2D3 NGUYEN HAM TICH PHAN

1 ∫ f ( x ) dx = (Tham khảo THPTQG 2019) ) Cho Câu 1: ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx A −3 Ta có Xét B 12 C −8 Lời giải 1 0 D ∫ g ( x ) dx = ⇔ 2∫ g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ g ( x ) dx = 10 1 0 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = − 10 = −8 f ( x ) = ex + x Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm hàm số 1 x ex + x2 + C e + x +C x x 2 A e + x + C B C x + D e + + C Lời giải x = ex + x2 + C e + x d x ( ) Ta có ∫ Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? S = π ∫ e dx 2x A S = ∫ e dx x B S = π ∫ e dx S = π ∫ e x dx x C Lời giải D Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e , y = , x = , x = là: x Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số 2 A x + x + C B 3x + + C C x + x + C f ( x ) = x3 + x S = ∫ e x dx D x + x +C Lời giải ∫( x + x ) dx = x + x + C Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x2 + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox Mệnh đề đúng? (H) xung A V = π ∫ ( x + 3) dx B V = π ∫ ( x + 3) dx C V = ∫ ( x + 3) dx D V = ∫ ( x + 3) dx Lời giải Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay V = π ∫ ( x + 3) dx (H) xung quanh trục Ox là: Câu 6: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số x + x +C B A x + x + C f ( x ) = x4 + x2 C x + x + C D x + x + C Lời giải ∫ f ( x ) dx = ∫( x 1 + x ) dx = x + x + C Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường thẳng y = x + 2, y = 0, x = 1, x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? A V = π ∫ ( x + ) dx 2 V = ∫ ( x + ) dx B 2 2 V = π ∫ ( x + ) dx C D V = ∫ ( x + ) dx Lời giải Ta có: V = π ∫ ( x + ) dx f ( x ) = x3 + x Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số x + x +C 3 A x + x + C B C 3x + x + C D x + x + C Lời giải x Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? S = ∫ dx x A S = π ∫ dx S = ∫ dx 2x 2 0 S = ∫ x dx = ∫ x dx B (do x > 0, ∀x ∈ [ 0; 2] C Lời giải A x + x + C B x + + C D S = π ∫ x dx ) Câu 10: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Nguyên hàm hàm số 2x f ( x ) = x4 + x C x + x + C x + x +C D Lời giải (x ∫ Ta có 1 + x ) dx = x + x + C Câu 11: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) 1( ) e −e A ∫e x +1 dx 1( ) e +e C B e − e D e − e Lời giải ∫e 1 x +1 ( 1 x + ) dx = ∫ e d x + = e = ( e4 − e ) 30 3 x +1 Câu 12: (Tham khảo 2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] Gọi D hình phẳng giới y = f ( x) x = a, x = b ( a < b ) hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức: b A V =π∫ f b ( x ) dx B a V = 2π ∫ f ( x ) dx a V =π C Lời giải b ∫ f ( x ) dx a Câu 13: (Tham khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + x3 + x+C A x + C B C 6x + C Lời giải ∫ ( 3x Câu 14: (Tham khảo 2018) Tích phân 16 log A 225 B dx ∫ x + = ln x + = ln a D x + x + C C Lời giải ln D 15 Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nguyên hàm hàm số ∫7 ∫ f ( x ) dx dx ∫ x+3 A D b + 1) dx = x + x + C 2 V =π x dx = ln + C x Áp dụng công thức B x ∫ dx = x ∫ a dx = f ( x ) = 7x x +C ln C ∫ Lời giải dx = x x +1 +C x ∫ dx = D