Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính đa
Trang 1Câu 7112 [2H2-2.7-3] (THPT Chuyên SPHN -2017) Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể
tích , cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
Lời giải Chọn C
Số mét vuông tôn cần ít nhất là
Câu 7132 [2H2-2.7-3] (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT -2017) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt
nằm ngang, có chiều dài bồn là , có bán kính đáy , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị )
Lời giải Chọn A
B A
H O C
Suy ra diện tích hình quạt là:
Trang 2Vậy diện tích hình viên phân cung AB là
Suy ra thể tích dầu được rút ra:
Câu 7112 [HH12.C2.2.D07.c] (THPT Chuyên SPHN -2017) Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và
có thể tích , cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
Lời giải Chọn C
Số mét vuông tôn cần ít nhất là
Câu 7132 [HH12.C2.2.D07.c] (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT -2017) Một bồn hình trụ đang chứa dầu,
được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là , có bán kính đáy , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị )
Lời giải Chọn A
B A
H O C
Trang 3
Nhận xét suy ra là tam giác nửa đều.
Suy ra diện tích hình quạt là:
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là
Suy ra thể tích dầu được rút ra:
Câu 48 [2H2-2.7-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Từ một tấm tôn hình chữ nhật
kích thước và , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2 Tính tỉ số
Lời giải Chọn B
Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao ,
Suy ra
Theo cách 1: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao ,
Trang 4Vậy
Câu 38 [2H2-2.7-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Một đội xây dựng cần hoàn thiện
một hệ thống cột trụ tròn gồm chiếc của một ngôi nhà Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính đáy bằng Chiều cao mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm lượng vữa và cứ một bao xi măng kg thì tương đương với cm3 xi măng Hỏi số bao xi măng loại kg cần để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột gần với số nào sau đây đây nhất?
Lời giải Chọn A
Thể tích mỗi khối lăng trụ là
Thể tích của mỗi khối trụ tròn là
Thể tích lượng vữa cần cho mỗi cột trụ tròn là
Số bao xi măng để hoàn thiện hệ thống cột là
Câu 20: [2H2-2.7-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Một cốc nước hình trụ có chiều cao
, đường kính Mặt đáy phẳng dày , thành cốc dày Đổ vào cốc nước sau đó thả vào cốc viên bi có đường kính Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng
Lời giải Chọn C
Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc nước và thả vào cốc viên bi là:
Câu 27: [2H2-2.7-3] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung
tích Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất
Lời giải Chọn A
Thể tích khối trụ có bán kính chiều cao là:
Trang 5Đẳng thức xảy ra
Câu 26: [2H2-2.7-3] (THPT TIÊN LÃNG) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều
có chiều cao bằng Trong đó, cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng , cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn cây cột đó Nếu giá của một loại sơn giả đá là (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?
Lời giải Chọn D.
Diện tích xung quanh của mỗi một cây cột trước đại sảnh là
Diện tích xung quanh của mỗi cây cột đường kính là:
Câu 31: [2H2-2.7-3] (CỤM 7 TP HỒ CHÍ MINH) Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một
hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tích
của bồn chứa nước là Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị
Lời giải Chọn
Gọi là đường sinh hình trụ
đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy đường sinh
và thể tích khối cầu có bán kính
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
Câu 30: [2H2-2.7-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Một chiếc cốc hình trụ có
đường kính đáy , chiều cao chứa đầy nước Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc Khi
đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng
Trang 6A B C D
Lời giải Chọn C
Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích của hình phẳng ta có:
Cách khác là dùng diện tích hình elip
Câu 1355: [2H2-2.7-3] [Cụm 1 HCM - 2017] Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng
hình trụ có nắp với dung tích bằng , bán kính đáy , chiều cao (xem hình bên) Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất Khi đó, kích thước của và gần bằng số nào nhất trong các
số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?
