Lý thuyết trò chơi - Game theory - tài liệu cơ bản nâng cao

LÝ THUYẾT TRỊ CHƠI TS.VƯƠNG QN HỒNG DHVP Research & ĐHTH Bruxelles E-mail: dhvp.economics@gmail.com Bản Thảo Tài Liệu Nghiên Cứu Hà Nội - Ngày tháng năm 2011 LÝ THUYẾT TRỊ CHƠI Vương Qn Hồng Mục lục Mục lục iii Danh mục hình vẽ v Danh mục bảng biểu vii Lời giới thiệu ix Trò Chơi 2-Người Tổng-0 Hữu Hạn 1.1 Những nét 1.2 Tìm nghiệm trò chơi kích thước × n m × 1.2.1 Giải trò chơi × n 1.2.2 Trò chơi m × 1.2.3 Tính trội tuyệt đối 1.3 Một số ví dụ tính chất trò chơi ma trận Trò Chơi 2-Người Hữu Hạn 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Tìm điểm cân Nash 2.2.1 Cân Nash 2.2.2 Trò chơi bimatrix × 2.2.3 Tính trội tuyệt đối 2.3 Một số ứng dụng toán minh họa 1 3 17 17 19 19 21 23 26 Dạng Mở Rộng Hữu Hạn 35 3.1 Bài toán dạng mở 35 3.2 Dạng chiến lược 36 3.3 Quy nạp lùi hồn chỉnh trò chơi 39 i c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ ii 3.4 Cân Bayes hoàn hảo 43 Trò Chơi Hữu Hạn Thơng Tin Khơng Đầy Đủ 53 4.1 Nhóm đặc trưng 54 4.2 Trò chơi tĩnh, thơng tin khơng đầy đủ 54 4.3 Trò chơi tín hiệu 59 Bất Hợp Tác 5.1 Khn khổ tổng qt: trò chơi chiến lược 5.2 Cạnh tranh số lượng Cournot 5.2.1 Mơ hình đơn giản, thông tin đầy đủ 5.2.2 Mơ hình đơn giản, thơng tin khơng đầy đủ 5.3 Cạnh tranh giá Bertrand 5.4 Cân Stackelberg 5.5 Chiến lược hỗn hợp thông tin không đầy đủ 69 69 70 71 73 75 76 79 Trò Chơi Lặp Lại 6.1 Cân hồn hảo trò chơi 6.1.1 Nghịch lý người tù 6.1.2 Quan sát tổng quát 6.2 Cân Nash 6.2.1 Ví dụ trò chơi bimatrix khác: 6.2.2 Một định lý dân gian cho cân Nash 87 87 87 91 93 93 95 Trò Chơi Tiến Hóa - 101 7.1 Trò chơi 2-NC đối xứng chiến lược ổn định tiến hóa 102 7.2 Động học chép tính ổn định tiến hóa 105 7.3 Trò chơi bất đối xứng 107 Hợp Tác Chuyển Đổi Lợi Ích 8.1 Ví dụ ý niệm 8.1.1 Bài toán xuất phát 8.2 Tập lõi 8.3 Giá trị Shapley 8.4 Hạch nhân - nucleolus 115 115 116 118 121 123 iii Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research Mơ Hình Hợp Tác 9.1 Các dạng toán mặc 9.1.1 Nghiệm Nash cho toán mặc 9.2 Nền kinh tế trao đổi 133 133 133 138 10 Trò Chơi Ma Trận 151 10.1 Định lý Minimax 151 10.2 Phát biểu hệ thống quy hoạch tuyến tính 152 11 Cơng Cụ Tốn Học 11.1 Thuật ngữ khái niệm thường sử dụng 11.2 Các bổ đề lựa chọn thay 11.3 Định lý đối ngẫu quy hoạch tuyến tính 11.4 Một số định lý điểm bất động 11.5 Định lý Birkhoff–von Neumann 157 157 158 160 160 160 Phụ lục a Phụ lục tra cứu a LÝ THUYẾT TRỊ CHƠI Danh mục hình vẽ 2.1 Sơ đồ β2 2.2 Sơ đồ β2 22 27 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 36 37 40 42 45 4.1 Xung đột sở thích giới tính, thơng tin khơng đầy đủ 4.2 Trò chơi tín hiệu 56 60 5.1 5.2 5.3 5.4 72 78 78 78 6.1 δ lợi ích giới hạn G∞ p (δ) 6.2 δ lợi ích giới hạn G∞ p (δ) 96 96 7.1 Sơ đồ trò chơi dạng mở Sơ đồ - thông tin hoàn hảo Sơ đồ rút gọn - thơng tin hồn hảo Sơ đồ 3-NC