Sáng kiến kinh nghiệm trung học phổ thông này quý thầy cô sẽ có nguồn hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỚ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài Năm 2017 năm triển khai thi trắc nghiệm mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia Do để đạt kết cao cho thi môn tốn đòi hỏi học sinh ngồi việc có kiến thức vững vàng cần có kỹ linh hoạt làm thời gian ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, đòi hỏi em gặp toán cần linh hoạt lựa chọn cho cách giải nhanh lại phải xác Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán một hướng tốt để phát triển tư cho học sinh Phương pháp đã hàng loạt cơng trình nghiên cứu đánh giá cao kiến nghị phải phát triển mạnh mẽ hoạt động giảng dạy bộ môn nhà trường đặc biệt mơn tốn Ngày chương trình mơn tốn trường phổ thơng phương pháp hàm số đã ,đang thể rõ vai trò chủ đạo việc ứng dụng giải nhiều toán khác Trong kỳ thi THPT quốc gia năm câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng phương pháp hàm số một công cụ đắc lực để giải đặc biệt năm năm đồng thời Giải phương trình, bất phương trình mũ logarit, tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trò lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề ,chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn ,các em ln đặt câu hỏi “Tại nghĩ làm vậy” Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng kiến thức phương pháp hàm số cho học sinh thơng qua tốn mợt điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà phải có kiến thức vừa chun, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu mợt cách logíc chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học Tốn Khi học sinh, suy nghĩ toán nhỏ, nhờ hướng dẫn Thầy giáo đã giúp có tốn mới, lời giải mới.Và giúp tơi có phân tích hay, sâu sắc bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sáng tạo, có niềm tin vào mình.Vì song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh lên lớp, luôn coi việc bồi dưỡng lực tư tốn cho học sinh mợt cách trực tiếp gián tiếp thơng qua giải tốn Đặc biệt bồi dưỡng lực sử dụng phương pháp hàm số cho học sinh một nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng bục giảng, bàn tới vấn đề này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao nhất, em chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trò người điều khiến để em tìm đến đích lời giải Chính lẽ hai năm học 2015 - 2016 2016 - 2017, Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu đề tài “Phương pháp hàm sớ giải phương trình mũ logarit” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mợt mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em phát hướng giải phương trình mũ logarit mà sở dụng đến phương pháp hàm số, tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung giải tốn liên quan đến hàm số nói riêng Mặt khác sau nghiên cứu tơi có mợt phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì nghĩ làm vậy” Cung cấp cho học sinh cách sử dụng phương pháp hàm số việc giải phương trình mũ logarit Giới thiệu mợt số ví dụ minh họa giải phương trình mũ logarit bằng phương pháp hàm số Từ giúp học sinh nâng cao lực tư hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các tập sách giáo khoa môn toán THPT đề thi đại học năm gần phần phương trình mũ logarit 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Từ tài liệu tham khảo q trình giảng dạy tơi đúc rút hệ thống lý thuyết phương pháp hàm số nói chung để giải toán THPT đặc biệt vận dung vào phương trình mũ logarit 1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin Qua q trình giảng dạy thực tiễn, qua kênh thông tin khác giao tập, làm đề khảo sát theo chuyên đề từ có điều chỉnh ngày phù hợp với thực tiễn nhận thức học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần mũ logarit 1.4.3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Từ báo kết kiểm tra qua thống kê xử lý số liệu để biết hiệu sáng kiến từ đề giải pháp tối ưu cho cơng tác giảng dạy phần mũ logarít năm học tới II PHẦN NỘI DUNG Phương pháp hàm sớ giải phương trình mũ logarit 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm +) y = f(x) đồng biến (a, b) ⇔ f ' ( x ) ≥ với x ∈ (a, b) +) y = f(x) nghịch biến (a, b) ⇔ f ' ( x ) ≤ với x ∈ (a, b) f( x ) = f(a); Maxf( x) = f(b) +) y = f(x) đồng biến [ a; b ] Min [ a ;b ] [ a ;b ] f( x) = f(b); Maxf( x) = f(a) [1] +) y = f(x) nghịch biến [ a; b ] Min [ a ;b ] [ a ;b ] Chú ý: Nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh đợ giao điểm đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x) Nếu hàm số y ≥ , ∀ ∈(a, b) mà f(x) liên tục a b y ≥ ∀ ∈ [ a; b ] Bất phương trình f ( x) ≥ m ∀x ∈ I ⇔ Min f(x) ≥ m ∀x ∈ I Bất phương trình f ( x) ≤ m ∀x ∈ I ⇔ Max f(x) ≤ m ∀x ∈ I Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm x ∈ I ⇔ Max f(x) ≥ m ∀x ∈ I Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm x ∈ I ⇔ Max f(x) ≤ m ∀x ∈ I • Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu D phương trình f(x) = k có nghiệm x = x0 x = x0 nghiệm • Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu D, u(x), v(x) hàm số nhận giá trị tḥc D ta có: f [ u ( x ) ] = f [ v ( x ) ] ⇔ u ( x ) = v ( x ) • Nếu f(x) hàm số đồng biến(nghịch biến) y = n f ( x) đồng biến (nghịch biến), với f(x) >0 nghịch biến(đbiến), y= - f(x) nghịch biến (đồng biến) f ( x) • Tổng hàm đồng biến (nghịch biến) D đồng biến (nghịch biến) D • Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D một hàm đồng biến (nghịch biến) D • Phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m Nếu tập D hàm số y = f(x) đạt GTLN L, GTNN n phương trình f(x) = m có nghiệm n ≤ m ≤ l • Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực : - Tìm tập xác định phương trình - Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng mợt biểu thức - Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến (nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình • Để học sinh có kiến thức vững để giải toán dạng yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức sau: Phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m • Để giải tốn: Tìm giá trị tham số để phương trình (hoặc bất phương trình) có nghiệm ta thực bước sau: - Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) - Tìm tập xác định hàm số f(x) - Tính f’(x) - Lập bảng biến thiên hàm số miền D - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ từ áp dụng lý thuyết ta có đáp số tốn • Đối với phương trình có biểu thức phức tạp, ta đặt ẩn phụ thích hợp t = ϕ( x) , từ điều kiện ràng buộc x ta tìm điều kiện t ( với toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta thường dùng đánh giá bằng bất đẳng thức phải khảo sát hàm t = ϕ( x) (để tìm điều kiên xác biến