ax + C , ( < a ≠ 1) ln a ta đáp án B Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 2sin x x +1 +C x +1 ∫ 2sin xdx = sin 2x + C 2sin xdx = 2cos x + C C ∫ ∫ 2sin xdx = −2cos x + C 2sin xdx = sin x + C D ∫ A B Lời giải f ( x) = 5x − Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm nguyên hàm hàm số dx dx = 5ln 5x − + C = ln 5x − + C ∫ ∫ A 5x − B 5x − dx dx = ln 5x − + C = − ln 5x − + C ∫ ∫ C 5x − D 5x − Lời giải dx dx = ln ax + b + C ( a ≠ 0) = ln 5x − + C ∫ ∫ Áp dụng công thức ax + b a ta 5x − Câu 18: Tìm nguyên hàm hàm số A ∫ cos3xdx = 3sin3x + C C ∫ cos3xdx = sin 3x + C ∫ cos3xdx = Ta có: f ( x) = cos3x B ∫ cos3xdx = D Lời giải sin 3x +C ∫ cos3xdx = − sin 3x +C sin 3x +C Câu 19: (Đề minh họa lần 2017) Cho hai số thực a b , với < a < b Khẳng định khẳng định đúng? A log a b < < log b a B < log a b < log b a C log b a < log a b < D logb a < < log a b Lời giải log a b > log a a log a b > b > a >1⇒  ⇔ ⇒ logb a < < log a b log b b > log b a > log b a   Cách 1- Tự luận: Vì Cách 2- Casio: Chọn a = 2;b = ⇒ log < < log ⇒ Đáp án D Câu 20: (Đề minh họa lần 2017) Viết công thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) x = a, x = b ( a < b ) , trục Ox hai đường thẳng , xung quanh trục Ox b A V = π ∫ f ( x ) dx a b B V = ∫ f ( x ) dx a b V = π ∫ f ( x ) dx C Lời giải Câu 21: (Đề minh họa lần 2017) Tìm nguyên hàm hàm số a f ( x ) = x − b D V = ∫ f ( x ) dx a ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) A ∫ f ( x ) dx = − C ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) B x − + C ∫ f ( x ) dx = D x − + C x − + C x − + C Lời giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) 2∫ = ( x − 1) x − + C 2 x − 1dx = Câu 22: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số ∫ f ( x ) dx = sin x + C A C f ( x ) = cos x ∫ f ( x ) dx = − sin x + C B ∫ f ( x ) dx = 2sin x + C D ∫ Lời giải f ( x ) dx = −2sin x + C Áp dụng công thức kết ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C Câu 23: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hàm số f ( x) với a ≠ ; thay a = b = để có có đạo hàm đoạn [ 1; 2] , f ( 1) = f ( 2) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = B I = −1 Ta có C I = Lời giải D I = I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = − = Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? y y = x2 − x −1 −1 O x y = −x2 + A ∫ ( 2x −1 − x − ) dx B C ∫ ( x − ) dx −1 ∫ ( −2 x + ) dx −1 D Lời giải ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx Ta thấy: ∀x ∈ [ −1; 2] 2 : − x + ≥ x − x − nên S = ∫ ( − x + 3) − ( x − x − 1)  dx = −1 ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx f ( x ) = x ( + ln x ) Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm hàm số 2 2 2 2 A x ln x + x B x ln x + x C x ln x + x + C D x ln x + x + C Lời giải Cách Ta có + Tính ∫ + Tính ∫ f ( x ) dx = ∫ x ( + ln x ) dx = ∫ xdx + ∫ x ln xdx xdx = x + C1 ∫ x ln xdx  u = ln x du = dx ⇒ x  dv = xdx v = x  Đặt x ln xdx = x Suy ∫ ln x − ∫ xdx = x ln x − x + C2 2 Do I = x ln x + x + C ( 2x Cách Ta có ln x + x ) ′ = ( x ) ′ ln x + x ( ln x ) ′ + ( x ) ′ = x.ln x + x + x x = x ( + ln x ) 