Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh của định lý Steiner Lehmus (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————— TRẦN VĂN LAI MỘT SỐ CHỨNG MINH CỦA ĐỊNH LÝ STEINER - LEHMUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN LAI MỘT SỐ CHỨNG MINH CỦA ĐỊNH LÝ STEINER - LEHMUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Mở đầu ii Các chứng minh hình học Định lý Steiner - Lehmus 1.1 L Kopeikina 1.2 V Bolchianxki 1.3 D Beran 1.4 K R S Sastry 1.5 A I Fetisov 1.6 A Berele & J Goldman 1.7 G Gilbert & D MacDonnell 1.8 R W Hogg 13 1.9 Một số chứng minh khác 14 Các chứng minh lượng giác Định lý Steiner - Lehmus 24 2.1 K Seydel & C Newman 24 2.2 M Hajja (I) 26 2.3 M Hajja (II) 28 2.4 R Oláh - Gál & J Sándor 31 2.5 W Chau 40 Một số định lý toán tương tự 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 i Mở đầu Năm 1840, giáo viên phổ thông người Đức Berlin Daniel Christian Ludolph Lehmus (1780-1863) gửi thư cho nhà tốn học Jacques Charles Fran¸cois Sturm, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pháp với đề nghị đưa chứng minh hình học cho khẳng định "Một tam giác cân (là tam giác có hai cạnh nhau) tam giác có hai đường phân giác nhau" Tuy nhiên, C Sturm không đưa chứng minh, thông báo toán cho nhà toán học khác Người chứng minh toán nhà hình học tiếng người Thụy Sỹ Jakob Steiner (1796-1863) Vì vậy, sau người ta lấy tên hai nhà toán học Steiner Lehmus để đặt tên cho định lý Trong chứng minh Định lý trên, J Steiner sử dụng cơng thức tính độ dài đường phân giác thông qua độ dài cạnh tam giác, phương pháp biến đổi đại số Qua đó, ơng chứng minh tam giác có hai cạnh Bổ đề (Độ dài đường phân giác): “Trong tam giác ABC, với BC = a; CA = b; AB = c; độ dài đường phân giác AD, BE, CF tam giác tính công thức: AD = a bc − b+c ; BE = b c+a ca − ; CF = ab − c a+b Áp dụng Bổ đề vào chứng minh Định lý sau Giả sử tam giác ABC có hai đường phân giác BE, CF nhau, tức BE = CF ⇔ ca − ⇔ ca − b c+a b c+a = c a+b ab − = ab − c a+b ii 2 ⇔c 1− b c+a =b 1− c a+b b c =0 − (c + a) (a + b)2 (b3 − c3 ) + a2 (b − c) + 2a(b2 − c2 ) ⇔ (b − c) + bc =0 (c + a)2 (a + b)2 (b2 + bc + c2 ) + a2 + 2a(b + c) =0 ⇔ (b − c) + bc (c + a)2 (a + b)2 ⇔b−c=0 ⇔ (b − c) + bc ⇔ b = c Vậy tam giác ABC cân A Mặc dù Định lý chứng minh Steiner, song cách chứng minh mà ông đưa chưa thỏa mãn người u tốn chưa thực "thuần túy hình học" Bởi thế, nhiều nhà tốn học cố gắng tìm kiếm chứng minh mới, hay hơn, thú vị Hơn 150 năm trôi qua, nhiều phép chứng minh nối tiếp đời Cho đến ngày nay, Định lý có 80 cách chứng minh khác nhau, có chứng minh người biết đến, có chứng minh tìm thời gian gần Với khát khao vươn tới đẹp, Định lý chắn khơng dừng lại đây, có sức hấp dẫn lớn nhà toán học nói riêng người u tốn nói chung Nhờ phát biểu đơn giản có chứng minh đẹp, ngắn gọn, Định lý số lần chọn làm đề thi học sinh giỏi Việt Nam Luận văn "Một số chứng minh của Định lý Steiner- Lehmus" có với mục đích mơ tả tranh sinh động Định lý với lịch sử chứng minh phát toán học Hy vọng thú vị cho u thích vẻ đẹp chứng minh kết toán học Luận văn gồm chương Chương I: Trình bày số chứng minh hình học Định lý SteinerLehmus Chương II: Trình bày số chứng minh lượng giác Định lý SteinerLehmus Chương III: Trình bày số định lý tốn tương tự Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy iii Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Và cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ suốt thời gian qua Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Trần Văn Lai iv Chương Các chứng minh hình học Định lý Steiner - Lehmus 1.1 L Kopeikina Định lý Steiner-Lehmus