2H1 KHOI DA DIEN THỂ TÍCH

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối lập phương có cạnh 2a 3 3 A 8a B 2a C a D 6a Lời giải Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh a chiều cao 2a Thể tích khối chóp cho A 4a a B 3 C 2a Lời giải a D S = a2 Khối chóp có đáy hình vng cạnh a nên có diện tích đáy: đáy Chiều cao h = 2a 1 V = Sđáy h = a 2a = a 3 3 Vậy thể tích khối chóp cho Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh 4a Thể tích khối lăng trụ cho A 4a 16 a B 3 a C D 16a a chiều cao Lời giải V = Sday h = a 4a = 4a Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ cho a A a B V = Sday h = a 2a = 2a Ta có: langtru C 2a D 4a Lời giải Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh a chiều cao 4a Thể tích khối chóp cho a A 16 a B C 4a D 16a Lời giải 1 V = B.h = a 4a = a 3 3 Thể tích khối chóp: Câu 6: (Tham khảo 2018) Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là: 1 V = Bh V = Bh V = Bh A B C V = Bh D Lời giải Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là: V = Bh Câu 7: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Mệnh đề đúng? A S = 3a B S = a C I = a D I = 8a Lời giải Bát diện có mặt nhau, mặt tam giác cạnh a a2 S = = 3a Vậy Câu 8: (Đề tham khảo lần 2017) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a a3 V= A h = a   a2 S =  a3 V= 12 B ⇒ V = h.S = a3 V= C Lời giải a3 V= D a3 Câu 9: (Đề tham khảo lần 2017) Hình đa diện hình vẽ có mặt? A B 10 C 12 Lời giải D 11 Đếm đáy hình chóp có mặt mặt lăng trụ mặt đáy Vậy có 11 mặt Câu 10: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a thể tích a Tính chiều cao h hình chóp cho A h= 3a B h= 3a Do đáy tam giác cạnh 2a nên C Lời giải S ∆ABC ( 2a ) = h= 3a = a2 D h = 3a 3V 3a ⇒ h = = = 3a V = S ∆ABC h S a ∆ ABC Mà Câu 11: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Lời giải Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương hình lăng trục lục giác có tâm đối xứng Cịn tứ diện khơng có tâm đối xứng Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho 2a 8a 2a 2a 3 A B C D Lời giải S A D O B C   SO ⊥ ( ABCD )  AB = SA = 2a S ABCD O Gọi khối chóp tứ giác , tâm ,  Ta có: S ABCD = ( 2a ) = 4a OA = 2a = a , SO = SA2 − OA2 = ( 2a ) ( − a ) =a 1 VSABCD = SO.S ABCD = a 2.4a = a 3 Vậy Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V= 13a 12 B V= 11a 12 V= C Lời giải 11a D V= 11a Do đáy tam giác nên gọi I trung điểm cạnh BC , AI đường cao tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có AI = a − a2 a 2a a = AO = AI = = , 3.2 SO = 4a − a2 11a = 3 Trong tam giác SOA vng O ta có 1 a 11a 11a V= a = 2 12 Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam · giác cân với AB = AC = a , BAC = 120 Mặt phẳng ( AB′C ′) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V= 3a B V= 9a V= C Lời giải a3 D V= 3a ( AB’C’) đáy góc Gọi H trung điểm B’C ’ , góc mp · AHA ’ = 600 Ta có S∆ABC = a2 AC.AB.sin1200 = B’C’ = a ⇒ A ' H = Vậy V = S∆ACB AA ' = 2S∆ABC a a = ⇒ AA '= B'C' 2 3a3 Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng ? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh đáy mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh bên Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = , AB = 6, BC = 10 CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = 24 B V = 32 C V = 192 D V = 40 Lời giải Ta có BC = AB + AC suy ∆ABC vuông A SABC = 24 , 2 V = SABC SA = 32 Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ′B′C′ có BB′ = a , đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 V= V= V= A B C D V = a Lời giải ⇒ AB = BC = AC Tam giác ABC vuông cân B 1 a3 SABC = a2 ⇒ VABC A ′B′C′ = BB′.SABC = a2.a = 2 =a Suy ra: ( AB′C′) chia khối lăng trụ ABC.A′B′C′ thành Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Mặt phẳng khối đa diện nào? A Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác D Hai khối chóp tứ giác Lời giải ( AB′C′) chia khối lăng trụ ABC.A ′B′C′ thành hai khối chóp ′ ′ Chóp tam giác: A.A′B′C′ chóp tứ giác: A.BB C C Mặt phẳng Câu 8: Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho A V= 14a3 B V= 14a3 C V= 2a3 D V= 2a3 Lời giải  a 2 a 14 SI = SA − AI = 4a −  = ÷  ÷   Chiều cao khối chóp: 2 1 a 14 14a3 V = SI SABCD = a = 3 Thể tích khối chóp: Câu 9: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B'C ' D ' có ba kích thước đơi khác Khi có mặt phẳng đối xứng MNOP ,QRST ,UVWX Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với mặt ( SAB) góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD phẳng A 2a3 B 2a3 2a3 C Lời giải +) Do ABCD hình vng cạnh a nên: +) Chứng minh +) Đặt BC ⊥ ( SAB) ⇒ = D SABCD = a2 · góc SC (SAB) CSA = 30 2 SA = x ⇒ SB = x + a · tan CSA = tan 300 = 6a3 Tam giác BC SB 2 Ta được: SB = BC ⇔ x + a = a ⇒ x = a 1 2a3 VSABCD = SA.SABCD = a 2.a2 = 3 (Đvtt) Vậy SBC vuông B nên Câu 11: (Đề minh họa lần 2017) Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = Ta có : B x = h = x ( cm ) C x = Lời giải D x = đường cao hình hộp 12 − 2x ( cm ) Vì nhơm gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy hình hộp là: x > x > ⇔ ⇔ x ∈ ( 0;6 )  S = ( 12 − x ) ( cm ) 12 − x > x <   Vậy diện tích đáy hình hộp Ta có: Thể tích hình hộp là: V = S h = x ( 12 − x ) y = x ( 12 − x ) ∀x ∈ ( 0; ) Xét hàm số: y ' = ( 12 − x ) − x ( 12 − x ) = ( 12 − x ) ( 12 − x ) Ta có : ; y ' = ⇔ ( 12 − x ) ( 12 − x ) = ⇔ x = x = (loại) x y' + − y y ( ) = 128 Suy với x = thể tích hộp lớn giá trị lớn Câu 12: (Đề minh họa lần 2017) Tính thể tích V khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ , biết AC ′ = a A V = a B V= 6a C V = 3a Lời giải V = a3 D x; ( x > ) Giả sử khối lập phương có cạnh Xét tam giác A ' B ' C ' vng cân B ' ta có: A ' C '2 = A ' B '2 + B ' C '2 = x + x = x ⇒ A ' C ' = x Xét tam giác A ' AC ' vuông A ' ta có AC '2 = A ' A2 + A ' C '2 ⇔ 3a = x + x ⇔ x = a Thể tích khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ V = a Câu 13: (Đề minh họa lần 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a V= V= V = A B C V = 2a D Lời giải Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA đường cao hình chóp 1 a3 V = SA.S ABCD = a 2.a = 3 Thể tích khối chóp S ABCD : Câu 14: (Đề tham khảo lần 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng ( SAB ) góc 30° Tính thể tích V khối góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng chóp S ABCD 6a V= 18 A B V = 3a ¼ Góc SD mp(SAB) DSA = 30 6a V= C Lời giải 3a V= D Ta có SA = AD =a tan 300 a3 V = a a = 3 Câu 15: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh AC = 2 Biết AC ′ tạo với mặt phẳng AC ′ = Tính thể tích V khối đa diện ABCB′C ′ A V= B V = 16 V= C Lời giải 3 ( ABC ) D góc 60° V= 16 3 C’ B’ A’ B C 2 600 H A Phân tích: Tính thể tích khối đa diện ABCB′C ′ thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ trừ thể tích khối chóp A A′B′C ′ ( ABC ) Giả sử đường cao lăng trụ C ′H Khi góc AC ′ mặt phẳng góc C· ′AH = 60° Ta có: sin 60° = C ′H ⇒ C ′H = 3; S ∆ABC = VABC A′B′C ′ = C ′H S ∆ABC = 2 AC ′ ; ( ) =8 1 8 16 VA A′B′C ′ = C ′H S∆ABC = VABC A′B′C ′ = VABB′C ′C = VABC A′B′C ′ − VA A′B′C ′ = − = 3 ; 3 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , · BAD = 60° , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) a 21 a 15 a 21 a 15 A B C D Lời giải AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH Suy Tam giác SAK vuông A , AH đường cao, suy sa: 1 a 21 a = + = + = ⇒ AH = AK = 2 AH AK AS 3a a 3a , Vậy d ( B, ( SCD ) ) = a 21 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AA′ BB′ Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ′A′ P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C ′B′ Q Thể tích khối đa diện lồi A′MPB′NQ A B C Lời giải A M P C B N A′ D I C′ B′ Q Gọi I trung điểm CC ′ , h chiều cao lăng trụ ABC A′B′C ′ 1 4 VC C ′PQ = h.S ∆C ′PQ = h.4 S∆C ′A′B′ = VABC A′B′C ′ = 3 3 Ta có 1 VMNI A′B′C ′ = VABC A′B′C ′ = 2 h 1 VC MNI = S MNI = VABC A′B′C ′ = 6 Suy VA′MPB′NQ = VC C ′PQ − ( VMNI A′B′C ′ + VC MNI ) = Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho hình vng ABCD ABEF có cạnh , nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF 11 A B 12 C Lời giải D Ta có:ADF.BCE hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng cân Dựa vào hình vẽ ta có : VABCDSEF = VADF BCE + VS CDFE = VADF BCE + VB.CDFE = 2VADF BCE − VBADE 1 1 VADF BCE = AB.S ∆BCE = ;VBADE = AD.S ∆ABE = ⇒ VABCDSEF = − = 6 Dựa vào hình vẽ ta VABCDSEF = VADF BCE + VS CDFE = VADF BCE + VB CDFE = 2VADF BCE − VBADE = − = × 6 có Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng chóp cho a3 A a3 B ( SBC ) a Tính thể tích khối C a Lời giải D AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ AH Kẻ Suy ( ) d A ;( SBC ) = AH = a 2 1 = + ⇒ SA = a 2 SA AB2 Tam giác SAB vng A có: AH 3a3 a3 VSABCD = SA.SABCD = 3 Vậy Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , AD = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V = 3a B 3a3 V= C V = a Lời giải D V= a3 Ta có SABCD = 3a ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC  · · ⇒ ( SBC ) ,( ABCD ) = SBA  BC ⊥ SB ⊂ ( SBC )  BC ⊥ AB ⊂ ( ABCD ) ° · Vì  Vậy SBA = 60 SA tan60° = ⇒ SA = AB tan60° = a SAB Aˆ = 1v AB Xét tam giác vuông có: 1 VS.ABCD = SABCD SA = a2 3.a = a3 3 Vậy ( ( ) ) Câu 6: (Đề minh họa lần 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a , AC = a AD = 4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 V = a3 V= a 3 A B V = 14a C D V = 7a Lời giải Ta có VABCD = Ta nhận thấy 1 AB AD AC = 6a.7a.4a = 28a 3 S MNP = 1 S MNPD = S BCD ⇒ VAMNP = VABCD = a 4 Câu 7: (Đề minh họa lần 2017) 111Equation