SỞ GD & ĐT THÁIBÌNH Bài (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10THPT CHUN THÁIBÌNHNăm học 2014 – 2015MƠN THI: TỐN ( Dành cho thí sinh chun Tốn, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x − + 10 − x = x − x − x + xy = 96 y 2) Giảihệ phương trình: 2 x + 32 y = 48 Bài (2,0 điểm) 7 1) Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x1; x2 Tính S = x1 + x2 2) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 + cd + d2 Chứng minh a + b + c + d hợp số Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương có tổng a − bc b − ca c − ab + + ≤ Chứng minh: a + bc b + ca c + ab Bài (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động Đường phân giác góc BCD cắt AB AD theo thứ tự I J (J nằm A D) Gọi M giao điểm khác A hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD AIJ, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ 1) Chứng minh AO phân giác góc IAJ 2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O thuộc đường tròn 3) Tìm đường tròn cố định ln qua M B, D di động Bài (1,0 điểm) Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chi hết cho 11 ĐÁP ÁN Bài 10 ( ≤x≤ ) 5 x − − + 10 − x − = x − x − 5( x − 2) 3( x − 2) − − ( x − 2)(2 x + 3) = 5x − + 10 − 3x + (x − 2)( − − x − 3) = 5x − + 10 − x + x = 2(TM ) − − x − = 0(*) 10 − 3x + x − + Vì 10 5 ≤x≤ => x − + ≥ => ≤ => −3< 5 5x − + 2 5x − + 10 ≤x≤ => − − 2x < 5 10 − 3x + => − − x − < => (*)VN 5x − + 10 − x + Vậy tập nghiệm phương trình (1) {2} a ) x − + 10 − x = x − x − x + xy = 96 y 2) (I) x + 32 y = 48 x + xy = 48.2 y x3 + xy = y ( x + 32 y )(*) (I) 2 x + 32 y = 48 x + 32 y = 48 (*) x − x y + xy − 64 y = x − (4 y )3 − xy ( x − y ) = ( x − y )( x + xy + 16 y ) = x = 4y x = 4y 2 x + xy + 16 y = ( x + y ) + 15 y = x = 4y x = y = Vì x = y = khơng thỏa mãn hệ phương trình nên x = 4y x = y x = y ( I ) 2 x + 32 y = 48 16 y + 32 y = 48 x = x = y y =1 x = −4 y =1 y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (4;1), (–4;–1) Bài x1 + x2 = 1) Phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x1; x2 Theo định lý Vi–ét ta có: x1 x2 = −4 Ta có: ( x1 + x2 )3 = x13 + x23 + x1 x2 ( x1 + x2 ) => x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = 23 − 3.(−4).2 = 32 Và x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 2 − 2.(−4) = 12 x14 + x2 = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = 122 − 2.(−4) = 112 Khi đó: ( x13 + x23 )( x14 + x14 ) = x17 + x2 + x13 x2 + x14 x23 => S = x17 + x2 = ( x13 + x23 )( x14 + x14 ) − ( x1 x2 )3 ( x1 + x2 ) = 32.112 − (−4)3 = 3712 Vậy S = 3172 2) Ta có a + ab + b = c + cd + d => a + 2ab + b = c + xd + d + ab − cd ab − cd = (a + b) − (c − d ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d )(*) Nếu ab-cd=0: Do a+b+c+d>0=>a+b-c-d=0=>a+b+c+d=2(c+d) hợp số c + d ∈ ℕ* c + d > Nếu ab -cd ≠ 0:Từ (*) ⇒ ab – cd ⋮ (a + b + c + d) a + ab + b = c + cd + d => 3(ab − cd ) + (a − 2ab + b ) = c − 2cd + d => 3(ab − cd ) = (c − d ) − (a − b) = (c − d + a − b)(c − d − a + b) ≠ ⇒ (c – d + a – b)(c – d – a + b) ⋮ (a + b + c + d) Giả sử a + b + c + d số nguyên tố ta có c – d + a – b ⋮ a + b + c + d c – d – a + b ⋮ a + b + c + d Điều mâu thuẫn –(a + b + c + d) < c – d + a – b < a + b + c + d ; –(a + b + c + d) < c – d – a + b < a + b + c + d (c – d + a – b)(c – d – a + b) ≠ Vậy a + b + c + d hợp số Bài Thay = a + b + c ta có: A+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c) Do đó: a − bc a + bc − 2bc 2bc 2bc = = 1− = 1− a + bc a + bc a + bc (a + b)(a + c) Ta có đẳng thức tương tự b − ca 2ca = 1− b + ca (b + c)(b + a ) c − ab 2ab = 1− c + ab (c + a)(c + b) Cộng vế đẳng thức ta có: a − bc b − ca c − ab bc ca ab + + = 3− 2 + + a + bc b + ca c + ab (a + b)(a + c ) (b + c)(b + a ) (c+ a)(c + b) Do đó: a − bc b − ca c − ab bc ca ab + + ≤ + + ≥ a + bc b + ca c + ab (a + b)(a + c) (b + c )(b + a ) (c + a)(c+ b) bc(b + c ) + ca (c + a ) + ab(a + b) ≥ (a + b)(b + c )(c + a ) 4(b c + bc + c a + ca + a 2b + ab ) ≥ 3(a 2b + ab + b c + bc + c a + ca + 2abc ) b c + bc + c a + ca + a 2b + ab ≥ 6abc(*) Áp dụng BĐT Cơ–si cho ba số dương ta có: 2 b c + c a + a b ≥ 3abc => (*) 2 bc + ca + ab ≥ 3abc Vậy BĐT cho chứng minh Dấu xảy a = b = c = Bài 1) Vì AI // DC (do ABCD hình bình hành) nên AIJ= DCJ (so le trong) Vì AJ // BC nên AJI= BCJ (đồng vị) Mà CJ phân giác góc BCD nên DCJ= BCJ=> AIJ= AJI ⇒ ∆ AIJ cân A Do O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AIJ cân nên AO trung trực IJ đồng thời phân giác góc IAJ 2) Vì JD // BC nên DJC= JCB= JCD ⇒ ∆ JDC cân D Suy JD = DC = AB (do ABCD hình bình hành) Ta có OA = OJ ( bán kính (O)) Xét ∆ OAJ với góc ngồi OJD có: OJD= AOJ +OAJ =2AIJ+ OAJ= 2DCJ +OAJ= DCB +OAJ=DAB+OAJ=OAB Xét ∆ OAB ∆ OJD có: OA = OJ (cmt ) OAB = OJD (cmt ) => ∆OAB = ∆OJD (c.g c ) AB = JD(cmt ) => OBA = ODJ ⇒ AODB tứ giác nội tiếp ⇒ A, O, D, B thuộc đường tròn 3) Vì ∆ OAB = ∆ OJD nên OB = OD Mà O’B = O’D (bằng bán kính (O’)) nên OO’ trung trực BD Gọi K giao BD AC ⇒ K trung điểm BD AC ⇒ K ∈ OO’ Vì OA = OM, O’A = O’M nên OO’ trung trực AM Mà K ∈ OO’ ⇒ KA = KM = KC ⇒ M thuộc đường tròn tâm K bán kính KA, hay đường tròn đường kính AC Vậy B, D thay đổi, M ln nằm đường tròn đường kính AC Bài Xét 20 số Trong 20 số có số chia hết cho 10, chúng có chữ số hàng đơn vị Mặt khác, số có số có chữ số hàng chục khác Gọi số N Xét dãy 11 số thuộc 39 số cho: N, N + 1, , N + 9, N + 19 Tổng chữ số số tương ứng s, s + 1, s + 2, , s + 9, s + 10 Thật vậy, N có tổng chữ số s số N + i với ≤ i ≤ có tất chữ số (trừ hang đơn vị) giống số N chữ số hàng đơn vị N + i i, tổng chữ số N + i s + i Số N + 19 có chữ số hàng đơn vị 9, chữ số hàng chục chữ số hàng chục số N 1, lại tất chữ số hàng khác hai số nhau, tổng chữ số N + 19 s + 10 Trong 11 số liên tiếp s, s + 1, s + 2, , s + 9, s + 10 có số chia hết cho 11 Bài toán chứng minh ... Bài 10 ( ≤x≤ ) 5 x − − + 10 − x − = x − x − 5( x − 2) 3( x − 2) − − ( x − 2)(2 x + 3) = 5x − + 10 − 3x + (x − 2)( − − x − 3) = 5x − + 10 − x + x = 2(TM ) − − x − = 0(*) 10. .. + x − + Vì 10 5 ≤x≤ => x − + ≥ => ≤ => −3< 5 5x − + 2 5x − + 10 ≤x≤ => − − 2x < 5 10 − 3x + => − − x − < => (*)VN 5x − + 10 − x + Vậy tập nghiệm phương trình (1) {2} a ) x − + 10 − x = x −... x − x + xy = 96 y 2) (I) x + 32 y = 48 x + xy = 48. 2 y x3 + xy = y ( x + 32 y )(*) (I) 2 x + 32 y = 48 x + 32 y = 48 (*) x − x y + xy − 64 y = x − (4 y