mới t) • Sau đưa phương trình đã cho phương trình theo t lại sử dụng phương pháp hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Mũ logarit số vấn đề khó đối với học sinh nói chung với học sinh trường Lê Lai nói riêng Bởi tốn học phương trình mũ logarit coi phương trình siêu việt Khó khăn lớn học sinh vấn đề biến đổi mũ logarit nhiều cơng thức đồng thời phép biến đổi có điểm khác với biến đổi đại số Đặc biệt việc áp dụng phương pháp hàm số để giải toán mũ logarit lại trở nên khó khăn Thực tế kết kiểm tra trước áp dụng sáng kiến lớp 12 năm học 2015 – 2016 sau Lớp kiểm tra Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12C1 3% 40% 40% 17% Lớp 12C2 1% 30% 51% 18% Lớp 12C3 0% 15% 43% 40% Từ thực trạng tơi đã trăn trở tìm giải pháp để áp dụng cho lớp dạy năm học 2016 – 2017 nhằm giải khó khăn nâng cao chất lượng giải phương trình mũ logarit kỳ thi THPT săp tới 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ không chứa tham số Để giải phương trình mũ có nhiều phương pháp khác để tiếp cận lời giải Ở đề cập đến góc nhỏ, nhìn từ quan điểm hàm số để tiếp cận lời giải số phương trình, mà theo quan điểm riêng tơi tiếp cận theo hướng khác khó 1− x x2 −2 Ví dụ : Giải phương trình sau: 1−2 x x2 = 1 (1) − x − x2 − x2 1 − = − = 2( − ) từ Lời giải: Điều kiện x ≠ Ta nhận thấy x2 x2 x x ta có hướng biến đổi phương trình sau: 1− x 1− x 1− x 1− x 1 − x2 − x2 2 x x x2 x2 −2 = − ⇔2 −2 = − ÷ x 2 x x 1− x x2 1− x − x2 − 2x ⇔ + ÷ = x + ÷ (*) 2 x 2 x 1 Xét hàm số f(t) = 2t + t , f ' (t ) = 2t ln t + > Hàm f(t) đồng biến nên phương 2 − x2 trình (*) ⇔ f ÷ = x − 2x 1− x − 2x f ÷⇔ = ⇔ x = nghiệm [2] x x2 x 2 Ví dụ : Giải phương trình sau: x +3cos x − x Lời giải: Biến đổi phương trình sau: 2x +3cos x ⇔ 2x − 2x +3cos x + 4cos3 x = 7cos3 x ⇔ x + ( x + 3cos x ) = x 2 +3cos x + cos3 x − 2x 2 + 4cos3 x + 4cos3 x = 7cos3 x [5] = 7(4cos3 x − 3cos x) + ( x + 4cos3 x ) (*) Xét hàm số f (t ) = 2t + 7t , t ∈ R, f ' (t ) = 2t ln + > Hàm f(t) đồng biến R ⇔ f ( x + 3cos x) = f ( x + 4cos3 x) ⇔ x + 3cos x = x + 4cos x ⇔ cos3 x = ⇔ x = 7+ x2 x2 π = k 2π 47 x + 21 x3 +3 x 280 − 21x − x3 713 − 713 = x + 3x Lời giải: Điều kiện D = R | { 0; −3} Biến đổi phương trình sau Ví dụ : Giải phương trình sau 713 7+ x2 x2 − 713 47 x + 21 x3 + x 7 40 +1 + 280 − 21x − x 40 x2 x x +3 x = ⇔ 713 − 713 = 7 − 1÷ x + 3x x + 3x +1 x2 40 + 40 ⇔ 713 + + 1÷ = 713 x x +3 x + + ÷ (*) x + 3x x x Xét hàm số f (t ) = 713t + 7t , f ' (t ) = 713t ln 713 > 0, ∀t ∈ R nên hàm f(t) đồng biến R x = ⇔ x + x − 40 = ⇔ (*) ⇔ f + 1÷ = f + ÷⇔ + = + x + 3x x x x + 3x x x x = −8 Thoả mãn điều kiện đề [2] Nhận xét: Ba phương trình tḥc dạng phương trình 7 40 7 40 a h ( x )+ f ( x ) − a h ( x )+ f ( x ) = K [ f ( x) − g ( x) ] h( x ) a f ( x ) + a h ( x ) + = a f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) • Để áp dụng học sinh phải có kỹ biến đổi thành thạo phương trình để đưa phương trình hai dạng Sau xét hàm đặc trưng f(t) hàm f(t) đơn điệu tập xác định ,sử dụng tính chất: f(t1)=f(t2) t1=t2 • Một số phương trình sau biến đổi lại sử dụng đến tính chất :Nếu f(t) đơn điệu phương trình f(t)=k (k-hằng số ) có nghiệm 1 x −5 x −1 −e = − Ví dụ :Giải phương trình e (1) [4] 2x − x −1 Lời giải: Biến đổi phương trình sau 1 1 x −5 x −1 x −5 x −1 e −e = − ⇔e − =e − (*) 2x − x −1 2x − x −1 ' t t Xét hàm số f (t ) = e − , f (t ) = e + > 0∀t ≠ nên hàm f(t) dồng biến t t x = (*) ⇔ f ( x − ) = f ( x − ) ⇔ x − = x − ⇔ x = Ví dụ :Giải phương trình: 1 x + x + 3x + x = x + x + x − x + x − x + 17 (1) [2] Lời giải: Biến đổi (1) sau: x + x + 3x + x − ( 1 + x + x ) = −2 x + x − x + 17 x 1 + x + x ) ,g(x) = −2 x3 + x − x + 17 x dễ thấy f(x) đồng biến ,g(x) nghịch biến f(1) = g(1) nên x = nghiệm x x x x Đặt f(x) = + + + − ( Ví dụ : Giải phương trình 2016x +2017x =2.2015x Lời giải: Biến đổi phương trình sau x x 2016 2017 2016x +2017x = 2.2015x ⇔ ÷ + ÷ =2 2015 2015 x x 2016 2017 Xét hàm số f(x) = ÷ + ÷ 2015 2015 x x 2016 2016 2017 2017 + > nên f(x) đồng biến Ta có f’(x) = ÷ ln ÷ ln 2015 2015 2015 2015 0 2016 2017 f(0) = f(x) = ÷ + ÷ =2 2015 2015 Nên phương trình có nghiệm x =0 Qua ví dụ ta rút nhận xét: Hai ví dụ giải bằng việc sử dụng hai tính chất sau hàm số +) Nếu f(x) đơn điệu D, phương trình f(x) = k (k-hằng số) có nhiều mợt nghiệm +) Nếu f(x) hàm số đồng biến ,g(x) hàm số nghịch biến phương trình f(x) = g(x) có nhiều mợt nghiệm Một số phương trình mũ đơi việc tìm nghiệm trực tiếp khó khăn Ta phương trình có khơng q n nghiệm kết hợp với việc nhẩm n nghiệm từ kết luận số nghiệm phương trình Ta xét tốn sau Ví dụ : Giải phương trình 3x + 5x = x + Lời giải: Xét hàm số f(x) = 3x + 5x − x − Ta có: f ' ( x) = 3x ln + x ln − f ' ( x) = ⇔ g ( x) = 3x ln + x ln − = Nhận xét g(x) liên tục R: g(0).g(1) < nên g(x) = có nghiệm x0 (0;1) 2 f '' ( x) = 3x ( ln 3) + x ( ln ) > 0, ∀x > x0 ⇒ f ' ( x) > f ' ( x0 ) = ∀x < x0 ⇒ f ' ( x ) < f ' ( x0 ) = Ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) -∞ - x0 +∞ + f(x0) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = có khơng q nghiệm mà f(0) = f(1) = Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = [2] Nhận xét : Ngoài cách giải ,ta trình bày lời giải sau Xét hàm số f(x) = 3x + 5x − x − Ta có f ' ( x) = 3x ln + x ln − f '' ( x) = 3x ( ln 3) + x ( ln ) > với x nên f’(x) đồng biến R 2 f ' ( x) = +∞, lim f ' ( x) = −6 nên phương trình f’(x) = có nghiệm Lại có xlim →+∞ x →−∞ xo Ta có bảng biến thiên x -∞ x0 +∞ ’ f (x) + f(x) f(x0) Dựa vào bảng bién thiên ta thấy phương trình có nhiều hai nghiệm: f(0) = f(1) = Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = +)Trong tốn học sơ cấp có định lý Rơn (Role): Nếu f(x) hàm số lồi lõm miền D phương trình f(x)=0 có khơng q hai nghiệm D +)Do trương trình phổ thơng , học sinh không học chứng minh nội dung định lý Rơn nên cách trình bày lời giải toán phù hợp +)Trong toán học nhiều học sinh chứng minh bất đẳng thức làm quen với Bất đẳng thức Becnully Nội dung sau: a x ≥ ( a − 1) x + 1, x ≤ 0; x ≥ Nếu < a ≠ thì: x a ≤ ( a − 1) x + 1,0 ≤ x ≤ Dấu bằng xảy x = x = Chứng minh : Xét hàm số f(x) = ax-(a-1)x -1 Ta thấy f(x) liên tục R f’(x) = axlna-(a-1); f’’(x) = ax(lna)2 >0 với x thuộc R Từ suy phương trình f(x)=0 khơng có qua hai nghiệm, mà f(0) = f(1) = nên x = 0; x = hai nghiệm f(x) R 1 1 f ÷ = a − ( a − 1) − = − 2 2 suy dấu f(x) sau ( ) a − < 0∀a ≠ + - + x ≤ x ≤ f ( x) ≥ ⇔ ⇔ a x ≥ ( a − 1) x + ⇔ x ≥ x ≥1 f ( x) ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇔ a x ≤ (a − 1) x + ⇔ ≤ x ≤ Bất đẳng thức chứng minh [2] Từ kết chứng minh ta có x = x = x Hệ : ≤ a ≠ Ta có a = (a − 1) x + ⇔ ( Gọi phương trình Bécnuly) Áp dụng kết vào giải phương trình + Xét ( −∞;0] ∪ [ 1; +∞ ) 3x ≥ (3 − 1) x + ≥ (5 − 1) x + +Xét [ 0;1] x 3x ≤ (3 − 1) x + ≤ (5 − 1) x + x 3x + x = x + ⇒ 3x + 5x ≥ x + dấu bằng x = x = ⇒ 3x + 5x ≤ x + dấu bằng x = x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = [2] Nhận xét : Với ba cách giải ta thấy: hai cách giải hàm số tuý ban đầu hay (kể cách trình bày) Tuy nhiên dạy học, lớp có nhiều học sinh giỏi người thầy nên giới thiệu cho học sinh cách thứ ba Nó có tác dụng gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu sâu tốn học sơ cấp Từ giúp em thấy ta biết ít, ta nhiều Làm có nhiều ý nghĩa mặt giáo dục: Một rèn luyện cho học sinh tính khiêm tốn; Hai hình thành học sinh tính tò mò, khám phá cách giả mới, chưa hài lòng với làm được; Ba rèn luyện cho học sinh thói quen tự học,tự đọc qua sách ngồi kiến thức học lớp Từ hình thành học sinh - công dân tương lai có trách nhiệm vói mình, gia đình xã hội Khi áp dụng tính chất tính đơn điệu hàm số không nắm vững kiến thức, học sinh thường mắc sai lầm giải toán nên thường có kết luận nghiệm chưa xác Ta lấy thêm ví dụ mơ tả điều : Ví ụ Giải phương trình : 3x.2 x = 3x + x + (1) Sai lầm thường gặp học sinh : 2x +1 ' 2x + x , g ( x) = − ⇒ f ' ( x) = có hai nghiệm x1,x2 Ta có bảng biến thiên : x -∞ x1 x2 +∞ ’ f (x) + 0 + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) =0 có khơng q ba nghiệm Mặt khác ta có f (0) = f ( − ) = , f(-3).f(-2) 0 nên hàm số f(t) đồng biến (*) ⇔ f(2x2 +4mx+m+2) = f(x2+2mx+2) ⇔ 2x2 +4mx+m+2 = x2+2mx+2 ⇔ x + 2mx + m = (1) Bài toán quy Biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) thật đơn giản Nhận xét : Bài tốn ,ngồi cách giải ta làm sau Đặt a=2x2 +4mx+m+2; b= x2+2mx+2 suy a - b = x + 2mx + m (*) ⇔ 5b − 5a = a − b Nếu a< b ⇒ vt0 ⇒ phương trình vơ nghiệm Nếu a>b ⇒ Vt>0 , Vp Dùng phương pháp mũ hoá bằng cách đặt t = f ( x) = a t Dẫn đến phương trình f(t) = At+Bt = log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ t g ( x) = b Ví dụ 11 :Giải phương trình log +2 ( x + ) = log −1 ( x − 1) [1] ( x + ) , đồng biến ( x − 1) , nghịch biến D= ( 1;+∞ ) −1 Lời giải: D = ( 1;+∞ ) , Đặt f(x) = log g(x)= log Mà f ( 3) = g ( 3) ⇒ x = Ví dụ 12: +2 D = ( 1;+∞ ) nghiệm Giải phương trình 3log ( x + ) = 2log ( x + 1) 12 Lời giải: Điều kiện: x>-1 t t x + = 32t 1 8 3t 2t ⇒ 1+ = ⇔ ÷ + ÷ = Đặt =6t ⇒ 3t 9 9 x + = t t 1 8 Xét hàm số f(t) = ÷ + ÷ nhận thấy f(t) nghịch biến R 9 9 mà f(1) = nên t =1 nghiệm Từ ta có x = nghiệm Ví dụ 13 Câu 35 Hỏi phương trình 3x − 6x + ln( x + 1)3 + = có nghiệm phân biệt? A B C D [8] Lời giải: Phương trình đã cho có điều kiện x > - ta có phương trình mới 3x − 6x + 3ln( x + 1) + = Xét hàm số f ( x) = 3x − 6x + 3ln( x + 1) + (- ;+ ∞ ) f '( x) = 6x − + 6x − = nên f’(x) = có nghiệm x = ± x +1 x +1 Ta có bảng biến thiên: x -∞ f’(x) f(x) − -1 + || 2 +∞ - + ( x + x = log x (*) [2] -∞ +∞ Sử dụng máy tính ta tính được: f − ÷ f ÷ < nên phương trình có 2 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 14 : Giải phương trình 2log Lời giải: ( ) Điều kiện: x> (*) ) ( ) x + x = log x ⇔ log x + x = log x x + x = 6t (1) Đặt t= log x + x = log x ⇒ t x = (2) t t t t 2 Thế (2) vào (1) ta có 4t +2t =6t ⇔ ÷ + ÷ = ⇔ ÷ + ÷ = 6 6 3 3 t t 2 1 Xét hàm số f(t) = ÷ + ÷ nhận thấy f(t) nghịch biến R 3 3 ⇔ log ( ) mà f(1) = nên t = nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16 Nhận xét : 13 Đối với phương trình dạng : m log a f ( x ) = n log a g ( x) Gọi K bội số chung nhỏ m n.