2 f ( x ) = x ( + ln x ) Do x ln x + x nguyên hàm hàm số 2 f ( x ) = x ( + ln x ) Hay x ln x + x + C họ nguyên hàm hàm số Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho Giá trị 3a + b + c A −2 B −1 = a + b ln + c ln với a , b , c số hữu tỷ C Lời giải D ( x + ) − dx = dx − 2dx ∫0 x + ∫0 ( x + ) ( x + 2) xdx ∫ ( x + 2) xdx ∫ ( x + 2) =∫ = ln ( x + ) ( x + 2) − −1 −1 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 a = − ; b = −1; c = ⇒ 3a + b + c = −1 Vậy Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) ∫e x −1 dx ( e −e ) A e −e B C e − e 5 (e +e ) D Lời giải ∫e Ta có dx = e3 x −1 = e5 − e 3 ( x −1 ) 55 Câu 5: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho Mệnh đề đúng? ∫x 16 dx = a ln + b ln + c ln11 x+9 , với a, b, c số hữu tỉ B a + b = c A a − b = −c C a + b = 3c D a − b = −3c Lời giải Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx Đổi cận x = 16 ⇒ t = , x = 55 ⇒ t = 55 8 2tdt dx dt  1  x−3 = = = ∫16 x x + ∫5 t ( t − ) ∫5 t − ∫5  x − − x + ÷ dx = ln x + Do 1 1 = ln − ln = ln + ln − ln11 11 3 1 a = ;b = ;c = − 3 ⇒ a − b = −c Vậy Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến 11 t + t ( m / s) 180 18 thiên theo thời gian quy luật , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển v (t ) = ( ) a m / s2 a động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc ( số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 ( m / s ) B 15 ( m / s ) C 10 ( m / s ) D ( m / s) Lời giải Thời gian tính từ A xuất phát đến bị B đuổi kịp 15 giây, suy quãng đường 15 15 15  11   11  ∫0 v(t )dt = ∫0  180 t + 18 t ÷ dt =  540 t + 36 t ÷ = 75 ( m ) tới lúc y ( t ) = ∫ a.dt = a.t + C C Vận tốc chất điểm B ( số); B xuất phát từ trạng thái y ( 0) = ⇔ C = ; Quãng đường B từ xuất phát đến đuổi kịp A nghỉ nên có 10 10 a.t ⇔ y ( t )d t = 75 ⇔ a t d t = 75 ∫0 ∫0 y( t) = Vậy có 10 = 75 ⇔ 50a = 75 ⇔a= 3t ; suy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A y ( 10 ) = 15 ( m / s ) Câu 7: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) dx ∫ 3x − 1 ln B A ln 2 ln C D ln Lời giải Ta có dx ∫ 3x − = ln 3x − 2 = 1 ( ln − ln1) = ln 3 e Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tỷ Mệnh đề đúng? A a + b = c B a + b = −c e e ∫ ( + x ln x ) dx = ae e Khi ∫ x ln x dx = C a − b = c Lời giải e e 1 e e x2 e2 ln x − ∫ x dx = − x 2 21 e e 4 với a , b , c số hữu D a − b = −c e2 e2 e2 = − + = + 4 4 e e ∫ ( + x ln x ) dx = e − + + = + e − Suy Vậy a − b = c + be + c ∫ ( + x ln x ) dx = ∫ 1.dx + ∫ x ln x dx = e − + ∫ x ln x dx Ta có 1  u = ln x ⇒ du = dx   x  dv = x.dx ⇒ v = x Đặt  nên a= c=− , b =1 , Câu 9: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật v( t) = 13 t + t ( m/s ) 100 30 , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 15 ( m/s ) Ta có B ( m/s ) C Lời giải 42 ( m/s ) vB ( t ) = ∫ a.dt = at + C vB ( ) = ⇒ C = ⇒ vB ( t ) = at , D 25 ( m/s ) Quãng đường chất điểm A 25 giây 25  13   13  25 375 SA = ∫  t + t ÷dt =  t + t ÷ = 100 30  60   300  Quãng đường chất điểm B 15 giây 15 S B = ∫ at.dt = at 2 15 = 225a 375 225a = ⇔a= 2 Ta có vB ( 15 ) = 15 = 25 ( m/s ) Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Câu 10: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) ln ln 35 A B dx ∫ 2x + C ln 7 ln D Lời giải 2 dx 1 ∫1 x + = ln x + = ( ln − ln 5) = ln Ta có e ∫ ( + x ln x )dx = ae + be + c Câu 11: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? A a + b = −c B a + b = c C a − b = c D a − b = −c Lời giải e e e e e ∫ ( + x ln x ) dx = ∫1 2dx + ∫1 x ln xdx = x + I = 2e − + I I = ∫1 x ln xdx Ta có với 1  du = x dx ⇒ u = ln x v = x   Đặt dv = xdx e e e x e e2 x x x2 e2 + ⇒I= ln x − ∫ dx = ln x − = − ( e − 1) = 12 4 2 e e +1 ⇒ ∫ ( + x ln x ) dx = 2e − + = e + 2e − 4 1  a =   ⇒ b =  c = − ⇒ a −b = c  Câu 12: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với 58 t + t ( m / s) 120 45 vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B v( t) = xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có a ( m / s2 ) gia tốc ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 ( m / s ) B 36 ( m / s ) C 30 ( m / s ) D 21( m / s ) Lời giải Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A chất điểm B 15 giây, chất điểm A 18 giây v ( t ) = ∫ adt = at + C v ( 0) = v ( t ) = at Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng B mà B nên B Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động chất điểm B đuổi kịp quãng đường hai chất điểm Do 18  15 58  225 ∫0  120 t + 45 ÷ dt = ∫0 atdt ⇔ 225 = a ⇔ a = v ( t ) = 2.15 = 30 ( m / s ) Vậy, vận tốc chất điểm B thời điểm đuổi kịp A B 21 Câu 13: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho Mệnh đề sau đúng? A a + b = −2c dx ∫x x+4 = a ln + b ln + c ln B a + b = c C a − b = −c , với a, b, c số hữu tỉ D a − b = −2c Lời giải Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx Với x = ⇒ t = ; x = 21 ⇒ t = 21 Ta có ∫ 5 dx dt 1 1 = 2∫ = ( ln t − − ln t + ) = ln + ln − ln t − x x+4 3 2 2 Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x +1 , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V= 4p V= B V = 2p C Lời giải Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức: V = pò ( ỉx 4p ÷ x +1 dx = pò( x +1) dx = p ỗ = ỗ + xữ ữ ữ ç è3 ø 0 ) 2 Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho Tính π ∫ f ( x ) dx = A I =7 D V = B C π I = 5+ Lời giải I =3 π I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx D I = 5+π Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f ( x) g ( x) ax3 + bx + cx − = dx + x + ⇔ a + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình x = −1 ; x = Ta ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = k ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) ( *) ( *) có ba nghiệm x = −2 ; Khi −4 = −2k ⇒ k = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ∫ ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) dx = −2 Câu 10: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn 37 f (2) = − f ′( x) = x [ f ( x) ] với x ∈ ¡ Giá trị f (1) 11 A − B − C − D − Lời giải Từ hệ thức đề cho: f ′( x) = x [ f ( x) ] ′ (1), suy f ( x) ≥ với x ∈ [1; 2] Do f ( x) hàm khơng giảm đoạn [1; 2] , ta có f ( x ) ≤ f (2) < với x ∈ [1; 2] [ f ( x) ] Chia vế hệ thức (1) cho ⇒ f ′( x) [ f ( x) ] = x, ∀x ∈ [ 1; 2] Lấy tích phân vế đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: f ′( x) ∫ [ f ( x) ] Do 2 1 dx = ∫ xdx ⇒ ∫ f (2) = − −1 1 df ( x ) = ⇒ = ⇒ − = 2 f ( x) f (1) f (2) f ( x) ] [ f (1) = − nên suy Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 11: (Tham khảo 2018) Cho ( H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x , cung tròn có phương trình y = − x (với ≤ x ≤ ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H) 4π + − C 4π − B 4π + 12 A − 2π D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta với ≤ x ≤ 2 S = ∫ 3x dx + ∫ Ta có diện tích Đặt : 1 3x = − x ⇔ x = 2 3 − x dx = x + ∫ − x dx = + ∫ − x dx 3 1 x = 2sin t => dx = cos tdt ; x = => t = π π ; x = => t = π   4π − ⇒S = +  t + sin 2t ÷ =  π Câu 12: (Tham khảo 2018) Biết dương Tính P = a + b + c A P = 24 ∫ ( x + 1) dx dx = a − b − c x + x x +1 với a, b, c số nguyên C P = 18 Lời giải B P = 12 D P = 46 Cách 2 dx dx x + x +1 ∫1 ( x + 1) x + x x + dx = ∫1 x( x + 1) x + + x = ∫1 x ( x + 1) x + x + ( )   t = x + + x ⇒ dt =  + ÷dx ⇔ 2dt = x + x   Đăt I= 2+ ∫ ( x +1 + x dx x( x + 1) 2+  −2  dt =  ÷ t  t  1+ 1+ Khi ⇒ P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 Cách = −2 + − = 32 − 12 − ) dx 2 dx dx ∫1 ( x + 1) x + x x + dx = ∫1 x( x + 1) x + + x = ∫1 ( 2 ) ( ( x +1 − x   dx = ∫  − ÷dx = x − x + x( x + 1) x x +   =∫ x +1 + x x( x + 1) ) ( )( x +1 − x x +1 + x ) ) dx = 2 − − + 2 = 32 − 12 − s = − t + 6t Câu 13: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 144 (m/s) B 36 (m/s) C 243 (m/s) D 27 (m/s) Lời giải Ta có : v = s′ = −t + 12t ; v′ = −2t + 12 , v′ = ⇔ t = BBT t v¢ + - 36 v v ( ) = 36m / s Nhìn bbt ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn t = Giá trị lớn Câu 14: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho f ′ ( x) ln x nguyên hàm hàm số ln x f ′ ( x) ln xdx = − + C ∫ x 5x A ln x f ′ ( x) ln xdx = + + C ∫ x 3x C F′ ( x) = F ( x) = − f ( x) f ( x) 3x nguyên hàm hàm số x Tìm ln x + +C x3 3x3 ln x f ′ ( x) ln xdx = + + C x 5x ∫ f ′ ( x) ln xdx = − B D Lời giải ∫  ′ ⇒ f ( x) = x.F′ ( x) = x. − x−3 ÷ = = x−3 x   x Ta có ⇒ f ′ ( x) = −3x−4 ⇒ f ′ ( x) ln x = −3x−4 ln x f ′ ( x) ln xdx = ∫ ( −3x Vậy ∫ −4 Đặt ) ln x dx = −3∫ ln x.x−4dx u = ln x; dv = x−4dx ⇒ du = dx x−3 ;v = x −3 Nên ∫  ln x x−4  ln x ln x f ′ ( x) ln xdx = −3∫ ln x.x dx = −3 + ∫ dx÷ = − ∫ x−4dx = + + C 3  x x 3x  −3x −4 Câu 15: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt I ( 2; 9) đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển A s = 26,5 (km) B s = 24 (km) C s = 28,5 (km) D s = 27 (km) Lời giải ( P ) : y = ax Gọi ( P) Vì qua + bx + c O ( 0;0) có đỉnh Ngồi x = ta có y= I ( 2;9) nên dễ tìm phương trình y= −9 x + 9x 27 4  −9  27 S = ∫  x2 + 9x÷dx + ∫ dx = 27 (km) 4  0 Vậy quãng đuờng cần tìm là: s = − t3 + 6t2 Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) s( m) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bào nhiêu? 