D06 toán max min liên quan khối nón muc do 3

Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?. Lời giải Chọn A Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn.. Khi đó

Trang 1

Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính phải làm một cái phễu

bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

Lời giải Chọn A

Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau:

Gọi là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).

Khi đó

Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là

Thể tích khối nón sẽ là:

Đến đây các em đạo hàm hàm tìm được GTLN của đạt được khi

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:

Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích với chiều cao

là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:

Lời giải Chọn B

Thể tích của cốc:

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

(theo BĐT Cauchy)

Trang 2

nhỏ nhất

Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình

vẽ Chiều cao của chiếc cốc là , bán kính đáy cốc là , bán kính miệng cốc là Một con kiến đang đứng ở điểm của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

Lời giải Chọn D

Đặt lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ và cung lớn

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được:

.

Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được

Ghi chú Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung tại điểm nào khác B, tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của tại B Điều này tương đương với

Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).

Trang 3

Câu 470: [HH12.C2.1.D06.c] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính phải làm một cái

phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

Khi đó

Câu 486: [HH12.C2.1.D06.c] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích với

chiều cao là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:

(theo BĐT Cauchy)

Trang 4

nhỏ nhất

Câu 501: [HH12.C2.1.D06.c] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược

như hình vẽ Chiều cao của chiếc cốc là , bán kính đáy cốc là , bán kính miệng cốc

là Một con kiến đang đứng ở điểm của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được

dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

.

Câu 43: [2H2-1.6-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho

mặt nón tròn xoay đỉnh đáy là đường tròn tâm có thiết diện qua trục là

Trang 5

một tam giác đều cạnh bằng , là hai điểm bất kỳ trên Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 42 [2H2-1.6-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép

bán kính , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là Tìm để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.

Chu vi đường tròn đĩa là:

Chu vi đường tròn đáy của hình nón là:

Bán kính đường tròn đáy hình nón là:

Chiều cao của hình nón là:

Trang 6

Thể tích khối nón là:

.

Câu 43: [2H2-1.6-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu

nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu Tìm chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính cho trước.

Gọi chiều cao của hình nón là , Gọi bán kính đáy của hình nón là ta có

.

Mặt khác ta lại có

Câu 40: [2H21.63] (THPT Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1 2017 2018

-BTN) Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình

tròn đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể) Gọi là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm để thể tích phễu lớn nhất?

Trang 7

A B C D .

Lời giải Chọn C

Dựa vào hình vẽ, độ dài cung lớn bằng , bán kính hình nón

Đường cao của hình nón

Thể tích khối nón (phễu)

Dấu bằng xảy ra khi Vậy thể tích phễu lớn nhất khi

.

Câu 1373: [2H2-1.6-3] [BTN 163 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích

với chiều cao là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:

(theo BĐT Cauchy).

Trang 8

Câu 2150 [2H2-1.6-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) -2017] Bạn A có một tấm bìa hình tròn

(như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau Gọi là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu Giá trị của để thể tích phễu lớn nhất là.

.

Không mất tính tổng quát ta chọn

Khi đó, hình nón có đường sinh bằng và chu vi đáy bằng (rad) nên có bán kính đáy bằng

Câu 273 [2H2-1.6-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình nón đỉnh , đáy là hình

tròn tâm , góc ở đỉnh bằng Trên đường tròn đáy, lấy điểm cố định và điểm di động Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất?

Trang 9

Gọi là bán kính đáy của hình nón.

Gọi là trung điểm của và đặt

Diện tích tam giác bằng

Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của thỏa yêu cầu.

Câu 274 [2H2-1.6-3] [2H2-4.1-3] [PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN-2017] Trong các hình nón nội tiếp một

hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.

Giả sử chóp đỉnh như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.

vuông tại Ta thấy là bán kính đáy của chóp, là chiều cao của chóp.

Trang 10

trên

Câu 275 [2H2-1.6-3] [CHUYÊN ĐH VINH-2017] Cho nửa đường tròn đường kính và điểm

thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi là hình chiếu vuông góc của lên Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải Chọn C

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục là

Đặt

Vậy lớn nhất khi khi

 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm

Câu 276 [2H2-1.6-3] [SỞ GD BẮC NINH-2017] Cho một hình nón có đáy là hình tròn tâm

Đường kính và đường cao Cho điểm thay đổi trên đoạn thẳng Mặt phẳng vuông góc với tại và cắt hình nón theo đường tròn Khối nón có đỉnh là và đáy là hình tròn có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Gọi là mặt phẳng qua trục của hình nón cắt hình nón theo thiết là tam giác , cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn theo thiết diện là tam giác , gọi là giao điểm của và Ta có: Do đó tam giác vuông cân tại Suy ra tam giác vuông cân tại Đặt

Thể tích khối nón có đỉnh là và đáy là hình tròn là:

.

Trang 11

Bảng biến thiên:

Câu 291 [2H2-1.6-3] Cho hình nón đỉnh , chiều cao là Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy

và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh đã cho (hình vẽ) Tính chiều cao của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết

Thể tích khối nón cần tìm là:

Trang 12

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là ;

.

Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính phải làm một cái phễu

bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

Khi đó

Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích với chiều cao

là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:

Trang 13

(theo BĐT Cauchy)

Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình

vẽ Chiều cao của chiếc cốc là , bán kính đáy cốc là , bán kính miệng cốc là Một con kiến đang đứng ở điểm của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

Trang 14

Câu 7358:[2H2-1.6-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2 - 2017] Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng

làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít nhất Tính ?

.

Câu 7369:[2H2-1.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng Lần 6 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy

hình nón có thể tích Với chiều cao và bán kính đáy là Tìm để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

Trang 15

A. B. C. D.

Ta có: suy ra độ dài đường sinh là:

Diện tích xung quanh của hình nòn là:

Áp dụng BDDT Cosi ta được giá trị nhỏ nhất là khi

tiêu thụ ít nhất:

Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất.

.

Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì .

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	6,13 MB