Đặt: m log a f ( x) = n log a g ( x) = kt ta đưa phương trình cho hệ phương trình x,t từ rút x từ hai phương trình ta phương trình dạng At+Bt =1 Để luyện tập ,ta giải phương trình sau ( x − 11 4/ log ( x + ) = log ( x ) ) ( 1/ log + x = log ( x ) ) 2/ log x − = log 3/ log ( x + ) = log ( x ) Chú ý : Đối với phương trình dạng log f ( x ) g ( x) = log a b (1) f ( x) = 0 < g ( x ) ≠ Nếu b=1 (1) ⇔ log f ( x ) g ( x) =0 ⇔ f ( x) > 0 < g ( x ) ≠ log b f ( x) log f ( x ) g ( x) = log a b ⇔ = log a b ⇔ log b f ( x) = log a b log b g ( x) log b g ( x) ⇔ log b f ( x) = log a g ( x) trở phương trình xét dạng Ví dụ 15 : Giải phương trình log x ( x + ) = log [9] Lời giải: Điều kiện: < x ≠ log ( x + ) log x ( x + ) = log ⇔ = log ⇔ log ( x + ) = log x log x Nếu b ≠ điều kiện t t x + = 5t 1 3 t t ⇒ + = ⇔ 2 ÷ + ÷ = Đặt t = log ( x + ) = log x ⇒ t 5 5 x = t t 1 3 Xét hàm số f(t) = ÷ + ÷ nhận thấy f(t) nghịch biến R 5 5 mà f(1) =1 nên t=1 nghiệm từ suy x=3 2.2.3.2 Phương trình dạng: log a ( f ( x) = k [ g ( x) − f ( x) ] g ( x) ) Ví dụ 16 : Giải phương trình log + x − x = ( − x ) x [2] Lời giải: Tập xác định x ≥ Biến đổi phương trình sau 14 ( + x3 x ⇔ log = x − x3 1+ x ) log + x − x = ( − x ) ) ( ) ( ) ( ) ( ⇔ log ( + x ) + ( + x ) = log ( + x ) + ( + x ) (*) ⇔ log + x − log + x = + x − + x 3 2 Xét hàm số f(t)= log t + 3t với t > ( ) ( f(t) đồng biến ( 0;+∞ ) x = 3 ⇔ f + x = f + x ⇔ + x = + x ⇔ (*) x =1 ) Nhận xét: Việc chuyển phương trình ban đầu phương trình (*) khơng đơn giản Học sinh phải có tư kỹ biến đổi Vì bồi dưỡng lực tư hàm việc làm cần thiết người thày Ví dụ 17 : Giải phương trình x2 + x + log = x + 21x + 14 [3] 2x + 4x + Lời giải: Nhận xét x + x + >0 , x + x + >0 Viết lại phương trình dưới dạng log ( x + x + 3) − log ( x + x + ) = ( x + x + ) − ( x + x + ) ⇔ log ( x + x + 3) + ( x + x + 3) = l og ( x + x + ) + ( x + x + ) (*) Xét hàm số f(t) = log t + 7t t>0,f(t) đồng biến tập xác định x = −2 f ( x + x + 3) = f ( x + x + ) ⇔ x + x + = x + x + ⇔ x = −1 Nhận xét :Cũng giống phương trình mũ, việc giải số phương trình logarit đơi phải sử dụng đến đạo hàm cấp hai để biết số nghiệm tối đa có phương trình, sau nhẩm nghiệm để suy kết quả: Ví dụ 18: Giải phương trình log 3log ( x − 1) − 1 = x [6] Lời giải: Điều kiện x > +1 y = log ( 3x − 1) x = log ( y − 1) Đặt y = log ( x − 1) ta có hệ phương trình dẫn đến phương trình sau: log ( x − 1) + x = log ( y − 1) +y (*) 15 +1 log t − + t t ∈ ; +∞ ( ) Xét hàm số f(t) = với ÷ +1 ’ > ∀ t t ∈ ; +∞ f (t)= thoả (*) ⇔ x = y ⇔ x − 3x + = ÷ ( 3t − 1) ln Đặt g(x) = x − x + , g’(x) = 2xln2 -3, g’(x)= x = x = x0 = log ln g’’(x)=2xln23 >0 suy g’(x) đồng biến Ta có bảng biến thiên sau x -∞ ’ g (x) g(x) - +∞ x0 + g(x0) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình g(x) = có không qúa hai nghiệm mà g(1) = g(3) = nên x = 1,x = hai nghiệm Nhận xét:Một số phương trình logarit sau đặt ẩn phụ để giải thông thường ,lại vận dụng phương pháp hàm số để giải Ta xét toán sau Ví dụ 19 : Giải phương trình : ( x + 1) log x + x log x − 16 = (1) [5] Lời giải: Điều kiện : x > 0, Đặt t = log3x (1) ⇔ (x+1) t2+4tx -16 =0 ∆ = x + 16 x + 16 = ( x + ) Phương trình có hai nghiệm t = ; t = −4 x +1 4 ⇔ log x = Nhận thấy y = nghịch biến ( 0;+∞ ) x +1 x +1 x +1 hàm g(x) = log x đồng biến ( 0;+∞ ) Mà f(3) = g(3) nên x = nghiệm Với t = Với t = - x = 3- Nhận xét : Sau đặt ẩn phụ phương trình (1) hai biến ,ta coi t ẩn ,x tham số Giải phương trình theo ẩn t sau quay trở tìm x.