64( m/s) 24( m/s) 18( m/s) 108( m/s) A B C D Lời giải v = s′ = − t2 + 12t = f ( t ) Vận tốc vật chuyển động f ( t) 0;6 Tìm giá trị lớn hàm số đoạn   f ′ ( t) = −3t + 12 ⇒ f ′ ( t ) = ⇔ t = 4∈ 0;6 Ta có ff( 0) = 0; ( 4) = 24; f ( 6) = 18 24( m/s) Vậy vận tốc lớn v( km/h ) Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Một vật chuyển động với vận tốc phụ t ( h) I ( 2;9) thuộc thời gian có đồ thị phần đường parabol có đỉnh trục đối xứng s song song với trục tung hình bên Tính quãng đường mà vật di chuyển A s = 26,75( km) B s = 24,75( km) D Lời giải v( t ) = − t2 + 3t + Tìm phương trình vận tốc 3 S = ∫ (− t2 + 3t + 6)dt = Vậy 24,75 C s = 24,25( km) s = 25,25( km) F ( x) = x2 Câu 18: Cho f '( x) e2x nguyên hàm hàm số ∫ f '( x) e dx = 2x − 2x + C f '( x) e dx = − x + x + C C ∫ 2x 2x Ta có B 2x Lời giải: ( f ( x) e = F '( x) = 2x ⇒ f ( x) e 2x Tìm nguyên hàm hàm số ∫ f '( x) e dx = −2x + 2x + C f '( x) e dx = − x + 2x + C D ∫ A 2x f ( x) e2x 2x ) ' = hay f '(x)e2x + f (x)e2x = ⇒ f '(x)e2x + 4x = Suy f '(x)e2x = − 4x f '( x) e nên ∫ dx = −2x2 + 2x + C 2x Câu 19: Một vật chuyển động với vận tốc v(km/ h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật chuyển động (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 15,50(km) B s = 23,25(km) s = 13,83(km) D s = 21,58(km) C Lời giải   c = b =   4a+ 2b+ c = ⇔ c =  b  − = a = −  Gọi phương trình parabol v = at + bt + c ta có hệ sau:  2a Với t = ta có v= 31   31 259 s = ∫  − t2 + 5t + 4÷dt + ∫ dt = ≈ 21,583 4 12   Vậy quãng đường vật chuyển động Câu 20: (Đề tham khảo lần 2017) Gọi S diện tích hình phẳng y = f ( x) ( H ) giới hạn đường , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = (như hình vẽ bên dưới) Đặt a = ∫ f ( x ) dx b = ∫ f ( x ) dx −1 , , mệnh đề sau đúng? A S = b − a B S = b + a C S = −b + a Lời giải D S = −b − a Ta có: S= ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ −1 2 −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − a + b Câu 21: (Đề tham khảo lần 2017) Cho S = a + b3 A S = B S = −2 ∫e dx 1+ e = a + b ln +1 x , với a, b số hữu tỉ Tính C S = Lời giải D S = x x Cách Đặt t = e ⇒ dt = e dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = e 1 e e e dx e x dx dt 1  = = = − d t = ln t − ln t + = ( − ln ( + e ) ) − ( − ln 2) ( )  ÷ ∫0 e x + ∫0 e x ( e x + 1) ∫1 t ( t + 1) ∫1  t t +  = + ln + e a = = − ln ⇒ ⇒ S = a + b3 = 1+ e b = −1 ex + − ex 1 d ex + 1 ( ) ( ) dx 1+ e x ∫0 e x + = ∫0 e x + dx = ∫0 dx − ∫0 e x + = x − ln e + = − ln Cách 3 Suy a = b = −1 Vậy S = a + b = Câu 22: (Đề tham khảo lần 2017) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = A I = −12 Tính ∫ f ( x ) dx B I = D I = −8 C I = Lời giải Đặt u = x + du = dx ⇒  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Khi I = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx Suy 1 0 10 = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy ∫ f ( x ) dx = −8 Câu 23: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho A I =32 Đặt t = 2x ⇒ B I =8 Tính I = ∫ f (2 x )dx C I =16 Lời giải D I = dt =dx Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi ta có ∫ f ( x) dx = 16 I = ∫ f (2 x )dx = 4 f (t )dt = ∫ f ( x )dx =8 ∫ 2 Câu 24: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục 1m bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn.) 8m