Về định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắc (Luận văn thạc sĩ)

Về định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắcVề định lý Van Der Waerden, số Ramsey và tập đơn sắc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Tổng quan lý thuyết số tổ hợp 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 1.1.2 Số Van der Waerden 1.1.3 Định lý Szemerédi 1.2 Hệ phủ đồng dư 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Giả thuyết Selfridge Schinzel số toán Số Ramsey tập đơn sắc 2.1 Số Ramsey 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất số Ramsey 2.1.3 Tiệm cận số Ramsey 2.1.4 Số Ramsey cho trường hợp tổng quát 2.2 Tập đơn sắc 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tập đơn sắc vấn đề liên quan Kết luận Tài liệu tham khảo 4 10 10 13 16 16 16 17 18 22 27 27 28 34 35 Mở đầu Lý thuyết số tổ hợp chủ đề nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết số Các kết lý thuyết số tổ hợp có nhiều ứng dụng nghiên cứu môn khoa học khác ứng dụng vào vấn đề thực tế Ngoài ra, nhiều vấn đề lý thuyết số tổ hợp đề cập đến đề thi học sinh giỏi tốn Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày số vấn đề lý thuyết số tổ hợp Cụ thể, luận văn trình bày Định lý Van der Waerden tồn cấp số cộng đơn sắc tập số tự nhiên liên tiếp tô màu, Định lý Szemerédi mật độ cấp số cộng tập hợp số tự nhiên liên tiếp, khái niệm hệ phủ đồng dư ứng dụng giải toán, số Ramsey tập đơn sắc toán tơ màu Ngồi phần kết luận, mở đầu tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày thành chương: Chương 1: Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Mục đích chương trình bày Định lý Van der Waerden, Định lý Szemerédi, nêu vài giá trị biết số Van der Waerden số vấn đề liên quan tới hệ phủ đồng dư Chương 2: Số Ramsey tập đơn sắc Mục đích chương trình bày khái niệm số Ramsey số kết số Ramsey, tập đơn sắc số vấn đề liên quan tới tập đơn sắc tốn tơ màu Luận văn hồn thành với hướng dẫn, bảo tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối đóng góp ý kiến sát thầy, cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên Qua luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn đến hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn thầy, trường Đại học Khoa học - Đại học thái nguyên góp ý sâu sắc, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành luận văn Tơn xin trân trọng cám ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh, tập thể sư phạm trường THPT Lý Thường Kiệt tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Chương Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Trong Chương 1, luận văn trình bày hai định lý, gồm Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi, vài giá trị biết số Van der Waerden khái niệm hệ phủ đồng dư Tài liệu tham khảo chương tài liệu [1], [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi hai định lý quan trọng lý thuyết số nghiên cứu cấp số cộng mật độ cấp số, đồng thời hai định lý tiền đề để tìm hiểu phát triển kết cấp số cộng Nhắc lại cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d khơng đổi Ta biểu diễn cấp số cộng dạng sau: a, a + d, a + 2d, , a + (m − 1)d, , đó: m số nguyên dương bất kỳ, a, d ∈ R, a gọi số hạng d gọi công sai cấp số cộng Với n số tự nhiên, ta kí hiệu [n] = {1, 2, , n} tập hợp số tự nhiên từ đến n Cho tập hợp X t ∈ N, X(t) = {A ⊂ X, |A| = t} , tức X(t) tập hợp gồm tập X có lực lượng t 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 Định lý Van der Waerden phát biểu rằng: Với hai số nguyên dương m, k cho trước tồn số nguyên N = N (m, k) cho với n ≥ N [n] tơ k màu ln tồn cấp số cộng đơn sắc độ dài m [n] Giả sử Định lý Van der Waerden chứng minh Do tập [n] tô k màu nên ta chia tập [n] thành k tập xác định k màu riêng biệt Theo Định lý Van der Waerden tồn tập k tập mà tồn cấp số cộng độ dài m Ta phát biểu lại Định lý Van der Waerden dạng sau: Định lý 1.1 Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có độ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp k lớp chứa cấp số cộng độ dài l Để chứng minh Định lý Van der Waerden, ta chứng minh định lý tổng quát hơn: Định lý 1.2 Cho trước dãy vô hạn số tự nhiên: t1 , t2 , , tq , (1.1) Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có dộ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp mà tồn dãy số c1 , c2 , , cl thỏa mãn diều kiện sau: (c2 − c1 ) : (c3 − c2 ) : : (cl − cl−1 ) = t1 : t2 : : tl−1 Nói cách ngắn gọn, l số lập nên cấp số cộng tổng quát độ dài l tạo dãy số (1.1) Định lý Van der Waerden trường hợp riêng Định lý 1.2 trường hợp t1 = t2 = · · · = tq = · · · = Chứng minh Định lý 1.2 Đặt số hạng dãy (1.1) đơn vị: t1 Dễ thấy Định lý 1.2 hiển nhiên với l = với k (bởi số n(k, l) nhận giá trị k + 1), tức tồn cấp số cộng dãy có độ dài 2, điều Giả sử định lý với số l ≥ k Đặt: q0 = 1, n0 = n(k, l), qs = (1 + t1 )ns−1 qs−1 , ns = n(k qs , l) > (1.2) Luận văn đủ file: Luận văn full ... phủ đồng dư Chương 2: Số Ramsey tập đơn sắc Mục đích chương trình bày khái niệm số Ramsey số kết số Ramsey, tập đơn sắc số vấn đề liên quan tới tập đơn sắc tốn tơ màu Luận văn hồn thành với hướng... Tổng quan lý thuyết số tổ hợp 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 1.1.2 Số Van der Waerden 1.1.3 Định lý Szemerédi... Waerden Định lý Szemerédi, vài giá trị biết số Van der Waerden khái niệm hệ phủ đồng dư Tài liệu tham khảo chương tài liệu [1], [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden