n và được định nghĩa như sau: A − B = A + (−B) Nhận xét 1.6. Từ định nghĩa trên ta có: A − B = (a ij − b ij ) m×n Vì vậy khi trừ hai ma trận ta thực hiện các phép trừ của hai phần tử cùng vị trí. Bài giảng Đại số, Giải tích và Ứng dụng