A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ D 7.826.000 đồng x2 y + =1 b Giả sử elip có phương trình a Từ giả thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 2b = 10 ⇒ b = 5  y= 64 − x ( E1 )  x y + =1⇒  64 25  y = − 64 − x ( E )  Vậy phương trình elip 2 Khi diện tích dải vườn giới hạn đường dải vườn ( E1 ); ( E2 ); x = −4; x = diện tích 5 S = 2∫ 64 − x dx = ∫ 64 − x dx 20 −4 Tính tích phân phép đổi biến x = 8sin t , ta S= 40π + 20 3  40π  T = + 20 ÷.100000 = 7652891,82 ; 7.653.000   Khi số tiền Câu 1: (Tham khảo 2018) Cho hàm số f ( 1) = 0, ∫ [ f ′( x)] y = f ( x) dx = A ∫ x f ( x)dx = B có đạo hàm liên tục 1 Tính tích phân C Lời giải ∫ f ( x)dx x3 u = f ( x ) ⇒ du = f ′ ( x ) dx dv = x dx ⇒ v = Cách 1: Đặt , Ta có 1 x3 x3 = f ( x) − ∫ f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x3 f ′ ( x ) dx = −1 3 0 D [ 0;1] thỏa mãn ∫ 49 x dx = 7, Ta có ∫[ 1 0 f ′( x)] dx = 7, ∫ 2.7 x f ′ ( x ) dx = −14 ⇒ ∫ 7 x + f ′( x)  dx = ⇒ x + f ′( x) = ⇒ f ( x ) = − x4 +C f ( 1) = ⇒ C = 4 , mà 1  x4  ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫  − + ÷dx = 4 0 Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân sau: b b  b 2  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx a a  a Dấu xảy f ( x ) = k g ( x ) , ( ∀x ∈ [ a; b ] , k ∈ R )  x6  x3 x3 = ∫ f ′ ( x ) dx ÷ ≤ ∫ dx.∫  f ′ ( x )  dx = ′ f ( x ) = k 0  Ta có Dấu xảy x −1 x4 ′ ′ f x dx = ⇒ k = 21 ⇒ f x = − x ( ) ( ) f ( x) = − + ∫3 4 Mặt khác suy Từ ∫  x4  f ( x )dx = ∫  − + ÷dx = 4 0 Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ 1  I  ; 8÷ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần parabol với đỉnh   trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quảng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ chạy? A s = (km) B s = 2,3 (km) C s = 4, (km) Lời giải D s = 5,3 (km) Gọi parabol ( P ) : y = ax + bx + c Từ hình vẽ ta có ( P) qua O ( 0; ) , A ( 1; ) điểm 1  I  ; 8÷    c =  a = −32    a + b + c = ⇔ b = 32 a b c =  + +c=8  Suy  4 Vậy ( P ) : y = −32 x + 32 x Quảng đường người Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hàm số y = f ( x) s = ∫ ( −32 x + 32 x ) dx =4,5 Đồ thị hàm số y = f ′( x) (km) g ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) hình bên Đặt Mệnh đề đúng? A C g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) g ( 3) = g ( −3) < g ( 1) Ta có: B D g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) g ( 3) = g ( −3) > g ( 1) Lời giải g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + ( x + 1) ⇒ g ′ ( −3) = f ′ ( −3) − 4, g ′ ( 1) = f ′ ( 1) + 4, g ′ ( 3) = f ′ ( ) + f ′ ( −3) = 2, f ′ ( 1) = −2, f ′ ( 3) = −4 ⇒ g ′ ( −3) = g ′ ( 1) = g ′ ( 3) = Lại có nhìn đồ thị ta thấy g′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −x −1 Hay phương trình có nghiệm Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên, suy g ( 3) > g ( 1) , g ( −3) > g ( 1) Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = − x − đồ thị hàm số y = f , ( x) miền [ −3;1] [ 1;3] , ta có −3 1 −3 ∫ ( − x − − f ′ ( x ) ) dx > ∫ ( f ′ ( x ) + x + 1) dx ⇔ − ∫ g ′( x)dx > ∫ g ′ ( x ) dx ⇔ − g ( 1) + g ( −3 ) >g ( ) − g ( 