Chapter Section Cho hình chóp tứ giác S ABCD SAD ) có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên ( vng góc a với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Tính khoảng cách h từ B đến SCD ) mặt phẳng ( h= a h= a h= a h= a 3 A B C D Lời giải Gọi I trung điểm AD Tam giác SAD cân S ⇒ SI ⊥ AD  SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  SAD ⊥ ABCD ( ) ( )  Ta có  ⇒ SI đường cao hình chóp Theo giả thiết VS ABCD = SI S ABCD ⇔ a = SI 2a ⇔ SI = 2a 3 SCD ) Vì AB song song với ( ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên SD  SI ⊥ DC ⇒ IH ⊥ DC  Mặt khác  ID ⊥ DC Ta có Xét tam giác SID vuông I:  IH ⊥ SD ⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I , ( SCD ) ) = IH   IH ⊥ DC 1 1 2a = + = + ⇒ IH = IH SI ID 4a 2a ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) = a Câu 8: (Đề tham khảo lần 2017) Cho khối tứ diện tích V Gọi V ′ thể tích khối đa V′ diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V V′ V′ V′ V′ = = = = A V B V C V D V Lời giải A Q P E B F D N M C Cách Đặc biệt hóa tứ diện cho tứ diện cạnh a Hình đa diện cần tính có a cách cắt góc tứ diện, góc tứ diện có cạnh V V V ′′ = = Do thể tích phần cắt bỏ 1  ÷ = (Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thể tích giảm   ) V V′ V′ = ⇔ = V Vậy Cách Khối đa diện hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có đáy hình bình hành úp 1 V ′ = 2VN MEPF = 4.VN MEP = 4.VP MNE = V = V lại Suy ra: (Do chiều cao giảm nửa, cạnh đáy giảm nửa nên diện tích giảm ) V ' V − VA.QEP − VB.QMF − VC MNE − VD.NPF = V Cách Ta có V = 1− VA.QEP V − VB.QMF V − VC MNE VD.NPF 1 1 1 1 1 1 − = 1− − − − = 2 2 2 2 2 2 V V Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC A V = B V =4 C V = Lời giải D V = A B G D C Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp A.GBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) ⇒ S ∆BCD = 3S∆BGC Do G trọng tâm tam giác BCD nên ta có S∆BGC = S∆BGD = S∆CGD (xem phần chứng minh) Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có:  VABCD = h.S ∆BCD  h.S  VABCD ∆BCD S∆BCD = = =3 ⇒ VA.GBC h.S S∆GBC 1  VA.GBC = h.S∆GBC ∆GBC ⇒ VA.GBC = VABCD = 12 =  3 Chứng minh: Đặt DN = h; BC = a +) +) MF // ND ⇒ MF CM 1 h = = ⇒ MF = DN ⇒ MF = DN CD 2 GE // MF ⇒ GE BG 2 h h = = ⇒ GE = MF = = MF BM 3 3 S ∆BCD S ∆GBC +) 1 DN BC = = = ⇒ S∆BCD = 3S ∆GBC 1h GE.BC a 23 +) Chứng minh tương tự có Cách 2: S∆BCD = 3S∆GBD = 3S∆GCD ⇒ S∆BGC = S∆BGD = S∆CGD d ( G; ( ABC ) ) Ta có Nên d ( D; ( ABC ) ) VG ABC = = GI 1 = ⇒ d ( G; ( ABC ) ) = d ( D; ( ABC ) ) DI 3 1 d ( G; ( ABC ) ) S ∆ABC = VDABC = 3 Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC A′B ′C ′ , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB′ CC ′ , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) trung điểm M B′C ′ A′M = A 2 3 Thể tích khối lăng trụ cho B C 3 D Lời giải Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A′ vng góc với AA′ ta thiết diện tam giác A′B1C1 có cạnh A′B1 = ; A′C1 = ; B1C1 = ′ Suy tam giác A B1C1 vuông A′ trung tuyến A′H tam giác Gọi giao điểm AM A′H T ⇒ MH = · ′H = 30° Suy MA ; A′H = Ta có: A′M ⇒ AA′ = = · ′A · cos MA Do MA′A = 60° A′M = ′ Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ thể tích khối lăng trụ A B1C1 AB2C2 V = AA′.S A′B1C1 = × =2 Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M = Thể tích khối lăng trụ cho A C B D Lời giải A1 , A2 Gọi hình chiếu A BB ' , CC ' Theo AA1 = 1; AA2 = 3; A1 A2 = Do AA12 + AA2 = A1 A2 Gọi H trung điểm Lại có nên tam giác A1 A2 AH = AA1 A2 vng A A1 A2 =1 MH PBB ' ⇒ MH ⊥ ( AA1 A2 ) ⇒ MH ⊥ AH 2 suy MH = AM − AH = đề nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) = cos( MH , AM ) = cos HMA = S ABC = S AA1 A2 cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) = MH = AM V = AM ×S ABC = Suy Thể tích lăng trụ Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S ' = S cos α Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB′ CC ′ ( A′B′C ′) trung điểm M B′C ′ , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A′M = Thể tích khối lăng trụ cho A 15 B C D 15 Lời giải Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB′ CC ′ , H hình chiếu vng góc C lên BB′ AJ ⊥ BB′ ( 1) Ta có AK ⊥ CC ′ ⇒ AK ⊥ BB′ ( ) ( 1) ( ) suy BB′ ⊥ ( AJK ) ⇒ BB′ ⊥ JK ⇒ JK //CH ⇒ JK = CH = Từ 2 Xét ∆AJK có JK = AJ + AK = suy ∆AJK vuông A AF = JF = FK = Gọi F trung điểm JK ta có Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: AF = cos ·NAF = = ⇒ ·NAF = 60o ( AN = AM = AN //AM AN = AM ) AN S ⇒ S ∆ABC = ∆AJK o = = 1 cos 60 S∆AJK = AJ AK = 1.2 = o ⇒ S = S cos 60 ∆AJK ∆ABC 2 Vậy ta có 15 o= o · · Xét tam giác AMA′ vng M ta có MAA′ = AMF = 30 hay AM = A′M tan 30 15 15 = = 3 Vậy thể tích khối lăng trụ V = AM S ∆ABC Câu 4: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc 15 A'M = Thể tích khối A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , lăng trụ cho 15 15 A B C D Lời giải Kẻ AI ⊥ BB ' , AK ⊥ CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; ⇒ AI = , AK = 15 15 A'M = ⇒ AF = 3 Gọi F trung điểm BC AI ⊥ BB '   ⇒ BB ' ⊥ ( AIK ) BB ' ⊥ AK  ⇒ BB ' ⊥ IK Ta có Vì CC ' P BB ' ⇒ d (C , BB ') = d ( K , BB ') = IK = ⇒ ∆AIK vuông A ⇒ EF ⊥ ( AIK ) ⇒ EF ⊥ AE Gọi E trung điểm IK ⇒ EF P BB ' AM ⊥ ( ABC ) ( ABC ) ( AIK ) góc EF Lại có Do góc hai mặt phẳng = 15 AE · cos FAE = = · · = 30° AF ⇒ FAE AM góc ·AME = FAE Ta có ( AIK ) ∆AIK nên ta có: Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng ⇒ =S ⇒ = S ABC · ABC S AIK = S ABC cos EAF 15 ⇒ AM = 3 AF tan ·AMF = ⇒ AM = AM Xét ∆AMF vuông A : 2 15 VABC A' B ' C ' = = 3 Vậy Câu 5: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 B V = 576 D V = 144 C V = 576 Lời giải Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao hình chóp tứ giác x; h ( x, h > 0) Ta có đáy x x2 l = h2 + hình vuông với độ dài nửa đường chéo suy độ dài cạnh bên x h2 + l = ⇔ x = 36h − 2h R= = 2h 2h Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp V = h.x = h 36h − 2h 2 S = x 3 Diện tích đáy hình chóp nên ( ) 1  h + h + 36 − 2h  h ( 36h − 2h ) = h.h ( 36 − 2h ) ≤  ÷ = 576 ⇒ V ≤ 576 3   Ta có , dấu xảy h = h = 36 − 2h ⇔ h = 12, x = 12 Vmax = 576 Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A , SA ( SBC ) Gọi α góc hai vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) , tính cosα thể tích khối chóp S.ABC nhỏ mặt phẳng A cos α = 3 B cosα = C cosα = Lời