D04 bài toán thực tế về khối nón, khối trụ muc do 3

Đặt , thì chiều cao cột nước mới trong phễu là và Gọi là thể tích khối nón có chiều cao , bán kính đáy.. Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễubằng

Câu 27: [2H2-1.4-3] (TOAN HỌC TUỔI TRẺ 484-10/2017) Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng

cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính thành ba miếng hình quạt bằng nhau Sau đóngười thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích của mỗi cáiphễu đó bằng bao nhiêu?

Lời giải

Chọn B.

Đường sinh của hình nón tạo thành là

Chu vi đường tròn ban đầu là

Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là

Đường cao của khối nón tạo thành là

Câu 39 [2H2-1.4-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH -HỌC KÌ I-2018) Một cái phễu có dạng hình

nón Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước xấp

xỉ bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là

Lời giải Chọn C

Gọi lần lượt là bán kính và chiều cao của phễu Ta có

Gọi lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nước lúc ban đầu

Ta có

Thể tích khối nước

Khi quay ngược phễu, nước trong phễu được biểu diễn như hình vẽ

Đặt , thì chiều cao cột nước mới trong phễu là và

Gọi là thể tích khối nón có chiều cao , bán kính đáy Ta có

Gọi là thể tích khối nón có chiều cao , bán kính đáy Ta có

Thay vào ta được chiều cao cột nước mới trong phễu là

Câu 42: [2H2-1.4-3] (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Trên bàn có một cốc nước hình trụ

chứa đầy nước, có chiều cao bằng lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối nón đều bằngthủy tinh Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước Người ta từ từ thả vào cốcnước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Tính tỉ số thể tíchcủa lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)

A B C D

Lời giải Chọn A.

Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là

Theo giả thiết và hình vẽ thì:

• Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là , chiều cao là

• Mặt cầu có bán kính là

• Hình nón có bán kính đường tròn đáy là , chiều cao là

Thể tích lượng nước ban đầu bằng thể tích khối trụ nên

Thể tích lượng nước tràn ra bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên

Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là

Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là:

Câu 41 [2H2-1.4-3] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một hộp sữa hình trụ

có thể tích (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy và đường cao bằng

Lời giải Chọn A

Câu 50 [2H2-1.4-3] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình trụ có hai đáy

là các hình tròn , bán kính bằng , chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy Các điểm, tương ứng nằm trên hai đường tròn , sao cho Tính thể tích khối tứ diện theo

Lời giải Chọn A

Do đó nên tam giác vuông cân tại hay

-HẾT -Câu 50. [2H2-1.4-3] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho

hình trụ có hai đáy là các hình tròn , bán kính bằng , chiều cao hình trụ gấp hai lần bánkính đáy Các điểm , tương ứng nằm trên hai đường tròn , sao cho Tínhthể tích khối tứ diện theo

Lời giải Chọn A

Ta có ,

Do đó nên tam giác vuông cân tại hay

-HẾT -Câu 22 [2H2-1.4-3] (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho một đồng

hồ cát như hình bên dưới (gồm hình nón chung đỉnh khép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc

Biết rằng chiều cao của đồng hồ là và tổng thể tích của đồng hồ là Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Gọi là chiều cao của hình nón phía trên; là chiều cao đáy dưới

Điều kiện:

 Tam giác vuông tại có ,

 Tam giác vuông tại có ,

Theo giả thiết ta có pt:

(vì )Khi đó

 Thể tích phần trên

 Thể tích phần dưới

Vậy: tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là

Câu 37: [2H2-1.4-3] (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của

phễu là cm Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễubằng cm (Hình 1) Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên (Hình 2) thì chiều cao của cộtnước trong phễu gần bằng giá trị nào sau đấy

Lời giải Chọn C.

Xét trường hợp lúc nước được đổ vào phêu:

Gọi là thể tích của phễu ta có

Gọi là thể tích của nước ta có

Xét tỉ số

Xét trường hợp lúc lật ngược phễu:

Gọi chiều cao từ đỉnh chóp đến phần diện tích mặt nước phía trên của chóp là

Gọi là thể tích của phễu ta có

Gọi là thể tích của phần rỗng ta có

Câu 50 [2H2-1.4-3] (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và

một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấylượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu Biết viên bi tiếp xúc với đáycốc và thành cốc Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc)

Lời giải Chọn C.

