Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu, tính xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện... Chọn một đường kính bất kì, đường kính này chia đường tròn này thành
Trang 1Câu 13 [1D2-5.5-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Cho hai đường thẳng song song và Trên
đường thẳng lấy điểm phân biệt; trên đường thẳng lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng và Tính xác xuất để điểm được chọn tạo thành một tam giác
Lời giải Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi là biến cố : “ điểm được chọn lập thành một tam giác”
KN : Chọn điểm trên đường thẳng và điểm trên đường thẳng , có cách
KN : Chọn điểm trên đường thẳng và điểm trên đường thẳng , có cách
Vậy xác suất để điểm được chọn tạo thành một tam giác là
Câu 44 [1D2-5.5-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Một mạch điện gồm linh
kiện như hình vẽ, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian nào đó tương ứng là ; ; và Biết rằng các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tốt Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt trong khoảng thời gian
Lời giải Chọn C:
Mạng điện hoạt động tốt khi xảy ra các trường hợp sau:
TH1: Mạng , , tốt, không tốt
Xác suất là
TH2: Mạng , , tốt, không tốt
Xác suất là
TH3: Mạng , , , tốt
Xác suất là
Xác suất thỏa mãn ycbt là:
Câu 50 [1D2-5.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Trong một hình tứ
diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu, tính xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện
2
4
3
Trang 2A B C D
Lời giải Chọn A.
Cách 1:
Không gian mẫu:
Tính biến cố bù như sau:
Xét số cách chọn 4 đỉnh không tạo thành tứ diện Có 2 trường hợp:
+ TH1: Chọn 3 điểm thẳng hàng, có 25 cách Chọn điểm còn lại, có 12 cách
Vậy có 25.12=300 cách
+ TH2: Chọn 4 điểm thuộc 1 mặt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng
- Có 10 mặt chứa 7 điểm: Mỗi mặt 11 cách chọn Suy ra có 110 cách
- Có 15 mặt chứa 5 điểm, mỗi mặt 1 cách chọn Suy ra có 15 cách
Tổng: 300 + 110 + 15 = 425 cách
Vậy, xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là:
Cách 2:
Không gian mẫu:
Tính biến cố bù như sau:
Xét các bộ bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng gồm các bộ thuộc các mặt phẳng sau:
1) Mặt phẳng chứa 1 cạnh và trung điểm của cạnh đối diện, suy ra có 7 điểm thuộc mặt phẳng loại này Có bộ mỗi mặt và 6 mặt như vậy
Vậy có (bộ).
2) Mặt phẳng chứa mặt của tứ diện, suy ra có 7 điểm thuộc mỗi mặt và 4 mặt loại này
Vậy có (bộ).
3) Mặt phẳng chứa 2 đường trung bình của tứ diện, suy ra có 5 điểm thuộc mặt này và 3 mặt loại này
Vậy có (bộ).
4) Mặt phẳng chứa 1 đỉnh của tứ diện và 1 đường trung bình của mặt đối diện, suy ra có 5 điểm thuộc mỗi mặt (đỉnh, 2 trung điểm, cạnh và 2 trọng tâm) và có 12 mặt loại này
Vậy có (bộ).
Vậy, xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là:
-Câu 6 [1D2-5.5-3] (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Hai người ngang tài
ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được ván cờ Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng ván và người chơi thứ hai mới thắng ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng?
Trang 3A B C D
Lời giải
Chọn C
Cách 1 Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng trận là ; thua trận là
là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”
Vậy = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” “Người thứ nhất thắng sau 2 trận” “Người thứ nhất thắng sau 3 trận”
Cách 2 Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng trận là ; thua trận là
là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”
= “người thứ hai thắng chung cuộc” (tức là người thứ hai thắng liên tiếp 3 ván)
Câu 25: [1D2-5.5-3] (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tập hợp
Chọn ngẫu nhiên ba số từ Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp
Lời giải Chọn D.
Số phần tử không gian mẫu là
Gọi là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”
là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”
+ Bộ ba số dạng , với : có bộ ba số
+ Bộ ba số có dạng , với : có bộ ba số
, đều có bộ
Câu 44: [1D2-5.5-3] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho đa giác
đều đỉnh Lấy ngẫu nhiên đỉnh Tính xác suất để đỉnh đó là đỉnh của tam giác vuông không cân
Trang 4Lời giải Chọn C.