Sơ đồ 3-NC cân Bayes Cournot Hàm lợi ích hãng i độc quyền Bertrand Lược đồ dạng mở trò chơi Stackelberg Cân Stackelberg Sơ đồ pha trò chơi tiến hóa bất đối xứng 108 8.1 Sơ đồ hợp tác tải điện 3-TP 116 8.2 Tập C trò chơi 3-TP 120 9.1 9.2 9.3 9.4 Bài toán mặc cả: phân chia Bài toán mặc 2-NC điều kiện Nash nghiệm mặc Tập lõi cân Walras v 134 135 136 144 vi c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ 11.1 Giải thích hình học bổ đề Farkas 159 Danh mục bảng biểu 4.1 PPXS theo đặc trưng NC có đặc trưng 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Liên minh lưới điện 3-TP Giá trị trò chơi găng tay Giá trị theo sở nguyện NC Mơ hình hốn vị lịch hẹn Giá trị Shapley cho TU-game 3-TP Phép thử hạch nhân trò chơi 3-TP Phép thử hạch nhân trò chơi 3-TP (b) vii 58 116 118 119 120 122 124 126 LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research 161 Định lý Birkhoff–von Neumann: (1) ext(Dn×n ) = Pn×n ; (2) Dn×n = conv(Pn×n ) Một tập V biểu diễn qua dạng a + L a ∈ V L khơng gian tuyến tính V , gọi khơng gian affine Với không gian affine a + L thuộc V , kích thước định nghĩa theo kích thước khơng gian tuyến tính L Với tập tùy ý A ⊂ V , kích thước dim(A) định nghĩa kích thước khơng gian affine nhỏ V có chứa tập A Bổ đề: Cho C tập lồi không rỗng Rn a ∈ Rn \ C Thì tồn p ∈ Rn \ {0} với p · a ≤ p · c, ∀c ∈ C Định lý Krein–Milman: Cho C tập lồi compact không rỗng thuộc Rn Vậy thì, ext(C) ̸= ∅ C = conv(ext(C)) 162 c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 163 164 c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 165 166 c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 167 168 c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 169 170 c 2011 - Vương Qn Hồng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 171 LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI Phụ lục tra cứu G∞ (δ), 95 G∞ p (δ), 91 đóng góp biên - marginal contribution, 121 đường cong không thiên vị - indifference curve, 142 đường ngân sách, 143 đặc trưng, 53, 60 định lý đối ngẫu, 160 điểm bất động, 160 Birkhoff–von Neumann, 161 Brouwer, 160 dân gian cân hồn hảo trò chơi con, 92 Kakutani, 160 Krein–Milman, 161 minimax, 152 đối ngẫu, 152 độ dư - excess, 123, 124 động học chép, 105, 106 tự phân chia, 105 điểm bất động - fixed point, 160 điểm cực biên - extreme point, 160 điểm yên ngựa, 94 average fitness, 105 bổ đề Farkas, 159 best reply - phản ứng tối ưu, 18, 21, 76 bimatrix - ma trận cặp, 17 cân Bertrand, 75 gộp, 61 Nash, 72, 73, 93, 95 đối xứng, 104 chặt, 109 Nash-Cournot, 74 phân chia, 61 Stackelberg, 69, 76 Walras, 138, 140, 142 phân phối, 143 cân Bayes, 53, 61 cân Bayes hoàn hảo, 43 cân Nash, 53, 58 có tính chất Bayes, 59 thuần, 59 cạnh tranh Bertrand, 69, 75 Cournot, 69, 70 chance move, 35 a b chiến lược, 1, 36 ổn định tiến hóa, 103 ESS, 103 hỗn hợp, 20, 21, 79 hỗn hợp - p, q, lép vế, 23 tối ưu, 3, 21 thuần, 20 - ei , ej , ESS, 103, 104, 106 game bimatrix, 79 extensive form, 35 giá trị quy kết - imputation, 123 giá trị Shapley, 121, 123 c 2011 - Vương Qn Hồng ⃝ minimax, chiến lược, 10 nón lồi - convex cone, 158 kinh tế trao đổi, 142 Nash equilibrium - cân Nash, 17–19, 21, 22, 39 pure - thuần, 18 thuần, 42 ngẫu nhiên hóa, 19 nghiệm mặc Nash, 137 noncooperative game - trò chơi bất hợp tác, 18 Pareto-optimal, 21, 73, 135, 142 hàng hóa có sẵn - endowment, 138, phân phối lợi ích, 119 phân phối xác suất - PPXS, 1, 8, 21, 139 23, 26, 43, 53, 79 hành động, 36, 43, 59 phép hồn chỉnh trò chơi con, 40, hạch nhân - nucleolus, 123, 124 44, 77 hiệp biến kích thước, 135 hiệu chỉnh Bayes, 44 quy hoạch tuyến tính, 151 information set - tập thông tin, 35 quy hoạch tuyến tính - LP, 152 quy nạp lùi, 77 khơng gian điểm cân bằng, 39 lợi ích hợp tác, 92 quy nạp lùi - backward induction, không gian affine, 161 39, 44 khoảng cách Euclide - Euclidean distance, 158 replicator dynamics, 105, 106 lợi ích maximin, 94 mặc cả, 133 Mathematica, maximin, chiến lược, 10 saddlepoint, 94 saddlepoint - điểm yên ngựa, 3, space cooperative payoff, 92 strategic uncertainty - bất trắc chiến lược, 19 c Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research strict domination - tính trội tuyệt đối, 7, 17, 23 subgame perfection, 40 ma trận, 152 ma trận cặp, 21, 79, 107 Stackelberg, 76 tín hiệu, 59 thơng tin khơng đầy đủ, 53 tĩnh, 54, 59 tiến hóa, 101 TU-game, 121 bản, 123 tập lõi, 126 véc-tơ biên - marginal vector, 121 type of player, 53 tích - inner product, 158 tính chất Bayes, 74 tính lồi - convexity, 157 tập compact, 158 tập chiến lược, 38 tập lõi - core, 118 tập lồi, 157 tập thông tin, 40, 43, 60 không tầm thường, 36, 43 Walrasian equilibrium, 138 tối ưu Pareto, 21, 73, 135, 141 tổ hợp lồi - convex combination, 157 theorem duality, 160 Folk, 92 tiêu chuẩn Kohlberg, 126 trò chơi đối xứng, 102 bất đối xứng, 107 bất hợp tác, 18 bỏ phiếu, 118 Bertrand, 75 bimatrix, 18, 21, 23, 38, 92 rút gọn, 26 chiến lược, 69 Cournot, 70 dạng chiến lược, 36, 41 dạng mở, 35 diều hâu-bồ câu, 104 giá trị - v(A), hawk-dove, 102, 104, 105 hoán vị - permutation, 117 ... chú: 13 14 c 2011 - Vương Quân Hoàng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research VQG ghi chú: 15 LÝ THUYẾT TRỊ CHƠI Chương Trò Chơi 2-Người Hữu Hạn Chương thứ hai đề cập tới trò chơi 2-người, NC lựa chọn... vuong@vietnamica.net Chương Trò Chơi 2-Người Tổng-0 Hữu Hạn 1.1 Những nét Các liệu trò chơi 2-người tổng-0 hữu hạn tóm tắt vào ma trận, loại trò chơi gọi trò chơi ma trận Trò chơi ma trận ma trận A kích... ngựa khác Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research 11 Ví dụ 11 Hãy tìm ví dụ trò chơi ma trận kích thước (4 × 4) có xác điểm yên ngựa 12 c 2011 - Vương Quân Hồng ⃝ Lý Thuyết Trò Chơi - DHVP Research