Đặt , , Ta có là thể tích chiếc cốc, là thể tích của bi

Ta có , , Do tam giác vuông tại ta có

Theo giả thiết lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu, suy ra

Câu 27: [2H2-1.4-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Để

làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày , thànhxung quanh cốc dày và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là

thì người ta cần ít nhất bao nhiêu thủy tinh ?

Lời giải Chọn A.

Gọi bán kính và chiều cao hình trụ bên trong lần lượt là và

Vậy thể tích thủy tinh người ta cần ít nhất là

Câu 48: [2H2-1.4-3] (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Từ một tấm

tôn hình chữ nhật kích thước và , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

+

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó

thành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và là tổng thể tích của hai

thùng gò được theo cách 2 Tính tỉ số

Lời giải Chọn B.

Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao ,

Suy ra

Theo cách 1: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao ,

Câu 43: [2H2-1.4-3] (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Người ta

đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là và sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón Bán kính đáy của hình nón đã cho là

Lời giải Chọn C.

Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác với là đỉnh của hình nón và là đường kính đáy của hình nón có tâm đáy là

Gọi và lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính và và lần lượt là điểm tiếp

xúc của với hai đường tròn tâm và

Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra là trung điểm của

Ta lại có hai tam giác vuông và đồng dạng

Vậy bán kính hình nón là

Câu 42 [2H2-1.4-3] [2H2-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Bạn muốn làm một

chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều có cạnh bằng

Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn nguyên liệu (với , thuộc cạnh ; , tương ứng thuộc cạnh và ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là

Lời giải Chọn C

Gọi là trung điểm Suy ra là trung điểm Đặt ,

Câu 42 [2H2-1.4-3] [2H2-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Bạn muốn làm một

chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều có cạnh bằng

Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn nguyên liệu (với , thuộc cạnh ; , tương ứng thuộc cạnh và ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là

Lời giải Chọn C

Gọi là trung điểm Suy ra là trung điểm Đặt ,

Câu 35 [2H2-1.4-3] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Một cốc nước hình trụ

có chiều cao , đường kính Mặt đáy phẳng dày , thành cốc dày Đổ vào cốc

nước sau đó thả vào cốc viên bi có đường kính Mặt nước cách mép cốc gần nhất vớigiá trị bằng

Câu 35 [2H2-1.4-3] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Một cốc nước hình trụ

có chiều cao , đường kính Mặt đáy phẳng dày , thành cốc dày Đổ vào cốc

nước sau đó thả vào cốc viên bi có đường kính Mặt nước cách mép cốc gần nhất vớigiá trị bằng

Lời giải

Thể tích của cốc nước là

Thể tích của viên bi là

Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc nước và thả vào cốc viên bi là

Câu 33 [2H2-1.4-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Người ta thả một viên

billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn vào một chiếc cốc hình trụ đangchứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (thamkhảo hình vẽ bên)

Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng và chiều cao của mực nước ban đầu trongcốc bằng Bán kính của viên billiards đó bằng

Lời giải Chọn A

Gọi là bán kính của viên billiards snooker

Thể tích viên billiards là

Phần thể tích nước dâng lên sau khi bỏ viên billiards vào là

Vì thể tích nước dâng lên chính là thể tích của viên billiards nên ta có

Câu 30: [2H2-1.4-3] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm

2017 – 2018) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có cây cột hình trụ tròn, tất cả đều

có chiều cao bằng m Trong số các cây đó có cây cột trước đại sảnh đườngkính bằng cm, cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều

có đường kính bằng cm Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại

người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vịđồng)?

Lời giải Chọn D.

Các cây cột có chiều cao là m

cây cột trước đại sảnh bán kính bằng m

cây cột ở hai bên đại sảnh có bán kính bằng m

Số tiền ít nhất phải chi để sơn hết các cây cột là:

Vậy số tiền cần chi là đồng

Câu 37 [2H2-1.4-3] (SỞ DG-ĐT CẦN THƠ-2018)Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính

và một hình trụ có chiều cao bằng (như hình vẽ minh hoạ) Thể tích của bồn chứa gần

nhất với kết quả nào sau đây?