Trang 7C và D và
Lời giải Chọn D
Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là (với )
Bảng biến thiên
f x
f x
Dựa vào bảng biến thiên ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi suy ra
Câu 33: [2H2-2.7-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng
hình trụ, chiều cao của nồi là cm, diện tích đáy cm2 Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp)
A Chiều dài cm, chiều rộng cm B Chiều dài cm, chiều rộng cm
C Chiều dài cm, chiều rộng cm D Chiều dài cm, chiều rộng cm
Lời giải
Chọn A
Suy ra chu vi đáy là:
Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm để làm thân nồi đó
Câu 41: [2H2-2.7-3](CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Để chào
mừng năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là cm và chiều cao cổng là m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng
Lời giải Chọn D
Trang 8Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng lần ta được hình chữ nhật
Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí cột là
Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là:
D
A
Câu 260 [2H2-2.7-3] [NGUYỄN TRÃI – HD -2017] Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
, đường kínhđáy , lượng nước trong cốc cao Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy
2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc)
Lời giải Chọn A
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là Chiều cao của phần nước dâng lên là thỏa mãn: nên
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là cm
Câu 45 [2H2-2.7-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một hộp đựng
thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối trụ có chiều cao
Hướng dẫn giải Chọn B
Trang 9I K
A
D O
H E
Vì nếu xếp toàn bộ các hàng viên thì chỉ xếp được hàng nên số viên phẩn xếp được là
(viên)
Còn nếu xếp toàn bộ các hàng viên thì cũng chỉ xếp được hàng nên số viên phẩn xếp được là
(viên)
Do đó để xếp được nhiều nhất ta xếp tối đa các viên phấn vào một cạnh chiều rộng của hộp thì được viên, để xếp nhiều nhất có thể thì hàng tiếp theo ta xếp xen kẽ viên, rồi lại xen kẽ hàng tiếp theo viên như trên hình vẽ ( xét góc nhìn từ phía trên hộp xuống)
Ta qui ước xếp hàng viên và hàng viên liên tiếp từ đầu là một cặp
Do đó ta xếp cặp trước thì diện tích khoảng trống còn lại sau khi xếp cặp này là:
vừa đủ xếp cặp
Câu 44: [2H2-2.7-3] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Ông An làm lan
can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực Miếng kính này là một phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên dưới
Trang 10Biết , ( là điểm chính giữa cung ) và Biết giá tiền loại kính này là đồng cho mỗi mét vuông Số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải trả là:
Lời giải
Chọn D
E
O
Gọi là tâm đường tròn đáy của hình trụ Do
Diện tích xung quanh của hình trụ là
Mặt kính làm lan can có diện tích là
Câu 22: [2H2-2.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có cây cột
hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng , sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là (kể cả vật liệu sơn và thi công) Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền
để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy )
Lời giải Chọn A
Cột lớn dạng hình trụ có chiều cao , đáy là đường tròn có bán kính nên mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là:
Cột nhỏ dạng hình trụ có chiều cao , đáy là đường tròn có bán kính nên mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là:
Diện tích cần sơn cho hai cột lớn và sáu cột nhỏ là:
Trang 11Vậy số tiền cần phải bỏ ra là: 380.000 (đồng).
luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.Muốn thể tích khối trụ đó bằng và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính bằng
Lời giải Chọn B
thước như hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa)
Lời giải Chọn B
Diện tích vành nón và đỉnh nón là diện tích hình tròn đường kính
Diện tích thân nón là diện tích của hình trụ có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng là:
hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn
Trang 12chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là cho trước Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là
Lời giải Chọn C
h
R h
Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ
Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật
Thể tích không đổi
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Câu 7112 [2H2-2.7-3] (THPT Chuyên SPHN -2017) Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể
tích , cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
Lời giải Chọn C
Trang 13Số mét vuông tôn cần ít nhất là
Câu 7132 [2H2-2.7-3] (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT -2017) Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt
nằm ngang, có chiều dài bồn là , có bán kính đáy , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị )
Lời giải Chọn A
B A
H O C
Suy ra diện tích hình quạt là:
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là
Suy ra thể tích dầu được rút ra:
Trang 14Câu 7339: [2H2-2.7-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2 - 2017] Một cốc nước có dạng hình trụ đựng
nước chiều cao , đường kính đáy , lượng nước trong cốc cao Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc)
Lời giải Chọn B
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là Chiều cao của phần nước dâng lên là thỏa mãn: nên
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là cm