nhiều năm liền cho tập thầy Câu lạc Toán học trực thuộc Khoa Tốn trường Đại học Tổng Hợp Matxcơva khơng biết chứng minh Cuối cùng, vào năm 1939, nữ sinh lớp 10 Matxcơva tên Lida Kopeikina [1] (đã trở thành Phó Giáo Sư vào năm 1960) tìm cách chứng minh định lý Steiner - Lehmus đơn giản sau đây: Giả sử hai đường phân giác AN BP Kẻ M N P Q song song với AB , cắt AC BC theo thứ tự M Q (Hình 1.1) Hình 1.1 Chứng minh M N P Q trùng phản chứng Giả sử M N gần AB P Q, M N > P Q Do P BQ = P BA = BP Q nên P BQ tam giác cân, suy P Q = QB Tương tự AM = M N Hai tam giác cân P BQ AM N có cạnh đáy nhau, cạnh bên P Q < M N nên P QB > AM N suy QBA < M AB , từ suy hình thang AM N B có AM < BN mà AM = M N, P Q = QB, M N > P Q, QB > BN, dẫn đến mâu thuẫn Điều mâu thuẫn chứng tỏ M N P Q trùng Khi AM N B hình thang cân nên CAB = CBA hay 1.2 ABC tam giác cân V Bolchianxki Một năm sau chứng minh Lida Kopeikina (năm 1940) học sinh lớp Matxcơva tên Volodia Bolchianxki [1] sau Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Bang Nga, tác giả nhiều cơng trình quan trọng tốn học phương pháp dạy tốn, tìm cách chứng minh khác đẹp Giả sử O giao điểm hai đường phân giác AN BM (Hình 1.2) Hình 1.2 Khi CO phân giác ACB Xét hai tam giác AN C BM C có ACB chung, AN = BM , đường phân giác đỉnh C CO chung hai tam giác AN C BM C Để làm điều ta vẽ đường tròn ngoại tiếp AN C với đường kính DF vng góc với AN trung điểm AN Vẽ dây cung AC cho N AC = CBM C , C nằm phía đường thẳng AN Ta có AC N = ACN (góc nội tiếp chắn dây cung AN) nên AN C = 180o − AC N − N AC = 180o − ACN − CBM = BM C , suy BM C = AN C (cạnh - góc - cạnh) (*) AN cắt DC DC theo thứ tự O O Nếu C khác C , chẳng hạn cung DC bé cung DC’ DO > DO Do DC < DC nên CO < C O , điều mâu thuẫn với giả thiết CO = C O Chứng minh tương tự cung DC lớn cung DC’ Vậy C trùng với C , từ (*) suy BC = AC hay ABC tam giác cân 1.3 D Beran Chứng minh David Beran trình bày [4] Giả thiết BD CE hai đường phân giác tương ứng góc B góc C ABC, BD = CE Lấy F điểm nằm đối diện với C qua cạnh BD thỏa mãn đồng thời hai điều kiện DF = BC BDF = C (Hình 1.3) Hình 1.3 Dễ dàng nhận thấy BDF = ECB (cạnh - góc - cạnh), suy BF = EB BEC = F BD B Hơn nữa, BEC góc ngồi tam giác AEC nên BEC = EAC + ACE hay C C A+B+C A A B BEC = A + , ta có F BC = A + + = 90o + + = 2 2 2 B C A+B+C A A Tương tự: CDF = CDB + BDF = A + + = + = 90o + 2 2 Ta có: F BC = F BD + BDC = BEC + Từ suy F BC = CDF Xét hai tam giác tù: F BC CDF có (i) F C cạnh chung, (ii) F BC = CDF , (iii) DF = BC (theo cách dựng) Suy cặp cạnh tương ứng lại nhau, nghĩa BF = DC Mặt khác, ta BF = EB nên DC = EB , từ ta dễ dàng có BEC = CDB (cạnh - cạnh - cạnh), suy B = C hay ABC tam giác cân 1.4 K R S Sastry Dưới trình bày chứng minh K R S Sastry [12] Giả thiết: BE CF hai đường phân giác tương ứng góc B góc C ABC, BE = CF Phản chứng: ABC tam giác cân hay AB = AC, chẳng hạn C B AB < AC Từ bất đẳng thức AB < AC kéo theo C < B hay < a Để ý rằng, 2 C B BEC CBF có chung cạnh BC , BE = CF < , suy CE > BF 2 Lấy điểm G cho tứ giác BF GE hình bình hành (Hình 1.4) ... giản có chứng minh đẹp, ngắn gọn, Định lý số lần chọn làm đề thi học sinh giỏi Việt Nam Luận văn "Một số chứng minh của Định lý Steiner- Lehmus" có với mục đích mơ tả tranh sinh động Định lý với... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN LAI MỘT SỐ CHỨNG MINH CỦA ĐỊNH LÝ STEINER - LEHMUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa... chứng minh phát tốn học Hy vọng thú vị cho yêu thích vẻ đẹp chứng minh kết toán học Luận văn gồm chương Chương I: Trình bày số chứng minh hình học Định lý SteinerLehmus Chương II: Trình bày số