giải D cosα = 2 Đặt AB = AC = x,( x > 0) 2 Ta có BC = AB + AC = 2x Gọi I trung điểm AB , hạ AH ⊥ SI H Ta có góc hai mặt phẳng ( SBC ) · ( ABC ) SIA = α góc nhọn  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC )  BC ⊥ SA  Ta có Từ ( ) AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d A ,( SBC ) = AH = Xét tam giác AHI vuông H ta có HI 2x ⇒ HI = cosα AI x2 x2 2x AH = AI − HI ⇔ = − cos2 α ⇒ x = , AI = = 2 sin α sin α Ta có cosα = 2 1 1 sin2 α cos2 α = + ⇒ = − = 9 AI SA SA Xét tam giác SAI vuông A ta có AH ⇒ SA = Đặt 1 18 = VSABC = SA SABC = cosα Vậy 3 cosα sin2 α cos α 1− cos α ( cos α = t,t ∈ ( 0;1) f ′ ( t) = ( − t − t3 ( t−t ) ) ′ f ( t) = ta có ( t 1− t2 )  t = −1+ 3t2 f ′ ( t ) = ⇔   = t = − t − t3  ; ( ) ) Vậy thể tích khối chóp S.ABC nhỏ 3 cosα = Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x = B x = C x = D x = 14 Lời giải Gọi M , N trung điểm CD AB CD ⊥ MB  CD ⊥ MN  ⇒ CD ⊥ ( MAB) ⇒  CD ⊥ MA  CD ⊥ AB Ta có Tam giác MAB cân M nên MN ⊥ AB 1 VABCD = ABCD d( AB,CD ) sin ( AB,CD ) = x.2 3.MN sin90° 6 2  x 3  x + 36 − x  2 =3 = x.2 3 −  ÷ = x 36 − x ≤  6    2   ( ) Dấu " = " xảy ⇔ x = 36 − x ⇔ x = Vậy với x = VABCD đạt giá trị lớn 3 Câu 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối chứa điểm A tích V Tính V 13 2a3 A 216 2a3 B 216 2a3 C 18 Lời giải 11 2a3 D 216 Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD Gọi F trung điểm BC H trọng tâm tam giác BCD Ta có BF = a a BH = BF = BH = AB2 − BH = a 3 suy 1 a2 a3 T = AH SBCD = a = 3 12 Thể tích tứ diện ABCD Gọi diện tích mặt tứ diện S Gọi P giao điểm NE CD , tương tự cho Q Ta thấy P ,Q trọng tâm tam giác BEC BEA nên Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: VB.ACE VE.BMN 1 T =2 = VE.BMN = 2T = VB.ACE = 2T VE.BAC VB.ACD nên ; nên Nên VE.AMNC = VE.ABC − VB.EM N = 2T − VE.DPQ Tương tự: VE.DCA = nên VE.DPQ = PD = 1 DC ,QD = AD 3 T = T 2 1 T VACPQ = T − T = T Nên 9 11 11a3 V = VE.AMNC − VE.ACPQ = T − T = T = 18 216 Suy Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY X Y A C V= V= ( ) 125 + π ( B ) 125 + π 24 V= V= ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π D Lời giải  Cách : Khối tròn xoay gồm phần: có , bán kính đáy Phần 1: khối trụ có chiều cao 125π 5 V1 = ì ữ ì = Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy tích   125π V2 = × π ×  ÷ ÷ × = 12   Phần 3: khối nón cụt tích V3 = π × ( ) ×   −1 ( ) 2    5 ữ 125 2 ì =  ÷ + ÷ +   ÷ 2 2÷ 24     Vậy thể tích khối trịn xoay V = V1 + V2 + V3 = Cách : ( ) ( ) 125π 125π 125 2 − π 125 + π + + = 12 24 24 thể tích ... + π + + = 12 24 24 thể tích Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng ABCD : VT = π R h = 125π 125π V2 N = π R h = Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vng XEYF : Thể tích khối trịn xoay... AC ′ = Tính thể tích V khối đa diện ABCB′C ′ A V= B V = 16 V= C Lời giải 3 ( ABC ) D góc 60° V= 16 3 C’ B’ A’ B C 2 600 H A Phân tích: Tính thể tích khối đa diện ABCB′C ′ thể tích khối lăng... SBCD = a = 3 12 Thể tích tứ diện ABCD Gọi diện tích mặt tứ diện S Gọi P giao điểm NE CD , tương tự cho Q Ta thấy P ,Q trọng tâm tam giác BEC BEA nên Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: VB.ACE