D01 thể tích khối nón, khối trụ muc do 3

Khi quay hình phẳng quanh trục ta được khối tròn xoay, có: phần trên là khối trụ còn phần dưới là khối nón cụt tạo bởi hình thang và khối nón tạo bởi tam giác ; các khối này có chung đườ

Trang 1

Câu 40: [2H2-1.1-3] (TOAN HỌC TUỔI TRẺ 484-10/2017) Cho tam

giác vuông tại , , đường phân giác trong của

cắt tại điểm Vẽ nửa đường tròn tâm bán kính ( như hình vẽ) Cho và nửa đường tròn trên cùng quay

quanh tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng

, Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lời giải

Chọn B.

Đặt Chỗ này hình như cô Liên bôi xanh này :D

Câu 38: [2H2-1.1-3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng Mặt phẳng qua trục của cắt theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng Tính thể tích khối nón

Lời giải Chọn C

Tam giác đều vì có và

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

Vậy bán kính đường tròn đáy của khối nón là:

Trang 2

Vậy thể tích khối nón là:

Câu 42 [2H2-1.1-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hai hình

vuông có cạnh đều bằng 5 được xếp lên nhau sao cho đỉnh của hình vuông này là tâm của hình vuông kia, đường chéo vuông góc với cạnh tạo thành hình phẳng (như hình vẽ bên) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quanh hình quanh trục

Khi quay hình phẳng quanh trục ta được khối tròn xoay, có: phần trên là khối trụ còn phần dưới là khối nón cụt tạo bởi hình thang và khối nón tạo bởi tam giác ; các khối này có chung đường kính đáy

Ta có

Chiều cao của hình nón cụt là

Thể tích khối nón cụt tạo bởi hình thang là

Trang 3

Thể tích khối nón tạo bởi tam giác là

Vậy thể tích của vật thể tròn xoay khi quanh hình quanh trục là

Câu 40 [2H2-1.1-3] (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình thang cân

có đáy nhỏ , đáy lớn , cạnh bên Cho hình thang đó quay quanh thì được vật tròn xoay có thể tích bằng

Lời giải Chọn D.

Gọi là thể tích vật tròn xoay cần tìm , lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh , và đỉnh , là thể tích khối trụ trục như hình vẽ

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , trên cạnh

Suy ra (cạnh huyền – góc nhọn)

Mặt khác

Thể tích vật tròn xoay cần tìm là

Trang 4

Câu 41 [2H2-1.1-3] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm

2017-2018) Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng (hình ) Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của

tam giác thành đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình Khi quay hình xung quanh trục ta được một khối tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Lời giải Chọn A

Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình quay quanh trục

Trang 5

Tam giác quay quanh trục tạo thành khối nón có ;

Thể tích khối nón này bằng

Hình thang vuông quay quanh trục tạo thành hình nón cụt có ;

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng

Câu 32 [2H2-1.1-3] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam

giác đều cạnh và nội tiếp trong đường tròn tâm , là đường kính của đường tròn tâm Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm (hình vẽ dưới đây) quay quanh đường thẳng bằng

Lời giải Chọn B

Gọi là thể tích của khối cầu có được bằng cách quay hình tròn tâm quanh trục Gọi là thể tích của khối nón có được bằng cách quay tam giác quanh trục

Thể tích cần tìm là

Khối nón có bán kính đáy , chiều cao , do đó

Câu 45 [2H2-1.1-3] (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm

2017-2018) Cho hình tứ diện có , là tam giác vuông tại Biết

, , Quay các tam giác và (Bao gồm cả điểm bên trong tam giác) xung quanh đường thẳng ta được khối tròn xoay Thể tích phần chung của khối tròn xoay đó bằng

Trang 6

A B C D

Khi quay tam giác quanh ta được khối nón đỉnh có đường cao , đáy là đường tròn bán kính cm Gọi , tại Phần chung của khối nón khi quay tam giác và tam giác quanh là khối nón đỉnh và đỉnh có đáy là đường tròn bán kính

Gọi , lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh và có đáy là hình tròn tâm

Câu 42 [2H2-1.1-3] (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một tấm tôn hình

tam giác đều có độ dài cạnh bằng là trung điểm Người ta dùng compa có tâm

là , bán kính vạch một cung tròn Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là , cung thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ) Tính thể tích khối nón trên

Lời giải

Trang 7

Chọn A

Gọi là bán kính đáy của hình nón Suy ra

Câu 46: [2H2-1.1-3] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018)

Cho hình thang vuông tại và , , Quay hình thang

quanh đường thẳng Thể tích khối tròn xoay thu được là:

Lời giải Chọn A.

Gọi là khối trụ có đường cao là , bán kính đường tròn đáy là và là khối nón có đường cao là , bán kính đường tròn đáy là

Ta có:

Thể tích khối trụ là:

Câu 34: [2H2-1.1-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học

2017-2018) Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng được uốn lại

Trang 8

thành mặt xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao (như hình vẽ) Biết rằng chỗ ghép mất Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?

Hướng dẫn giải Chọn A.

Vì chỗ ghép mất nên chu vi đáy chiếc thùng là

Vậy thùng đựng được lít nước

lục giác đều có cạnh bằng Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra

Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng ta thu được hai khối nón và một khối trụ

Trong đó:

Khi đó thể tích của hai khối nón là

Khi đó thể tích khối trụ là

Trang 9

Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay lục giác đều đó quanh

Câu 18: [2H2-1.1-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cắt hình nón bởi một

mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng Thể tích của khối nón đó bằng:

Theo bài ra ta có

Câu 39: [2H2-1.1-3] (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho

hình nón có chiều cao bằng cm Người ta cắt hình nón bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ có thể tích bằng thể tích Tính chiều cao của hình nón ?