1) ⇔ g ( −3) > g ( ) Vậy g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hàm số Đặt A C g( x) = f ( x) + x2 g( −3) < g( 3) < g( −1) Ta có B D g( 1) < g( −3) < g( 3) g( 3) < g( −3) < g( 1) Lời giải g′ ( x) = f ′ ( x) + 2x ⇒ g′ ( x) = ⇒ x ∈ { −3;1;3} Từ đồ thị Suy y = f (x) Đồ thị y = f ′(x) hàm số hình bên Mệnh đề đúng? g( 1) < g( 3) < g( −3) y = f ′ ( x) g( 3) > g( 1) ta có bảng biến thiên hàm g( x) Kết hợp với BBT ta có: ∫ ( − g′ ( x) ) dx > ∫ g′ ( x) dx ⇔ ∫ −3 −3 g′ ( x) dx > ∫ g′ ( x) dx ⇔ g( −3) − g( 1) > g( 3) − g( 1) ⇔ g( −3) > g( 3) Vậy ta có g( −3) > g( 3) > g( 1) Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hàm số bên Đặt A C g( x) = f ( x) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? B g( 1) > g( −3) > g( 3) g′ ( x) = f ′ ( x) − 2( x + 1) g( −3) < g( 1) g( 3) < g( 1) g( −3) > g( 3) > g( 1) g( 1) > g( 3) > g( −3) D Lời giải x = g′ ( x) = ⇔ f ′ ( x) = x + ⇔   x = ±3 Bảng biến thiên Suy Đồ thị hàm số g( 3) > g( −3) > g( 1) Ta có y = f ( x) y = f ′ ( x) hình Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích phần màu xanh lớn phần màu tím, nghĩa −3 1 −3 ∫  f ′ ( x) − ( x + 1)  dx > ∫ ( x + 1) − f ′ ( x)  dx > ∫  f ′ ( x) − ( x + 1)  dx + ∫  f ′ ( x) − ( x + 1)  dx > g( 3) − g( −3) = 3 −3 −3 , hay , suy ∫ g′ ( x) dx = 2∫  f ′ ( x) − ( x + 1)  dx > ∫  f ′ ( x) − ( x + 1)  dx > −3 Vậy g( 1) > g( 3) > g( −3) Từ y = f ( x) y = f '( x) h( x) = f ( x) − x2 Câu 6: Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ Đặt Mệnh đề đúng? A C h( 2) > h( 4) > h( −2) h( 4) = h( −2) > h( 2) B h( 2) > h( −2) > h( 4) D Lời giải h( 4) = h( −2) < h( 2) h'( x) = 2 f '( x) − x ; h'( x) = ⇒ x ∈ { −2;2;4} Ta có Bảng biến thiên h( 2) > h( 4) Suy Kết hợp với BBT ta có ∫ −2 h′ ( x) dx > ∫ − h′ ( x) dx ⇔ ∫ h′ ( x) dx > ∫ h′ ( x) dx 2 −2 ⇔ h( 2) − h( −2) > h( 2) − h( 4) ⇔ h( 4) > h( −2) Vậy ta có Câu 7: h( 2) > h( 4) > h( −2) f ( x) (Đề tham khảo lần 2017) Cho hàm số liên tục ¡ thoả mãn 3π f ( x ) + f ( − x ) = + cos x ∀x ∈ ¡ , Tính A I = −6 B I = I= − ∫π f ( x ) dx D I = C I = −2 Lời giải Đặt x = −t Khi − 0 3π 3π 3π ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( −t ) d ( −t ) = − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx 3π I= − Ta có: Hay I= ∫ 0 3π 3π 3π 0 ∫ f ( x) d ( x) = ∫ f ( x) d ( x) + ∫ f ( x) d ( x) = ∫ f ( −x) d ( x ) + ∫ f ( x ) d ( x) 3π − 3π 3π 3π 0 ∫ ( f ( −x) + f ( x) ) d ( x) = ∫ 3π ⇔I= 3π cos xd ( x ) = 3π 2 + cos xd ( x ) = 3π π 0 ∫ 2(1 + cos x) d ( x ) π ∫ cos x d ( x ) = ∫ cos xd ( x ) − π∫ cos xd ( x ) π 3π π I = 2sin x | −2sin x | = Vậy ... 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, v ( t ) = −5t + 10 ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng... a V =π C Lời giải b ∫ f ( x ) dx a Câu 13: (Tham khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + x3 + x+C A x + C B C 6x + C Lời giải ∫ ( 3x Câu 14: (Tham khảo 2018) Tích phân 16 log A 225 B dx ∫... Xét phương trình −5t + 10 = ⇔ t = Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh sau 2s tơ dừng hẳn Qng đường ô tô kể từ lúc người lái đạp phanh đến ô tô dừng  2 s = ∫ ( −5t + 10 ) dt =  − t + 10t ÷ =