Về định lý van der waerden, số ramsey và tập đơn sắc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Tổng quan lý thuyết số tổ hợp 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 1.1.2 Số Van der Waerden 1.1.3 Định lý Szemerédi 1.2 Hệ phủ đồng dư 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Giả thuyết Selfridge Schinzel số toán Số Ramsey tập đơn sắc 2.1 Số Ramsey 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất số Ramsey 2.1.3 Tiệm cận số Ramsey 2.1.4 Số Ramsey cho trường hợp tổng quát 2.2 Tập đơn sắc 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tập đơn sắc vấn đề liên quan Kết luận Tài liệu tham khảo 4 10 10 13 16 16 16 17 18 22 27 27 28 34 35 Mở đầu Lý thuyết số tổ hợp chủ đề nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết số Các kết lý thuyết số tổ hợp có nhiều ứng dụng nghiên cứu môn khoa học khác ứng dụng vào vấn đề thực tế Ngoài ra, nhiều vấn đề lý thuyết số tổ hợp đề cập đến đề thi học sinh giỏi tốn Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày số vấn đề lý thuyết số tổ hợp Cụ thể, luận văn trình bày Định lý Van der Waerden tồn cấp số cộng đơn sắc tập số tự nhiên liên tiếp tô màu, Định lý Szemerédi mật độ cấp số cộng tập hợp số tự nhiên liên tiếp, khái niệm hệ phủ đồng dư ứng dụng giải toán, số Ramsey tập đơn sắc toán tơ màu Ngồi phần kết luận, mở đầu tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày thành chương: Chương 1: Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Mục đích chương trình bày Định lý Van der Waerden, Định lý Szemerédi, nêu vài giá trị biết số Van der Waerden số vấn đề liên quan tới hệ phủ đồng dư Chương 2: Số Ramsey tập đơn sắc Mục đích chương trình bày khái niệm số Ramsey số kết số Ramsey, tập đơn sắc số vấn đề liên quan tới tập đơn sắc tốn tơ màu Luận văn hồn thành với hướng dẫn, bảo tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối đóng góp ý kiến sát thầy, cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên Qua luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn đến hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn thầy, trường Đại học Khoa học - Đại học thái nguyên góp ý sâu sắc, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành luận văn Tơn xin trân trọng cám ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh, tập thể sư phạm trường THPT Lý Thường Kiệt tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Chương Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Trong Chương 1, luận văn trình bày hai định lý, gồm Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi, vài giá trị biết số Van der Waerden khái niệm hệ phủ đồng dư Tài liệu tham khảo chương tài liệu [1], [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi hai định lý quan trọng lý thuyết số nghiên cứu cấp số cộng mật độ cấp số, đồng thời hai định lý tiền đề để tìm hiểu phát triển kết cấp số cộng Nhắc lại cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d khơng đổi Ta biểu diễn cấp số cộng dạng sau: a, a + d, a + 2d, , a + (m − 1)d, , đó: m số nguyên dương bất kỳ, a, d ∈ R, a gọi số hạng d gọi công sai cấp số cộng Với n số tự nhiên, ta kí hiệu [n] = {1, 2, , n} tập hợp số tự nhiên từ đến n Cho tập