Lời giải Chọn C.

Trang 10

Gọi , , , lần lượt là bán kính và chiều cao của các khối nón , Gọi , thể tích của các khối nón , và gọi là góc ở đỉnh của hình nón

Câu 18 [2H2-1.1-3] (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình nón có chiều

cao bằng (cm), góc giữa trục và đường sinh bằng Thể tích khối nón bằng

Lời giải Chọn D

Gọi là bán kính của hình nón Khi đó, ta có

(Thiếu vẽ hình)

có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là và độ dài đường sinh là Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc) Hỏi bạn

An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D

Gọi là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón Khi đó cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác

Nửa chu vi tam giác là

Trang 11

Diện tích tam giác là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác : , do đó đường kinh

Câu 49: [2H2-1.1-3] (THPT NGỌC TẢO HN-2018) Mặt phẳng trung trực của đường cao của một

khối nón chia nó ra thành hai phần Tỉ số thể tích của chúng là:

Lời giải Chọn B.

Gọi là bán kính đáy của khối nón và là chiều cao của khối nón, khi đó khối nón có thể tích

là

Cắt khối nón bằng mặt phẳng trung trực của đường cao thì ta được hai phần, trong đó có một

Vậy tỉ số thể tích của hai phần sau khi bị cắt là:

Câu 37 [2H2-1.1-3] (SỞ GD-ĐT SÓC TRĂNG-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có các

cạnh đều bằng Tính thể tích khối nón có đỉnh và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp

tứ giác

Câu 37 [2H2-1.1-3] (SỞ GD-ĐT SÓC TRĂNG-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có các

cạnh đều bằng Tính thể tích khối nón có đỉnh và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp

tứ giác

Trang 12

A B C D

Hình nón đỉnh có chiều cao , bán kính đáy , có thể tích là :

bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất lần lượt là và Tính tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn)

Gọi , lần lượt là thể tích khối nhỏ và khối lớn

Ta có thể tích khối trụ là (với là bán kính khối trụ)

Trang 13

Thể tích

khối tròn xoay do tam giác sinh ra khi quay tam giác quanh

đường thẳng

Gọi là chân đường cao kẻ từ , khi đó: suy ra

Gọi là thể tích cần tính

là thể tích khối nón khi quay tam giác quanh

tam giác này quanh các cạnh , , ta lần lượt được các hình tròn xoay có thể tích là , , Tính diện tích tam giác

Vì tam giác nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác

Gọi , , lần lượt là đường cao từ đỉnh , , của tam giác , và , , lần lượt

là độ dài các cạnh , ,

Khi đó

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh là

Trang 14

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh là

Do đó

Câu 45: [2H2-1.1-3] (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho lăng trụ tam giác đều

cạnh đáy bằng , chiều cao bằng Mặt phẳng qua và vuông góc với chia lăng trụ thành hai khối Biết thể tích của hai khối là và với Tỉ số bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi là trung điểm của , giác đều nên

Trang 15

-2018) Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa lượng nước như nhau, độ cao mực

nước trong bình gấp đôi bình và trong bình gấp đôi bình Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy , , của ba bình , ,

A , , theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

B , , theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

Gọi , , lần lượt là thể tích của bình , ,

Từ và ta có , , theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

tam giác đều cạnh bằng (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một cạnh của nó ta được một khối tròn xoay Tính thể tích của khối tròn xoay

đó theo

Trang 16

Khối tròn xoay có được là hai khối nón giống nhau úp hai đáy lại với nhau Mỗi khối nón có đường cao , bán kính đường tròn đáy

Câu 40: [2H2-1.1-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-LẦN 5-2018) Cho tam giác vuông tại ,

vuông góc với tại , , Quay miền tam giác quanh đường thẳng ta thu được khối nón có thể tích bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn A.

Quay miền tam giác quanh đường thẳng ta thu được khối nón có bán kính đáy

Câu 36 [2H2-1.1-3] (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ TĨNH-LẦN 1-2018)Một hộp bóng bàn hình

trụ có bán kính , chứa được quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau Quả trên cùng va quả dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chỗ

Trang 17

Lời giải Chọn B

Ta có:

Suy ra thể tích khối trụ

Thể tích quả bóng

và bán kính đáy bằng , gọi là điểm trên đoạn , đặt , là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục tại , với hình nón Tìm để thể tích khối nón đỉnh đáy là lớn nhất

Ta có là bán kính đường tròn

Thể tích của khối nón đỉnh đáy là là:

Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh đáy là lớn nhất khi

Trang 18

Câu 42: [2H2-1.1-3] (THPT Kim Liên - HN - L1 - 2018) Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy

nước, có chiều cao bằng lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)

Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là

Theo giả thiết và hình vẽ thì:

• Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là , chiều cao là

• Mặt cầu có bán kính là

Thể tích lượng nước ban đầu bằng thể tích khối trụ nên

Thể tích lượng nước tràn ra bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên

Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là:

chồng lên nhau sao cho , lần lượt là trung điểm của , (như hình vẽ) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục , với là trung điểm

Trang 19

A B C D

Gọi , lần lượt là trung điểm và

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	2,28 MB