Điều kiện để giải phương trình hai biến biết thức Đenta phải số phương.Cách giải gọi cách đặt ẩn phụ khơng tồn phần Đây phương pháp giải chung cho loai phương trình mà học sinh gặp chương trình phổ thơng 2.3.4.Phương pháp hàm sớ giải phương trình logarit có chứa tham sớ: Ví dụ 20: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 4log 24 x − 2log x + − m = 16 có nghiệm tḥc đoạn ;4 A m ∈[2;3] C m ∈ ;15 4 11 B m∈[2;6] D m ∈ ;9 [7] 4 11 Lời giải: PT ⇔ log 22 x − 2log x + = m Đặt t = log x , x ∈ ;4 nên t ∈ [−1;2] 2 PT đã cho trở thành t − 2t + = m (*) Xét f (t ) = t − 2t + số đoạn [−1;2] f '(t ) = 2t − Bảng biến thiên: t -1 ’ f (t) + f(t) Từ bang biến thiên ta (*) có nghiệm t ∈[−1;2] f (t ) ≤ m ≤ max f (t ) ⇔ ≤ m ≤ [ −1;2] [ −1;2] Ví dụ 21 : Hỏi có giá trị m nguyên đoạn [-2017;2017]để phương trình log(mx) = 2log(x + 1) có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 [8] Lời giải: Điều kiện xác định: x > - phương trình đã cho trở thành x + 1) ( mx = ( x + 1) ⇔ m = = x + + Xết hàm số f ( x) = x + x + (-1;+ ∞ ) x f '( x ) = − x x −1 = nên f’(x) = x = ±1 Ta có bảng biến thiên x2 x Từ ta có giá trị m cần tìm m = m < nên có 2018 giá trị m thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ 22 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1;3 log 32 x + log 32 x + − 2m − = [3] Lời giải: Điều kiện x>0 Đặt t= 1≤ x ≤ 3 log 32 x + ≥ ⇒ log 32 x = t − Lại có ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ log 32 x + ≤ ⇔ ≤ t ≤ 17 Thay vào (1) ta có phương trình t2 + t - 2(m+1) =0 Bài tốn quy tìm m để phương trình t2 + t - = 2m có nghiệm thoả mãn 1≤ t ≤ Xét hàm số f(t) = t2 + t - với ≤ t ≤ ,f’(t) = 2t + > nên hàm đồng biến ≤ t ≤ phương trình có nghiệm f(1) ≤ 2m ≤ f(2) ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với m > phương trình sau ln có nghiệm x + mx + log = x − x + mx + − [4] ÷ ÷ 2x −1 x + mx + > Lời giải: Vì x + mx + ≥ nên điều kiện xác định : (*) 2 x − > Do m>0 nên (*) ⇔ x > PT ⇔ log 2 x + mx + + x + mx + = log ( x − 1) + x − (1) Hàm số: f ( x) = log t + t đồng biến ( 0; +∞ ) Nên (1) ⇔ x + mx + = x − ⇔ x + mx + = x − x + ⇔ m = 3x − − 1 = g ( x) Lập BBT hàm g(x) ; +∞ ÷ta thấy ∀m > 2 x phương trình g(x) = m ln có nghiệm x > 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Là dạng toán hay chủ đề thường gặp đề thi THPT quốc gia năm Do học sinh thường có tâm trạng lo lắng chưa nắm vững phương pháp hàm số đã nêu Tuy nhiên, giáo viên hướng dẫn em trình dạy em đã tự tin cảm thấy thích thú với chủ đề Đó coi mợt thành cơng đề tài Qua đã giúp em hăng say u bợ mơn Tốn hơnđồng thời tạo cho em tâm lí tự tin bước vào kỳ thi quan trọng Kết thúc đề tài đã tổ chức cho em học sinh lớp 12B8 12B7 làm một đề kiểm tra 45 phút với nợi dung tốn tḥc dạng có đề tài Đồng thời lấy lớp 12B4 ( Trường THPT Lê Lai) để làm lớp đối chứng với đề kiểm tra Kết khả quan, cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12B8( Thực nghiệm) 13% 50% 30% 7% Lớp 12B7( Thực nghiệm) 11% 50% 31% 8% Lớp 12B4( Đối chứng) 2% 15% 43% 40% 18 Rõ ràng đã có khác biệt hai đối tượng học sinh Như chắn phương pháp mà nêu đề tài đã giúp em phận loại dạng vận dụng tốt phương pháp hàm số việc giải tốn phương trình mũ logarit, giúp em tự tin học tập