hợp X t ∈ N, X(t) = {A ⊂ X, |A| = t} , tức X(t) tập hợp gồm tập X có lực lượng t 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 Định lý Van der Waerden phát biểu rằng: Với hai số nguyên dương m, k cho trước tồn số nguyên N = N (m, k) cho với n ≥ N [n] tơ k màu ln tồn cấp số cộng đơn sắc độ dài m [n] Giả sử Định lý Van der Waerden chứng minh Do tập [n] tô k màu nên ta chia tập [n] thành k tập xác định k màu riêng biệt Theo Định lý Van der Waerden tồn tập k tập mà tồn cấp số cộng độ dài m Ta phát biểu lại Định lý Van der Waerden dạng sau: Định lý 1.1 Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có độ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp k lớp chứa cấp số cộng độ dài l Để chứng minh Định lý Van der Waerden, ta chứng minh định lý tổng quát hơn: Định lý 1.2 Cho trước dãy vô hạn số tự nhiên: t1 , t2 , , tq , (1.1) Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có dộ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp mà tồn dãy số c1 , c2 , , cl thỏa mãn diều kiện sau: (c2 − c1 ) : (c3 − c2 ) : : (cl − cl−1 ) = t1 : t2 : : tl−1 Nói cách ngắn gọn, l số lập nên cấp số cộng tổng quát độ dài l tạo dãy số (1.1) Định lý Van der Waerden trường hợp riêng Định lý 1.2 trường hợp t1 = t2 = · · · = tq = · · · = Chứng minh Định lý 1.2 Đặt số hạng dãy (1.1) đơn vị: t1 Dễ thấy Định lý 1.2 hiển nhiên với l = với k (bởi số n(k, l) nhận giá trị k + 1), tức tồn cấp số cộng dãy có độ dài 2, điều Giả sử định lý với số l ≥ k Đặt: q0 = 1, n0 = n(k, l), qs = (1 + t1 )ns−1 qs−1 , ns = n(k qs , l) > (1.2) Ta chứng minh định lý với l + 1, tức số n(k, l + 1) lấy qk Giả sử đoạn dãy số tự nhiện có độ dài qk phân hoạch thành k lớp Hai số a b đoạn gọi loại chúng nằm lớp viết a ∼ b Hai đoạn (a, a + 1, , a + r) (a, a + 1, , a + r) có độ dài nằm đoạn gọi loại viết ∼ , a + j ∼ a + j, j = 0, 1, , r Rõ ràng đoạn có độ dài m, số loại khác k m Vì qk = (1 + tl )nk−1 qk−1 nên đoạn xem gồm hai phần không nhau: Phần bên trái dãy gồm nk−1 đoạn có độ dài qk−1 , phần bên phải dãy gồm tl nk−1 đoạn có độ dài qk−1 Ta nói đoạn có độ dài tạo nên cấp số cộng tổng quát cấp số lập nên số chúng Do định nghĩa số nk−1 nên ta khẳng định rằng: Phần bên trái đoạn chứa cấp số cộng tổng quát từ l đoạn loại với , , , l có độ dài qk−1 Ký hiệu khoảng cách đầu mút bên trái hai đoạn kề (tức hiệu hai số hai đoạn kề nhau) là: d1 , d1 t2 , , d1 tl−1 Đối với cấp số cộng tổng quát, từ đoạn loại ta gắn thêm vào phần tử thứ l + l+1 , phần tử khơng loại với phần tử đứng trước vượt phần tử đoạn , nằm đoạn Bây ta lấy phần tử i1 từ l phần tử cấp số cộng tổng quát, đoạn có độ dài qk−1 Ta tiến hành đoạn tương tự tiến hành với đoạn (tức coi đoạn dãy (1 + tl )nk−1 đoạn có độ dài qk−1 ) Do định nghĩa số nk−1 , ta khẳng định rằng, phần bên trái đoạn i1 bao gồm nk−1 đoạn có độ dài qk−2 chứa cấp số cộng tổng quát từ l đoạn loại i2 i2 (1 ≤ i2 ≤ l) có độ dài qk−1 Ta ký hiệu khoảng cách đầu mút trái hai đoạn kề i2 i2 là: d2 , d2 t2 , , d2 tl−1 Một lần nữa, ta lại nối thêm vào cấp số cộng tổng quát phần tử thứ l + rõ ràng phần tử nằm đoạn i1 Việc xây dựng tiến hành với tất đoạn i1 (1 ≤ i1 ≤ l + 1) tất đoạn ta lấy đoạn i2 i2 (1 ≤ i2 ≤ l + 1) theo vị trí