Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)

Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Một số kết quả về đồng dư 3

1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ 7

1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Wilson 15

1.4 Ứng dụng giải một số bài tập 28

2 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 35 2.1 Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ 35

2.2 Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson 39

2.3 Một số chứng minh tổ hợp 44

2.4 Ứng dụng 50

Lời mở đầu

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,nổi tiếng trong toán học Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minhban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gầnđây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson Thông qua việc chứng minh

tổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiêncứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thế

kỷ qua

Mục đích nghiên cứu

Trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

và dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợpgần đây Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson

- Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

- Một số ứng dụng của hai định lý này

Dự kiến đóng góp

Từ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán họcvẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lýtrên trong suốt hai thế kỷ qua Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở

bậc Đại học

Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chươngchính

Chương 1 Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson

Chương 2 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụnghai định lý đó

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Đình Bình Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã thamgia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tạitrường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhấtcho tôi khi học tập và nghiên cứu

Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rấtmong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Tác giả

Bùi Thị Minh Hải

Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết số và

tổ hợp sẽ được sử dụng trong chứng minh của Định lý Fermat nhỏ và Định lýWilson Những chứng minh của định lý chính được sử dụng có thể được tìmthấy trong hầu hết các sách lý thuyết số và tổ hợp Những bổ đề quan trọng đãđược trình bày trong chương này

1.1 Một số kết quả về đồng dư

Trong mục này, tác giả trình bày một số kết quả về đồng dư, làm cơ sở đểchứng minh Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Những kết quả trong mục này được tác giả tham khảo từ [1],[2]

Định nghĩa 1.1.1 Cho a, b và m là các số nguyên, và m > 0 Nếu m|(a − b) thì

ta nói a đồng dư với b (mod m) và ta viết

a≡ b (mod m).

Các khái niệm về đồng dư lần đầu tiên được chính thức giới thiệu bởi Gauss

trong chương thứ nhất của cuốn Disquisitiones Aritmeticae Ông chọn kí hiệu

≡ bởi sự gần gũi của nó với đại số [5, p.65]

Bổ đề 1.1.2 Nếu ac ≡ bc (mod m) và gcd (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).

Bổ đề 1.1.3 (Định lý Nhị thức) Nếu n là số nguyên dương thì

Bổ đề 1.1.4 (Định lý đa thức) Nếu k1, k2, , km và n là các số nguyên không

âm sao cho với n ≥ 1 và k1+ k2+ + km= n, thì

Bổ đề 1.1.5 (Định lý phần dư Trung Hoa) Cho m1, m2, , mr với r ≥ 2 là các

số tự nhiên sao cho chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một và có tích bằng m Khi đó hệ r phương trình đồng dư tuyến tính:

Bổ đề 1.1.6 Nếu a và b là các số nguyên sao cho a ≥ b > 0, khi đó sẽ chỉ tồn

tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = qb + r và 0 ≤ r < b

Bổ đề 1.1.7 Cho v là bậc của x (mod N) Nghĩa là v là số nguyên dương nhỏ

nhất sao cho xv≡ 1 (mod N) Khi đó hệ {1, x, x2, , xv−1} là phân biệt (mod N)

và nguyên tố cùng nhau với N.

Bổ đề 1.1.8 Cho d = gcd(a, m) Nếu d|b, thì ax ≡ b (mod m) có chính xác d

Bổ đề 1.1.11 Nếu p là số nguyên tố và 1 ≤ k ≤ p − 1 khi đó p− 1

k

!

≡(−1)k (mod p).

!

= pk

!

− p− 1

k− 1

!

đó r, r2, , rϕ (n) đồng dư mođun n với r1, r2, , rϕ (n) theo thứ tự, với ϕ(n) là

số các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.

Bổ đề 1.1.13 Số nguyên n > 1 có căn nguyên thủy khi và chỉ khi n = 2, 4, pe

hoặc 2pe với p là số lẻ, với căn nguyên thủy của n được định nghĩa như sau: Nếu r, n là các số nguyên tố cùng nhau, n > 0 và nếu ordn= ϕ(n) được gọi là

căn nguyên thủy modunlo n.

Bổ đề 1.1.14 (Công thức Euler) Cho a và n là các số nguyên không âm với

a≥ n Khi đó

n! = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− n

3

!(a − 3)n

+ + (−1)n n

n

!(a − n)n

Công thức Euler gốc được chứng minh theo phương pháp quy nạp Chứngminh dưới đây sử dụng nguyên lý Bù - Trừ

Chứng minh (How and Turnage, 2007) Ban đầu ta đếm số cách khác nhau để

đặt n vật khác nhau vào trong a ô khác nhau, với điều kiện n ô đầu tiên khôngđược phép để trống và n ≤ a Khi đó sẽ có n cách chọn với ô đầu tiên, n − 1cách chọn với ô thứ hai Tiếp tục như vậy sẽ có n! cách để đặt vật vào trong các

ô Bây giờ ta sẽ tìm câu trả lời theo một cách khác

Đầu tiên, xét tập U là tập bao gồm tất cả cách sắp xếp của các vật khác nhauvào trong các ô khác nhau không có sự hạn chế Khi đó |U | = an, vì với mỗi nvật sẽ có a cách chọn đối với một ô

Gọi Pi là tính chất mà ô thứ i rỗng Sử dụng nguyên lý Bù - Trừ, ta phânphối các vật vào trong các ô không chứa bất kì tính chất nào trong các tính chất

P1, P2, , Pn Gọi N(Pi0) là số cách phân phối không chứa tính chất Pi và N(Pi)

là số cách phân phối chứa tính chất Pi Khi đó sử dụng nguyên lý Bù - Trừ

đó sẽ có (a − 1)n cách sắp xếp n vật vào a − 1 ô còn lại Do đó ∑ N(Pi) =n

3

!(a − 3)n và tiếp

tục như vậy Do đó tổng quát với k = 1, 2, , n sẽ có n

k

!cách chọn k của tínhchất và khi đó có (a − k)n cách sắp xếp n vật vào trong (a − k) ô Do đó

N(P10P20· · · Pn0) = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− · · · + (−1)n n

n

!(a − n)n,hay suy ra

n! = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− · · · + (−1)n n

n

!(a − n)n

1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ

Định lý 1.2.1 (Định lý Fermat nhỏ) Nếu p là số nguyên tố, a là một số nguyên

và gcd(a, p) = 1 thì ap−1≡ 1 (mod p).

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trongkiểm tra Fermat

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full