thi III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua ví dụ có mợt vài nhận xét sau : Khi giải phương trình mũ logarit có chứa tham số đưa ta giải toán tam thức bậc hai (như tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm có mợt nghiệm mợt khoảng biện luận số nghiệm mợt phương trình bậc hai mợt khoảng, đoạn đó) mà cách giải lựa chọn mợt hai cách sau : - Dùng định lí đảo dấu tam thức bậc hai - Dùng phương pháp hàm số Từ ví dụ thấy sức mạnh phương pháp hàm số lớn Song có phải sử dụng phương pháp hàm số không , câu trả lời không Vấn đề dặt cần biết dùng phương pháp Kinh nghiệm cho thấy đối với mà ta rút tham số theo ẩn mợt cách dể dàng dùng cách 3.2 Kiến nghị - Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãi đề tài giải để giáo viên tham khảo - Mở rợng khuyến khích việc mở lớp chun đề, ơn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện học sinh - Mong mn lín nhÊt cđa t«i thùc đề tài giúp em học sinh thấy phương pháp hàm số công cụ mạnh việc giải toán đặc biệt giải phương trình mũ logarit Đề tài tơi hẳn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ,đồng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tơi, để đề tài tơi hồn thiện hn./ Xin chân thành cảm ơn ! XC NHN CA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2017 ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Tác giả 19 Nguyễn Thị Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 – Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất - Nhà xuất Giáo dục, 2007 [2] Phương pháp giải toán Mũ – Logarit – Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí Nhà xuất Hà Nợi, 2003 [3] Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng mơn Tốn từ năm 2002 đến năm 2016 [4] Các phương pháp giải phương trình Mũ – Logarit loại hệ phương trình đại số - Huỳnh Cơng Thái - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012 [5] 630 tốn Đại số - Giải tích lớp 11 -Nguyễn Ngọc Anh, Trịnh Bằng Giang - Nhà xuất Trẻ, 2011 [6] Tuyển chọn 500 toán Đại số - Hà Văn Chương - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 [7] Đề khảo sát chất lượng khối 12 năm học 2016 – 2017 Sở GD&ĐT Thanh Hóa [8] Đề minh họa lần Bợ giáo dục đào tạo năm 2017 [9] Tham khảo một số tài liệu mạng internet - Nguồn: http://MathVN.com.vn - Nguồn: http://toanhoc247.edu.vn Danh mục các đề tài SKKN mà thân được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên Tên đề tài Sáng kiến Xếp Năm cấp loại Phương pháp tọa đợ hóa giải 2014-2015 tốn THPT “ Hướng dẫn học sinh nâng cao kỹ giải tốn hình 2015-2016 học khơng gian lớp 11 bản” Số, ngày, tháng, năm định công nhận, quan ban hành QĐ C QĐ số: 988/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2015 C QĐ số: 972/QĐ-SGD&ĐT ngày 28/11/2016 20 21 ... Phương pháp hàm sớ giải phương trình mũ logarit 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mợt mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em phát hướng giải phương trình mũ logarit mà sở dụng đến phương pháp hàm. .. sử dụng phương pháp hàm số việc giải phương trình mũ logarit Giới thiệu mợt số ví dụ minh họa giải phương trình mũ logarit bằng phương pháp hàm số Từ giúp học sinh nâng cao lực tư hàm số 1.3... giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ không chứa tham số Để giải phương trình mũ có nhiều phương pháp khác để tiếp cận lời giải Ở tơi đề cập đến