Lời giải Chọn A.

Thể tích bồn chứa bằng thể tích khối trụ có bán kính và khối trụ có , chiều cao

Câu 32: [2H2-1.4-3] (SỞ GD-ĐT NINH BÌNH -2018) Cắt hình nón đỉnh bởi một

mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng ; là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc Tính theo diện tích của tam giác

Lời giải Chọn A

Cắt hình nón đỉnh bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng nên bán kính của hình nón là

, đường sinh và đường cao Gọi là trung điểm , khi đó góc hợp bởi mặt phẳng và mặt phẳng

Câu 36 [2H2-1.4-3] (SỞ GD -ĐT HẬU GIANG -2018)Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều

hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt,… Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiếtkiệm được nguyên liệu mà thể tích khối hộp tương ứng lại lớn nhất

A Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy.

B Hộp hình trụ có đường cao bằng một nửa bán kính đáy.

C Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy.

D Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy.

Lời giải Chọn C

Gọi , , lần lượt là đường cao, bán kính và diện tích toàn phần của hình trụ

Ta có

Thể tích khối trụ Dấu đẳng thức xảy ra khi

tròn ra làm miếng hình quạt bằng nhau Sau đó quấn và gò miếng tôn để được hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón.

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C.

Chu vi đường tròn lớn:

Chu vi hình nón: nên bán kính của hình nón là:

Câu 38: [2H2-1.4-3] Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt

mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toànphần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ đó bằng và diện tích toànphần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B.

Ta có

Diện tích toàn phần của hình trụ là

khi

Câu 33: [2H2-1.4-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018) Một cái phễu có dạng hình nón,

chiều cao của phễu là Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiềucao của cột nước trong phễu bằng (hình H1) Nếu bịt kín miệng phễu rồi lậtngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giátrị nào sau đây?

A B C D

Lời giải Chọn A.

Trước khi lật phễu lên:

Sau khi lật phễu lên:

Vậy chiều cao của nước sau khi lật phễu là

Câu 1: [2H2-1.4-3] (CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU AN GIANG-2017) Có một cốc thủy

tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khinghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng vớiđường kính đáy

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A.

Câu 37: [2H2-1.4-3] (SỞ GD-ĐT BẮC NINH -2018) Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là

cm Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng

cm (Hình 1) Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên (Hình 2) thì chiều cao của cột nước trongphễu gần bằng giá trị nào sau đấy

x

y z

x O

h A

α α

S(x)

A B C D

Lời giải Chọn C.

Xét trường hợp lúc nước được đổ vào phêu:

Gọi là thể tích của phễu ta có

Gọi là thể tích của nước ta có

Xét tỉ số

Xét trường hợp lúc lật ngược phễu:

Gọi chiều cao từ đỉnh chóp đến phần diện tích mặt nước phía trên của chóp là

Gọi là thể tích của phễu ta có

Gọi là thể tích của phần rỗng ta có

Câu 44: [2H2-1.4-3] (SỞ GD-ĐT BẮC NINH -2018)Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Đường

kính của đường tròn đáy là cm, chiều dài lăn là cm (như hình dưới đây) Sau khi lăn trọn vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là:

Lời giải

Chọn A.

Diện tích xung quanh của hình trụ là

Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ Do đó trục lăn quay vòng sẽ quét được diện tích là

Câu 31: [2H2-1.4-3] (SỞ GD-ĐT THANH HÓA-2018) Một tấm đề can hình chữ nhật

được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính .

Người ta trải ra vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khốitrụ có đường kính Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đếnhàng đơn vị)?

Lời giải Chọn A

Cách 1: Bề dày của tấm đề can là:

Gọi là chiều dài đã trải ra và là chiều rộng của tấm đề can Khi đó ta có:

Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của đường tròn có bán kính

là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng , công sai là

Câu 33: [2H2-1.4-3] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Người ta thả một viên billiards snooker có

dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viênbilliards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên)

Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng và chiều cao của mực nước ban đầu trongcốc bằng Bán kính của viên billiards đó bằng

Lời giải Chọn A.

Gọi là bán kính của viên billiards snooker

Thể tích viên billiards là