tương ứng Bởi tất loại nên rõ ràng i2 i2 loại, ≤ i1 ≤ l, ≤ i2 ≤ l Quá trình xây dựng tiếp tục k lần Kết sau lần cuối ta nhận đoạn có độ dài q0 = 1, tức đoạn đơn giản mà cách tổng quát ta ký hiệu i1 i2 ik (1 ≤ i1 , i2 , , ik ≤ l+1) Như ta dễ thấy rằng, với ≤ s ≤ k, ≤ ir ≤ l, ≤ ir ≤ l(1 ≤ r ≤ s) (1.3) i1 i2 is ∼ i1 i2 is Hai nhận xét sau quan trọng phần lại chứng minh định lý 1) Giả sử: ≤ s ≤ k, ≤ ir ≤ l, ≤ ir ≤ l(1 ≤ r ≤ s), ≤ im ≤ l + (s + ≤ m ≤ k) Khi ∼ i1 i2 is is+1 ik i1 i2 is is+1 ik (1.4) Thật vậy, hai số đứng vị trí giống đoạn loại i1 i2 is i1 i2 is 2) Với số s ≤ k, is ≤ l, is = is + 1, đoạn i1 is−1 is i1 is−1 is đoạn kề bước xây dựng thứ s chúng ta, nên số is+1 , ik , số i1 i2 s−1 is is+1 ik i1 i2 s−1 is is+1 ik chiếm vị trí giống hai đoạn kề nhau, cho: i1 i2 s−1 is is+1 ik − i1 i2 s−1 is is+1 ik = ds tis (1.5) Để ngắn gọn, ta đặt l = l + Xét k + l số ar = · · · l · · · l , r = 0, 1, , k r (1.6) k−r Trong số đó, ta ln tìm hai số ar as nằm lớp (1.7) · · · 1l · · · l ∼ · · · 1l · · · l r s k−r k−s Xét số ar = · · · i · · · i l · · · l (1 ≤ i ≤ l ) r s−r (1.8) k−s Ta chứng minh chúng nằm lớp, tạo thành cấp số cộng tổng quát Thật vậy, số cl c1 loại (1.7), tất ci (i < l ) loại (1.4) Vì tất số ci (1 ≤ i ≤ l ) nằm lớp Phần lại, ta cần phải số lập thành cấp số cộng, tức là: (c2 − c1 ) : (c3 − c2 ) : · · · : (cl − cl ) = : t2 : · · · : tl (1.9) Để ngắn gọn, ta đặt i = i + Ta đưa vào xét số sau: · · · i · · · i i · · · i l · · · l (0 ≤ m ≤ s − r) ci,m = s m s−r−m k−s s−r Khi ci+1 − ci = (ci,m − ci,m−1 ) ci,0 = ci ci,s−r = ci+1 m=1 Nhưng (1.5) ta có ci,m −ci,m−1 = · · · i · · · i i · · · i l · · · l − · · · i · · · i i · · · i l · · · l = r m s−r−m k−s r m−1 s−r−m+1 k−s s−r dr+m ti , có nghĩa là: ci+1 − ci = dr+m ti m=1 s−r dr+m không phụ thuộc vào i, điều kiện (1.9) Nhưng m=1 thỏa mãn Do định lý chứng minh với giả thiết rằng, phần tử dãy số (1.1) đơn vị (tức 1) Nếu t1 khác đơn vị, ta xét dãy số sau đây: 1, t1 , · · · , tq , · · · (1.10) Khi l + số ci (i = 1, 2, · · · , l + 1) lập thành cấp số cộng tổng quát độ dài l + 1, tạo dãy số (1.10) nằm lớp, đương nhiên chứa l số lập thành cấp số cộng tổng quát độ dài l, tạo dãy số (1.1) nằm lớp Do định lý chứng minh 1.1.2 Số Van der Waerden Định nghĩa 1.1 Số tự nhiên nhỏ N = N (m, k) thỏa mãn Định lý Van der Waerden gọi số Van der Waerden, kí hiệu w(m, k) Một số giá trị xác w(m, k) Ta có w(m, 1) = m w(2, k) = k + Với giá trị khác k m, biết w(3, 2) = 9, w(4, 2) = 35, w(5, 2) = 178, w(6, 2) = 1132, w(3, 3) = 27 w(4, 3) = 76 Sau ta kiểm tra lại, chẳng hạn hai kết w(m, 1) = m w(2, k) = k + Thật vậy: +) w(m, 1) = m, tất phần tử [n] tô màu Như vậy, đặt N = m với n ≥ N, [n] tồn cấp ... hai Định lý Ramsey Định lý Van der Waerden muốn tìm tập đơn sắc phải tìm đươc số Van der Waerden số Ramsey Ở ta phát biểu Định lý Van der Waerden mạnh sau: "Cho m, k số tự nhiên Khi tồn số nguyên... [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi hai định lý quan trọng lý thuyết số nghiên cứu cấp số cộng mật độ cấp số, đồng thời hai định lý tiền... Tổng quan lý thuyết số tổ hợp 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 1.1.2 Số Van der Waerden 1.1.3 Định lý Szemerédi