Số cách chọn đỉnh
Gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều cạnh, đường tròn này có đường kính tạo thành từ đỉnh của đa giác đó
Chọn một đường kính bất kì, đường kính này chia đường tròn này thành phần, mỗi phần có đỉnh của đa giác
Khi đó mỗi phần có tam giác vuông không cân (trừ đỉnh chính giữa)
Vậy số tam giác vuông không cân được tạo thành từ đỉnh của đa giác là
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 8: [1D2-5.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Có mười cái ghế (mỗi
ghế chỉ ngồi được một người) được sắp trên một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào, mỗi học sinh ngồi đúng một ghế Tính xác suất sao cho không có hai ghế trống nào kề nhau
Lời giải Chọn D.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi là biến cố: “Xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào mười cái ghế sao cho không có hai ghế trống nào kề nhau”
Sắp ghế trống và đặt học sinh vào có cách
Giữa học sinh có khoảng trống ta chọn ra chỗ đặt cái ghế còn lại vào
có
Câu 36 [1D2-5.5-3] (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Đội thanh niên xung
kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có học sinh gồm học sinh khối , học sinh khối và học sinh khối Chọn ngẫu nhiên học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng Tính xác suất sao cho học sinh được chọn thuộc không quá hai khối
A B C D
Lời giải Chọn A.
Số phần tử không gian mẫu là
Số cách chọn ra học sinh thuộc cả ba khối là:
Số cách chọn ra học sinh thuộc không quá hai khối là
Trang 5Xác suất để chọn ra học sinh thuộc không quá hai khối là .
Câu 41 [1D2-5.5-3] [1D1-3] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Số giá trị nguyên của tham
số để phương trình có nghiệm là
Lời giải Chọn A
Phương trình có nghiệm khi
Vậy có giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm
Câu 42 [1D2-5.5-3] [1D2-3] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Lớp 11A có học sinh
trong đó có học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học
và Vật lí là
Lời giải Chọn B
Gọi là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí”
Mặt khác:
Câu 41 [1D2-5.5-3] [1D1-3] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Số giá trị nguyên của tham
số để phương trình có nghiệm là
Lời giải Chọn A
Phương trình có nghiệm khi
Vậy có giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm
Trang 6Câu 42 [1D2-5.5-3] [1D2-3] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Lớp 11A có học sinh
trong đó có học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học
và Vật lí là
Lời giải Chọn B
Gọi là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí”
Mặt khác:
Câu 34 [1D2-5.5-3] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Tập gồm các số tự nhiên có
chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là
Lời giải
Số phần tử của là Do đó, chọn ngẫu nhiên một số từ tập có (cách)
Vì số được chọn có 6 chữ số nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn
TH1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 4 số lẻ trước ta có cách
Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống của các số lẻ có cách
Trong trường hợp này có (số)
TH2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có cách
Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống của các số lẻ có cách
Trong trường hợp này có (số)
Vậy có tất cả số có 6 chữ số sao cho không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau
Xác suất cần tìm là
Trang 7Câu 34 [1D2-5.5-3] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Tập gồm các số tự nhiên có
chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là
Lời giải
Số phần tử của là Do đó, chọn ngẫu nhiên một số từ tập có (cách)
Vì số được chọn có 6 chữ số nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn
TH1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 4 số lẻ trước ta có cách
Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống của các số lẻ có cách
Trong trường hợp này có (số)
TH2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có cách
Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống của các số lẻ có cách
Trong trường hợp này có (số)
Vậy có tất cả số có 6 chữ số sao cho không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau
Xác suất cần tìm là
Câu 3: [1D2-5.5-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Một hộp
đựng thẻ được đánh số từ đến Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có
ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho lớn hơn Giá trị của k bằng
Lời giải
Gọi biến cố : Lấy tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho Với
Suy ra : Lấy tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho
Vậy là giá trị cần tìm
Câu 28: [1D2-5.5-3] (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Một tổ gồm học sinh
gồm học sinh nữ và học sinh nam Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra học sinh Xác suất để trong học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng:
Trang 8A B C D
Lời giải Chọn C.
Có cách chọn học sinh bất kì
Chọn học sinh mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ có các trường hợp
+ Có 3 học sinh nam: Có cách chọn
+ Có 2 học sinh nam, học sinh nữ: Có cách chọn
Xác suất cần tìm là
Câu 37: [1D2-5.5-3] (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Gọi là
tập hợp các sô tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số trong tập Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ sao cho số luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
Lời giải Chọn A.
Gọi số cần lập là
Không gian mẫu : Tập hợp số có chữ số đôi một khác nhau
Vì có cách chọn
không có chữ số ở có cách chọn
Biến cố : Số được chọn có đúng chữ số lẻ sao cho số luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
Số luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số không thể đứng ở hoặc Suy ra có cách sắp xếp chữ số
Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số (có sắp xếp) có cách chọn
Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào trong vị trí còn lại có
cách chọn
Còn lại vị trí, chọn từ số chẵn có cách chọn
Xác suất để xảy ra biến cố là
Câu 50 [1D2-5.5-3] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH-LẦN 3-2018) Chia ngẫu nhiên viên bi gồm
viên màu đỏ và viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần viên Xác xuất
để không có phần nào gồm viên cùng màu bằng
Lời giải Chọn A
Trang 9Cách 1: Vì xác suất không thay đổi khi ta coi ba phần này có xếp thứ tự , ,
Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ và viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần viên như sau:
Phần : Chọn viên cho phần có cách
Phần : Chọn viên cho phần có cách
Phần : Chọn viên lại cho phần có cách
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố không có phần nào gồm viên cùng màu, khi đó ta chia các viên bi thành
bộ như sau:
Bộ : đỏ, xanh: Có cách chọn
Bộ : đỏ, xanh: Có cách chọn
Bộ : gồm các viên bi còn lại( đỏ, xanh)
Vì bộ và có các viên bi giống nhau để không phân biệt hai bộ này nên có sắp xếp bộ vào 3 phần trên
Cách 2: Mã hóa:
viên bi đỏ giống nhau là , , , 1
viên bi xanh giống nhau là , , , ,
Xếp phần tử hàng ngang có (cách)
Một cách xếp thỏa yêu cầu là
o Hoán vị các nhóm có (do có nhóm giống nhau)
o Rồi hoán vị các số trong mỗi nhóm có:
Do đó biến cố có:
-HẾT -Câu 45 [1D2-5.5-3] (CHUYÊN LAM SƠN -LẦN 3-2018) Trò chơi quay
bánh xe số trong chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có nấc điểm: , , , , với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau Trong mỗi lượt chơi có người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau:
Nếu người chơi chọn quay lần thì điểm của người chơi là điểm quay được
Nếu người chơi chọn quay lần và tổng điểm quay được không lớn hơn thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được
Nếu người chơi chọn quay lần và tổng điểm quay được lớn hơn thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi
Trang 10Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau
sẽ chơi lại lượt khác
An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này
Lời giải Chọn B
Để Bình thắng ta có ba trường hợp
Trường hợp 1 Bình quay một lần ra điểm số lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp
Do đó xác suất là Trường hợp 2 Bình quay lần đầu ra điểm số là , ta có 15 khả năng
Do đó xác suất là
Khi đó để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp
Do đó xác suất là Vậy xác suất để Bình thắng ngay trong lượt là
Cách 2:
TH1: Bình quay một lần và thắng luôn
Vì An quay ở vị trí nên Bình chỉ có thể quay vào trong số vị trí để có thể thắng
TH2: Bình quay hai lần mới thắng
Nghĩa là lần một Bình quay được kết quả nhỏ hơn hoặc bằng và quay tiếp để tổng hai lần quay lớn hơn đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng
Giả sử lần Bình quay được điểm, lần quay được điểm Cần có:
Khi đó: Chọn có cách, chọn có cách
Suy ra chọn cặp có cách
Không gian mẫu cho TH2 có cách Do đó
Câu 40: [1D2-5.5-3] (THPT TRẦN NHÂN TÔNG QUẢNG NINH-LẦN 1-2018) Một thí sinh tham
gia kì thi THPT Quốc gia Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng câu Trong câu còn lại chỉ có câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai Do